抛物线回归简例算法

抛物线指数 -回复

抛物线指数-回复什么是抛物线指数？抛物线指数是一个技术指标，常用于股票和期货市场的技术分析中。

它通过绘制抛物线来识别价格趋势，并提供买入和卖出的信号。

抛物线指数是由J.威尔德·伴德克和复兴科技公司开发的，被广泛应用于市场交易策略中。

抛物线指数的计算方法抛物线指数的计算方法基于极值点移动的概念。

其计算公式为：抛物线指数= 上一个抛物线指数+ 加速因子×（极值点- 上一个抛物线指数）其中，加速因子是一个可以自定义的参数，一般为0.02。

极值点是根据价格趋势的转折点来计算的，具体计算方法为：若为上升趋势，极值点=最高价若为下降趋势，极值点=最低价通过这样的计算方法，抛物线指数能够根据市场趋势的转折点进行调整，从而更好地跟踪市场变化。

应用抛物线指数的标准为了更好地应用抛物线指数，技术分析师一般会设定一些标准。

这些标准包括买入和卖出的条件，从而帮助判断市场的趋势和动向。

1. 进入买入状态的条件：当抛物线指数处于一个上升趋势（加速因子较小或者为正值），并且价格位于抛物线指数之上时，可以考虑买入。

2. 进入卖出状态的条件：当抛物线指数处于一个下降趋势（加速因子较大或者为负值），并且价格位于抛物线指数之下时，可以考虑卖出。

3. 停止买入或卖出的条件：当抛物线指数的转折点达到了一定的阈值，或者价格反转与抛物线指数的反转方向不一致时，可以考虑停止买入或卖出。

利用抛物线指数进行交易策略抛物线指数的交易策略一般是短期的，适用于市场的短期波动。

其中，买入和卖出的时机是通过价格和抛物线指数的相对位置进行判断的。

当价格位于抛物线指数之上时，说明市场趋势向上，可以考虑买入。

当价格位于抛物线指数之下时，说明市场趋势向下，可以考虑卖出。

同时，交易者还可以通过设置停止损失和获利的阈值来控制风险和收益。

当价格超过设定的获利阈值或者损失达到停止损失阈值时，可以考虑平仓。

总结抛物线指数是一种常用的技术指标，通过绘制抛物线来识别价格趋势，并提供买入和卖出的信号。

回归分析公式深入研究回归分析的数学公式

回归分析公式深入研究回归分析的数学公式回归分析是一种统计方法，用于研究变量之间的相互关系。

在回归分析中，数学公式是非常重要的，它们描述了变量之间的关系，并提供了预测和解释的基础。

本文将深入研究回归分析的数学公式，帮助读者更好地理解和应用这一方法。

一、简单线性回归分析公式简单线性回归分析是回归分析中最基本的形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的线性关系。

其数学公式可以表示为：Y = α + βX + ε其中，Y代表因变量，X代表自变量，α代表截距，β代表斜率，ε代表误差项。

在简单线性回归分析中，我们的目标是通过最小二乘法估计α和β的值，使得拟合线尽可能地接近实际观测值。

通过求导等数学方法，我们可以得到最小二乘估计公式：β = Σ((X-Ȳ)(Y-Ȳ))/(Σ(X-Ȳ)²)α = Ȳ - βXȲ其中，Ȳ代表因变量Y的平均值，XȲ代表自变量X与因变量Y的平均值的乘积。

二、多元线性回归分析公式当我们研究的问题涉及到多个自变量时，可以使用多元线性回归分析。

其数学公式可以表示为：Y = α + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₚXₚ + ε其中，p代表自变量的个数。

在多元线性回归分析中，我们的目标是通过最小二乘法估计α和β的值，使得拟合线尽可能地接近实际观测值。

通过求导等数学方法，我们可以得到最小二乘估计公式：β = (X'X)⁻¹X'Yα = Ȳ - β₁X₁Ȳ - β₂X₂Ȳ - ... - βₚXₚȲ其中，X代表自变量矩阵，X'代表X的转置，Y代表因变量向量，(X'X)⁻¹代表X'X的逆矩阵。

三、多项式回归分析公式简单线性回归和多元线性回归都是基于线性关系的回归分析方法。

然而，有时候变量之间的关系并不是线性的，而是呈现出曲线的趋势。

这时我们可以使用多项式回归分析来建模。

多项式回归分析的数学公式可以表示为：Y = α + β₁X + β₂X² + ... + βₚXᵩ+ ε其中，ᵩ代表多项式的阶数。

最小二乘法抛物线拟合公式

最小二乘法抛物线拟合公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习数学的这条“漫漫征途”上，有一个神秘而有趣的“家伙”叫做最小二乘法抛物线拟合公式。

这玩意儿听起来好像很复杂，让人摸不着头脑，但其实啊，它就像我们生活中的一把“万能钥匙”，能解决不少难题呢！我记得有一次，我带着学生们去做一个实验，测量一个物体下落的高度和时间。

