正数与负数的幂运算
同底数幂的乘法负数与正数相乘的关系
同底数幂的乘法负数与正数相乘的关系1.乘积为负数的条件是底数相同，指数奇偶性不同。
The condition for the product to be negative is that the base is the same and the exponent parity is different.2.当指数为偶数时，同底数幂的乘积为正数。
When the exponent is even, the product of the same base powers is positive.3.当指数为奇数时，同底数幂的乘积为负数。
When the exponent is odd, the product of the same base powers is negative.4.举例来说，(-2)^3 * (-2)^2 = (-2)^(3+2) = (-2)^5 = -32。
For example, (-2)^3 * (-2)^2 = (-2)^(3+2) = (-2)^5 = -32.5.这个例子中，指数均为奇数，导致乘积为负数。
In this example, the exponents are both odd, leading to a negative product.6.而当底数为正数时，指数为偶数时乘积为正数，指数为奇数时乘积为负数。
When the base is a positive number, the product is positive when the exponent is even and negative when the exponent is odd.7.例如，2^4 * 2^3 = 2^(4+3) = 2^7 = 128。
For example, 2^4 * 2^3 = 2^(4+3) = 2^7 = 128.8.在这个例子中，指数均为偶数，导致乘积为正数。
指数与指数幂的运算知识点总结
指数与指数幂的运算知识点总结本节知识点 （1）整数指数幂; （2）根式; （3）分数指数幂; （4）有理数指数幂; （5）无理数指数幂. 知识点一 整数指数幂1.正整数指数幂的定义:,其中N*.an na a a a 个⋅⋅=∈n 2.正整数指数幂的运算法则: （1）(N*);nm nmaa a +=⋅∈n m ,（2）（且N*）;nm nma a a -=÷,,0n m a >≠∈n m ,（3）(N*);()mn nma a=∈n m ,（4）(N*);()mmmb a ab =∈m （5）（N*）.m m mb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛,0≠b ∈m 3.两个规定（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即.()010≠=a a 零的零次幂没有意义.（2）任何不等于零的数的（为正整数）次幂,等于这个数的次幂的倒数.即:n -n n . ()01≠=-a a a nn 零的负整指数幂没有意义. 知识点二 根式的概念及其性质 1.次方根n （1）定义 一般地,如果（且N*）,那么叫做的次方根. a x n=1>n ∈n x a n （2）性质:①当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次n n n a n方根用表示;na ②当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为.负数没有偶n n na ±次方根;③0的任何次方根都是0,记作.00=n2.根式的定义 形如（且N*）的式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被na 1>n ∈n n a 开方数.对根式的理解,要注意以下几点: na （1）且N*; 1>n ∈n （2）当为奇数时,R ; n ∈a （3）当为偶数时,≥0.n a 根式（且N*）的符号的确定:由的奇偶性和被开方数的符号共同确定. na 1>n ∈n n a （1）当为奇数时,的符号与的符号相同; n na a （2）当为偶数时,≥0,为非负数. n a na 3.根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn与的联系与区别:()nna nn a （1）对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意义()nna n ∈a n a nn a 的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制. n n （2）当为奇数时,.n ()=nna a a nn =知识点三 分数指数幂1. 规定正数的正分数指数幂的意义是（,N*,且）nm nm a a =0>a ∈n m ,1>n 于是在条件,N*,且下,根式都可以写成分数指数幂的形式.0>a ∈n m ,1>n2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定（,N*,且）nmnm nm aaa11==-0>a ∈n m ,1>n 3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 对分数指数幂的理解:（1）分数指数幂不能理解为个相乘,它是根式的一种新的写法; nm a nma （2）分数指数不能随意约分. nm如,事实上,,式子是有意义的;而在()()214233-≠-()()424233-=-()3321-=-实数范围内是没有意义的.（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.如上面提到的,但没有意义.()()424233-=-()()434355-=-所以对于分数指数幂,当≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的nm a a 意义时,要求. 0>a 知识点四 有理数指数幂规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用: （1）（Q ）;sr sra a a +=⋅,0>a s r ,∈（2）（Q ）;()rs sra a=,0>a s r ,∈（3）（Q ）.()rrrb a ab =0,0>>b a r ∈有理数指数幂的运算还有如下性质: （4）（Q ）;sr sraa a -=÷,0>a s r ,∈（5）（Q ）.r r rb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛0,0>>b a r ∈常用结论:（1）当时,; 0>a 0>ba （2）若则;,0≠a 10=a（3）若（,且）,则; sr a a =0>a 1≠a s r =（4）乘法公式适用于分数指数幂.如（）.b a b a b a b a -=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+221221212121210,0>>b a 知识点五 无理数指数幂一般地,无理数指数幂（,是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性αa 0>a α质同样适用于无理数指数幂.知识点六 运用公式进行指数幂的运算（条件求值） 常用公式:（1）平方差公式 .()()b a b a b a -+=-22（2）完全平方公式 .()()2222222,2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+（3）立方和公式 . ()()2233bab a b a b a +-+=+（4）立方差公式 .()()2233bab a b a b a ++-=-（5）完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+（6）完全立方差公式 .()3223333b ab b a a b a -+-=-常用公式变形:（1）,.()ab b a b a 2222-+=+()ab b a b a 2222+-=+（2）,.211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 211222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+x x x x 或者写成,.()22122-+=+--x x xx ()22122+-=+--x x x x （3）;⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b b a a b a b a b a 212121213213212323.⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b a a b a b a b a 212121213213212323例题讲解例1. 已知,求的值.32121=+-x x 32222323++++--x x x x 分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:;()22122-+=+--x x x x . ()()1112121121213213212323-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+------x x x x x x x x x x xx 解:∵32121=+-xx ∴,∴. 92122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x 71=+-x x ∴.()4727222122=-=-+=+--x x x x ()()181731121213213212323=-⨯=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----x x x x x x xx ∴.52502034721832222323==++=++++--x x x x 例2. 已知,求下列各式的值:22121=+-a a （1）; （2）; （3）.1-+a a 22-+a a 22--a a 分析:在求的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出的值,然22--a a ()222--a a 后在进行开平方运算. 解:（1）∵22121=+-aa ∴,∴; 42122121=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 21=+-a a （2）;()222222122=-=-+=+--a a a a （3）∵()()04242222222=-=-+=---a a a a ∴. 022=--a a例3. 已知,其中,求的值.41=+-x x 10<<x xx x x 122+--分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.解:∵41=+-x x ∴,∴,∴. 4222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 62121=+-x x()1424222122=-=-+=+--x x x x ∴()()19241442222222=-=-+=---x x x x ∵,∴,∴.10<<x 22-<x x 3819222-=-=--x x ∴. 24638121212222-=-=+-=+----x x x x x x x x 例4. （1）已知,求的值;42121=+-aa 21212323----aa a a （2）已知,且,求的值;9,12==+xy y x y x <21212121yx y x +-解:（1）∵42121=+-aa ∴,∴. 212212142=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 142161=-=+-a a ∴; ()15114111212112121212132132121212323=+=++=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=----------a a a a a a a a a a a a aa a a （2）∵9,12==+xy y x ∴ ()()3192129212222221212212122121221212121=+-=++-+=++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xy y x xy y x xy y x xy y x y x y x y x y x∵,∴,∴y x <2121y x <021212121<+-yx y x ∴. 