映射的含义
高中一年级《函数的概念及表示》
(1)y＝ 2x＋3＋x－1 1；(2)y＝(x＋2－1)x0
【思路点拨】 分析所给函数解析式 ―→ 列不等式组 ―→ 求x范围，得定义域 【解析】 (1)要使函数有意义，需满足2x－ x＋13≠≥00， ，
x (x≥1) 【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函 数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找 到一些关键点，便可画出函数的大致图象.
必修一第二章第二节
【解析】 (1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1； (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 且x＝1,3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1， 所画函数图象如图2.
图
能形象直观地表示出函数的变化 只能近似地求出自变量的值所对 象
情况
应的函数值，而且有时误差较大
法
必修一第二章第二节
2.关于分段函数 (1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数.只不过在定义域内的不 同部分取值时，函数对应关系不同.其值域也是各段上的函数值集合的并集. (2)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于 哪一段，就用哪一段的解析式. (3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象 即可.
必修一第二章第二节
x＋4 3.若 f(x)＝x2－2x
－x＋2 (1)求 f(f(f(5)))的值； (2)若 f(a)＝－1，求 a 的值.
(x≤0) (0＜x≤4) ， (x＞4)
什么是映射
什么是映射映射主要有四种含义，分别是：1、映射是一个汉语词汇，意思是映照、照射，也可以指反射反映引证解释（1）映照；照射。
清·程麟《此中人语·阎王》：“﹝阎王﹞两眼碧光，与灯光相映射。
”碧野《没有花的春天》第二章：“星光从院子里映射进厅堂里来。
”（2）反射；反映。
瞿秋白《饿乡纪程》二：“只是那垂死的家族制之苦痛，在几度回光返照的时候，映射在我心里，影响于我生活。
”闻一多《诗与批评·<女神>之时代精神》：“二十世纪是个动的世纪。
这种的精神映射于《女神》中最为明显。
2、映射是一个数学名词在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互“对应”的关系，为名词。
映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。
基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。
两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A 中的每一个元素a，B中总有唯一的一个元素b与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。
其中，b称为元素a在映射f下的像[1]，记作：b=f(a)。
a称为b关于映射f的原像[1]。
集合A中所有元素的像的集合称为映射f 的值域，记作f(A)。
或者说，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素a，在集合B 中都有唯一的元素b与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。
如函数，算子等等。
这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。
一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。
注意：(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的像；（2）B中每个元素都有原像（即满射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的像（即单射），则称映射f 建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。
湘教版高中数学必修一课件1-2-1对应、映射和函数必修1
预习测评
1． 下列从集合A到集合B的对应f是映射的是( )． A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 答案 A
2．下列各组函数表示同一函数的是 A．y＝xx2－－39与 y＝x＋3
自学导引
1．映射的定义：设A，B是两个__非__空_的集合，如果按照某种 对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都 有_唯__一__元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B 的_映__射__，记作__f_：__A_→__B_． 在映射f：A→B中，集合A叫作映射的__定__义__域__，与A中元 素x对应的B中的元素y叫x的_象__(image)，记作y＝f(x)G，x 叫作y的_原__象__(inverseimage)．
解 (1)对于任意一个非零实数 x，2x被 x 唯一确定，所以当 x
≠0 时，x→2x是函数，这个函数也可以表示为 f(x)＝2x(x≠0)．
(2)当x＝4时，y2＝4，得y＝2或y＝－2，不是有唯一值和x对 应，所以，x→y(y2＝x)不是函数． (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯 一确定的值和它对应． 点评 1.判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B， 一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)． 2．函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否 具有函数关系，只要检验： (1)变量x的取值集合和两变量x、y的对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其取值集合中的每一个 值，是否都有唯一确定的值y与之对应．
高中数学课件
初高中数学衔接教学课程讲义----第6节函数的定义
初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义【映射】1.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”2.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.3.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→:【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ）【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值.【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.【例题4】函数1)1()(3099-+-=x xx f ，则=-)2(f __________.【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值.【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A. B. C. D.【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5【练习】判断下列说法是否正确：（1）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （2）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （3）函数的定义域、值域均是无限集； （ ）【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53-【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21D.1初高中数学衔接课讲义——函数第六讲 函数的定义 【映射】4.