大家兴致勃勃地拿着尺子和秒表，认真地记录着每一组数据。

可当数据摆在眼前的时候，大家都傻了眼，这一堆数字到底能说明啥呀？这时候，我就给他们引出了最小二乘法抛物线拟合公式。

咱们先来看看这个公式到底长啥样：对于一组数据（x₁, y₁），（x₂, y₂），...，（xₙ, yₙ），要拟合的抛物线方程为 y = ax² + bx + c ，那么最小二乘法就是要找到 a、b、c 使得∑(yₙ - (axₙ² + bxₙ + c))² 最小。

说起来有点绕，咱举个简单的例子。

比如说我们有这样五组数据（1，2），（2，5），（3，10），（4，17），（5，26）。

咱们要通过最小二乘法来找到最合适的抛物线。

首先，把这五组数据代入到抛物线方程里，就得到了五个方程：2 = a + b + c5 = 4a + 2b + c10 = 9a + 3b + c17 = 16a + 4b + c26 = 25a + 5b + c接下来就是解这个方程组啦。

这可不是一件轻松的事儿，得一步一步来，仔细计算，不能马虎。

经过一番“苦战”，咱们算出 a = 1，b = 0，c = 1 ，所以拟合出来的抛物线方程就是 y = x² + 1 。

这时候再回头看看咱们一开始的那些数据，是不是发现这个抛物线把这些点都“串”起来啦，就像串糖葫芦一样！最小二乘法抛物线拟合公式在实际生活中的应用可多啦！比如说在经济学中，预测商品的销售趋势；在物理学中，分析物体的运动轨迹；在工程学中，设计桥梁的拱形结构等等。

线性回归计算方法及公式(共31张PPT)

比。常数项B0是所有变量X等于零时事件发生优势的对数。
Logistic回归的参数估计
• Logistic回归模型的参数估计常用最大似然法，最大似然法的基本思想是先建立似然函数或对数似然函数，似然函数或对数似然函数达到极大时参数的取值，即为参数的最大似然估计值。其步骤为对对数似然函数中的待估参数分别求一阶偏导数，令其为0得一方程组，然后求解。由于似然函数的偏导数为非线性函数，参数估计需用非线性方程组的数值法求解。常用的数值法为Newton-Raphson法。不同研究的设计方案不同，其似然函数的构造略有差别，故 Logistic回归有非条件Logistic回归与条件Logistic回归两种。
记Logit(P)=ln[p/(1-p)],则上式可表示为：
Logit(P) ＝ Bo+BX
这里X的取值仍是任意的， Logit(P)的值亦在正负无穷大之间，概率P的数值则必然在 0－1之间。 p/(1-p)为事件的优势， Logit(P)为对数优势，故logistic回归又称对数优势线性回归
一般地，设某事件D发生（D＝1）的概率P依赖于多个自变量（x1,x2, …,xp)，且
y =B0+B1x1+B2x2+…+Bp xp+ (模型）
B0、B1、B2和Bp为待估参数，为残差。 • 由一组样本数据，可求出等估参数的估计值b0、b1、b2和bp,
，得到如下回归方程：
ŷi =b0+b1x1+b2x2+…+bp xp
• 由此可见，建立回归方程的过程就是对回归模型中的参数（常数项和偏回归系数）进行估计的过程。
• 逐步引入－剔除法（stepwise selection)

线性回归方程公式_数学公式

线性回归方程公式_数学公式线性回归方程公式线性回归方程公式：b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

线性回归方程公式求法：第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术)平均值：x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n第二：分别计算分子和分母：(两个公式任选其一)分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n__x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零。

其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。

先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)线性回归方程的应用线性回归方程是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。

这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其位置参数的模型更容易拟合，而且产生的估计的统计特性也更容易确定。

线性回归有很多实际用途。

分为以下两大类：如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和X的值拟合出一个预测模型。

当完成这样一个模型以后，对于一个新增的X值，在没有给定与它相配对的y的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个y值。

给定一个变量y和一些变量X1,...,Xp，这些变量有可能与y相关，线性回归分析可以用来量化y与Xj之间相关性的强度，评估出与y不相关的Xj，并识别出哪些Xj的子集包含了关于y的冗余信息。

回归经验方程公式

回归经验方程公式
回归经验方程公式是一种用来建模和预测现象或事件的数学表达式。

它基于经验数据和统计方法，通过拟合数据点到一个数学函数或曲线上，以确定变量之间的关系。

回归经验方程公式的一般形式可以表示为：
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε
其中，Y表示因变量（要预测的变量），X1、X2、...、Xn表示自变量（用来预测的变量），β0、β1、β2、...、βn表示回归系数，ε表示误差项。