333121212121-=-=+-yx y x 例5. 已知,求的值.3232+=a 31311--++aa a a 分析:借助于分式的性质. 解:∵ 3232+=a ∴,.3232113232-=+==-a a()34732223234+=+=⎪⎭⎫⎝⎛=a a ∴()132323431313113131311++=⎪⎭⎫⎝⎛++=++-----a aa a a a a a a aa aa .()3333333333913232347=++=++=++-++=解法二:∵3232+=a ∴113232313132323131313133133131311-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++--------a a a a a a a a a a a a aa a a .313232132132113232=--++=-+++=-+=aa 例6. （1）当时,求的值;22,22-=+=y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛----323132343132y y x x y x （2）若,求的值. 122-=xaxx xx aa a a --++33分析: 结论 对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数. 本题中,,被开方数不是完全平方数,所以不能化简,当确有22+=x 22+x.()222222+=+=x 解:（1）∵22,22-=+=y x ∴12331332323132343132------=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x y y x x y x ; ()22122222221222+=+-+=--+=（2）∵122-=x a ∴ ()()()()1122223333-+=++-+=++=++--------xx xx x x x x x x x x x x x x a a aa a a a a a a a a a a a a . 1121121122--+-=-+=xx a a 12211212-=-++-=另解:解例5的解法一.题型一 整数指数幂的运算例7. 已知（为常数,且Z ）,求的值.a x x =+-22a ∈x x x -+88分析:因为,所以先由条()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+件求出的值.a x x =+-22x x 2222-+完全立方和公式 .()3223333b ab b a a b a +++=+解法一:∵a x x =+-22∴()2222222222-=-+=+--a x x x x ∴()()()()x x x x x x x x x x 22333321222222288-----+-+=+=+=+.()()a a a a a a 3312322-=-=--=解法二:（完全立方和公式） ∵a x x =+-22∴,展开得:.()3322a x x =+-()()()()3322322232232a x x x x x x =+⨯⨯+⨯⨯+---整理得:,∴. ()382238a x x x x =+++--3838a a x x =++-∴.a a x x 3883-=+-例8. 已知,则_________. 3101=+-x x =--22x x 解:∵ 3101=+-x x ∴ ()9822310222122=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=+--x x xx ∴ ()()816400498242222222=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x x x ∴. 98081640022±=±=--x x 解法二分析:使用平方差公式得. ()()1122----+=-x x x x x x 解法二:∵ 3101=+-x x ∴ ()()9644310422121=-⎪⎭⎫⎝⎛=-+=---x x xx ∴. 389641±=±=--x x ∴. ()()980383101122±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⨯=-+=----x x x x x x 例9. 若,求的值. 31=+-x x 2323-+x x 解:∵（这里）31=+-x x 0>x ∴,∴. 3222121=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 522121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵,∴.02121>+-x x 52121=+-xx ∴ ()1212132132123231----+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x x x x x x xx . ()52135=-⨯=解法二:∵31=+-x x ∴()723222122=-=-+=+--x x x x∴ ()()()202173122213322323=+-⨯=+-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+----x x x x x x x x ∴.52202323==+-xx 例10. 已知,则【 】41=+-x x =+-2121x x （A ）2 （B ）2或 2-（C ）（D ）或666-分析:题目的隐含条件为. 0>x 解:∵41=+-x x ∴,∴ 42221211=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--x x x x 622121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ∵02121>+-x x ∴.选择【 C 】.62121=+-x x例11. 已知,则【 】212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ()=+1x f （A ） （B ）42-x ()21+x （C ）（D ）()()2111-+++-x x 322-+x x 解:（换元法）设,则有t xx =+-2121∴222221211-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--t x x x x ∴,∴. ()2222t t t f =+-=()2x x f =∴.选择【 B 】.()()211+=+x x f 解法二（凑整法）:∵212121++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x f ∴,∴.2212122121212122⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---x x x x x x f ()2x x f =∴.()()211+=+x x f题型二 根式的化简在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质: （1）;()a a nn=（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn注意 对于,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意()nna n ∈a n a nn a 义的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制.n n 例12. 化简下列各式: （1）;()()222535-+-（2）（≥1）.()()2231x x -+-x 解:（1）原式;125532535=-+-=-+-=（2）.()()x x x x -+-=-+-313122∵≥1x ∴当1≤≤3时,原式; x 231=-+-=x x 当时,原式. 3>x 4231-=-+-=x x x 例13. 化简: （1）; （2）（≤）.()nnx π-62144+-a a a 21分析:对于（1）,要对的奇偶性进行分类讨论. n 解:（1）当为奇数时,;n ()ππ-=-x x nn 当为偶数时,; n ()()()⎩⎨⎧<-≥-=-=-ππππππx x x x x x nn（2）.()()()33162626221212112144a a a a a a -=-=-=-=+-注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.例14. 求下列各式的值: （1）;223223-++（2）.347246625-+--+分析: 结论 对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全C B A ±C B A 22-C B A ±平方数.根据此结论,可知,,均可以化为完全平方的形式. 625+246-347-解:（1）原式;()()221212*********2=-++=-++=-++=（2）原式()()()222322232-+--+=.22322232322232=-++-+=-+--+=总结 形如（）的双重二次根式的化简,一般是将其化为n m 2±0,0>>n m 的形式,然后再化简.由得:()2ba ±()ab b a ba n m 222±+=±=± ⎩⎨⎧==+nab mb a 所以是一元二次方程的两个实数根.b a ,02=+-n mx x 例15. 化简. 32-解:. ()()226213213222132324322-=-=-=-=-=-例16. 计算:.()()4123323-+-解:原式.()[]()58323233443=+-=-+-=-+-=注意 在利用根式的性质进行的化简时,一定要注意当为偶数时,底数的符号.nna n a 例17. 化简下列各式: （1）（）;()()665544b a b a a -+++0<<b a （2）（）. 1212----+x x x x 21<<x 解:（1）∵0<<b a ∴原式; ()a b a b b a a b a b a a -=-+++-=-+++=2（2）∵,∴ 21<<x 110<-<x ∴原式()()1111111122---+-=---+-=x x x x. ()1211111111-=-+-+-=---+-=x x x x x 例18. 求值_________. =-++335252解:令,则有y x =-=+3352,52,.4525233=-++=+y x 1-=xy ∴,∴()()422=+-+y xy x y x ()()[]432=-++xy y x y x 设,则,有t y x =+0>t ,∴,()432=+t t 0433=-+t t 01333=--+t t ∴()()0412=++-t t t ∵,∴,∴. 042>++t t 01=-t 1=t ∴. 1525233=-++解法二:设,则有=x 335252-++,∴()x x 3452523333-=-++=0432=-+x x∴, ()()03313=-+-x x ()()0412=++-x x x ∵,∴,∴ 042>++x x 01=-x 1=x ∴. 1525233=-++例19. 根据已知条件求值: （1）已知,求的值;32,21==y x yx y x yx y x +---+（2）已知是方程的两根,且,求的值.b a ,0462=+-x x 0>>b a ba b a +-解:（1）∵ 32,21==y x ∴原式()()()()()()yx yx yx yx yx yx -+--+-+=22yx xyy x y x xy y x --+--++=22; 383221322144-=-⨯⨯=-=yx xy（2）∵是方程的两根 b a ,0462=+-x x ∴4,6==+ab b a ∴()()204464222=⨯-=-+=-ab b a b a ∵,∴ 0>>b a 0>-b a ∴. 