定义一般地，设B A ,是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射.记作“f （对应关系）：A （原象）B →（象）”5.映射的特性（1）存在性：对集合A 中任一个元素a ，在集合B 中都存在元素b 与之对应；（2）唯一性：集合A 中的任一元素在集合B 中的对应元素是唯一的；（3）封闭性：集合A 中任一个元素的对应元素都必须在集合B 中；（4）确定性：非空集合B A ,及对应关系都是确定的；（5）方向性：集合A 到集合B 的对应与集合B 到集合A 的对应所确定的映射是不同的.6.一一映射的概念如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有象，集合B 中的每一个元素在A 中都有象，那么就说两个集合之间存在着一一对应关系，并把这个映射叫做一一映射.【提示】（1）函数一定是映射，但是映射不一定是函数.（2）在函数中，B A ,是两个数集，即B A ,中的元素都是实数，但在映射中，B A ,中的元素不一定是实数.【例题1】下列对应是映射的有__________.答案：①④【例题2】下列各个对应中,构成映射的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题3】下列不能表示}40|{≤≤=x x P 到}20|{≤≤=y y Q 的映射的是（ ） A.x y x f 21:=→ B.x y x f 31:=→ C.x y x f 23:=→ D.x y x f =→: 答案：B【例题4】若),y x （在映射f 作用下的象是),xy y x +（，则()3,2-在f 作用下的象是_________；()3,2-在f 作用下的原象是__________.答案：），（61-; ），）或（（133,1-- 【例题5】设集合A 和B 都是实数集，映射B A f →:把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素13+-x x ，则在映射f 下，象1的原象组成的集合是（ ） A.}1{B.}210{--，，C.}0{D.}11{0-，，答案：D【例题6】设},|),{(R y R x y x B A ∈∈==，),(),(:b y kx y x f +→是从集合A 到集合B 的映射，若B 中元素）（2,6在映射f 下对应A 中元素)13(，，则=k _________，=b __________.答案：2； 1【函数的定义】设集合B A 、是两个非空数集，对于A 中的任意数x ，按照某种关系的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 与它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做的定义域，与x 的值相对应)(x f 的值叫做函数值，所有函数值构成的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域.【提示】（1）B A 、都是非空数集，故定义域（或值域）为空集的函数是不存在的.（2）B 不一定是函数的值域，如函数12+=x y 可称为实数集到实数集的函数，但函数的值域不是实数集R .（3）函数三要素的定义域、对应关系和值域.其中对应关系是核心，定义域是根本.（4）函数符合)(x f 的含义：)(x f 表示一个整体，一个函数，而符号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算）.【例题1】判断正误：（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应； （ ）（2）函数的定义域可以为空集； （ ）（3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ）（5）对于不同的x ， y 的值也不同； （ ）（6）函数23)(x x x f +=，则2)1(=f ; （ ） 答案：（1）√ （2）× （3）√ （4）√ （5）× （6）√【例题2】已知函数213)(+++=x x x f ，求))3((),3(--f f f 的值. 解析：由题意可得：123133)3(-=+-++-=-f 1221131)1())3((+=+-++-=-=-∴f f f 答案：12;1+- 【例题3】函数6)(+=x x f ，则=)3(f __________.答案：3 【例题4】函数1)1()(3099-+-=x x x f ，则=-)2(f __________.解析：由题意可得：当2-=x 时，()()01299≠--，()[]112099=--∴ ()8121)2(3-=--+=-∴f 答案：8-【例题5】已知函数213)(+++=x x x f ，当0>a 时，求)1(),(-a f a f 的值. 解析：由题意可得：当0>a 时，213213)(+++=+++=a a a a a f 11221131)1(+++=+-++-=-a a a a a f 答案：213)(+++=a a a f ; 112)1(+++=-a a a f 【例题6】下列图象能表示函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：C 【例题7】下列图中能作为函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：D 【例题8】下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）A.B. C. D.答案：B 【例题9】图中能作为函数图象的是（ ）A.（1）、（2）B.（1）、（3）C.（2）、（4）D.（3）、（4）答案：A【例题10】)(x f y =定义在[]3,2-上，则函数)(x f y =图象与直线2=x 的交点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.不能确定答案：B【例题11】函数)(x f y =的图象与直线1=x 的公共点数目是（ ）A.1B.0C.0或1D.1或2答案：C【课堂练习】【练习】设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是（ ）A.2B.3C.4D.5答案：C【练习】判断下列说法是否正确：（4）表达式相同的两个函数是相同函数；（ ） （5）定义域、值域均相同的函数是同一函数； （ ） （6）函数的定义域、值域均是无限集； （ ） 答案：（1）× （2）× （3）×【练习】关于函数)(x f y =与函数)1(+=x f y 的叙述一定正确的是（ ）A.定义域相同B.对应关系相同C.值域相同D.三要素都不可以不同答案：C【练习】下列图形可以表示为以}10|{≤≤=x x M 为定义域，以}10|{≤≤=x x N 为值域的函数是（ ）A.B. C. D.答案：C 【练习】函数11)(22+-=x x x f ，则=)21()2(f f （ ） A.1B.-1C.53 D.53- 解析：由题意可得：531212)2(22=+-=f ,53121121)21(22-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=f∴15353)21()2(-=-=f f . 答案：B【练习】设|||1|)(x x x f --=，则=)]21([f f （ ） A.21-B.0C.21 D.1 解析：由题意可得：0|21||121|)21(=--=f ，1|0||10|)0()]21([=--==∴f f f . 答案：D。
映射