回归经验方程公式的建立过程通常分为以下几个步骤：
1. 数据收集：收集与研究对象相关的数据，包括因变量和自变量的观测值。

2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等。

3. 模型选择：根据研究问题和数据特点选择适当的回归模型，如线性回归、多项式回归、逻辑回归等。

4. 模型拟合：利用统计方法，对选定的回归模型进行参数估计和模型拟合，即确定回归系数。

5. 模型评估：通过检验回归模型的合理性和拟合效果，评估模型的准确性和可靠性。

6. 预测和应用：利用建立的回归经验方程公式，对未知自变量的值进行预测，以便进行决策和应用。

回归经验方程公式在许多领域都有广泛的应用，包括经济学、金融学、市场营销、医学、工程等。

它可以帮助我们了解变量之间的关系，预测未来的趋势和结果，为决策提供科学依据。

同时，回归经验方程公式也有其局限性，如对数据的依赖性较强、模型假设的前提条件等，需要在实际应用中慎重考虑和验证。

回归与梯度算法讲解

回归与梯度下降:回归在数学上来说是给定一个点集，能够用一条曲线去拟合之，如果这个曲线是一条直线，那就被称为线性回归，如果曲线是一条二次曲线，就被称为二次回归，回归还有很多的变种，如locally weighted 回归，logistic 回归，等等。

用一个很简单的例子来说明回归，这个例子来自很多的地方，也在很多的open source的软件中看到，比如说weka。

大概就是，做一个房屋价值的评估系统，一个房屋的价值来自很多地方，比如说面积、房间的数量(几室几厅)、地段、朝向等等，这些影响房屋价值的变量被称为特征(feature) ，feature在机器学习中是一个很重要的概念，有很多的论文专门探讨这个东西。

在此处，为了简单, 假设我们的房屋就是一个变量影响的，就是房屋的面积。

假设有一个房屋销售的数据如下：面积(m A2) 销售价钱(万元)123 250150 32087 160102 220这个表类似于帝都5环左右的房屋价钱，我们可以做出一个图，x轴是房屋的面积。

y轴是房屋的售价，如下：如果来了一个新的面积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输入过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。

如果用一条直线去拟合，可能是下面的样子：绿色的点就是我们想要预测的点。

首先给出一些概念和常用的符号，在不同的机器学习书籍中可能有一定的差别。

房屋销售记录表-训练集(training set)或者训练数据(training data),是我们流程中的输入数据，一般称为x房屋销售价钱-输出数据，一般称为y拟合的函数(或者称为假设或者模型)，一般写做y = h(x)训练数据的条目数倂training set), 一条训练数据是由一对输入数据和输出数据组成的输入数据的维度(特征的个数，#features) ，n下面是一个典型的机器学习的过程，首先给出一个输入数据，我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数，这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计，也被称为构建一个模型。

线性回归计算方法及公式PPT课件

公式
(y = ax + b)
解释
其中(y)是因变量，(a)是斜率，(x)是自变量，(b)是截距。
实例二：多元线性回归分析
总结词
多个自变量的线性关系
详细描述
多元线性回归分析研究因变量与多个自变量之间的线性关系。通过引入多个自变量，可以更全面地描述因变量的变化规律。
公式
(y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n + b)
加权最小二乘法的公式
加权最小二乘法的公式是：(ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+βₙxₙ)其中，(w_i)是加权因子，用于对不同观测值赋予不同的权重。
加权最小二乘法适用于数据存在异方差性的情况，通过给不同观测值赋予不同的权重，能够更好地拟合数据。
主成分回归的公式
主成分回归的公式是：(ŷ=β₀+β₁z₁+β₂z₂+...+βₙzₙ)其中， (z_i)是主成分得分，通过对原始自变量进行线性变换得到。
误差项独立同分布
误差项被假设是相互独立的，并且具有相同的分布（通常是正态分布）。
误差项无系统偏差
自变量无多重共线性
误差项被假设没有系统偏差，即它们不随着自变量或因变量的值而变化。
自变量之间被假设没有多重共线性，即它们是独立的或相关性很低。
02
线性回归模型
模型建立
确定因变量和自变量
首先需要确定研究的因变量和自变量，以便建立线性回归模型。
以提供更稳定和准确的估计。
(y = (X^T X + lambda I)^{1}X^T y)
其中(y)是因变量，(X)是自变量矩阵，(lambda)是正则化参数

第五章回归分析和曲线拟合

（2）对于选定的显著性水平a＝0.0（ 5 或0.01），从F分布
上找出临界值Fa(1, N 2) （3）比较F与Fa的大小。
若F>Fa，则回归方程有意义，反之则说明方程意义不大
16
（二）相关系数检验法
N^ _
N
_
由 U ( y i y ) 2 U [( a b xi ) ( a b x )]2
31
作散点图，即（ x i , y i ）图
y
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
x
可见 x 与 y 之间无确定的函数关系，而表现为相关关系
32
（ 1）求回归直线
记
L xx
yi yi* yi (abx) 就刻画了yi与直线偏离度
7
y (xi , yi )
^
y a bx
^
(xi, yi)
x
x1
8
全部观测值yi (i 1,2,..., N)与直线上对于的yi*(i 1,2,..., N) 的离差平方和则为：
N
N
Q (yi yi*)2 (yi a bxi )2
11 0.553 0.684 12 0.532 0.661 13 0.514 0.641 14 0.479 0.623 15 0.482 0.606 16 0.468 0.590 17 0.456 0.575 18 0.444 0.561 19 0.433 0.549 20 0.413 0.537

