常见空间曲面的参数方程

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2021研究生考试-高等数学考点解读及习题特训

点马的去心邻域，记作。（凡，肉，即
） U(Pc,,8) = {<x,y)IO < �（x-x0 问y-yo )2 ＜δ
(1）内点 (2）外点 (3）边界点开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集．
二、多元函数的概念
二元函数：设D是 R2 的一个非空子集，称映射 f:D →R为定义在D上的二元函数，通
no
＋飞．，， z
在 xOy 面上的投影方程．
y 求｛匕的交线 C
案 UA抽
zx＝． fl4111、
y 2 －叮／缸
nu
－y叫／－
AU
在古I) 例4设一个立体由上半球面 z＝乒三亨利恍而 z＝
所围成，求它在 xOy
而上的投i；在．
答案
zx rlll〈lll
2 －
E
VJ
、，．
＝ AU
【旋转曲面方程求法】
IF(x,y)=O
( 1)坐标面上的曲线｛ I z=v
绕x轴旋转的曲面方程为 F(x，土石可？°）＝0;
绕y轴的旋转曲面方程为 F（±乒亏豆，y)=O.
I F(x,y,z) = 0,
Ix= /(z),
l lY (2）空间曲线｛ G(x,y,z) = 0, 绕z轴旋转的曲面方程，先从方程组中解出｛
xα 面上的投影．
习题10.求旋转抛物面 z=r+y(O 三z 三4）在三坐标面上的投影．
习题参考答案
习题1【答案】 x+y-3z-4=0. 习题2【答案】 9y-z-2=0. 习题3【答案】一x-一-20－＝一y一-3 2一＝一z-一1 4－．
习题4【答案】 Sx- 9y- 22z -59 = 0.
lf(x,y)-AI < e

曲线与曲面的参数方程

曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有着重要的应用。

本文将介绍曲线与曲面的参数方程，以及它们在实际问题中的应用。

一、曲线的参数方程曲线是平面或空间中的一条连续的线段，它可以用参数方程来表示。

参数方程是指将曲线上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。

对于二维平面曲线，参数方程通常形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，f(t)和g(t)是与参数t有关的函数。

通过不同的参数t取值，可以得到曲线上的各个点，从而描述整个曲线。

举个例子，考虑单位圆的参数方程。

圆的方程为x² + y² = 1，而参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)其中，参数t的取值范围为0到2π。

当t取0时，x = cos(0) = 1，y= sin(0) = 0，即得到圆的右端点；当t取π/2时，x = cos(π/2) = 0，y =sin(π/2) = 1，即得到圆的上端点；依此类推，当t取2π时，又得到圆的右端点，从而完成了整个圆的参数方程描述。

二、曲面的参数方程曲面是空间中的一片连续的平面区域，它可以用参数方程来表示。

参数方程是指将曲面上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。

对于三维空间中的曲面，参数方程通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u和v为参数，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是与参数u和v有关的函数。

通过不同的参数u和v的取值，可以得到曲面上的各个点，从而描述整个曲面。

举个例子，考虑球面的参数方程。

球面的方程为x² + y² + z² = r²，而参数方程为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r c osθ其中，r为球的半径，θ为极角，范围是0到π，φ为方位角，范围是0到2π。

空间曲线及其方程

当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
螺距 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
（以后在求三重积分和曲面积分时需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影）
z
问题：求已知曲线C在xoy面上的 C •( x, y, z)
投影曲线C的方程.
注意：一个点与其在xoy面上的投影点的x,y坐标相同.
o
y
x C •( x, y,0)
所以求曲线在xoy面上的投影曲线的方程就是求原曲线上点x,y坐标的关系.
z
o 1y x
要点:
第四节空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程:
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
空间曲线可看作两个曲面的交线.
x x(t)
空间曲线的参数方程:
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影: 注意一个点与其投影
点的x,y 坐标相同.
消去变量z 得：H ( x, y) 0 投影柱面
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可看作两个空间曲面的交线.
曲面S1 : F ( x, y, z) 0 曲面S2 : G( x, y, z) 0
曲线C
:

大学数学_7_4 曲面与曲线

z
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升，( , v都是常数) ，则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线（7-35），试建立其参数方程. z 解取时间 t 为参数，设t 0 时动点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面），在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b