映射教学目标1．了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．（1）明确映射是特殊的对应即由集合，集合和对应法则f三者构成的一个整体，知道映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；（2）能准确使用数学符号表示映射，把握映射与一一映射的区别；（3）会求给定映射的指定元素的象与原象，了解求象与原象的方法．2．在概念形成过程中，培养学生的观察，比较和归纳的能力．3．通过映射概念的学习，逐步提高学生对知识的探究能力．教学建议教材分析（1）知识结构映射是一种特殊的对应，一一映射又是一种特殊的映射，而且函数也是特殊的映射，它们之间的关系可以通过下图表示出来，如图：由此我们可从集合的包含关系中帮助我们把握相关概念间的区别与联系．（2）重点，难点分析本节的教学重点和难点是映射和一一映射概念的形成与认识．①映射的概念是比较抽象的概念，它是在初中所学对应的基础上发展而来．教学中应特别强调对应集合中的唯一这点要求的理解；映射是学生在初中所学的对应的基础上学习的，对应本身就是由三部分构成的整体，包括集合A和集合B及对应法则f，由于法则的不同，对应可分为一对一，多对一，一对多和多对多．其中只有一对一和多对一的能构成映射，由此可以看到映射必是“对B中之唯一”，而只要是对应就必须保证让A中之任一与B中元素相对应，所以满足一对一和多对一的对应就能体现出“任一对唯一”．②而一一映射又在映射的基础上增加新的要求，决定了它在学习中是比较困难的．教法建议??（1）在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对一、一对一四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识．（2）在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，在集合的选择上可选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法让学生可以比较直观的认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射，比如：，．这种表示方法比较简明，抽象，且能看到三者之间的关系．除此之外，映射的一般表示方法为，从这个符号中也能看到映射是由三部分构成的整体，这对后面认识函数是三件事构成的整体是非常有帮助的．（3）对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括．最后再让学生举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢，引出一一映射概念．（4）关于求象和原象的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原象的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况(有唯一解，无解或有无数解)加深对映射的认识．（5）在教学方法上可以采用启发，讨论的形式，让学生在实例中去观察，比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例，计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用．教学设计方案2.1 映射教学目标(1)了解映射的概念，象与原象及一一映射的概念．(2)在概念形成过程中，培养学生的观察，分析对比，归纳的能力．(3)通过映射概念的学习，逐步提高学生的探究能力．教学重点难点：:映射概念的形成与认识．教学用具：实物投影仪教学方法：启发讨论式教学过程：一、引入在初中，我们已经初步探讨了函数的定义并研究了几类简单的常见函数．在高中，将利用前面集合有关知识，利用映射的观点给出函数的定义．那么映射是什么呢?这就是我们今天要详细的概念．二、新课在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，而映射是重点研究两个集合的元素与元素之间的对应关系．这要先从我们熟悉的对应说起(用投影仪打出一些对应关系，共6个)我们今天要研究的是一类特殊的对应，特殊在什么地方呢?提问1：在这些对应中有哪些是让A中元素就对应B中唯一一个元素?让学生仔细观察后由学生回答，对有争议的，或漏选，多选的可详细说明理由进行讨论．最后得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合条件的(用投影仪将这几个集中在一起)提问2：能用自己的语言描述一下这几个对应的共性吗？经过师生共同推敲，将映射的定义引出．(主体内容由学生完成，教师做必要的补充)(板书)一．映射1．定义:一般地，设两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合及到的对应法则)叫做集合到集合的映射，记作．定义给出之后，教师应及时强调映射是特殊的对应，故是三部分构成的一个整体，从映射的符号表示中也可看出这一点，它的特殊之处在于元素与元素之间的对应必须作到“任一对唯一”，同时指出具有对应关系的元素即中元素对应中元素，则叫的象，叫的原象．(板书)2．象与原象可以用前面的例子具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象．提问3：下面请同学根据自己对映射的理解举几个映射的例子，看对映射是否真正认识了．(开始时只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是无限集，或生活中的例子等)由学生自己评判．之后教师再给出几个(主要是补充学生举例类型的不足)(1) ，，，．(2) ．(3) 除以3的余数．(4) {高一1班同学}， {入学是数学考试成绩}，对自己的考试成绩．在学生作出判断之后，引导学生发现映射的性质(教师适当提出研究方向由学生说，再由老师概括)(板书)3．对概念的认识(1) 与是不同的，即与上有序的．(2)象的集合是集合B的子集．(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合．在刚才研究的基础上，教师再提出(2)和(4)有什么共性，能否把它描述出来，如果学生不能找出共性，教师可再给出几个例子，(用投影仪打出)如：(1)(2) {数轴上的点}，实数与数轴上相应的点对应．(3) {中国，日本，韩国}， {北京，东京，汉城}，相应国家的首都．引导学生在元素之间的对应关系和元素个数上找共性，由学生提出两点共性集合A中不同的元素对集合B中不同的元素;②B中所有元素都有原象．那么满足以上条件的映射又是一种特殊的映射，称之为一一映射．(板书)4．一一映射（1）定义:设A，B是两个集合，是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下对于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．给出定义后，可再返回到刚才的例子，让学生比较它与映射的区别，从而进一步明确“一一”的含义．然后再安排一个例题．例1 下列各表表示集合A(元素a)到集合B(元素b)的一个映射，判断这些映射是不是A到B上的一一映射．其中只有第三个表可以表示一一映射，由此例点明一一映射的特点(板书)(2)特点:两个集合间元素是一对一的关系，不同的对的也一定是不同的(元素个数相同);集合B与象集C是相等的集合．对于映射我们现在了解了它的定义及特殊的映射一一映射，除此之外对于映射还要求能求出指定元素的象与原象．(板书)5．求象与原象．例2 (1)从R到的映射，则R中的-1在中的象是_____；中的4在R中的原象是_____．(2)在给定的映射下，则点在下的象是_____，点在下的原象是______．(3) 是集合A到集合B的映射，，则A 中元素的象是_____，B中象0的原象是______， B中象-6的原象是______．由学生先回答第(1)小题，之后让学生自己总结一下，应用什么方法求象和原象，学生找到方法后，再在方法的指导下求解另外两题，若出现问题，教师予以点评，最后小结求象用代入法，求原象用解方程或解方程组．注意：所解的方程解的情况可能有多种如有唯一解，也可能无解，可能有无数解，这与映射的定义也是相吻合的．但如果是一一映射，则方程一定有唯一解．三、小结1．映射是特殊的对应2．一一映射是特殊的映射．3．掌握求象与原象的方法．四、作业:略五、板书设计探究活动（1） {整数}， {偶数}，，试问与中的元素个数哪个多?为什么?如果我们建立一个由到的映射对应法则乘以2，那么这个映射是一一映射吗?答案：两个集合中的元素一样多，它们之间可以形成一一映射．（2）设，，问最多可以建立多少种集合到集合的不同映射?若将集合改为呢?结论是什么？如果将集合改为，结论怎样?若集合改为，改为，结论怎样?从以上问题中，你能归纳出什么结论吗?依此结论，若集合A中含有个元素，集合B中含有个元素，那么最多可以建立多少种集合到集合的不同映射?答案：若集合A含有m个元素，集合B含有n个元素，则不同的映射有个．。