的取值
5
二、一元线性回归方程的确定

opencv三点拟合抛物线求极值

opencv三点拟合抛物线求极值摘要：1.OpenCV 简介2.三点拟合抛物线3.求极值方法4.应用实例正文：1.OpenCV 简介OpenCV（Open Source Computer Vision Library）是一个开源的计算机视觉库，它包含了大量的图像处理和计算机视觉方面的算法。

OpenCV 的主要目的是为实时图像处理、计算机视觉以及模式识别等领域提供高效的算法实现。

在OpenCV 中，我们可以使用各种图像处理方法对图像进行操作，从而实现诸如图像识别、目标检测等任务。

在本文中，我们将介绍如何使用OpenCV 进行三点拟合抛物线并求极值。

2.三点拟合抛物线在数学中，抛物线是一种二次函数曲线，通常表示为y = ax^2 + bx + c。

在实际应用中，我们常常需要根据给定的三个点来拟合一条抛物线。

在OpenCV 中，我们可以使用Polynomial Regression（多项式回归）方法来实现这一点。

具体来说，我们可以使用OpenCV 的calcOpticalFlowPyrLK 函数来进行三点拟合抛物线。

3.求极值方法在实际应用中，我们常常需要找到抛物线的极值点，例如最大值或最小值。

为了实现这一目标，我们可以求解抛物线的导数，并令其等于零。

根据求导法则，抛物线的导数为y" = 2ax + b。

将导数等于零代入求解，我们可以得到极值点的x 坐标。

然后，将x 坐标代入原抛物线方程，我们可以得到极值点的y 坐标。

4.应用实例假设我们有三个点A(1, 2)、B(2, 4) 和C(3, 6)，现在我们希望拟合一个抛物线并通过求极值方法找到极值点。

首先，我们可以使用calcOpticalFlowPyrLK 函数拟合这三个点得到抛物线。

然后，我们求解抛物线的导数并令其等于零，解得极值点的x 坐标。

最后，我们将x 坐标代入原抛物线方程，得到极值点的y 坐标。

这样，我们就可以找到极值点，并进行后续的图像处理和分析任务。

回归计算公式

回归计算公式回归计算公式是统计学中常用的一种方法，用于分析两个或多个变量之间的关系。

回归分析可以帮助我们预测一个变量的值，基于另一个或多个变量的值。

在本文中，我们将详细介绍回归计算公式及其应用。

回归计算公式可以表示为：y = a + bx其中，y是我们要预测的变量，x是用于预测y的变量，a是截距，b是斜率。

回归分析的目的是找到最佳的a和b值，以最小化预测误差。

回归分析可以分为两种类型：简单线性回归和多元回归。

简单线性回归是指只有一个自变量和一个因变量的情况。

多元回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。

在简单线性回归中，我们可以使用最小二乘法来计算a和b的值。

最小二乘法是一种优化方法，用于最小化预测误差的平方和。

我们可以使用以下公式来计算a和b的值：b = Σ((xi - x̄)(yi - ȳ)) / Σ(xi - x̄)²a = ȳ -b x̄其中，xi是自变量的值，yi是因变量的值，x̄是自变量的平均值，ȳ是因变量的平均值。

在多元回归中，我们可以使用多元线性回归来计算a和b的值。

多元线性回归是指有多个自变量和一个因变量的情况。

我们可以使用以下公式来计算a和b的值：y = a + b1x1 + b2x2 + ... + bnxn其中，x1，x2，...，xn是自变量的值，b1，b2，...，bn是自变量的系数，a是截距。

回归分析可以应用于各种领域，例如经济学、金融学、医学、社会科学等。

在经济学中，回归分析可以用于预测股票价格、通货膨胀率等。

在医学中，回归分析可以用于预测疾病的发生率、治疗效果等。

回归计算公式是一种非常有用的统计学方法，可以帮助我们预测一个变量的值，基于另一个或多个变量的值。

回归分析可以应用于各种领域，帮助我们做出更准确的预测和决策。

常用的回归算法

常用的回归算法1. 介绍回归算法是一种用于预测连续型数值的机器学习算法。

通过分析变量之间的关系，回归算法可以找出自变量和因变量之间的映射关系，并利用这个关系进行预测。

在实际应用中，回归算法被广泛用于预测、预警、优化等领域。

2. 线性回归线性回归是回归算法中最简单、最常用的一种方法。

它假设自变量和因变量之间存在一个线性关系，通过拟合这个线性关系来进行预测。

线性回归模型可以表示为：Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + … + βₚXₚ + ε，其中Y是因变量，X₁, X₂, …,Xₚ是自变量，β₀, β₁, β₂, …, βₚ是回归系数，ε是误差项。