空间曲线与曲面的参数方程

空间曲线与曲面的参数方程空间曲线和曲面是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

曲线和曲面的参数方程是一种描述它们的有效方法。

本文将介绍空间曲线和曲面的概念，并详细讨论它们的参数方程表示。

一、空间曲线的参数方程空间曲线是由一系列点组成的，这些点在三维坐标系中具有一定的规律和特点。

为了描述和研究这些曲线，我们需要引入参数方程。

一个常见的空间曲线的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示点在三维坐标系中的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是一个或多个关于参数t的函数。

例如，我们考虑描述一个处于平面上的圆的参数方程：x = r*cos(t)y = r*sin(t)z = 0其中，r是圆的半径，t是参数，范围一般取决于所研究的具体问题。

二、空间曲面的参数方程空间曲面是可以用曲面方程描述的几何实体，它由一系列点构成，这些点与曲面方程满足一定的关系。

为了研究和描述曲面，我们引入曲面的参数方程。

一个常见的空间曲面的参数方程形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示点在三维坐标系中的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是一个或多个关于参数u和v的函数。

例如，我们考虑描述一个球体的参数方程：x = R*sin(u)*cos(v)y = R*sin(u)*sin(v)z = R*cos(u)其中，R是球体的半径，u和v是参数，u的范围一般取[0,π]，v的范围一般取[0,2π]。

三、应用举例1. 机械工程中的齿轮曲面齿轮是机械传动中常用的装置，它的曲面形状可以用参数方程描述。

齿轮的曲面参数方程可以根据其几何特性和设计要求进行推导和计算。

2. 物理学中的光学曲面在光学研究中，曲面的形状对于光的传播有着重要的影响。

光学曲面的参数方程可以帮助我们计算光的传播路径和光线的反射、折射等特性。

空间曲线与曲面的参数方程与性质

空间曲线与曲面的参数方程与性质空间曲线和曲面是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍空间曲线和曲面的参数方程以及它们的性质。

一、空间曲线的参数方程与性质空间曲线是指在三维空间中由一组点构成的连续曲线。

为了描述和研究曲线的性质，可以使用参数方程来表示曲线上的点的坐标。

设曲线上的点的坐标为(x, y, z)，曲线的参数为t，则曲线的参数方程可以表示为：x=f(t)y=g(t)z=h(t)其中f(t)，g(t)，h(t)是t的函数，且在t的定义域上连续可导。

空间曲线的参数方程可以灵活地描述曲线的形状，在计算和分析上也更具优势。

根据具体的问题和曲线的特点，可以选择不同的参数方程来表达。

根据参数方程，可以计算曲线上各个点的切向量、曲率、弧长等性质。

切向量表示曲线在该点的切线方向，曲率描述曲线在该点的弯曲程度，而弧长则是曲线上两个点之间的距离。

二、空间曲面的参数方程与性质空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的连续曲面。

为了描述和研究曲面的性质，同样可以使用参数方程来表示曲面上的点的坐标。

设曲面上的点的坐标为(x, y, z)，曲面的参数为u和v，则曲面的参数方程可以表示为：x=f(u, v)y=g(u, v)z=h(u, v)其中f(u, v)，g(u, v)，h(u, v)是u和v的函数，且在参数域上连续可导。