集合与映射
集合与映射【高考要求】【知识精讲】板块一：集合的含义与表示（一）知识内容1•集合的有关概念⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）•构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）•⑵元素用小写字母a,b,c,…表示；集合用大写字母A,B,C,… 表示•⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作.一.⑷集合的分类：有限集、无限集⑸集合元素的性质：确定性、互异性、无序性2•元素与集合间关系：属于•；不属于■'•3•集合表示法⑴列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“ ｛｝内'的表示集合的方法•例如：｛1, 2,3 , 4 , 5｝，｛1, 2,3, 4, 5；"｝⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如｛x|描述特点｝例如：大于3的所有整数表示为：｛x. Z|x 3｝方程x 2 _2x _5 =0的所有实数根表示为：｛x 三R | x 2「2x 「5 = 0 ｝ ⑶常用集合及符号： 自然数集N非零自然数集N*或N + 整数集Z 有理数集Q 实数集R（二）典例分析：1•集合的有关概念【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（）•A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程x 2 -1 0的实数解D.周长为10cm 的三角形垂A 1 :判断下列元素的全体能否构成集合，并说岀理由。
1、 所有的老人2、 所有的正方形3、 5~8岁的所有人4、 很小的实数可以构成集合【例2】已知x • R ，则集合｛ _1,x 2 _2x ｝中元素x 所应满足的条件为 _________________ .绘三2:已知x • R ，则集合｛3, x,x 2 -2x ｝中元素x 所应满足的条件为 ___________________ .2. 集合与元素间的关系【例3】用“ ”或填空：⑴ 若 A =｛ x | x 2 _3x _4 =0｝，贝U -1 A ; -4 ___________ A ;⑵ 0—0 ；⑶ 0 _｛0｝.的」 3:用符号“ ”或“”填空⑴ 0 ________ N ， 丘 ____________ N ， 716 ______ N⑵—— Q , n Q3•集合的表示方法【例4】下列命题正确的有（ ）⑴集合 込| y =x 2 -门与集合1 x,y | y =x 2 -心是同一个集合； ⑵-丄,0.5这些数组成的集合有5个元素；2 42⑶集合〈x , y | xy < 0 , x, y • R ［是指第二和第四象限内的点集.A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个2练債4:用列举法表示下列集合⑴方程2x2 x -6 =0的根;⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数y =3x • 2与y =丄的交点组成的集合.x板块二：集合间的基本关系（一）知识内容1•子集：对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A为集合B的子集，记作A §B （或B二A），读作“A包含于B ”（或’B包含A ”. 规定：；：二是任意集合的子集.2•真子集：如果集合A B，但存在元素x• B，但x - A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A二B （或B耳A）.-是任意非空集合的真子集.3.相等：如果集合A是集合B的子集（A B），且集合B是集合A的子集（B二A），此时，集合A与集合中的元素是一样的，我们说集合A与集合B相等，记作A =B .（二）典例分析【例5】用适当的符号填空：⑴■ _____ {0}⑵ 2_{（1, 2）}⑶ 0{x | x2 -2x +5 =0}⑷{3, 5} ______ {x | x2 -8x +15 =0}⑸{3, 5} ______ N⑹{x | x =2n +1, n W Z} ___{ x | x =4k ±1, k € Z}⑺{（2 , 3）} —{（3 , 2）}【例6】已知 A ={ x _2 _x _5} , B ={ x m • 1 _ x _2m _1}， B 二A，求m 的取值范围.録壬 5：设A ={ x| _仁：x ：：：3}, B ={ x I x .a},若A二B，则a的取值范围是 ____________ 【例7】{a , b, c} 4 A 4{ a , b , c , d , e , f}，求满足条件的A的个数.【例8】求集合{a,b}的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1, 2, 3, 4, 5/ ' , 100}的子集和真子集的个数.（推导结论）板块三：集合的基本运算（一）知识内容1.相关概念：⑴ 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A U B （读作’A 并 B ”，即A U B ={x |x€ A,或x€ B}.⑵ 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作 A ^B （读作“A 交 B ”，即A^B ={x |x€ A,且x€ B}.⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U .补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作ej A，即q A ={ x | x • U ,且x '' A}.（二）典例分析【例9】已知全集U ={ 1 , 2,3, , A 二{1, 2, 3, 4,5} , B ={4 , 5, 6, 7, 8},C ={3 , 5 , 7,9}求：A B , AB , A（e U B）, q A B , A （B C）粽习6：已知全集U =R , A ={ x 3x +2 a—1} , B ={ x x £/} , C ={ x _x —4 >0} 求：A B , AB , A (e U B) , Qj A B , A (B C)圾「:’7 :设全集U =R , M =fm |方程mx2 _x 一1 =0有实数根］,N -「n |方程x2-x - n =0有实数根［，求ej M N .【例10】若U为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）⑴若A B =_，则熔A心U B二U⑵若 A B =U，贝V 熔 A [U B⑶若 A B =._，贝V A =B =,A . 0个B . 1个C. 2个D . 3个【例11】已知集合A =fa2,a • 1,七〉B =「a _3,2a _1,a2• 1?，若A B 亠3?，求实数a的值.離习8 :设全集I ={ x | x < 20 且x 为质数}.若 A 口^B ={3 , 5} , ］B = {7 ,19}且痧A ^={2,17求集合A,B .【例12】若集合A ={ -1,1} , B ={x| mx =1}，且A B二A，则m的值为（A. 1B. -1C. 1 或-1D. 1 或-1 或0统习9:设集合 A - ；x | x2-3x * 2 =0 ' B - ；x | x22( a ' 1)x ' (a^5^^。
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
语文学习中的修辞效果分析技巧
语文学习中的修辞效果分析技巧修辞是语文学习中重要的一部分，通过巧妙地运用修辞手法，可以使文章更加生动、形象，并且能够增强表达的力度和感染力。
本文将就语文学习中的修辞效果分析技巧进行探讨。
一、修辞效果分析技巧的基本概念在进行修辞效果分析之前，我们首先要了解什么是修辞。