线性回归的优点是计算简单、效果稳定，但它的局限性在于假设自变量和因变量之间是线性关系，无法处理非线性关系的问题。

3. 多项式回归多项式回归是线性回归的一种拓展形式，它可以处理非线性关系的问题。

多项式回归通过添加自变量的高次项来拟合非线性关系。

多项式回归模型可以表示为：Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₁² + β₃X₁³ + … + βₚX₁ˣ + βₚ₊₁X₂ + … + β₂ₚXₚˣ + ε。

多项式回归的优点在于可以拟合复杂的非线性关系，但随着自变量的增加，模型的复杂度也会增加，容易出现过拟合的问题。

4. 岭回归岭回归是一种处理多重共线性问题的回归算法。

多重共线性指的是自变量之间存在高度相关的情况。

岭回归通过在模型中加入一个正则化项来减小回归系数的方差，从而减少共线性对回归结果的影响。

岭回归的优点在于可以处理高度共线性的问题，但它的缺点在于无法选择最优的正则化参数，需要根据经验或交叉验证进行调参。

5. Lasso回归Lasso回归是一种结构化稀疏回归算法。

它通过在模型中加入一个正则化项，使得回归系数变得稀疏，即某些回归系数变为0，从而筛选出对预测结果影响较大的特征。

Lasso回归的优点在于可以进行特征选择，降低模型的复杂度，但它的缺点在于无法选择最优的正则化参数，需要根据经验或交叉验证进行调参。

logistic 回归公式

logistic 回归公式
logistic回归是一种用于建立分类模型的机器学习算法，可以用于二分类和多分类问题。

其核心在于建立一个logistic函数，将输入的特征值映射到一个概率值，从而进行分类。

logistic回归的公式如下：
$$
p(y=1|x)=frac{1}{1+e^{-z}}=frac{1}{1+e^{-(w_0+w_1x_1+w_2x_2 +...+w_nx_n)}}
$$
其中，$p(y=1|x)$表示当输入$x$时，$y$为1的概率；
$z=w_0+w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n$表示logistic函数的自变量；$e$为自然对数的底数；$w_0,w_1,...,w_n$是模型的参数，可以通过训练得到。

当$p(y=1|x)>0.5$时，我们将样本分类为正类，否则分类为负类。

在训练时，我们通过最小化损失函数来求解模型的参数，常见的损失函数包括交叉熵损失、均方误差等。

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机器学习知识：机器学习回归算法详解

机器学习知识：机器学习回归算法详解机器学习回归算法详解随着人工智能和大数据的应用越来越广泛，机器学习已经成为了一个热门的领域。

在机器学习中，回归算法是广泛应用的一个分支。

回归算法通过对样本数据的拟合，预测出一个连续的数值，通常用于预测房价、股票价格、销售额等连续型数据。

回归算法的主要任务是预测一个连续型的目标变量，该目标变量通常为一个实数值。

回归算法可以分为线性算法和非线性算法。

其中，线性回归模型被广泛使用，因为它们计算简单，可靠性高。

当然，如果数据不满足线性性条件，则可以使用非线性回归模型。

一、线性回归算法线性回归是一种用于建模和预测的最常用的回归算法之一。

线性回归模型假设特征和目标之间存在一个线性关系。

这就意味着，模型可以使用一条直线来拟合数据，找到最佳拟合直线的过程称为模型训练。

线性回归的目标是通过最小化预测值和真实值之间的平均误差来找到最佳拟合直线。

预测值是通过使用最佳拟合直线来估计的。

该过程可以通过使用梯度下降等算法来实现。

在梯度下降的过程中，根据损失函数的梯度来查找到达最小值的方向。

线性回归的损失函数通常采用平方误差（MSE）来计算。

MSE是预测值和真实值之间差的平方值的平均值。

它的公式如下：MSE=1/n∑(y_i-y'_i)²其中，y_i是真实值，y'_i是预测值，n是样本数量。

MSE越小，预测误差就越小。

二、非线性回归算法如果回归关系不是线性的，就需要使用非线性回归算法。

这种算法通常采用多项式回归模型，适用于复杂的非线性数据。

多项式回归模型将数据拟合成一个高次多项式，从而更好地拟合数据。

和线性回归类似，多项式回归的目标是找到最佳的拟合函数。

该过程可以使用最小二乘法等方法实现。

另一种常用的非线性回归模型是逻辑回归。

逻辑回归是一种用于二元分类和多元分类的统计学方法。

该模型使用一个逻辑函数来估计每个类的概率。

其输出值在0和1之间，用于分类。

常见的逻辑函数有sigmoid函数和softmax函数。

一个超平方收敛的抛物线法公式

一个超平方收敛的抛物线法公式
超平方收敛（supersquare converge）是经典最优化问题中有
效解决问题的有效算法。

它是一种以一个抛物线法为基础，采用
迭代方法在改进机制下求解最优解的数学算法。

即在给定一组变
量后，为了使某些约束条件下的函数最小化，超平方收敛法利用
一个抛物线法，从而通过一系列的迭代，最终找到最优化解。

超平方收敛算法的基本步骤是：给定初始条件；根据初值计算多
次微分，构造抛物线法；按照给定的条件迭代，以提高迭代的精度；重新计算不等式的系数，并重新计算最优解。

当某一步骤达
到给定精度之后，即可确定最优解。

超平方收敛算法具有计算速度快、精度高、易于实现和应用的优点，因此得到了广泛的应用。

它可用于各种复杂的约束最优化算
法的解决，是多种技术的基础算法之一。

例如，在计算机视觉中，可以用超平方收敛算法进行图像处理和目标检测；在金融风控中，
超平方收敛算法可用于风险评估；在机器学习中，超平方收敛方
法可以用于神经网络训练等。