空间曲面的参数方程可以将曲面分解成u和v两个变量的函数，对于复杂的曲面，参数方程的使用相对简单和便捷。

通过参数方程可以计算曲面上各个点的法向量、曲率、面积等性质。

法向量表示曲面在该点的法线方向，曲率描述曲面在该点的弯曲程度，而面积则是曲面上某一区域的大小。

三、空间曲线与曲面的参数方程的关系与应用空间曲线和曲面的参数方程之间存在密切的联系。

实际上，曲线可以被看作是曲面上的一条特殊轨迹。

通过曲线的参数方程，可以确定曲线在曲面上的位置和方向。

而通过曲面的参数方程，可以描述曲线所在的曲面的形状和性质。

第四节曲面及其方程

1 h2 b2
— —椭圆
y h
(b h b)
YZc z h
y
-b
a XY
b
x
-c
1
. S位椭置：ax
2 2
by一22、椭球cz面22 1
3. 注意
(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上运动，且这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；
4
4
S是由曲线y2 z2 1绕Y轴而成的旋转曲面。 4
z
y x
2. 在ZOX 平面内曲线Cf：(x, z) 0
y0
①绕X轴旋转
②绕Z轴旋转
f (x, y2 z2 ) 0
f ( x2 y2 , z) 0
例：作S：x2 y2 z2 1的草图。
xz
解：原式 x2 ( y2 z2 )2 1
2. 截痕(作图) S椭关于各坐标面、轴和原点对称。
S椭
YOZ
交线
YZ
： by
2 2
z2 c2
1
x 0
YZc z h y
S椭
XOY
交线
XY
： ax
2 2
y2 b2
1
z 0
-b x
a XY -c
b
一、椭球面S椭：ax
2 2
y2 b2
z2 c2
1
S椭
：y
h
交线
h： ax
2 2
z2 c2
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
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空间区域在坐标平面上的投影草图画法

曲面参数方程

曲面参数方程曲面参数方程是描述曲面形状的一种数学方法，它通过一组参数来表示曲面上的点的坐标。

通过曲面参数方程，我们可以轻松地描述和理解各种复杂的曲面形态，为几何学、物理学和工程学等领域提供了重要的数学工具。

曲面参数方程的一般形式是：x(u, v) = f(u, v)y(u, v) = g(u, v)z(u, v) = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上某点的x、y、z坐标，而u和v则是参数。

在二维情况下，u和v通常表示平面上的两个坐标轴，比如水平和垂直轴；而在三维情况下，u和v可以代表空间中的任意两个变量。

曲面参数方程的优点在于它可以描述出各种形状复杂的曲面，比如球面、圆柱面、双曲面等。

以球面为例，我们可以通过参数u和v来表示球面上的每个点。

当u和v的取值范围分别为0到2π和0到π时，这个参数范围可以覆盖整个球面的每一个点。

通过调整u和v的取值，我们可以得到球面上的任意一个点的坐标。

曲面参数方程在几何学中有广泛的应用。

通过曲面参数方程，我们可以计算曲面的曲率、法向量等几何属性，从而更好地了解曲面的形态特征。

在物理学中，曲面参数方程则被用来描述各种物体的外形。

比如，在工程学中，我们可以通过曲面参数方程来描述船体的曲面形状，帮助设计师更好地理解和调整船体的外形。

曲面参数方程的使用也需要一定的技巧和经验。

在选择合适的参数范围和函数时，需要注意避免参数的奇点和函数的不光滑性，以确保参数方程的正确性和可用性。

此外，在计算机图形学和计算机辅助设计等应用中，我们还会遇到曲面的离散化表示和插值等问题，需要通过数值方法和算法来处理。

总之，曲面参数方程是一种强大而灵活的数学工具，它能够以简洁的方式描述和分析各种曲面形状。

通过深入理解和掌握曲面参数方程的原理和应用，我们可以更好地应对各种实际问题，为各个领域的研究和应用提供有力支持。

无论是从几何学的角度，还是物理学、工程学的视角，曲面参数方程都具有重要的指导意义，值得我们深入研究和探索。

曲线与曲面的参数方程

曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中非常重要的概念，我们在生活中也可以发现许多物体的形状都可以用曲线与曲面来描述。

这篇文章将介绍曲线与曲面的参数方程，为大家解答这个问题。

一、曲线的参数方程曲线是指在平面或空间中的一条连续的线，因为曲线有弯曲和曲度的特性，所以需要用一种方法来描述它的特性。

参数方程就是一种常用的描述曲线特性的方法。

曲线的参数方程可以用一组参数来表示曲线上的每个点的位置，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$$这就是二维平面曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$ 和$g(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。

例如，坐标系上的圆可以用以下参数方程来表示：$$\begin{cases}x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{cases}$$其中 $r$ 是圆的半径，$t$ 的取值范围是 $0\leq t<2\pi $。

当$t=0$ 时，表示圆的起点，当 $t=2\pi$ 时，表示圆的终点。

因为$t$ 是参数，所以可以用不同的参数方程来描述同一个曲线，例如：$$\begin{cases}x=r\cos \omega t \\ y=r\sin \omega t \end{cases}$$其中 $\omega$ 是常数，这也是描述圆的参数方程，只不过经过了缩放，并且运动速度变快了。

同样，空间中的曲线也可以用参数方程来表示，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t) \end{cases}$$这就是三维空间中曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$、$g(t)$ 和 $h(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。

例如，直线的参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量。

几种常见的曲面及其方程()

2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
o
y
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
z
z
ay x
x 2 y 2 ax z0
M ( x, y, z )
C
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x 2 y 2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L

M (0, y, z )
y
两边平方
x
2
z a (x y )
2
2
2
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线所围圆域: x y 1, z 0 .

