对数函数知识点及典型例题讲解

对数函数知识点

1．对数：

(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．

② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：

① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：

① log a (MN)＝___________________________； ② log a N

M ＝____________________________；

③ log a M n

＝ (n ∈R).

④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)

⑤ log m n

a a n

b b m = .

2．对数函数：

① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；

4) 函数x y a log =与函数

)1,0(≠>=a a a y x

且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<a 时，图象向下无限接近y 轴)；

4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：

例1 计算：（1）)32(log

3

2-+

（2）2(lg 2)2

+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2

+-;

（3）21

lg 4932-3

4

lg 8+lg 245.

例2 比较下列各组数的大小. （1）log 33

2与log 55

6;

2）log 1.10.7与log 1.20.7;

（3）已知log 2

1b ＜log 2

1a ＜log 2

1c,比较2b

,2a

,2c

的大小关系.

例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.

函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.

例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与 （1）证明:点C 、D 和原点O

（2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.

1解：（1）方法一

设)32(log

3

2-+

=x,(2+3)x

=2-3=

3

21+=（2+3）-1

,∴x=-1.

方法二

)32(log 32-+=32log +

3

21+=3

2log

+(2+3)-1

=-1.

（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2

+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1|=lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=2

1（lg32-lg49）-3

4lg82

1+2

1lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+2

1 (2lg7+lg5)

=2

5lg2-lg7-2lg2+lg7+2

1lg5=2

1lg2+2

1lg5

=2

1lg(2×5)= 2

1lg10=2

1.

2解：（1）∵log 33

2＜log 31=0,而log 55

6＞log 51=0,∴log 33

2＜log 55

6.

(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞2.1log 1.1log

7.00.7>,2

.1log 11

.1log 17.07.0<

,

即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.

方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 2

1log 为减函数，且c a b 2

12

12

1

log log log <<,

b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c

.

3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0.

|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数，

∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立.

只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+

∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数.x ∈［3，+

|f(x)|=-f(x)≥-log a 3.

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+

只要-log a 3≥1

log a 3≤-1=log a

a

1

,即a 1≤3,∴31≤a ＜1.

综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［3

1

，1）. 例4（1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2.

因为A 、B 在过点O 的直线上，所以2

2

8118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2),

由于log 2x 1=

2

log log 81

8x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=

1

1

8112log 3log x x x x =,

OD 的斜率为,log 3log 2

2

82222x x x x k ==

由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.

（2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=3

1

log 2x 2,x 2=x 3

1,x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 3

1log 8x 1=3x 1log 8x 1,

由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 3

1=3x 1,x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).