超平方收敛算法在各种复杂技术场景中得到了广泛应用，可以说，它是当今技术開發中不可或缺的重要元素。

第八章统计回归模型之欧阳法创编

第八章统计回归模型回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数.回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等.回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归.一、多项式回归 (1) 一元多项式回归一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10.如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归.1. 用函数polyfit估计模型参数，其具体调用格式如下：p=polyfit(x,y,m) p返回多项式系数的估计值；m 设定多项式的最高次数；x，y为对应数据点值.[p,S]=polyfit(x,y,m) S是一个矩阵，用来估计预测误差.2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval实现，其具体调用格式如下：Y=polyval(p,X) 求polyfit所得的回归多项式在X 处的预测值Y.[Y,DELTA]=polyval(p,X,S) p，S为polyfit的输出，DELTA为误差估计.在线性回归模型中，Y±DELTA以50%的概率包含函数在X处的真值.3. 模型预测的置信区间用polyconf实现，其具体调用格式如下：[Y,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.05.4. 交互式画图工具polytool，其具体调用格式如下：polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)；用m 次多项式拟合x ，y 的值，默认值为1，alpha 为显著性水平，默认值为0.05.例1 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s.解根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下：%%%输入数据 t=1/30:1/30:14/30;s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];%%%多项式系数拟合 [p,S]=polyfit(t,s,2); 则得回归模型为：1329.98896.652946.489ˆ2++=t t s. %%%y 的拟合值及预测值y 的置信半径delta [y,dalta]=polyconf(p,t,S); 得结果如下：y=Columns 1 through 1111.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 72.9363 85.4622 99.0754Columns 12 through 14 113.7759 129.5637 146.4389 dalta=Columns 1 through 110.0937 0.0865 0.0829 0.0816 0.0817 0.0823 0.0827 0.0827 0.0823 0.0817 0.0816Columns 12 through 14 0.0829 0.0865 0.0937 %%%交互式画图 polytool(t,s,2);polytool 所得的交互式图形如图8-1所示.图8-1(2) 多元二项式回归多元二项式回归模型的一般形式为εββββ∑≤≤+++++=mk j k j jkm m x x x x y ,1110....多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model’,alpha) x 表示n´m 矩阵；y 表示n 维列向量；alpha 为显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入，缺省时为线性模型)：linear(线性)：m m x x y βββ+++= 110； purequadratic(纯二次)：∑=++++=nj jjj m m x x x y 12110ββββ ；interaction(交叉)：∑≤≠≤++++=mk j kj jkm m x x x x y 1110ββββ ； quadratic(完全二次)：∑≤≤++++=mk j k j jkm m x x x x y ,1110ββββ .例2 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量.解选择纯二次模型，即2222211122110x x x x y βββββ++++=.%%%输入数据x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9]; x=[x1' x2'];y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; %%%多元二项式回归 rstool(x,y,'purequadratic'); 得如下结果：图8-2得到一个如图所示的交互式画面，左边是x1（=1000）固定时的曲线y （x1）及其置信区间，右边是x2（=6）固定时的曲线y （x2）及其置信区间.用鼠标移动图中的十字线，或在图下方窗口内输入，可改变x1，x2.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.4791，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.在画面左下方单击”Export ”，在出现的窗体中单击”ok ”按钮，则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中.在Matlab 工作区中输入命令：beta,rmse ，得结果：beta=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse =4.5362 故回归模型为：2221218475.10001.05709.261464.05313.110x x x x y +--+=，剩余标准差为4.5362，说明此回归模型的显著性较好.二、多元线性回归多元线性回归模型的一般形式为011...m m y x x βββε=++++.在Matlab 统计工具箱中使用函数regress 实现多元线性回归.具体调用格式为：b=regress(Y,X)[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y Y Y Y ...21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m x x x x x x x x x X ...1..................1 (12)12222111211.对于一元线性回归，取1=m 即可.b 为输出向量；b ，bint 表示回归系数估计值和它们的置信区间；r 表示残差；rint 表示残差的置信区间；stats 表示用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数2R 、F 值、与F 值对应的概率P 、2s 的值.相关系数2R 越接近1，说明回归方程越显著；)1,(1-->-m n m F F α时拒绝0H ，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率α<P 时拒绝0H ，回归模型成立；alpha表示显著性水平(缺省时为0.05).残差及其置信区间可以用命令rcoplot(r,rint)画出. 例3 已知某湖泊八年来湖水中COD 浓度实测值(y)与影响因素，如湖区工业产值(x 1)、总人口数(x 2)、捕鱼量(x 3)、降水量(x 4)的资料，建立y 的水质分析模型.湖水浓度与影响因素数据表解作出因变量y与各自变量的样本散点图作散点图的目的主要是观察因变量y与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式.图8-3、图8-4、图8-5、图8-6分别为y与x 1、x2、x3、x4的散点图.从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此有较好的线性关系，可以采用线性回归.图8-3 y与x1的散点图图8-4 y与x2的散点图图8-5 y与x3的散点图图8-6 y与x4的散点图在Matlab中实现回归的具体代码如下：%%%输入数据x1=[1.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477];x2=[0.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575];x3=[2.170 2.554 2.676 2.713 2.823 3.088 3.122 3.262];x4=[0.8922 1.1610 0.5346 0.9589 1.0239 1.0499 1.1065 1.1387];x=[ones(8,1) x1' x2' x3' x4'];y=[5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95]; %%%多元线性回归[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x);得如下结果：b =-13.984913.19202.42280.0754-0.1897bint =-26.0019 -1.96791.4130 24.9711-14.2808 19.1264-1.4859 1.6366-0.9638 0.5844r =-0.06180.02280.0123 0.0890 0.0431 -0.1473 0.0145 0.0274 rint =-0.1130 -0.0107 -0.1641 0.2098 -0.1051 0.1297 -0.2542 0.4321 -0.0292 0.1153 -0.2860 -0.0085 -0.3478 0.3769 -0.1938 0.2486 stats =0.9846 47.9654 0.0047 0.0123 故回归模型为：43211897.00754.04228.21920.139849.13x x x x y -+++-=，此外，由stats 的值可知9846.02=R ，9654.47=F ，0047.0=P 。