空间中的曲面和曲线及二次曲面

33

第六章二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a

第六章二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面当a = b = c = R时——半径为R的球面
23

空间曲面方程总结

空间曲面方程总结空间曲面方程是描述三维空间中的曲面形状的数学方程。

它们可以表示为解析形式或参数形式，用于描述物体的外形、表面特征等。

一、解析形式的空间曲面方程1. 平面方程：平面可以用一般式方程 Ax + By + Cz + D = 0 来表示，其中 ABC 是平面的法向量的分量，D 是平面的距离常数。

2. 球面方程：球面的一般式方程为 (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z -c)^2 = r^2，其中 (a，b，c) 是球心的坐标，r 是球的半径。

3. 圆柱面方程：圆柱面可以用方程 (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 来表示，其中 (a，b) 是圆柱面在 xy 平面上的圆心坐标，r 是圆柱面的半径。

4. 锥面方程：锥面可以用方程 (x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 0 来表示，其中 a、b、c 是常数。

5. 双曲面方程：双曲面可以用方程 (x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 =1 或 (x/a)^2 - (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1 来表示，其中 a、b、c 是常数。

二、参数形式的空间曲面方程1. 曲线的参数方程：曲线可以用参数方程 x = f(t)，y = g(t)，z= h(t) 来表示，其中 t 是参数，f(t)、g(t)、h(t) 是与 t 有关的函数。

2. 曲面的参数方程：曲面可以用参数方程 x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v) 来表示，其中 u、v 是参数，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v) 是与 u、v 有关的函数。

参数方程常用于描述比较复杂的曲面。

三、参考内容1. 《高等数学》（上、下册），朱大岩、霍建华、赵承全编著，高等教育出版社。

2. 《线性代数与解析几何》（第四版），邓西亮、朱复进编著，高等教育出版社。

3. 《解析几何与线性代数》（第三版），王力编著，高等教育出版社。

空间曲线与曲面的参数方程

空间曲线与曲面的参数方程在数学中，空间曲线和曲面的参数方程用于描述曲线和曲面上的点的位置。

参数方程给出了曲线或曲面上的点的坐标与参数之间的关系，对于研究物体的形状和运动具有重要的意义。

一、空间曲线的参数方程空间曲线是在三维空间中的一条曲线，可以用参数方程来进行描述。

设曲线上一点的坐标为(x,y,z)，参数为t，则坐标与参数之间的关系可以表示为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)这样，随着参数t的取值变化，我们可以得到曲线上的各个点的坐标。

常见的参数方程包括直线、圆等。

以直线为例，如果我们知道直线上一点的坐标为(x1,y1,z1)，并且直线的方向向量为(a,b,c)，则直线的参数方程可以表示为：x = x1 + aty = y1 + btz = z1 + ct二、曲面的参数方程曲面是在三维空间中的一个二维曲面，同样可以用参数方程进行描述。

设曲面上一点的坐标为(x,y,z)，参数为(u,v)，则坐标与参数之间的关系可以表示为：x = x(u,v)y = y(u,v)z = z(u,v)通过改变参数u和v的取值，我们可以得到曲面上的各个点的坐标。

常见的曲面参数方程包括球面、圆柱面、锥面等。

以球面为例，如果球心坐标为(x0,y0,z0)，半径为r，则球面的参数方程可以表示为：x = x0 + r*sin(u)*cos(v)y = y0 + r*sin(u)*sin(v)z = z0 + r*cos(u)其中，u的取值范围为[0,π]，v的取值范围为[0,2π]，通过改变u和v的取值，我们可以得到球面上的各个点的坐标。