5220==-b a ∴. ()()()55515242622==-=--+=-+-=+-b a ab b a ba ba ba ba b a （2）解法二:∵是方程的两根,∴b a ,0462=+-x x 4,6==+ab b a ∴. ()()5110242642622222==+-=++-+=+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-abb a ab b a b a b a b a b a ∵,∴,∴0>>b a b a >0>+-ba b a ∴. 5551==+-ba b a 例20. 已知,N*,求的值.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-nn x 115521∈n ()n x x 21++解:∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n nx 115521∴.n n n n n n x 222221125215525411552111---++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+2115541⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-n nx 11255211∴.()55552155211111112=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++--nn n nn n n nx x例21. 已知函数,.()53131--=x x x f ()53131-+=x x x g （1）证明:在上是增函数（已知在R 上是增函数）;()x f ()+∞,031x y =（2）分别计算和的值,由此概括出函数和()()()2254g f f -()()()3359g f f -()x f 对所有不等于0的实数都成立的一个等式,并加以证明.()x g x （1）证明:任取,且()+∞∈,0,21x x 21x x <∴ ()()55531131231231131231231131121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=-----x x x x x x x x x f x f ∵,且,在R 上是增函数 ()+∞∈,0,21x x 21x x <31x y =∴312311312311,--><x x x x ∴,∴ ()()021<-x f x f ()()21x f x f <∴在上是增函数; ()x f ()+∞,0（2）解:()()()2254g f f -.0522522552222554432323232313131313131=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----同样求得. ()()()03359=-g f f 猜想:. ()()()052=-x g x f x f 证明:()()()x g x f x f 52-.055555532323232313131313232=---=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=-----x x x x x x x x xx 例22. 当,且时,求的值.0,0>>y x ()()y x y y x x 53+⋅=+yxy x y xy x -+++32解:∵,且0,0>>y x ()()y x y y x x53+⋅=+∴, y xy xy x 153+=+0152=--y xy x ∴()()053=-+y x yx ∴,. 05=-y x y x y x 25,5==∴.22958525355032==-+++=-+++yyy y y y y y yxy x y xy x 题型三 根式与分数指数幂的互化在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应: （1）根指数对应分数指数的分母;（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子. 当出现多重根号时,应从里向外化简.例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:,,,;.51a ()043>a a 36a ()013>a a()0>a a a 解:;551a a =;()43430a a a =>;23636a a a ==;()23233101-==>a aa a.()4323210a a a a a a a ==⋅=>例24. 将根式化为分数指数幂是【 】 53-a （A ） （B ）（C ）（D ）53-a 53a 53a -35a -解:选择【 A 】. 例25. 化简:_________.（用分数指数幂表示）()()=⋅÷⋅109532a a a a 解:由题意可知:.0>a ∴原式.561012101451310921532a a a a a a a a ==÷=⎪⎭⎫⎝⎛⋅÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=例26. 设,化简:.0>a 434334aa a a -解:∵0>a ∴.611616653163254343234434334---===⋅⋅=aaa aa a a aa aa aa例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【 】 （A ）（B ）()()0414>-=-x x x )0551≠-=-x x x（C ） （D ）()0,4343≠⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y y x 4182y y =解:（A ）,故（A ）错;()0414>-=-x x x （B ）,故（B ）错; ()0155151≠==--x xx x（D ）,故（D ）错. 选择【 C 】. 4182y y =例28. 下列各式正确的是【 】 （A ）;（B ）35531aa=-2332x x =（C ）（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=814121814121aaa a x x x x 412212323131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---解:（A ）,故（A ）错;53535311aaa ==-（B ）,故（B ）错; 3232x x =（C ）,故（C ）错. 选择【 D 】.85814121814121a aaa a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-题型四 根式和分数指数幂有意义的条件1.对于次根式,当为奇数时,R ;当为偶数时,≥0. n na n ∈a n a 2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.例29. 若有意义,则的取值范围是__________.()4321--x x解:∵()()()43434321121121x x x -=-=--∴,解之得:. 021>-x 21<x 即的取值范围是.x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,例30. 函数的定义域是【 】()()2125--+-=x x y （A ） （B ）{}2,5≠≠x x x {}2>x x （C ） （D ）{}5>x x {}552><<x x x 或解:∵()()()()()215215250210210-+-=-+-=-+-=-x x x x x x y ∴,解之得:且.⎩⎨⎧>-≠-0205x x 2>x 5≠x ∴该函数的定义域为.选择【 D 】.()()+∞,55,2 题型五 幂的运算目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.（1）（R ）; s r s r a a a +=⋅∈>s r a ,,0（2）（R ）;()rs sr a a =∈>s r a ,,0（3）（R ）.()r r rb a ab =∈>>r b a ,0,0例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）: （1）;()()()c b a b a b a 24132124-----÷-⋅（2）. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+----------212121211122b a b a b a b a 解:（1）原式;()ca ac cb a b a 33112412423-=-=÷-=-----（2）原式 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--------21212121112121b a b a b a b a ()()()bb b a b a b a ba b a b a221111111111111==+-+=----+=-------------例32. 化简下列各式: （1）;212121211111aaa a a++------（2）.111113131313132---+++++-x xx x x x x x 解:（1）原式; ()()011112121212121211=-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=-----a a a a a a a a a （2）原式 11111131323131333131323331-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x x x x 31323132313131313131313231313231323111111111111xx x x x x x x x x x x x x x x x x --+-+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.31x -=例33. 化简:. ()()()()()1421443333211--------++-++-+aa a a a a a a a a a a解:原式 ()()()()()()1221442212212111---------+-+-++++-+-+=a a a a a a a a a a a a a aa a ()[]()[]()()1214412222111--------++++++-+=aa a a a a a a a a a a()()aa a a a aa a a a a a a 21111144144=-++=-++++++=------例34. 化简下列各式:（1）;（2）.436532yx xy⋅1111212331++-+++a a a a a 解:（1）原式;1212143653231--==yx yx y x （2）原式 111111111121212131313231213321313331++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a a a a a a a a a21313221313211aa a a a a +-=-++-=例35. 【 】 ()=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--21212001.04122532（A ）（B ） （C ）（D ）0151630173658-解:. ()21212001.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛--1516101324111001491411=-⨯+=-⨯+=选择【 A 】.例36. 化简:_________.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅⋅----321132132a b b a bab a 解:原式.656161673223236167322121131212132--------=÷=⎪⎭⎫⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=b a ab b a b a b a b a ba b a b a 例37._________. =⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---442102324953121解:原式. 22322322232491112=-++=-++-+=例38. 