修辞，顾名思义，就是修饰语言，使其具有更加美感和表现力的手法。
它通过运用比喻、夸张、排比等手法，来形成一种特殊的表达方式，达到传递作者意图和情感的目的。
二、比喻的修辞效果分析技巧比喻是最常用的修辞手法之一，它通过将具体事物和抽象概念进行联想和类比，来表达特定的含义和意境。
在分析比喻的修辞效果时，可以从以下几个方面进行思考：1. 运用对象：比喻时所选择的事物或概念对文章主题的影响和补充。
2. 比喻形象：比喻所描述的形象是否生动、形象，能否使读者产生直观的感受和联想。
3. 映射含义：比喻所传递的具体含义和隐喻意义，以及与文章主题的关联和契合度。
三、夸张的修辞效果分析技巧夸张是通过对事物的渲染和夸大，来达到强调和表达个人情感的目的。
在分析夸张修辞效果时，可以从以下几个方面进行思考：1. 强调内容：夸张修辞的内容在文章中的位置和作用，是否能够突出重点和吸引读者的注意。
2. 感染力和张力：夸张修辞所表达的情感和感受，是否能够引发读者的共鸣和情感共振。
3. 文章节奏：夸张修辞带来的音韵和语言的节奏感，是否与文章整体风格相协调。
四、排比的修辞效果分析技巧排比是通过对语句结构的重复和平行，来强调事物之间的对比和对立，从而使文章更加有力和生动。
在分析排比修辞效果时，可以从以下几个方面进行思考：1. 对比形式：排比修辞的表达形式和结构，是否能够体现事物间的对比和呼应。
2. 语言韵律：排比修辞的音韵和节奏感，是否使文章有一定的韵律感和节奏感。
3. 强调视觉效果：排比修辞所表现的具体形象或事物之间的对比，是否能够使读者产生直观的感受和形象。
五、总结与展望通过以上对语文学习中修辞效果分析技巧的探讨，我们可以看到修辞对于文章的表达和感染力具有重要作用。
映射的意思语文
映射的意思语文
映射指的是将一个事物或概念通过图像、图表或其他方式呈现出来，以便更好地理解和分析。
在现代科技发展的背景下，映射技术得到了广泛的应用，尤其是在地图制作、数据可视化、网络安全等领域。
在地图制作方面，映射技术可以根据实际情况进行三维建模和数据分析，制作出更加真实、准确的地图。
在数据可视化方面，映射技术可以帮助我们更好地理解数据的含义和趋势，从而做出更加明智的决策。
在网络安全方面，映射技术可以帮助我们识别和分析网络攻击，从而更好地保护网络安全。
除了在技术领域的应用之外，映射还有着更广泛的意义。
人们可以通过映射来了解不同文化之间的差异，理解历史和文化发展的脉络。
同时，映射也可以帮助我们探索更深刻的哲学和人类思维的问题，例如人类意识和思维的本质等等。
可以说，映射技术不仅是一种工具，更是一种思维方式和方法论。
通过映射，我们可以更好地理解和分析事物，从而探索更深刻的问题和发现更多的可能性。
- 1 -。
数学概念教学的两种方式
五、两个实例 课例：三角函数起始课 ——任意角
• 立意：以数学概念的发生发展过程为载体，使学生经历完 整的数学研究过程，逐步学会认识和解决问题的方法。
明确问题，获得对象，
确定内容，选取方法，
实施过程，获得结论。
研究问题——研究对象——研究方法——研究结果
1．如何“开篇”
• 本课是“三角函数”的“开篇”，应发挥“先行组织者” 的作用。 • 要充分重视构建本章的基本研究思路的教学，为整章学习 做好准备。 • 解决好两个问题：第一，为什么要学习本章内容；第二，
• 第三，是意义。知识的意义是其内具的促进人的思想、精 神和能力发展的力量。
• 作为人类认识成果的知识蕴含着对人的思想、情感、价值
观乃至整个精神世界具有启迪作用的普适性的或“假定性 的”意义。 • 这种普适性的或“假定性的”意义的存在，使学生通过知 识习得建立价值观成为可能。
• 哲学认识论的知识:就它的反映内容而言,是客观事物的属 性和联系的反映,是客观世界在人脑中的主观映象. • 就它的反映活动形式而言,有时表现为主体对事物的感性 知觉或表象,属于感性知识,有时表现为关于事物的概念或 规律,属于理性知识.(知识是主观世界的客观反映)
• 信息加工心理学的观点:知识是主体与其环境相互作用而获 得的信息及其组织,储存于个体内即内个体的知识,储存于 个体外即为人类知识,
• 知识的本质是信息在人脑中的表征.
• 一类为陈述性知识-----是什么(显性知识,明言知识)
•
•
一类为程序性知识------怎么办(默会知识)
有意义知识,机械知的关键机制； • 学习和应用知识的过程也是抽象-概括的过程； • 数学抽象-概括能力是数学学科能力的基础，抽象-概括能 力的训练是数学能力训练的基础； • 抽象-概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础
1.2.2函数的表示法(二)映射
例如：
f:平方
1
2
1
3
4
2
5
6
3
7
8
9
是函数
也是映射
学生甲 学生乙 学生丙 学生丁
f
高一3班
高一4班
只是映射
以下是不是映射？
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
以下是不是映射？
①开平方
3
9
-3
方
-1
2
1
-2
4
3 -3
9
以下是不是映射？
①开平方
记作：f：x y, x A, y B 或者f：A B,其中x称为原象，y称为象
象与原象的定义：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A， b∈B，若a与b对应，则把元素b叫做a在 B中的象，而a叫做b的原象.
③求正弦 1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
④乘以2 1
1
2 3
2
4
3
5
6
函数与映射之间的异同： 1)函数是一个特殊的映射； 2)函数:数集A数集都是数集，
a
e
a
e
a
e
bf
bf
bf
c
g
c d
g
c
g d
“原象集”不 能有剩余元素
“象集”可 以有剩余元 素
例1. 判断下列对应是否映射？有没有对 应法则？
a
e
a
e
a
e
bf
bf
bf
c
高三数学映射与函数
映射与函数一、学习目标1、了解映射的概念；能判断某些简单的对应是不是映射；在映射基础上加深理解函数。
2、理解函数的概念；正确运用函数记号。
3、掌握函数的要素；能判断两个函数是否为同一个函数。
4、初步掌握函数的三种表示法。
5、掌握分段函数6.加深理解函数的概念；理解对应法则的含义；初步掌握函数解析式的两种求法：（1）待定系数法；（2）换元法7.会求一些简单函数的定义域和值域。
二、问与答问1：写出映f∶A→B的定义【解】映射f∶A→B的定义是：设A；B是两个集合；如果按照某种对应法则f；对于集合A中的任何一个元素；在集合B中都有唯一的元素和它对应；那么这样的对应（包括集合A；B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射；记作f∶A→B。
【评注】这个定义；不要死记硬背；要从以下四点深刻理解它：1、先记住映射的记号“f∶A→B”；它包括集合A；B以及A到B的对应法则f(A≠Φ；B≠Φ)。
2、映射f∶A→B是有方向的；即从A到B；定义中只要求A中的每一个元素在B中有怎样的“象”？并不要求B中的每一个元素在A中有怎样的对应。
因此；“从A到B 的映射”与“从B到A的映射”是不同的。
3、在A到B的映射中；集合A中的每一个元素在B中都有“象”；且“象”唯一。
4、映射是一种特殊的“对应”。
而“对应”与集合一样；也是原始概念；即无定义的；但可以“说明”：对应是两个集合A与B的关系；通常以一个集合为主来考虑；对于A中的每一个元素来说；有以下三种对应关系：（1）B中有唯一元素与之对应。
（2）B中有多个元素（不是唯一）与之对应。
（3）B中没有元素与之对应。
映射就是第（1）种对应；而（2）、（3）两种对应不是映射。
问2：在映射f∶A→B中；什么叫“象”和“原象”？怎样判别一个对应是否是映射？试举一个正例和反例。
【解】在映射f∶A→B中；如果a∈A；b∈B；且元素a和元素b对应；那么；元素b叫做元素a的象；元素a叫做元素b的原象；记作：f(a)=b。
高中数学映射的概念练习题(有答案)