综上所述，空间曲线和曲面的参数方程是描述曲线和曲面上点的位置的一种数学工具。

通过确定合适的参数方程，我们可以对曲线和曲面进行研究和分析，揭示它们的几何性质和运动规律。

几种常见的曲面及其方程(精)

方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2

y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0

高等数学空间曲面各种类型及方程

高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，其中涵盖了许多复杂的数学概念和理论。

其中，空间曲面是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。

本文将系统地介绍高等数学中空间曲面的各种类型及其方程。

一、空间曲面的定义空间曲面指的是三维空间中的曲线的集合，也就是说，它是由参数方程或者隐函数方程所描述的。

在数学中，空间曲面通常可以用下面的方程形式来表示：1. 参数方程形式：$P(x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)), \alpha < t < \beta$2. 隐函数方程形式：$F(x, y, z) = 0$二、曲面的分类根据曲面的性质和方程的形式，空间曲面可以分为多种类型。

下面将分别介绍常见的曲面类型及其方程。

1. 锥面锥面是一种由一条直线（母线）绕着一个固定点（顶点）旋转而成的曲面。

它的方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = at \\y = bt \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。

2. 圆锥曲面圆锥曲面是由一条固定直线（母线）和一个固定点（焦点）相对应的点所生成的曲面。

其方程可以用隐函数方程表示为：$x^2 + y^2 = z^2$3. 圆柱面圆柱面是由一条曲线（母线）沿着平行于一条直线轴线运动而形成的曲面。

其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。

4. 圆锥面圆锥面是由一条圆锥曲线绕着其中心轴旋转而形成的曲面。

其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = \pm\sqrt{x^2 + y^2}\end{cases}$其中，a、b为常数。

5. 双曲面双曲面是一种具有双曲线截面的曲面。

曲面与空间曲面的总结

曲面与空间曲线的总结曲面与空间曲线一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念：定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。

解：设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得此即所求点的规迹方程，为一平面方程。

2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程：①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。

例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。

4.母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹称为柱面。

其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面的准线。

本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。

此时有以下结论：若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。

分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。

其几何意义为：无论z 取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。

几种常见柱面：x+y=a 平面；222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 0631044=-++z y x 222ay x =+圆柱面椭圆柱面； 12222=+b y a x 12222=-b y a x 双曲柱面；py x 22=抛物柱面。

空间曲面的参数方程

空间曲面的参数方程在空间几何中，曲面是指三维空间中的一个二维对象。

描述曲面的一种方法是使用参数方程。

参数方程将曲面上的每个点表示为参数的函数，常用于表示曲面的形状、位置和方向。

本文将介绍如何使用参数方程来描述空间曲面。

一、参数方程的基本概念参数方程是一种将曲线或曲面上的点表示为参数的函数的方法。

在二维空间中，我们可以用参数方程来表示一条曲线。

类似地，在三维空间中，我们可以用参数方程来表示一条曲面。

二、空间曲面的参数方程表示对于空间中的曲面，我们通常使用两个参数来表示一个点的坐标。

假设曲面上的点的坐标为(x, y, z)，参数为(u, v)，则空间曲面的参数方程可表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中f(u, v), g(u, v), h(u, v) 是关于参数u和v的函数。

三、参数方程的图像表示通过选择合适的参数范围，我们可以得到曲面的不同部分的图像。

例如，当参数u和v均在[0, 1]范围内变化时，我们可以获得曲面的整体图像。

当参数u和v的取值范围不同时，我们可以得到曲面的局部图像。

四、常见的空间曲面参数方程1. 平面：平面是空间中最简单的曲面之一，可以通过平面上的一点和两个方向向量来确定。

平面的参数方程可表示为：x = x0 + a1u + b1vy = y0 + a2u + b2vz = z0 + a3u + b3v其中(x0, y0, z0) 是平面上的一点坐标，(a1, a2, a3) 和 (b1, b2, b3) 是平面上的两个方向向量。

2. 球面：球面是由空间中所有到给定中心点距离相等的点组成的曲面。

球的参数方程可表示为：x = x0 + rcos(u)sin(v)y = y0 + rsin(u)sin(v)z = z0 + rcos(v)其中(x0, y0, z0) 是球心的坐标，r 是半径，u 和 v 是参数。

3. 圆柱面：圆柱面是由所有与给定轴线平行且到该轴线距离相等的点组成的曲面。