已知,则的值是_________. 3,2==n m 32432332⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⋅----m n nm m n n m 解:∵3,2==n m ∴原式 32325343322534312322332⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷=--------mn n m n m n m n m mn n m n m . 27232333131=⨯==⎪⎭⎫⎝⎛=---mn n m 例39. 已知函数,则_________.()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=1,351,312x x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321353f f 解: ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛---4343213533353f f f f . 33939335353331243=+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-⨯=-题型六 解含幂的方程例40. 解下列方程:（1）;（2）.2291381+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯x x0123222=-⨯++x x 解:（1）,()2224333+-=⨯x x 424233--+=x x ∴,解之得:;4242--=+x x 2-=x （2）,设,则()0123242=-⨯+⨯x x t x =20>t ∴, 01342=-+t t ()()0114=+-t t 解之得:（舍去）. 1,241221-===-t t ∴,∴.222-=x 2-=x 结论 若（,且）,则sra a =0>a 1≠a s r =题型七 指数幂等式的证明 设参数法例41. 设都是正数,且,求证:. c b a ,,c b a 643==ba c 122+=证明:设,则有. t cba===643cbat t t 12116,2,3===∵ 236⨯=∴,∴ba bacttt t 2112111+=⋅=ba c 2111+=等式两边同时乘以2得:. b a c 122+=例42. 设,且,则_________.m b a ==52211=+ba =m 分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出. 解:∵,∴. m ba==52bam m 115,2==∵211=+ba ∴,∴,.2111152m m m m ba ba==⋅=⨯102=m 10±=m ∵,∴. 0>m 10=m 例43. 已知,且. 333cz by ax ==1111=++zy x 求证:.()31313131222c b a czby ax ++=++证明:设,则. t cz by ax ===333zt cz y t by x t ax ===222,,∴.⎪⎭⎫⎝⎛++=++z y x t cz by ax 111222∵,∴ 1111=++z y x t z y x t =⎪⎭⎫⎝⎛++111∴,t cz by ax =++222()3131222t czby ax =++∵3131313313313313131111t z y x t z t y t x t c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++∴.()31313131222c b a czby ax ++=++例44. 对于正整数（≤≤）和非零实数,若c b a ,,a b c ω,,,z y x ,ω70===z y x c b a ,求的值. zy x 1111++=ωc b a ,,解:设,则有.k c b a zyx====ω70ω111170,,,k k c k b k a zyx====∴zy x k abc 111=∵,∴. zy x 1111++=ω70=abc ∵为正整数,且≤≤ c b a ,,a b c ∴ 752107170⨯⨯=⨯⨯==abc ∴或10,7,1===c b a 7,5,2===c b a 当时,,不符合题意,舍去. 10,7,1===c b a 0===ωz y ∴.7,5,2===c b a 本节易错题例45. 计算_________.()()=-++44332121分析 对于对于,当为奇数时,;当为偶数时,.nna n a a nn=n ()()⎩⎨⎧≤-≥==00a a a a a a nn解:原式.2212212121=-++=-++=例46. 化简_________. ()()=-⋅-43111a a 分析:题目的隐含条件为. 1>a 解:原式.()()()()()()()414343431111111--=-⋅--=-⋅-=-⋅-=---a a a a a a a 例47. 已知,N*,化简.1,0><<n b a ∈n ()()nn nnb a b a ++-解:当为奇数时,原式; n a b a b a 2=++-=当为偶数时,原式.n b a b a ++-=∵,∴原式. 0<<b a a b a a b 2-=---=其它例48. 已知函数,则_________. ()⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛>=0,210,21x x x x f x ()=-)4(f f 解:∵ ()1621121444=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=--f ∴.()()4161616)4(21====-f f f 例49. 已知集合,,且,则_______.{}4,,2a a A -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=b a aa B 2,,33B A ==+b a 解:{}{}4,,4,,2a a a a A -=-=根据集合元素的互异性,,∴a a -≠0>a ∴{}b b a a aa B 2,1,2,,33-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∴,解之得:.⎩⎨⎧==421b a ⎩⎨⎧==21b a ∴ 3.=+b a 例50. 设,若,则()244+=x xx f 10<<x _________. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f 解:∵()244+=x x x f ∴()()=+++=+++=+++=-+--2422444444244244244111x x x x x x x x x x x x f x f 12424=++x x ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f.500111100150110015001001100010011=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= f f f f。
负指数幂的运算法则推导
负指数幂的运算法则推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：负指数幂是数学中的一个重要概念，对于学生而言，掌握负指数幂的运算法则是非常基础也非常重要的一部分。
本文将从定义开始，逐步推导负指数幂的运算法则，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
我们需要明确什么是指数。
指数的概念是数学中的一个基本概念，通常用来表示一个数的乘方。
底数表示要进行乘方运算的数，而指数表示这个底数要被乘以多少次。
2^3中，2表示底数，3表示指数，表示将2乘以3次。
在正指数的情况下，我们已经了解了指数幂的运算法则，即相同底数的指数幂相乘时，指数要相加。
a^m * a^n = a^(m+n)。
但当指数为负数时，情况就有所不同了。
我们来看一个简单的示例：a^(-m)。
这里的负指数意味着我们需要求底数a的倒数的m次幂。
换句话说，a^(-m) = 1 / (a^m)。
这个规则其实很容易理解，因为一个数的倒数就是该数的分之一，m次幂的倒数就是该数m次幂的分之一。
接下来，我们来推导负指数幂的运算法则。
假设有两个数a和b，分别为底数，m和n分别为指数。
那么，在负指数幂的情况下，按照定义，我们有：a^(-m) = 1 / (a^m)b^(-n) = 1 / (b^n)现在，我们要求a^(-m) * b^(-n)。
根据乘法的交换律，我们可以将a^(-m)和b^(-n)的乘积交换位置，即：接着，根据上面的定义分别代入a^(-m)和b^(-n)的计算式，我们有：对分数进行乘法运算，我们可以将分子与分母相乘，得到：综合以上推导，我们得出了负指数幂的运算法则：两个负指数幂的乘积等于它们的倒数再相乘。
即：这个规则的应用十分广泛，在数学中可以用于简化复杂的指数表达式，帮助我们更快地计算结果。
掌握负指数幂的运算法则也有助于理解指数运算的更深层次原理。
在实际应用中，我们可以通过举例来加深对负指数幂运算法则的理解。
计算2^(-3) * 3^(-2)。
根据我们刚才推导的规则，这个表达式可以简化为：将底数做乘方运算，得到：继续计算分母，得到最终结果：2^(-3) * 3^(-2) = 1 / 72第二篇示例：负指数幂的运算法则推导在数学中，指数幂是一种非常常见且重要的运算形式。
代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解
二.代数式的运算（一）整式的运算：●整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除●幂的运算1.概念：负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1●整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：●因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法： 探索：阅读理解。
（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）= +（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1． 计算（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。
《负整数指数幂》课件
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证明函数性质：利用负整数指数幂 的性质，可以证明一些函数的性质， 如单调性、连续性等
证明积分性质：利用负整数指数幂 的性质，可以证明一些积分的性质， 如可积性、收敛性等
负整数指数幂在解决实际问题中的应用
负整数指数幂在物理中 的应用：例如，在描述 物体运动时，负整数指 数幂可以用来表示加速 度、速度等物理量。
负整数指数幂的乘法运算规则：负整数指数幂的乘法运算规则与正整数指数幂的乘法运算规则相同，即 a^m*a^n=a^(m+n)。
负整数指数幂的乘法运算规则：负整数指数幂的乘法运算规则与正整数指数幂的乘法运算规则相同，即 a^m/a^n=a^(m-n)。
负整数指数幂的乘法运算规则：负整数指数幂的乘法运算规则与正整数指数幂的乘法运算规则相同，即 a^m^n=a^(mn)。
小数指数幂的计算方法为：将小数指数幂转换为整数指数幂，然后进行 计算
整数指数幂的计算方法为：将整数指数幂转换为分数指数幂，然后进行 计算
负整数指数幂的应用
负整数指数幂在科学计算中的应用
物理中的负整数指数 幂：用于描述物理量 之间的关系，如电场 强度、磁场强度等
化学中的负整数指 数幂：用于描述化 学反应速率、反应 平衡等
负整数指数幂和正整数指数幂的转换方法
负整数指数幂：当 指数为负整数时， 底数取倒数，指数 取绝对值