高中数学映射的概念练习题（有答案）数学必修1(苏教版)2．1函数的概念和图象2.1.4映射的概念函数实质上是定义域A(非空数集)到其值域B(非空数集)，按照某个对应法则f的一个对应，能否将函数的概念拓展为不是数集的对应？基础巩固1．设A＝{x|02}，B＝{y|12}，如图，能表示集合A到集合B的映射的是()解析：因为象集为{y|12}，故A，B错，又根据映射的定义知C错．答案：D2．已知f：AB是集合A到B的映射，又A＝B＝R，对应法则f：xy＝x2＋2x－3，kB且k在A中没有原象，则k的取值范围是()A．(－，－4) B．(－1,3)C．[－4，＋) D．(－，－1)(3，＋)解析：∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4－4，即象集为[－4，＋)当k－4时，k就没有原象．答案：A3．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，映射f：MN，在f作用下(x，y)的象是(2x,2y)，则集合N为()A．{(x，y)|x＋y＝2，x0，y0}B．{(x，y)|xy＝1，x0，y0}C．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}D．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}解析：2x2y＝2x＋y＝21＝2.答案：D4．给出以下对应：(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|xR，yR}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．其中是从集合A到B的映射的是________(填序号)．答案：(1)(2)(3)5．已知A＝B＝R，xA，yB，f：xy＝ax＋b，若55，且711，则当x20时，x＝________.解析：由5a＋b＝5，7a＋b＝11a＝3，b＝－10，即y＝3x－10.当y＝20时，易得x＝10.答案：106．从集合A＝{1,2,3,4}到B＝{5,6,7}可建立________个不同的映射．解析：1选象有3种选法，同样的，2,3,4都有3种选象的方法且互不影响．共有3333＝81个不同映射．答案：817．已知M＝{正整数}，P＝{正奇数}，映射f：a(aM)b＝2a －1，则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________，P中的元素11对应着M中的元素________．解析：由题知a＝11，b＝21，即M中的元素11对应着P中的元素21；又b＝11，代入b＝2a－1，a＝6，即P中的元素11对应着M中的元素6.答案：21 68．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c，2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．解析：由题目的条件可以得到a＋2b＝14,2b＋c＝9，2c＋3d ＝23,4d＝28，a＝6，b＝4，c＝1，d＝7.答案：6,4,1,79．某次数学考试中，学号为i(14，且iN)的四位同学的考试成绩f(i){91,93,95,97,99}，且满足f(1)f(3)f(4)，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有________种．解析：若f(1)f(3)f(4)，则有5种可能，若f(1)f(2)＝f(3)f(4)，则有10种可能，故成绩可能状况为5＋10＝15种．答案：1510．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，f：xy＝px ＋q是从集合A到集合B的一个映射，已知m，nN*,1的象是4,7的原象是2，试求p，m，q，n的值．解析：由题知p＋q＝4，2p＋q＝7，p＝3，q＝1，y＝3x＋1，33＋1＝n4，3m＋1＝n2＋3n或33＋1＝n2＋3n，3m＋1＝n4，∵m，nN*，n4＝10，3m＋1＝n2＋3n(舍去)或10＝n2＋3n，3m＋1＝n4. m＝5，n＝2.p＝3，q＝1，n＝2，m＝5.能力提升11．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如函数f(x)＝2x＋1(xR)就是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(xR)就是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；③若f：AB为单函数，则对任意bB，它至多有一个原象．其中正确命题是__________(写出所有正确命题序号)．答案：②③12．已知集合A为实数集R，集合B＝{y|y2}，xA，yB，对应法则f：xy＝x2－2x＋2，那么f：AB是A到B的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A或B(f不变)使之成为映射．解析：由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋11，即在f下，A中的元素变换成集合{y|y1}中的元素，现在已知的集合B＝{y|y2}，所以A中的部分元素x(0,2)在B中无对应元素．所以f：AB不是A到B的映射．xKb 1. Com将B改为{y|y1}，A与f不变，则f：AB成为A到B的一个映射．要练说，得练看。
映射的概念_2
映射的概念[自学目标]．了解，函数是一类特殊的映射．会判断集合A到集合B的关系是否构成映射[知识要点]．正确理解“任意唯一”的含义．函数与映射的关系，函数是一类特殊的映射[预习自测]例题1.下列图中，哪些是A到B的映射？例2.根据对应法则，写出图中给定元素的对应元素⑴f:x→2x+1⑵f:x→x2-1ABAB例3.已知f是集合A={a,b}到集合B={c,d}的映射，求这样的f的个数设={-1,0,1},N={2,3,4}，映射f：→N对任意x∈都有x+f是奇数，这样的映射的个数为多少？[课内练习]下面给出四个对应中，能构成映射的有⑴⑵⑶⑷个2个3个4个判断下列对应是不是集合A到集合B的映射？A={x|-1≤x≤1},B={y|0≤y≤1},对应法则是“平方”A=N,B=N+,对应法则是“f:x→|x-3|”A=B=R,对应法则是“f:x→3x+1”A={x|x是平面α内的圆}B={x|x是平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”集合B={-1,3，5}，试找出一个集合A使得对应法则f:x →3x-2是A到B的映射若A={}在映射f下得集合B={},已知c={}在f下得集合D={},求a,b的值设集A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在下图中能表示从集A到集B的映射的是A．B．c．D．[归纳反思]构成映射的三要素：集合A，集合B，映射法则f理解的关键是：明确“任意”“唯一”的含义[巩固提高]关于映射下列说法错误的是A中的每个元素在B中都存在元素与之对应在B存在唯一元素和A中元素对应A中可以有的每个元素在B中都存在元素与之对应B中不可以有元素不被A中的元素所对应。
下列从集合A到集合B的对应中，是映射的是A={0,2},B={0,1},f:xy=2xA={-2,0,2},B={4},f:xy=2xA=R,B={y │y<0},f:xy=A=B=R,f:xy=2x+1若集合P={x │0≤x ≤4},Q={y │0≤y ≤2},则下列对应中，不是从P 到Q 的映射的y=xy=xy=xy=x给定映射f 映射f 作用下的象是设A 到B 的映射f1：x2x+1，B 到c 的映射f2：y y2—1，则从A 到c 的映射是f ：已知元素在映射f 下的原象是，则在f 下的象设A={—1，1，2}，B={3，5，4，6}，试写出一个集合A 到集合B 的映射．已知集合A={1，2，3}，集合B={4，5}，则从集合A 到B 的映射有个。
2.3 映射
2.函数是一种特殊映射，两者之间比较为
映射
函数
集合A，B可为任何集合， 函数的定义域和值域均为
如物、人、数等
非空的数集
对集合A中任一元素a，在 对函数的定义域中每一个x， 集合B中都有唯一确定的 值域中都有唯一确定的值
元素和它对应
与之对应
对集合B中任一元素b，在 对值域中每一个函数值， 集合A中不一定有元素和b 在定义域中都有确定的自 对应 变量的值与之对应
【解析】 假设 A
a＝0 所以 b＝－1 a＋2b＋2＝a 中存在这样的元素(a， 则由ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意得 b)， 4a＋b＝b
，
，所以 A 中存在元素(a，b)使它的象仍是它自己，这个元素
为(0，－1).
