圆锥曲线大题精选(含答案解析)(适合文理科)

1．过抛物线外一点M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点M 对应的切点弦已知抛物线为24x y =，点P ，Q 在直线l ：1y =-上，过P ，Q 两点对应的切点弦分别为AB ，CD

()1当点P 在l 上移动时，直线AB 是否经过某一定点，若有，请求出该定点的坐标；如果没

有，请说明理由

()2当AB CD ⊥时，点P ，Q 在什么位置时，PQ 取得最小值？

详解：

()1设()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1P x -，

则2

114x y =，2

224x y =，

抛物线的方程可变形为214y x =

，则'2

x y =， ∴直线PA 的斜率为01'|2

PA x x x

k y ===，

∴直线PA 的方程()1112

x

y y x x -=-，化简()112x x y y =+，

同理可得直线PB 的方程为()222x x y y =+，

由()0,1P x -可得()()011x 2102221x y x x y =-⎧⎪

=-⎨⎪⎩

，

∴直线AB 的方程为()021x x y =-，则{

1x y ==是方程的解， ∴直线AB 经过定点()0,1．

()2设(),1P P x -，(),1Q Q x -，

由()1可知2P

AB x k =

，2

Q CD x k =， AB CD ⊥，

14

P Q AB CD x x k k ∴⋅=

=-，即4P Q x x =-，

P x ∴，Q x 异号，

不妨设0P x >，则0Q x <，且4Q P

x x =-

， 4

4P Q P Q P P

PQ x x x x x x ∴=-=-=+

≥，当且仅当2P x =，2Q x =-时取等号， 即当()2,1P --，()2,1Q --时，PQ 取得最小值4

2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A ，下顶点为B ，定

点()0,2C ，ABC ∆的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由. 【详解】

（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,A a B b -由于ABC ∆的面积为3，

1

(2)32b a ∴+=，又由e =2a b =， 解得：=1b ，或=3b -（舍去），

2,=1a b ∴=

∴椭圆方程为2

214

x y +=；

（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y

则直线BP 的方程为1111y y x x +=

-，令0y =，得点M 的横坐标111

M x

x y =+ 直线BQ 的方程为2211y y x x +=

-，令0y =，得点N 的横坐标221

N x x y =+ 1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=

++12

12(3)(3)

x x kx kx =++

12

212123()9

x x k x x k x x =

+++

把直线2y kx =+代入椭圆2

214

x y +=得22(14)16120k x kx +++=

由韦达定理得1221214x x k =+,122

1614k

x x k +=-+ ∴22222

121412489

1414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363

k k k =-++，是定值．

3．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,,F F M 为椭圆上一动点，当

12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3

b

，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,

当l x ⊥轴时，3RS =. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，若121

4

k k =-，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 详解：

（1）由题意及三角形内切圆的性质可得

112(22)223b c b a c ⋅⋅=+⋅，得12

c a =①

将x c =代入22221x y a b

+=，结合222

a b c =+②，得2b y a =±，

所以2

23b a =

③，由①②③得2,a b ==

故椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=

（2）设点,P Q 的坐标分别为11,x y （），

22,x y （）. ①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得3

31122P Q -（，），（，）或331122

P Q -（，），（，），

直线PQ 的方程为1x =

②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+，

联立得22

143

x y y kx m ⎧+

=⎪⎨⎪=+⎩

，消去y 得2224384120k x kmx m +++-=（）， 由222222644(43)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，得2243k m +>

2121222

8412

,.(1)4343

km m x x x x k k -+=-=++） 由1212121

,(2)(2)4

y y k k x x =

=-++可得12124(2)(2)0y y x x +++=，

得12124()()(2)(2)0kx m kx m x x +++++=，

整理得2

2

1212(41)(42)()440,(2)k x x km x x m ++++++= 由（1）和（2）得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-

当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，不合题意； 当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，过定点(1,0)， 综上直线PQ 过定点，定点坐标为(1,0).