正整数指数幂：当 指数为正整数时， 底数不变，指数不 变
转换方法：将负整数指 数幂转换为正整数指数 幂，只需将底数取倒数， 指数取绝对值
应用：在数学、物理、 化学等领域，负整数指 数幂和正整数指数幂的 转换方法广泛应用
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正整数指数幂的定义：正整数指数幂是指指数为正整数的指数幂，如 2^3=8
几次幂的运算所有公式
几次幂的运算所有公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：幂运算是数学中非常常见的一种运算方式，它包括一次幂、二次幂、三次幂等等。
在数学中，指数是幂运算的重要概念，它表示一个数被乘方的次数。
几次幂的计算是数学中非常基础和重要的内容，通过幂运算，我们可以更好地理解数学中的各种关系和规律。
在本文中，我们将介绍几次幂的运算公式及其应用。
一次幂运算：一次幂运算是最简单的一种幂运算，表示一个数本身。
一次幂的运算公式为x^1=x，即任何一个数的一次幂等于它本身。
2的一次幂等于2，3的一次幂等于3，-4的一次幂等于-4等等。
一次幂运算在数学中应用广泛，它可以用来表示原数的数量等。
幂运算的应用：幂运算在数学中有着广泛的应用，它可以用来解决各种问题和计算。
在代数中，幂运算可以帮助我们简化计算和展开式子；在几何中，幂运算可以用来求解面积、体积等问题；在物理中，幂运算可以用来表示力、功等物理量。
对幂运算的掌握是数学学习的基础，也是我们应用数学知识的基础。
第二篇示例：几次幂的运算是数学中一个非常常见而重要的概念，在各个领域的计算中都有广泛的应用。
几次幂即指一个数自身连续相乘多次的运算，其中常见的几次幂包括平方、立方、四次方等。
我们先来介绍一下几次幂的定义。
一个数的n次幂，表示这个数连续相乘自身n次的结果。
2的3次方就是2乘2乘2，即8。
一般的，如果一个数的n次幂的表达式为a^n，其中a是底数，n是指数。
接下来，我们来看几次幂的运算公式。
几次幂的运算公式是指通过已知的几次幂来求解新的几次幂。
下面我们将分别介绍平方、立方和更高次幂的运算公式。
一、平方的运算公式：1. 平方的定义：一个数的平方，就是这个数和自身的乘积。
2的平方是2乘2，即4。
2. 平方的运算公式：a^2 = a × a三、四次方及更高次幂的运算公式：1. 四次方的定义：一个数的四次方，就是这个数和自身连续相乘三次的乘积。
2的四次方是2乘2乘2乘2，即16。
《幂的乘方》 讲义
《幂的乘方》讲义一、引入同学们，在我们之前的数学学习中，已经接触了幂的相关运算，比如同底数幂的乘法。
今天，咱们要来一起探讨另一个重要的幂的运算——幂的乘方。
想象一下，假如有一个数的幂，然后这个幂又要再次进行乘方，那结果会是怎样的呢？这就是我们今天要研究的内容。
二、幂的乘方的定义首先，咱们来明确一下幂的乘方的定义。
幂的乘方指的是：底数不变，指数相乘。
举个例子，如果有一个幂 a^m，然后这个幂再进行 n 次乘方，那么结果就是（a^m)＾n ＝ a^（m×n) 。
为了更好地理解这个定义，咱们来看几个具体的例子。
比如，（2^3)＾2 ，底数 2 不变，指数 3 和 2 相乘，得到 2^（3×2) ＝ 2^6 ＝ 64 。
再比如，（（－3)＾2)＾3 ，底数－3 不变，指数 2 和 3 相乘，得到（－3)＾（2×3) ＝（－3)＾6 ＝ 729 。
三、幂的乘方的运算规则了解了定义之后，咱们来看看幂的乘方的运算规则。
1、当底数为正数时，幂的乘方运算结果一定是正数。
例如，（5^2)＾3 ＝ 5^（2×3) ＝ 5^6 ，结果是一个正数。
2、当底数为负数时，指数为偶数时，幂的乘方运算结果是正数；指数为奇数时，幂的乘方运算结果是负数。
比如，（－2)＾4 ＝ 16 ，而（－2)＾3 ＝－8 。
3、当指数中有括号时，要先计算括号内的指数运算。
例如，（3^2)＾3^2 ，先计算最里面的括号，得到（3^6)＾2 ，然后再继续计算，得到 3^（6×2) ＝ 3^12 。
四、幂的乘方与同底数幂乘法的区别在学习幂的运算时，很容易把幂的乘方和同底数幂的乘法弄混，咱们来对比一下。
同底数幂的乘法是：底数不变，指数相加。
即 a^m × a^n ＝ a^（m＋ n) 。
而幂的乘方是：底数不变，指数相乘。
即（a^m)＾n ＝a^（m×n) 。
通过对比可以发现，它们的关键区别在于指数的运算方式不同。
幂的乘方法则
幂的乘方法则幂的乘法是数学中的基本运算之一，它在代数学中有着重要的地位。
幂的乘法是指两个幂相乘的运算，其中一个幂作为底数，另一个幂作为指数。
在实际应用中，幂的乘法则有着广泛的应用，可以用来解决各种实际问题，因此对于幂的乘法则的掌握是非常重要的。
首先，我们来看一下幂的乘法的基本定义。
设a和b是任意实数，n和m是任意整数，则a的n次幂乘以a的m次幂等于a的n+m次幂。
这个定义可以用公式表示为，a^n a^m = a^(n+m)。
这个公式说明了幂的乘法规则，即相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。
这是幂的乘法的基本原理，也是我们进行幂的乘法运算时的基础。
接下来，我们来看一些实际的例子，以便更好地理解幂的乘法规则。
比如，我们要计算2的3次幂乘以2的5次幂的结果，根据幂的乘法规则，我们可以直接将底数2不变，指数3和5相加，得到2的8次幂。
这个例子展示了幂的乘法规则的具体运用，通过简单的计算，我们可以得到幂的乘法的结果。
除了整数幂的乘法外，幂的乘法规则也适用于分数幂和负数幂。
对于分数幂，我们可以利用指数的乘法规则，将分数幂化为整数幂，然后再进行幂的乘法运算。
对于负数幂，我们可以利用幂的倒数规则，将负数幂转化为其倒数的正数幂，然后再进行幂的乘法运算。
这些扩展的运用使得幂的乘法规则更加灵活和全面。
在实际问题中，幂的乘法规则也有着广泛的应用。
比如在物理学中，我们经常需要计算物体的功率，而功率的计算就涉及到幂的乘法规则。
在经济学中，我们也需要进行复利的计算，而复利的计算同样需要利用幂的乘法规则。
因此，幂的乘法规则在各个领域都有着重要的应用价值。
总之，幂的乘法规则是数学中的基本运算之一，它在代数学中有着重要的地位。
通过对幂的乘法规则的理解和掌握，我们可以更好地解决各种实际问题，提高数学运算的效率和准确性。
因此，对于幂的乘法规则的学习和掌握是非常重要的，也是我们学习数学的基础之一。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握幂的乘法规则，从而在数学学习和实际应用中取得更好的成绩和效果。
七年级同步第5讲：幂的运算(二) - 教师版
1、幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘． 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：()33---=-⎡⎤⎣⎦；()33-+-=⎡⎤⎣⎦． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．3、特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 4、运算法则：（1）同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）． （2）幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）．（3）积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 用式子表示为：()nn n ab a b =（n 是正整数）． （4）同底数幂相除．同底数幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m ，n 都是正整数）．（5）规定()010a a =≠；1p p a a -=（0a ≠，p 是正整数）．幂的运算（二）一、选择题1. 化简()()23x x -⋅--⎡⎤⎣⎦，结果是（） A ．6x - B ．6xC ．5xD ．5x -【答案】D【解析】()()23325=x x x x x -⋅---⋅=-⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂的运算，运算中注意式子符号．2. 下列各式计算过程正确的是（ ） A ．33336x x x x +==＋B ．333·2x x x = C ．350358··x x x x x ==＋＋D ．()32235x x x x +⋅-=-=-【答案】D【解析】A 的正确结果是32x ，B 的正确结果是6x ，C 的正确结果是159335··x x x x x ++==． 【总结】本题主要考查幂的运算的基本法则，熟练掌握相关法则．3. 下列计算：①()2525x x =；②()257x x ＝；③()5210x x ＝；④()752·x y xy =；⑤()1052·x y xy =；⑥()555x y xy =；其中错误的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】①②③本题主要考查幂的乘方运算，底数不变，指数相乘，①②错误；④⑤⑥主要考查积的乘方运算，底数相乘，指数不变，④⑤错误．【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．4. 下列计算中，运算错误的式子有（ ）（1）33354a a a -=；（2）2m m m x x x =＋；（3）62·3n m n m =＋；（4）12·m m a a a =＋＋．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】本题主要考查幂的运算和合并同类项相关知识，一定注意运算中是乘号还是加号，分清楚是幂的运算还是合并同类项计算，故（2）（3）错误．【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．5. 计算()()1009922-+-所得的结果是（）A ．－2B ．2C ．992-D ．992【答案】D【解析】原式=()1009999999999222222122-=⨯-=-⨯=． 【总结】本题在计算时要注意“奇负偶正”的运用．6. 计算()()()22b a a b b a ---的结果是（）A ．()5a b - B ．()5a b --C ．()6a b - D ．()6a b --【答案】B【解析】()()()()()()225252()()b a a b b a b a b c b a a b a b =---=-=-----． 【总结】本题在计算时要将底数全部化作相同，按照同底数幂的运算法则计算．7. 当n 是正整数时，下列等式成立的有（ ）（1）()22m m a a =（2）()22m m a a =（3）()22m m a a =- （4）()22mm a a =-A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】（1）（2）根据幂的乘方运算法则，正确；（3）正确，左侧式子确定为非负数；（4）不能确定正负．【总结】本题主要考查幂的乘方的运算及其逆用，注意法则的准确运用．8. 计算：()3211n n x x x -+⋅⋅的结果为（） A ．33n x + B ．63n x +C ．12n xD ．66n x +【答案】D【解析】()3211211322366()()n n n n n n x x x x x x -++-++++⋅⋅===【总结】本题主要考查同底数幂和幂的乘方的运算法则．9. 如果2339.48 1.5610=⨯，则20.3948=（ ）A ．1.56B ．0.156C ．0.0156D ．0.00156【答案】B【解析】()22220.394839.4810039.48100=÷=÷，由已知2339.48 1.5610=⨯，可知2320.3948 1.5610100 1.56100.156=⨯÷=÷=【总结】本题主要考查同底数幂相除的运算，但是要注意39.48与0.3948的关系．二、填空题（1）()()()()()235x x x x x -⋅-⋅-+-⋅-=________；（2）()()3223a b b a ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦=_________．【答案】（1）62x ；（2）0【解析】（1）原式()()666==2x x x -+-；（2）原式6666()()()()0a b b a a b a b =---=---=． 