函数的实际应用
某市空调公共汽车的票价如下： ①5公里以内(包括5公里)，票价2元； ②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里的按5公里计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和 终点站)有21个汽车站，请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式， 并画出函数的图象.
不是函数. (4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集.
象与原象
已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}， f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y). (1)求A中元素(5,5)的象； (2)求B中元素(5,5)的原象.
【思路点拨】 ①f：A→B 中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}； ②对应关系 f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)； ③A 是原象集，B 是象集，解答本题中的(1)可利用 x＝5，y＝5 代入对 应关系求出(x＋2y＋2,4x＋y)的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程
人教版高中数学必修一课件：集合-映射
已知 ⑴
的映A射有多{1少,个2?,3},取,适B当的{对5应,法6}则
A到B ⑵以 为定义域, 为值域的函数有多少个?
⑶在所有的以 为定义域, 为值域的函数中,
满足 A
B 的函数有多少个?
A
B
f (1) f (2) f (3)
9
A B {a,b,c, d,e,, x, y, z}
A {a, b, c, d ,, x , y , z } B {a, b, c, d , , x , y , z }
考察下面的问题,集合A,B与集合C之间有什么关系?
(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8}； (2)A={x|x是我班的女同学},
B={x|x是我班戴眼镜的同学}, C={x|x是我班戴眼镜的女同学}.
发现：集合C是由集合A中和集合B中的公共元素所 组成的.
交集
一一映射：设A，B是两个集合，f : A B 是集合A到集合B
的映射，如果在这个映射下，对于A中的不同元素，在集合B中 有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做 A到B上的一一映射
7
• 答：主要有两点区别： • (1) 映射要求A中的元素在B中有唯一的象，
而一一映射不仅要求A中的元素在B中有唯 一的象，还要求A中不同的元素在B中有不 同的象； • (2) 映射不需要B中的元素都有原象，而一 一映射则要求B中的每一个元素都必须有原 象。
映射
A 开平方
B93来自－342－2
1
1
－1
A
B
求平方
1
－1
1
2
－2
4
3
－3
9
A 求正弦 B
人教新课标版数学高一必修1学案 函数的表示法(二)
1.2.2 函数的表示法(二)自主学习1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是非空数集．对点讲练分段函数的求值问题【例1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2 (－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值； (2)若f (a .)＝3，求a . 的值．分析 本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能范围逐段进行讨论． 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a .≤－1时，f (a .)＝a .＋2，又f (a .)＝3，∴a .＝1(舍去)；当－1<a .<2时，f (a .)＝a .2，又f (a .)＝3，∴a .＝±3，其中负值舍去，∴a .＝3；当a .≥2时，f (a .)＝2a .，又f (a .)＝3， ∴a .＝32(舍去)．综上所述，a .＝ 3.规律方法 对于f (a .)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a . 所在范围有关，因此要对a .进行讨论．由此我们可以看到： (1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x (x <0)，若f (a .)>a .，则实数a .的取值范围是________．答案 a .<－1解析 当a .≥0时，f (a .)＝12a .－1，解12a .－1>a .，得a .<－2与a .≥0矛盾，当a .<0时，f (a .)＝1a ，解1a>a .，得a .<－1.∴a .<－1.分段函数的图象及应用【例2】 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 化简f (x )的解析式 →化简f (x )的解析式 →把f (x )表示为分段函数形式→画出f (x )的图象→求f (x )的值域 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎨⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移 2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1| (x <1)－x ＋3 (x ≥1)，使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－2]∪[0,2] 解析在同一坐标系中分别作出f (x )及y ＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x 的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．映射概念及运用【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些不是，为什么？（1）A={x|x 为正实数}，B={y|y ∈R[}，f ：x →y=±x（2）A=R ，B={0，1},对应关系f ：x,→y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；0， x<0；（3）A=Z ，B=Q ，对应关系f ：x →y=1x；（4）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a →b=()21a -解 (1)任一个x 都有两个y 与之对应，∴不是映射．(2)对于A 中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应， ∴是映射．(3)集合A 中的0在集合B 中没有元素和它对应，故不是映射． (4)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射．规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A 中的 每一个元素”；(2)在B 中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可． 变式迁移3 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A=R ，B=R,f:x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{a.|a.＝n ，n ∈N ＋}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b|b ＝1n ，n ∈N ＋，f ：a.→b ＝1a；(3)A=[)0,+∞,B=R ，f:x→y 2＝x ；(4)A ＝{x|x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x|x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆． 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：(1)集合A 到B 的映射，A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)； (2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)与A 中元素对应的元素构成的集合是集合B 的子集．课时作业一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝N *，f ：a .→b ＝(a .