奇偶分解及三次抛物线回归的简易算法

奇偶分解及三次抛物线回归的简易算法
张侠
【期刊名称】《数理医药学杂志》
【年(卷),期】1996(9)4
【摘要】对称区间上定义的任一函数均可唯一地表示为一个奇函数与偶函数之和。

函数的这一分解实质上是正交分解。

巧用这一众所周知的性质于三次抛物线回归，或相似模型上，可使原本三、四个参数的回归模型转化为独立的两个仅含一、两个参数的拟线性回归模型，从而使得参数的最小二乘估计最极晚在具统计功能的计算器上实现。

具能保持良好的精度。

【总页数】6页(P299-304)
【作者】张侠
【作者单位】北京医科大学生物数学与生物统计教研室
【正文语种】中文
【中图分类】R311
【相关文献】
1.抛物线形断面渠道收缩水深的简易算法 [J], 滕凯
2.一类热传导方程区域分解简易算法 [J], 尹永学;朴光日
3.抛物线回归简例算法 [J], 董庆如
4.基于奇异值分解和双三次插值的图像缩放算法改进 [J], 岳鑫;肖晨
5.基于奇异值分解和双三次插值的图像缩放算法改进 [J], 岳鑫; 肖晨
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第八章统计回归模型之欧阳计创编