【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则．10. 计算：()()2003200422______-+-=．【答案】20032．【解析】原式=()200420032003200320032003222222122-=⨯-=-⨯=． 【总结】本题主要考查同底数幂运算法则的逆用，m n m n a a a +=⋅． 11. 计算：()()20052004232-+⨯-=_______________．【答案】20042．【解析】原式=()20042005200420042004200432232223222⨯-=⨯-⨯=-⨯=．【总结】本题一方面考查同底数幂运算法则的运用，另一方面考查负底数幂的运算．12. 比较大小：（1）()()422_____4--；（2）()()355_____3--．【答案】（1）=；（2）>．【解析】（1）因为()()42216416-=-=，，因此()()4224-=-；（2）因为()()3551253243125243-=--=-->-，，，因此()()3553->-．【总结】本题主要考查负底数幂的运算，当底数为负数，但指数是偶数时，结果为正数；当 底数为负数，但指数是奇数时，结果为负数．13. 计算：()32122n m n m ⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭=_______________．【答案】5142m n ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】原式=23511124222m n m n m n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，但是要注意先要将底数化为相同．14. 长为32.210⨯米，宽是41.510⨯厘米，高是2410⨯米的长方体的体积为____________．【答案】831.3210m ⨯【解析】421.510 1.510b cm m =⨯=⨯，322832.210 1.510410=1.3210V abh m ==⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【总结】本题一方面考查长方体的体积公式，另一方面考查同底数幂相乘的法则． 15. 若25m =，26n =，则212m n ++=_______________．【答案】360．【解析】()221222222222562360m n m n m n ++=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则．16. 已知2m a =，3n a =，则32m n a +=__________．【答案】72【解析】()()323232322372m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅=⨯=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，注意有时要对法则进行逆用．17. 若53022x y +-=，则432x y ⋅=_______________．【答案】8 【解析】由53022x y +-=，得253x y +=，故()()25252534322222228x y x y x y x y +⋅=⋅=⋅===． 【总结】本题一方面考查同底数幂的运算法则，另一方面考查整体代入思想的运用．18. 设503a =，404b =，305c =，比较a ，b ，c 的大小，用<号连接：________________．【答案】c a b <<．【解析】因为()105051033243a ===，()104041044256b ===，()103031055125c ===，所以c a b <<．【总结】本题主要考查如何运用幂的乘方将三个数字化作指数相同的幂的运算．19. 若111999a =，222111b =，则a 、b 的大小关系，用<号连接：_________________．【答案】a b <．【解析】因为()1112222111111b ==，又2999111<，所以a b <．【总结】本题主要考查如何运用幂的乘方将三个数字化作指数相同的幂的运算．20. 已知：227371998a b c ⋅⋅=，其中a 、b 、c 是自然数，则()2016a b c --=_________________．【答案】1【解析】因为3322737233719982337a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯，又a 、b 、c 是自然数，故可得111a b c ===，，，代入可得()20161111--=．【总结】本题一方面考查幂的乘方的逆用，另一方面考查对1998的分解．21. 你能比较两个数20092008和20082009的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n n +的大小(n 是自然数)，然后，我们分析1n =，2n =，3n =，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“>”、“=”、“<”号)①21____12；②32____23；③43____34；④54____45；⑤65____56…（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出1n n +和()1nn +的大小关系是_______． （3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20092008____20082009．【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>； （2）()111(2)(1)(2)n n n n n n n n n n ++⎧<+≤⎪⎨>+>⎪⎩；（3）>．【解析】通过代入数值进行计算后，发现其中的大小关系，再进行比对．三、简答题22. 计算： （1）()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-；（2）()()()()()2345a a a a a -⋅-⋅-⋅-⋅-； （3）()()()()n a ba b a b a b a b +++++个；（4）()()66666-⨯⨯-⨯⨯-．【答案】（1）5135-⨯；（2）15a -；（3）()na b +；（4）56-．【解析】（1）原式()5511=3355⨯-=-⨯；（2）原式()1515a a =-=-；（3）原式()n a b =+；（4）原式56=-．【总结】本题主要考查乘方的概念．23. 计算：（1）()()32422393m n m n +-；（2）()()32242433a b ab a ⋅-⋅；（3）()()()()32232238a b a a b -+⋅-⋅-；（4）()()()33223733345a a a a a a -⋅+-⋅-⋅．【答案】（1）4618m n ；（2）6424a b ；（3）6335a b -；（4）91211125a a --【解析】（1）原式4646469918m n m n m n =+=； （2）原式64646427324a b a b a b =-=； （3）原式63636327835a b a b a b =--=-；（4）原式9912912271612511125a a a a a =-+-=--．【总结】本题主要考查幂的运算，并作合并同类项运算，注意运算符号．24. 计算：()()()3421332229m n n m n m ⎡⎤----⎣⎦【答案】()11144m n -．【解析】原式=()()()()()46111141132832814499m n m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤-----=⨯⨯⨯-=-⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭． 【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则和积的乘方的运算法则，注意符号的变化．25. 计算：()()43242142x y x y ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【答案】()20256x y -+．【解析】原式=()()()()48122020661144256216x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+⋅-+=-⨯+=-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意符号的变化．26. 当n 是正整数时，求()()212222n n+-+⋅-.的值．【答案】0【解析】因为n 是正整数，所以2n 是偶数，21n +是奇数，所以()()2122122222n nn n ++-=--=，；所以原式=2212220n n +⋅-=．【总结】本题主要考查负底数幂的乘方，注意指数是奇数和偶数时的区别．27. 比较大小：20.4a =-，214b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()24c =-，214d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【答案】c d b a >>>．【解析】因为()2222114444c d ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以0c d >>；又因为2220.45a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，214b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以0a b <<，所以c d b a >>>．【总结】本题主要考查幂的乘方，计算时先确定正负，再根据有理数大小比较法则判断大小．28. 已知()432a =，()342b =，()423c =，()234d =，()324e =，试比较a 、b 、c 、d 、e的大小关系．【答案】c a b d e >===．【解析】根据幂的乘方运算法则，可得122a b d e ====；又()()4434242839a c ====，，可得c a >；由此c a b d e >===．【总结】本题主要是考查幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘．29. 计算：（1）1011000.254⨯；（2）()()200220030.1258-⨯-．【答案】（1）0.25；（2）8-．【解析】（1）原式=()1001001000.250.2540.2540.250.25⨯⨯=⨯⨯=；（2）原式=()()()()2002200220020.125880.125888⨯-⨯-=⨯-⨯-=-⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法和积的乘方运算的逆用．30. 计算：()()25331133223a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】()111312a b -． 【解析】原式=()()()()2231151113(3)3332312a b b a a b b a a b ⎛⎫⋅-⋅-⋅-⋅-=- ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意将底数化作相同．31. 已知：5n a =，3n b =，求()2nab -．【答案】225．【解析】()()()()()2222253225n n n n n ab ab ab a b ⎡⎤-===⋅=⨯=⎣⎦． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．32. 已知3m a =，2n a =，m 、n 是正整数且m n >．求下列各式的值：（1）()4m a ；（2）()3m n a +．【答案】（1）81；（2）216．【解析】（1）()44381m a ==； （2）()()()33332216m n m n a a a +=⋅=⨯=． