2021-2022学年浙教版新九年级暑期数学精品讲义-第十五讲 图形的旋转(教师版)

第十五讲图形的旋转3.2图形的旋转【学习目标】1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.【基础知识】一、旋转的概念一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：(1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离相等；(3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.三、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.【考点剖析】例1．如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据平移的定义和旋转的性质进行判断．解：A．由平移变换得到，故本选项不合题意；B．由轴对称变换得到，故本选项不合题意；C．由旋转变换得到，故本选项符合题意；D．由轴对称变换和旋转变换得到，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】此题考查平移的定义和旋转的性质，解答此题要明确平移和旋转的性质：（1）平移：①经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；②平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．（2）旋转：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．例2．下面四个图案中,不能由基本图案(图中阴影部分)旋转得到的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】寻找基本图形，旋转中心，旋转角，旋转次数，逐一判断.A.可由一个基本花瓣绕其中心经过7次旋转，每次旋转45度得到；B. 可由一个基本菱形绕其中心经过5次旋转，每次旋转60度得到；C. 可由一个基本花瓣绕其中心旋转180度得到；D. 不能由基本图案旋转得到；故选D.【点睛】此题主要考察旋转设计图案.例3．等边三角形与它本身重合，需绕着它的三边中线的交点旋转至少（）.A．60°B．180°C．360°D．120°【答案】D【解析】试题解析：如下图，△ABC为等边三角形，点O为三边中线的交点，那么∠EOG=∠GOF=∠EOF，所以△ABC 旋转120°即可与本身重合．故选D.例4．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A'B'C'，则旋转中心的坐标是（）A．(1，1) B．(1，﹣1) C．(0，0) D．(1，﹣2)【答案】A【解析】对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心,然后直接写成坐标即可．【详解】解：如图点O′即为旋转中心，坐标为O′(1，1) ．故答案为A．【点睛】本题主要考查了旋转中心的确定方法，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．△，则下列说法中，不正确的是（）例5．如图，将ABC绕点A逆时针旋转60︒得到AB C''A ．60CAB '∠=︒B ．BAB CAC ''∠=∠ C ．ABC AB C ''△≌△D ．AB AB '= 【答案】A【解析】 由旋转的性质可得△ABC ≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，AB ＝AB'，即可分析求解．【详解】∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△AB′C′，∴△ABC ≌△AB'C'，∠BAB'＝∠CAC'＝60°，∴AB ＝AB'，∠CAB'＜∠BAB'＝60°，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，熟练运用旋转的性质是关键．例6．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB ，则旋转角的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°【答案】C【解析】 根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB ，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角，即可解答．【详解】解：如图，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=65°，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°∴旋转角的度数为50°故选：C【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．例7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC 的中点，P是A′B′的中点，连接PM．若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】如图：连接PC，先在直角三角形ABC中求得AB=4，然后根据旋转的性质可得A′B′=AB=4，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得PC=2，最后根据PM≤PC+CM结合CM=1即可解答．【详解】解：如图：连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∵A′P=PB′，∴PC=12A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为B．【点睛】本题主要考查旋转变换、解直角三角形、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，正确添加辅助线、灵活利用三角形的三边关系求最值是解答本题的关键．例8．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OCCD的值为（）A．12B．13C3D2【答案】D 【解析】根据旋转得出∠NCE＝75°，求出∠NCO，设OC＝a，则CN＝2a，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM ＝MN＝x，由勾股定理得出x2+x2＝（2a）2，求出x＝2a，得出CD＝2a，代入求出即可．【详解】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，∴∠ECN＝75°，∵∠ECD＝45°，∴∠NCO＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ONC＝30°，设OC＝a，则CN＝2a，∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，∴△CMN也是等腰直角三角形，设CM＝MN＝x，则由勾股定理得：x2+x2＝（2a）2，x＝2a，即CD＝CM＝2a，∴OCCD＝2aa＝22，故选：D．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．例9．如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的，把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合，则旋转的角度为（）A．45°或90°B．90°或180°C．180°或270°D．n·45°（1≤n≤8，且n为正整数）【答案】D【解析】直接利用旋转的性质结合正方形的性质得出各内角度数，进而判断得出答案．【详解】这个图形平分成8部分，则旋转的最小角度是3608=45°，或45度的整数倍能够与原来的图形重合故选D【点睛】本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法．【过关检测】一、单选题1．如图所示的图形中，是旋转对称图形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】旋转对称图形的有①、②、③．故选C.【方法点睛】图形①可抽象出正六边形，图形②可抽象出正五边形，图形③可抽象出正六边形，而④中为等腰三角形，然后根据旋转对称图形的定义进行判断．2．如图所示图形旋转一定角度能与自身重合，则旋转的角度可能是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】C【解析】这个图形平分成4部分，则旋转的最小角度是3604︒=90°，或90度的整数倍能够与原来的图形重合．【详解】解：依题意可得旋转的角度是3604︒=90°．故选C．【点睛】本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法．3．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是()A．时针不动，分针旋转了6°B．时针不动，分针旋转了30°C．时针和分针都没有旋转D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小【答案】D【解析】【解析】根据时钟钟面上秒针绕中心旋转了180°，经过30秒，分针旋转的角度可以计算得出，时针旋转的角度很小。

【详解】时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，分针旋转了360°÷60×12＝3°，时针旋转的角度很小．故选D.【点睛】本题主要考查旋转的定义，结合日常生活中的钟表来计算。