信号系统习题解答3版-第三章

信号与系统徐天成第3版

第3章习题答案

3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率

5 kHz f =，脉宽20 s τ=μ，幅度10V E =，如图题

3-1所示。用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5，12，20，50，80及100 kHz 频率分量来？要求画出图题3-1所示信号的频谱图。

图 题3-1

解：5kHz f =，20μs τ=，10V E =，11

200T s f

μ=

=，41210f ππΩ== 频谱图为

从频谱图看出，可选出5、20、80kHz 的频率分量。

3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数，并大致画出频谱图。

图 题3-3

解： ()f t 在一个周期（0，T 1）内的表达式为： 11

()()E

f t t T T =-

- 111110011111()()(1,2,3)2T T jn t

jn t n E jE F f t e dt t T e dt n T T T n π

-Ω-Ω==--=-

=±±±⎰⎰

11010011111()()2

T T E E F f t dt t T dt T T T ==--=⎰⎰

傅氏级数为：

111122()22244j t j t j t j t

E jE jE jE jE f t e e e e ππππ

Ω-ΩΩ-Ω=-+-+-

(1,2,3)2n E F n n π

=

=±±± (0)2

(0)2

n n n πϕπ⎧->⎪⎪=⎨

⎪<⎪⎩

3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数，若10 V E =, 10 kHz f =，大致画出幅

度谱。

图 题3-4

解：由于()f t 是偶函数，所以展开式中只有余弦分量，故傅氏级数中0n b =，另由图可知()f t 有直流分量，

()f t 在一个周期（2T -

，2

T

）内的表达式为： 111cos 4

()04T E t t f t T t ⎧

Ω<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 其中：11

2T πΩ=

11112401112411()cos T

T

T T E a f t dt E tdt T T π

--==Ω=⎰⎰

1111112411124

22()cos T T

jn t

jn t T T n n a c f t e dt E t e dt

T T -Ω-Ω--===Ω⋅⎰⎰

211sin sin 2122cos 3,5,71112n n E E n n n n n πππππ+-⎡⎤⎢⎥=+=-=⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦

111211122()2

T

j t T E a c f t e dt T -Ω-===⎰

所以，()f t 的三角形式的傅里叶级数为：

11122()cos cos 2cos 42315E

E E E f t t t t π

ππ

=

+

Ω+Ω-Ω+

3-6 利用信号()f t 的对称性，定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。

Ω

215E π

-

图 题3-6

解： (a) ()f t 为偶函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。 (b) ()f t 为奇函数及奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。 (c) ()f t 为偶谐函数，而且若将直流分量（1/2）去除后为奇函数，所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。

(d) ()f t 为奇函数，傅氏级数中只包含正弦分量。

(e) ()f t 为偶函数及偶谐函数，傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。 (f) ()f t 为奇谐函数，傅氏级数中只包含奇次谐波分量。

3-7 已知周期函数()f t 前四分之一周期的波形如图题3-7所示。根据下列各种情况的要求画出()f t

在一个周期(0t T <<)的波形。 （1）()f t 是偶函数，只含有直流分量和偶次谐波分量； （2）()f t 是偶函数，只含有奇次谐波分量；

（3）()f t 是偶函数，含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。

解：（1）由()()f t f t -=画出()f t 在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形，由()f t 在,04T ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦内的波形及

()f t 是偶谐函数，它在,42T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的波形与它在,04T ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的波形相同，它在,2T T ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

内

的波形与它在0,2T ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

内的波形相同。根据上述分析可画出()f t 在[]0,T 内的波形。按上

述类似的方法可画出（2）和（3）。

（2）

（3）

图 题3-7

3-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。

图 题3-8

解法一：按定义求

22

()()cos

j t

j t F j f t e

dt E t e dt τ

τπ

τ

∞

-Ω-Ω-∞

-Ω==⋅⎰

⎰ 由于()f t 是偶函数，所以

2

202

20()cos cos 2cos cos cos()cos()Sa()Sa()22222Sa +Sa 2222F j E t tdt E t tdt

E E t t dt E E τ

τ

ττ

ππ

ττππττπτπτττπττπτττ-Ω=Ω=ΩΩΩ⎡⎤

⎡⎤=+Ω+-Ω=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣

⎦⎡⎤⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=

Ω+Ω- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝

⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 化简得：2

cos 22()1E F j ττπτπΩ⎛⎫ ⎪⎝⎭Ω=⋅⎡⎤

Ω⎛⎫-⎢⎥

⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

解法二：利用卷积定理求 设：12()cos

,()()()22f t t f t E u t u t π

τττ

⎡

⎤==+--⎢⎥⎣

⎦

则 12()()()f t f t f t =⋅，于是121

()()()2F j F j F j π

Ω=

Ω*Ω 而1()()()F j πππδδττ⎡⎤Ω=Ω++Ω-⎢⎥⎣⎦，2()Sa 2F j E τ

τΩ⎛⎫Ω=

⎪⎝⎭

故1()()()Sa 22F j E ππτπδδτπττ⎧Ω⎫⎡⎤⎛⎫Ω=

Ω++Ω-*⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭

Sa +Sa 2222E E τπττ

πτττ⎡⎤⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=

Ω+Ω- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝

⎭⎝

⎭⎣⎦⎣⎦