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．33. 若15m x =，3n x =，求()42m n x +-的值． 【答案】9625． 【解析】原式=()()442424221935625m n m n m n x x x x x +⎛⎫=⋅=⋅=⨯= ⎪⎝⎭． 【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用．34. 已知4m a =，3n a =，22p a =，求324m n p a ++的值．【答案】2304【解析】()()()32232432423224322304m n p m n p m n p a a a a a a a ++=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=． 【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用以及整体思想的应用．35. 已知5x a =，25x y a +=，求x y a a +的值．【答案】10【解析】因为25x y x y a a a +=⋅=，由5x a =，可得5y a =，所以10x y a a +=．【总结】本题主要考查同底数相乘法则的逆用．36. 若2340x y +-=，求927x y ⋅的值．【答案】，【解析】由2340x y +-=，得234x y +=；所以()()232323492733333381x yx y x y x y +⋅=⋅=⋅===． 【总结】本题主要考查幂的乘方以及整体思想的应用．37. 已知：13205x y +-=，12305x y --=，求832x y ⋅．【答案】64． 【解析】由方程组1320512305x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可解得135x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以()()331535353565832222222264x y x y x y x y ⨯+⨯+⋅=⋅=⋅====．【总结】本题主要考查幂的乘方法则的运用．38. 已知22n a =，求()()223223nn a a -的值．【答案】20．【解析】原式=()()326422324343423220n n n n a a a a -=-=⨯-⨯=． 【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．39. 已知：232122192x x ++-=，求x ．【答案】52x =． 【解析】22121222192x x ++⋅-=2162642x +==52x = 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的逆用在解方程中的运用．40. 解方程：313333648x x ++-=-．【答案】1x =．【解析】31312333648x x ++-⋅=-3183648x +-⋅=- 3143813x +==1x =【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的逆用在解方程中的运用．41. 已知742521052m n ⋅⋅=⋅，求m n ，的值．【答案】23m n ==，．【解析】因为()()221742521052255252m n m n m n n ++⋅⋅=⋅⋅⨯=⋅=⋅，所以2714m n n +=⎧⎨+=⎩，则23m n =⎧⎨=⎩． 【总结】本题一方面考查同底数幂的相乘，另一方面考查积的乘方的逆用．42. 如果()2323k a b c+比()24582ka a a a bc ⎡⎤⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦的次数大1，那么k 的值是多少？【答案】1k =．【解析】因为第一个单项式次数为()()3232816k k +++=+，第二个单项式次数为 ()4582211617k k +++⨯++=+，依题意有()()8166171k k +-+=，解得1k =． 【总结】本题一方面考查单项式的次数的概念，另一方面考查同底数幂相乘的运算法则．43. 比较552，443，335，226这4个数的大小关系．【答案】334422555362>>>．【解析】因为()()()()111111115551144411333112221122323381551256636========，，，， 又125813632>>>，所以11111111125813632>>>，即334422555362>>>．【总结】本题主要是利用幂的乘方运算法则，将这些幂化作指数相同，比较底数大小即可．44. 比较1615与1333的大小关系．【答案】13163315>．【解析】因为16166415162<=，131********>=，又656422>，所以13163315>．【总结】本题主要考查两个数的大小比较方法，选取合适的中间量进行大小比较．45. 比较5553、4444、3335的大小．【答案】444555333435>>．【解析】因为()()()1111111115555111444411133331113=3=2434=4=2565=5=125，，，又256243125>>， 所以111111111256243125>>，即444555333435>>．【总结】本题主要考查几个数的大小比较，常用的方法是将它们化为底数相同或者是指数相同再进行比较．46. 已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小．【答案】a b c >>．【解析】因为()()()31416131412441312361212281332733933======，，，所以31416181279>>． 【总结】本题主要考查利用幂的乘方运算法则，将这些幂化作底数相同，比较指数大小即可．47. 若n 为不等式2003006n >的解，求n 的最小正整数值．【答案】n 的最小正整数值是15．【解析】因为2003006n >，即()()100100231006216n >=，故2216n >． 所以n 的最小正整数值是15．【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用．48. 已知：123n a ++++=，求代数式()()()()()122321n n n n nx y x y x y x y xy ---的值．【答案】a a x y ．【解析】原式=()()13211231n n n n a a x y x y +-+⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+-+⋅=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则以及整体代入思想的运用．49. 已知：22737471998a b c d ⋅⋅⋅=，其中a 、b 、c 、d 为自然数，求a b c d --+的值．【答案】1-．【解析】因为2273747199822737a b c d ⋅⋅⋅==⨯⨯，又a 、b 、c 、d 为自然数，所以 1110a b c d ====，，，，故11101a b c d --+=--+=-．【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用，另外注意01a =的运用．50. 已知2001200367M =+，2003200167N =+，试比较M 、N 的大小关系．【答案】M N >．【解析】因为()()()()20012003200320012001200122001220016767666777M N -=+-+=-⋅+⋅-20012001487356=⨯-⨯，又20012001483576>>，，所以20012001487356⨯>⨯．即200120014873560⨯-⨯>． 所以M N >．【总结】本题主要考查利用直接作差法来比较两个数的大小．。
几次幂的运算所有公式
几次幂的运算所有公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：几次幂是数学中常见的一种运算方式，它表示将一个数连续乘以自身多次。
在数学中，几次幂是一种非常常见的运算形式，它可以用来表示很多自然现象和数学问题。
在实际运用中，几次幂的计算涉及到很多公式和规律，下面我们就来看一看几次幂的运算公式。
1. 幂的定义在数学中，一个数的幂是将这个数连乘多次得到的结果。
以一个数a的n次幂为例，可以表示为a^n，其中a称为底数，n称为指数。
当指数n为正整数时，a^n表示把底数a连续乘以自身n次的结果。
2. 幂的性质几次幂有很多重要的性质，其中最重要的是乘方的运算法则，即：a^m * a^n = a^(m+n)，这条性质表明，若两个底数相同的幂相乘，指数相加。
基于这个性质，我们可以推导出很多有用的公式。
3. 幂的运算公式(1) 幂的乘法公式：a^m * a^n = a^(m+n)这是乘方的运算法则。
当两个底数相同的幂相乘时，指数相加。
例如：2^3 * 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128当两个不同底数的各自的幂相乘时，可以合并为一个底数。
(5) 幂的零次幂：a^0 = 1任何数的零次幂都等于1。
当一个数的幂的指数为负数时，可以将其化为倒数。
在实际的幂运算中，我们可以根据不同的情况来运用以上公式和规律。
在运算过程中，要注意底数和指数的关系，特别是在指数是奇数和偶数时的特点。
当指数是偶数时，幂的结果一定是正数，无论底数是正数还是负数；当指数是奇数时，底数的正负决定了幂的正负性。
当底数是分数或负数时，也可以应用以上的运算公式和规律。
5. 总结几次幂是数学运算中非常重要的一部分，它在解决实际问题和数学推导中有着广泛的应用。
掌握好幂的运算公式和规律，可以帮助我们更快更准确地完成各种数学运算。
希望通过本文的介绍，读者们对几次幂的运算有了更加深入的了解。
【具体细节和深入推导可在其他数学资料中查找学习】。
第二篇示例：几次幂是数学中常见的运算形式，表示一个数被自身相乘的次数。
指数幂运算有哪些法则和注意事项
指数幂运算有哪些法则和注意事项指数幂运算有以下法则和注意事项：
1. 乘法法则：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。
（a^m * a^n = a^(m+n)）
2. 除法法则：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方。
（a^m / a^n = a^(m-n)）
3. 幂的乘方：a的m次方的n次方等于a的m*n次方。
（(a^m)^n = a^(m*n)）
4. 幂的乘积：a的m次方乘以b的m次方等于（a*b）的m次方。
（(a^m) * (b^m) = (a*b)^m）
5. 零次幂：任何数（除了零本身）的零次幂都等于1。
（a^0 = 1）
6. 一次幂：任何数的一次幂都等于它本身。
（a^1 = a）
7. 其他数的幂：负数的幂和分数指数的幂需要引入更复杂的概念，计算时需要使用更详细的数学知识。
注意事项：
1. 底数（a）通常是正数，但也可以是负数或零。
2. 幂指数（m）通常是整数，但也可以是分数或负数。
3. 指数幂运算遵循乘法交换律和结合律，可以根据需要重新排列运算顺序。
4. 在进行指数幂运算时，考虑数值的大小和精度，以避免溢出或舍入误差。
5. 在计算复杂的指数幂时，可以使用计算器或计算软件来辅助进行精确计算。
请注意，以上情报仅供参考，具体情况还需根据实际问题和数学原理进行具体分析和推导。
实数指数幂运算法则
n
当n为奇数时， n a a;
当n为偶数时， n a
n
a
as at ast
运
算 法
as t ast
则
abs as bs
化负指数为正指数
化根式为分数指数幂
方
法
化小数为分数
规
律
遇乘积化同底或同指数幂
结果不能同时含有根号和分数指数幂
an
n a m n am
2
86
6 82
2
2
86 6 8 无意义
a为正数,用分数指数幂表示下列根式:
(1) 6 a 4 ; (2) 1 ; 3 a2
2
(1)6 a4 a 3 ;
(2)
1
2
a 3;
3 a2
复习初中学过的整数指数幂的运算法则： (1)a m a n a mn 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
