向量讲义(高三向量讲义)

平面向量

第一讲 平面向量的概念和基本性质

一、平面向量的概念

1、向量的概念：既有方向，又有大小的量叫做向量。

2、向量的表示方法：

3、单位向量、零向量、平行向量、向量的模、相等向量

【例题1】下列四个命题中，正确的有：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一条直线上。其中真命题的序号为

【变式1】如图，已知ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：

（1）图中与AB

共线的向量有 （2）图中与AB

相等的向量有

（3）图中与AB

模相等的向量有

（4）图中与EC

相等的向量有

【变式2】判断下列命题的真假：（1）单位向量都共线（2）单位向量都相等；（3）共线的单位向量比相等；（4）与非零向量a 共线的单位向量是a a

二、平面向量的线性运算 1、平行四边形法则：

(1)加法：平移——首尾相连

DC DB DB BE DE +=+=

（2）减法：

DB DC CB -=

2、三角形法则：

AB BC AC

+=

AB AC CB -=

首尾相连是相加，消去共同的字母。 共同起点是相减，终点减去起点。

E

E

D

a

a

【例题1】如图，在△ABC 中，AB=3，AC =4，BC =5，D ，E 分别是△ABC 的内心和外心，

DE mAB nAC =+

，则m+n=

【变式1】如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=

，

则λ=

例题1 变式1 变式2

【变式2】在△ABC 中，AB 边上的高CD ，若,,CB a CA b ==

且a ·b=0，|a |=1，|b |=2，则

AD =

【变式3】在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，E 是线段OD 的中点，AE 的延长

线与CD 相交于点F ，若,,AC a BD b ==

则AF =

【变式4】设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点，12

,,23

AD AB BE BC =

=若121212(,DE AB AC λλλλλλ=++=

为实数），则 【变式5】在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中

点，若,AO AB BC λμλμ=++=

则

【例题2】已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，AD =2，BC =1，点P 是腰

CD 上的动点，则3PA PB +

的最小值为

【变式1】在直角三角形ABC 中，点D 为斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则

22

2

PA PB PC

+=

【变式2】在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，则下列不等式不成立的是

()()

2222

2

....A AC AC AB B BC BA BC

AC AB BA BC C AB AC CD

D CD AB

=⋅=⋅⋅⋅=⋅= 【变式3】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的

C

A

任意一点，则OA OB OC OD +++=

..2.3.4AOM B OM C OM D OM

【例题3】在平面上，121212,1,AB AB OB OB AP AB AB ⊥===+ ，若12

OP < ，则OA

的取值范围是 【变式1】记{}{},,,,

max ,min ,,,,,

x x y y x y x y x y y x y x x y ≥≥⎧⎧==⎨

⎨

<<⎩⎩设a,b 为平面向量，则 {}{}{}{}{

}{

}22

2

2

22

2

2

.min ,min ,.min ,min ,.max ,.max ,A a b a b a b B a b a b a b C a b a b

a

b

D a b a b

a

b

+-≤+-≥+-≤++-≥+

三、三点共线和定比分点定理

1、三点共线：

A,B,C 三点共线⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+

【例题4】在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两

点M,N ，若,AB mAM AC nAN ==

,则m+n=

【变式1】在△ABC 中，已知D 是边AB 上的一点，若12,=3

AD DB CD CA CB λλ==+

，则

2112.

.

..3

3

33

A B C D -

-

【变式2】在△ABC 中，H 是边BC 上异于B,C 上的任意一点，M 为AH 的中点，若

AM AB AC λμ=+

,则+=λμ

【变式3】已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线AB,AC 分别交于M,N 两点，且

,AM xAB AN y AC == ，则

xy

x y

=+ 【例题5】如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段AB 的

延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+

，

则x 的取值范围是 ，当1

2

x =-时，y 的取值范围是

【变式1】在△ABC 中，若AB=3，AC =4，BC =5，点D 是边BC

上的动点，+AD xAB yAC =

，当xy 取最大值时，AD 的长为

【变式2】已知点G 是△ABC 的重心，点P 是△GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+

，则λμ

+

A