第八章统计回归模型回归分析是研究一个变量Y 与其它若干变量X 之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数.回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X 、Y 的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等.回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归.一、多项式回归 (1) 一元多项式回归一元多项式回归模型的一般形式为εβββ++++=m m x x y ...10.如果从数据的散点图上发现y 与x 呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归.1. 用函数polyfit 估计模型参数，其具体调用格式如下：p=polyfit(x,y,m) p返回多项式系数的估计值；m设定多项式的最高次数；x，y为对应数据点值.[p,S]=polyfit(x,y,m) S是一个矩阵，用来估计预测误差.2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval实现，其具体调用格式如下：Y=polyval(p,X) 求polyfit所得的回归多项式在X 处的预测值Y.[Y,DELTA]=polyval(p,X,S) p，S为polyfit的输出，DELTA为误差估计.在线性回归模型中，Y±DELTA以50%的概率包含函数在X处的真值.3. 模型预测的置信区间用polyconf实现，其具体调用格式如下：[Y,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.05.4. 交互式画图工具polytool，其具体调用格式如下：polytool(x,y,m)；polytool(x,y,m,alpha)；用m次多项式拟合x，y的值，默认值为1，alpha为显著性水平，默认值为0.05.例1观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s.解根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下：%%%输入数据t=1/30:1/30:14/30;s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];%%%多项式系数拟合 [p,S]=polyfit(t,s,2); 则得回归模型为：1329.98896.652946.489ˆ2++=t t s .%%%y 的拟合值及预测值y 的置信半径delta [y,dalta]=polyconf(p,t,S); 得结果如下： y=Columns 1 through 1111.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 72.9363 85.4622 99.0754Columns 12 through 14 113.7759 129.5637 146.4389 dalta=Columns 1 through 110.0937 0.0865 0.0829 0.0816 0.0817 0.0823 0.0827 0.0827 0.0823 0.0817 0.0816Columns 12 through 14 0.0829 0.0865 0.0937 %%%交互式画图polytool(t,s,2);polytool 所得的交互式图形如图8-1所示.图8-1(2) 多元二项式回归多元二项式回归模型的一般形式为εββββ∑≤≤+++++=mk j k j jkm m x x x x y ,1110....多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model’,alpha) x 表示n´m 矩阵；y 表示n 维列向量；alpha 为显著性水平(缺省时为0.05)；model 表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入，缺省时为线性模型)：linear(线性)：m m x x y βββ+++= 110；purequadratic(纯二次)：∑=++++=nj j jj m m x x x y 12110ββββ ；interaction(交叉)：∑≤≠≤++++=mk j k j jk m m x x x x y 1110ββββ ；quadratic(完全二次)：∑≤≤++++=mk j k j jk m m x x x x y ,1110ββββ .例2 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量.解选择纯二次模型，即2222211122110x x x x y βββββ++++=. %%%输入数据x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300];x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];x=[x1' x2'];y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; %%%多元二项式回归rstool(x,y,'purequadratic'); 得如下结果：图8-2得到一个如图所示的交互式画面，左边是x1（=1000）固定时的曲线y （x1）及其置信区间，右边是x2（=6）固定时的曲线y （x2）及其置信区间.用鼠标移动图中的十字线，或在图下方窗口内输入，可改变x1，x2.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.4791，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.在画面左下方单击”Export ”，在出现的窗体中单击”ok ”按钮，则beta 、rmse 和residuals 都传送到Matlab 工作区中.在Matlab 工作区中输入命令：beta,rmse ，得结果： beta=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475rmse =4.5362故回归模型为：2221218475.10001.05709.261464.05313.110x x x x y +--+=，剩余标准差为4.5362，说明此回归模型的显著性较好.二、多元线性回归多元线性回归模型的一般形式为011...m m y x x βββε=++++. 在Matlab 统计工具箱中使用函数regress 实现多元线性回归.具体调用格式为：b=regress(Y,X)[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n Y Y Y Y ...21，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m x x x x x xx x x X ...1..................1 (12)12222111211.对于一元线性回归，取1=m 即可.b 为输出向量；b ，bint 表示回归系数估计值和它们的置信区间；r 表示残差；rint 表示残差的置信区间；stats 表示用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数2R 、F 值、与F 值对应的概率P 、2s 的值.相关系数2R 越接近1，说明回归方程越显著；)1,(1-->-m n m F F α时拒绝0H ，F 越大，说明回归方程越显著；与F 对应的概率α<P 时拒绝0H ，回归模型成立；alpha表示显著性水平(缺省时为0.05).残差及其置信区间可以用命令rcoplot(r,rint)画出. 例3 已知某湖泊八年来湖水中COD 浓度实测值(y)与影响因素，如湖区工业产值(x 1)、总人口数(x 2)、捕鱼量(x 3)、降水量(x 4)的资料，建立y 的水质分析模型.湖水浓度与影响因素数据表解作出因变量y与各自变量的样本散点图作散点图的目的主要是观察因变量y与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学模型形式.图8-3、图8-4、图8-5、图8-6分别为y与x1、x2、x3、x4的散点图.从图中可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此有较好的线性关系，可以采用线性回归.图8-3 y与x1的散点图图8-4 y与x2的散点图图8-5 y与x3的散点图图8-6 y与x4的散点图在Matlab中实现回归的具体代码如下：%%%输入数据x1=[1.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477];x2=[0.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575];x3=[2.170 2.554 2.676 2.713 2.823 3.088 3.122 3.262];x4=[0.8922 1.1610 0.5346 0.9589 1.0239 1.04991.1065 1.1387];x=[ones(8,1) x1' x2' x3' x4'];y=[5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95];%%%多元线性回归[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x);得如下结果：b =-13.984913.19202.42280.0754-0.1897bint =-26.0019 -1.96791.4130 24.9711-14.2808 19.1264-1.4859 1.6366-0.9638 0.5844r =-0.06180.02280.01230.0890 0.0431 -0.1473 0.0145 0.0274 rint =-0.1130 -0.0107 -0.1641 0.2098 -0.1051 0.1297 -0.2542 0.4321 -0.0292 0.1153 -0.2860 -0.0085 -0.3478 0.3769 -0.1938 0.2486 stats =0.9846 47.9654 0.0047 0.0123 故回归模型为：43211897.00754.04228.21920.139849.13x x x x y -+++-=，此外，由stats 的值可知9846.02=R ，9654.47=F ，0047.0=P 。

线性回归方程中的相关系数r

线性回归方程中的相关系数rr=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]R2就是相关系数的平方，R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数判定系数R^2也叫拟合优度、可决系数。

表达式是:R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。

问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。

——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。

这就有了调整的拟合优度:R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1))在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。

总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。

R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。

如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。

分为一元线性回归和多元线性回归线性回归方程中,回归系数的含义一元：Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元：Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位就一个reg来说y=a+bx+ea+bx的误差称为explained sum of squaree的误差是不能解释的是residual sum of square总误差就是TSS所以TSS=RSS+ESS判定系数也叫拟合优度、可决系数。