为 n a，负的方根记为 n a;负数的偶数次方根
在实数范围内不存在。 (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记
为 n a，正数的奇数次方根是一个正数，负数的
奇数次方根是一个负数。
根式具有以下性质
(1)(n a )n a （a>0,n∈N+）
a
(2)n an
|a|
当n为奇数时 当n为偶数时
(2) am n amn
幂的乘方，底数不变，指数相乘
(3) ab n an bn 积的乘方，等于把积的各个因式分别乘方
其中（m、n Z）
计算练习 a3 a2 a5
a3 1 a3
3x3 2 9x6
a3 a5
1 a2
由 3 3 3
1
即32
1
正负数的乘方运算
正负数的乘方运算正负数的乘方运算是数学中的基础概念之一。
在这篇文章中，我们将探讨正负数的乘方运算的规则和性质，以及它在实际问题中的应用。
1. 正数的乘方首先，让我们来看正数的乘方运算。
当一个正数自乘多次时，结果将成倍增长。
例如，2的3次方可以表示为2^3，计算结果为2 × 2 × 2= 8。
正数的乘方运算符合以下规则：规则1：正数的乘方运算结果仍为正数。
规则2：正数的幂为0时，结果为1。
2. 负数的乘方接下来，让我们讨论负数的乘方运算。
负数的乘方与正数的乘方存在一些不同之处。
例如，(-2)的3次方可以表示为(-2)^3，计算结果为(-2) × (-2) × (-2) = -8。
负数的乘方运算符合以下规则：规则3：负数的奇数次幂结果为负数。
规则4：负数的偶数次幂结果为正数。
规则5：任何数的0次方等于1，包括负数。
3. 正负数的乘方当涉及到正负数的乘方运算时，要特别注意运算的顺序。
我们从以下几个例子来说明：例子1：(-2)^2 = (-2) × (-2) = 4例子2：-2^2 = -(2 × 2) = -4例子3：(-2)^3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8例子4：-2^3 = -(2 × 2 × 2) = -8由以上例子可见，括号的使用在正负数的乘方运算中尤为重要。
括号可以改变运算的优先级，从而得到不同的结果。
4. 实际应用正负数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些常见的例子：例子1：温度计温度计是测量气温的工具。
气温的正负可以表示为摄氏度或华氏度。
在华氏度中，负数乘方运算表示低于零度的温度。
例如，-10°F表示零下十华氏度。
例子2：电荷物理学中，电荷的正负用于表示电的正电荷和负电荷。
乘方运算在电荷的计算中起到重要的作用，特别是在电场的计算中。
例子3：金融金融领域中的负利率是一种特殊情况，也涉及到正负数的乘方运算。
2的负3次方计算过程
2的负3次方计算过程
2的负3次方等于八分之一。
解答过程如下：
（1）任何数的负几次方等于这个数的正次方的倒数。
表达式：a^(-b) = 1 / (a^b)。
（3）2^(-3) = 1 / (2^3) = 1/8 （八分之一）
当幂的指数为负数时，称为“负指数幂”。
正数a的-r 次幂(r为任何正数)定义为a的r次幂的倒数。
扩展资料：
正整数指数幂、负整数指数幂、零指数幂统称为整数指数幂。
正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然是成立的。
对于乘除和乘方的混合运算，应先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算。
同底数幂的乘法法则：同指数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m×a^n=a^(m+n)
同底数幂的除法法则：同指数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m÷a^n=a^(m-n)。
正数与负数的立方与立方根
正数与负数的立方与立方根在数学中，立方是指一个数的三次方，也就是一个数自乘三次的结果。
立方根则是指一个数的三次平方根，也就是找到一个数，使得这个数的立方等于给定的数。
在这个文章中，我们将探讨正数与负数的立方与立方根，并了解它们的特点和应用。
一、正数的立方和立方根1. 正数的立方对于正数来说，立方就是将这个正数自乘三次。
例如，2的立方是2 × 2 × 2 = 8，3的立方是3 × 3 × 3 = 27。
我们可以使用幂运算符（^）来表示立方，即2的立方可以表示为2^3，3的立方可以表示为3^3。
2. 正数的立方根正数的立方根是指找到一个数，使得这个数的立方等于给定的正数。
常用的符号表示立方根是∛。
例如，8的立方根就是2，因为2 × 2 × 2= 8。
二、负数的立方和立方根1. 负数的立方对于负数来说，立方就是将这个负数自乘三次。
例如，-2的立方是-2 × -2 × -2 = -8，-3的立方是-3 × -3 × -3 = -27。
同样地，我们可以使用幂运算符（^）来表示负数的立方。
2. 负数的立方根负数的立方根是指找到一个数，使得这个数的立方等于给定的负数。
与正数的立方根类似，负数的立方根仍然可以用∛符号来表示。
然而，与正数不同的是，存在多个复数解，而不仅仅只有一个实数解。
例如，-8的立方根可以有两个解：-2和复数解2∛(-1)。
三、正数与负数立方与立方根的特点和应用1. 特点：- 正数的立方永远是正数，负数的立方永远是负数。
- 正数的立方根和立方是正数，负数的立方根可能是实数或复数。
2. 应用：- 正数的立方和立方根常常应用在几何题和物理问题中。
- 负数的立方和立方根在代数方程和复数中起到重要作用，如求解方程x^3 = -8。
在数学中，正数与负数的立方和立方根有其独特的特点和应用。
无论是正数还是负数的立方与立方根，它们在许多领域中都有着广泛的应用。
正数幂与负数幂
正数幂与负数幂在数学中，我们经常遇到幂的概念。
幂是数学中的一种运算方式，它表示一个数被自身乘若干次的结果。
从幂的定义可以看出，幂可以分为正数幂和负数幂两种。
正数幂是指一个数被自身乘以正整数次的结果。
我们用x的n次幂表示为x^n。
其中，x是底数，n是指数。
例如，2的3次幂可以写作2^3，表示2乘以自身3次，结果为8。
正数幂是正整数次数的重复运算，很容易理解。
负数幂则需要更深入地探讨一下。
当指数为负数时，我们需要借助倒数的概念来解释负数幂。
假设x的n次幂为x^n，那么x的负n次幂可以表示为1/x^n。
也就是说，x的负n次幂等于1除以x的n次幂。
例如，2的-2次幂可以写作2^-2，根据定义，2^-2等于1/2^2，即1/4。
理解了倒数的概念，我们就能明白负数幂的含义。
正数幂和负数幂之间有一些特殊的性质。
首先，对于正数x和任何整数n，x^0等于1。
这是因为任何数的0次幂都等于1，无论这个数是多少。
其次，对于正数x和任何整数n，x^1等于x。
这个性质也比较容易理解，任何数的1次幂都等于它本身。
接下来，我们探讨一下幂的运算法则。
对于正数x和自然数m、n，有以下几个运算法则：1. 乘法法则：x^m * x^n = x^(m+n)。
这个法则表示同底数幂相乘时，可以将指数相加得到新的指数。
2. 除法法则：x^m / x^n = x^(m-n)。
这个法则表示同底数幂相除时，可以将指数相减得到新的指数。
3. 乘方法则：(x^m)^n = x^(m*n)。
这个法则表示同一数的幂的幂，可以将指数相乘得到新的指数。
这些运算法则对于正数幂和负数幂都适用。
其实，对于负数幂的情况，我们可以利用倒数的概念和运算法则来处理。
例如，2^(-3)可以写作1/2^3，利用除法法则，可得1/2^3 = 1/8。
正数幂与负数幂在数学中有广泛的应用。
在物理学和工程学中，幂的概念用于描述物理量的变化规律，例如速度的平方、体积的三次方等。
在金融学中，幂的概念用于计算复利和利息等问题。
底数互为倒数的幂的乘法中负数的运算方式
底数互为倒数的幂的乘法中负数的运算方式数学中，幂是一个基础的数学概念。
对于一个幂，我们通常用底数和指数来表示。
如果底数为正数，那么我们可以直接计算出幂的值。
但是，当底数为负数时，我们需要考虑如何计算幂，尤其是当底数互为倒数时。
在这篇文章中，我们将讨论底数互为倒数的幂的乘法中负数的运算方式。
首先，让我们回顾一下幂的定义。
幂是将一个数乘以自身若干次的结果。
例如，2的3次幂可以表示为2×2×2，即8。
在这个例子中，2是幂的底数，3是幂的指数，8是幂的值。
当底数为正数时，我们可以直接计算幂的值。
但是，当底数为负数时，我们需要考虑如何计算幂，尤其是当底数互为倒数时。
下面我们将分别讨论这两种情况。
一、底数为负数，指数为整数当底数为负数，指数为整数时，我们可以采用以下方法计算幂的值：1.首先，将底数绝对值求出来。
2.然后，对底数绝对值求指数幂。
3.最后，根据底数的符号，确定幂的符号。
比如，(-2)的3次幂可以这样计算：1.将底数绝对值求出来，即2。
2.对底数绝对值求指数幂，即2的3次幂为8。
3.根据底数的符号，确定幂的符号，即结果为-8。
二、底数互为倒数，指数为整数当底数互为倒数，指数为整数时，我们可以采用以下方法计算幂的值：1.先将一个负数转化为正数并计算，再将结果取相反数。
2.或者，直接将乘法转化为除法，然后计算结果。
比如，(-2)的4次幂和2的-4次幂可以这样计算：1.(-2)的4次幂可以转化为(-1/2)的4次幂，再将结果取相反数。
然后，使用前面讨论过的方法计算(-1/2)的4次幂，即先将底数绝对值求出来，再对底数绝对值求指数幂，最后根据底数的符号确定幂的符号。
计算结果为1/16，然后将其取相反数，即-1/16，即(-2)的4次幂为-1/16。
2.2的-4次幂可以转化为1/(2的4次幂)，然后计算结果。
2的4次幂为16，因此2的-4次幂为1/16。
三、底数为负数，指数为分数当底数为负数，指数为分数时，我们可以采用以下方法计算幂的值：1.首先，将底数绝对值和指数绝对值都求出来。
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正数与负数的幂运算
幂运算是数学中常见的运算方式之一，它可以将一个数值以指数的形式进行表示。
在幂运算中，正数和负数的乘方运算有着不同的特性和规律。
本文将对正数与负数的幂运算进行探讨，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 正数的幂运算
正数的幂运算即将一个正数作为底数，一个正整数作为指数，进行乘方运算。
例如，2的3次幂表示为2³，即2的立方，结果为8。
正数的幂运算遵循以下规律：
1.1. 正数的任意次幂仍为正数。
无论指数的大小，正数的幂运算结果始终为正数，其绝对值随着指数的增大而增大。
1.2. 正数的幂运算结果随指数的奇偶性而变化。
当指数为偶数时，正数的幂运算结果为正数；当指数为奇数时，正数的幂运算结果为正数的相反数。
1.3. 正数的幂运算遵循乘法法则。
即，m的n次幂乘以m的k次幂等于m的n加k次幂。
例如，2的3次幂乘以2的2次幂等于2的5次幂。
2. 负数的幂运算
负数的幂运算涉及了对负数的乘方运算，其特性与正数的幂运算有所不同。
熟悉负数的幂运算对于解决实际问题具有重要意义。
2.1. 负数的偶次幂为正数。
例如，(-2)的4次幂表示为(-2)⁴，结果为16。
无论指数的大小，负数的偶次幂运算结果均为正数。
2.2. 负数的奇次幂为负数。
例如，(-3)的3次幂表示为(-3)³，结果为-27。
负数的奇次幂运算结果为负数。
2.3. 负数的幂运算遵循乘法法则。
与正数的幂运算类似，负数的幂运算也满足乘法法则，即m的n次幂乘以m的k次幂等于m的n加k 次幂。
3. 幂运算的应用
幂运算在数学和实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：
3.1. 科学计算。
幂运算在物理学、化学、工程学、计算机科学等领域中被广泛应用，用于解决复杂的计算问题和建模。
3.2. 金融领域。
幂运算在复利计算、财务分析和投资回报率计算等金融问题中起着重要作用。
3.3. 自然现象建模。
幂运算常用于模拟自然界的物理现象，如光线传播、声音传播、物质分解等。
3.4. 统计学和概率论。
幂运算在统计学和概率论中常用于计算概率分布、方差、期望值等。
总结：
正数与负数的幂运算涉及不同的规律和特性。
正数的幂运算结果始终为正数，而负数的幂运算结果根据指数的奇偶性决定。
无论是正数还是负数的幂运算，都遵循乘法法则。
幂运算在各个领域中有着广泛的应用，它的理解和掌握对于解决实际问题具有重要意义。
通过深入研究正数与负数的幂运算，我们可以更好地理解和应用这一概念，进一步拓展数学知识的广度和深度。