＋1)2D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 答案 A2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ) A ． f:x→y ＝12x B. f:x→y ＝13xC. f:x→y ＝14xD. f:x→y ＝16x答案 A由f:x →y ＝12x ，集合A 中的元素6对应3∉{y |0≤y ≤2}，故选项A 不是映射．3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 由题意知f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 (x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]等于( )A ．－xB ．－x 2C ．xD ．x 2 答案 B解析 当x <0时，g (x )＝－x 2<0， ∴f [g (x )]＝－x 2. 二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．答案 π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥00，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2， 解得x ≤2，∴x <0. 综上可知x ≤1. 三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x <3)的图象． 解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)．∵点(1,1)、(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2 (x <1)． 同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a .(x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a .<0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a .＋2＝1，a .＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).【探究驿站】9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1， 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)，若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1， 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3， 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
第二章 2.3 映 射
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解析：(1)依据映射定义，从集合 A 到集合 B 的映射有：22＝4(个)，如图．
(2)A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，则从 A 到 B 的映射共有：23＝8(个)．反过来从 B 到 A 的映射共有：32＝9(个)．
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映射的综合应用 [典例] (本题满分 12 分)已知映射 f：A→B 中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A 中的元素(x，y)对应到 B 中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)． (1)是否存在这样的元素(a，b)，它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在， 说明理由； (2)判断这个映射是不是一一映射．
函数 是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射，函数概念可以叙述为：
设 A，B 是两个非空数集，f 是 A 到 B 的一个映射，那么映射 f：A→B 就叫做 A 到 B 的函数．
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[双基自测] 1．映射 f：A→B 是定义域 A 到值域 B 上的函数，下列结论中正确的是( A．A 中每个元素必有像，但 B 中元素不一定有原像 B．B 中元素必有原像 C．B 中元素只有一个原像 D．A 或 B 中可以是空集或不是数集 )
答案：C
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2．设集合 A＝{2,4,6,8,10}，集合 B＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系 f 能构成 A 到 B 的映射的有( A．f：x→(2x－1)2 C．f：x→x2－2x－1 ) B．f：x→(2x－3)2 D．f：x→(x－1)2
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映射的例句
映射的例句
"映射"一词可以用于多个语境，以下是一些例句，涵盖了不同领域的用法：
1. 数学：
- 这个函数将输入的数值映射到输出的结果。
- 在坐标系中，这个点映射到直线上。
2. 计算机科学：
- 在数据库中，表格的一列可以映射到另一个表格的关联字段。
- 这个算法通过映射将输入数据转换为输出数据。
3. 地理学：
- 地图是对现实地理空间的映射。
- 这个图表映射了城市的发展趋势。
4. 心理学：
- 孩子的行为经常映射了他们的情感状态。
- 梦境可能映射了个体的潜意识想法。
5. 艺术与设计：
- 画家通过色彩和形状的映射来表达他的情感。
- 这个装置艺术作品将观众的影子映射到墙上。
6. 金融与经济学：
- 这个图表映射了公司的销售增长趋势。
- 通货膨胀率的上升可能映射了经济的不稳定性。
7. 语言学：
- 在语言学中，单词和其含义之间存在映射关系。
- 不同语言中的语音结构可能映射不同的文化差异。
8. 生物学：
- 这个基因型映射到特定的表现型。
- 某些动物的皮毛颜色可能映射了它们在自然环境中的适应性。
这些例句展示了"映射"一词在不同领域和语境中的多样用法。
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二 映射的定义
素，在集合B中都有（ 唯一 ）的元素和它对应，这样的对应（包括集合Ａ， Ｂ以及Ａ到Ｂ的对应法则ｆ）叫做集合Ａ到Ｂ的映射．记作 f :A B
每一个 设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的（ ）元 任何一个
有且只有一个
集合Ａ 映射 三要素 集合Ｂ Ａ到Ｂ的对应法则ｆ
问题： 对应（1）为
什么不是映射？
A 开平方 B
9
4
1
（1 ）
3 -3 2 -2 1 -1
4
下面六个对应，其中哪些是集合Ａ到Ｂ的映射?
内角和 Ａ f: x Ｂ Ａ １ 2x ２ ４ ６ 不是 (2) Ｂ 冠军 亚军 季军 是 (4) Ａ ０ －１ １ 平方 Ａ 甲 乙 丙 丁 １００米 赛跑 Ｂ ０ １ －１ Ａ ｆ：x Ｂ Ａ １ ２ ３ ４ … ２ｘ－１ Ｂ
三角形 四边形 五边形 六边形
是 (1)
１８０度 ３６０度 ５４０度 ７２０度
２
３ ４
是 (3)
教科书
１ ３ ５ ７ …
Ｂ
张三 李四 不是 (6)
语文书 数学书 英语书 物理书 化学书
5
是 (5)
（一）对应法则的表 示方法
１ 文字语言
例：平方，乘２加１ 例：f:
２
数学语言
x
2x+1
Ａ
０ －１ １
平方
9
四 本课小结
１ 映射的概念
２ 判断映射的方法
五 作业
教材Ｐ４９习题２.１ 第１题 第２题
11
谢谢您的光临指导
12
多媒体教学公开课
映
射
1
一 对应
1)对于任何一个实数a，数轴上有唯一的点Ｐ和它对应
Ｏ a
P
２）对于坐标平面内的任何一点Ａ，都有唯一的 一个有序实数对（Ｘ，Ｙ）和它对应 y 3)对于任何一个 A (x,y) 三角形，都有唯 x 一的面积和它对 o 应 ４）本班每一个学生和教室内的座位对应 ５）本班每一个学生和班主任对应 ６）某人和他的书对应
Ｂ
Ａ ０ １ －１
ｆ：x
２ｘ－１ Ｂ
１ ２ ３ ４ … (3)
１ ３ ５ ７ …
(5)
6
B的映射，且a A, b B,如果元素a和元 素ｂ对应，那么我 们把元素ｂ叫做元 素a的象，元素a叫做 元素ｂ的原象
１ 问题：映射（５）中集合Ａ中１的象是 是 ． 给 f: A B Ａ Ｂ 定一个集合A到集合 a b
（二）象，原象
－１，１ ，集合Ｂ中１的原象 Ａ ０ －１ １ 平方 Ｂ ０ １ －１
b的原 象
a的象
(5)
7
(三）观察以下三个映射
Ａ 甲 乙 丙 丁 １００米 赛跑 Ｂ 冠军 亚军 季军 Ａ ０ －１ １ 平方 Ｂ ０ １ －１ Ａ
ｆ：x
２ｘ－１
Ｂ
１ ２ ３ ４ … (3)
１ ３ ５ ７ …
(4)
(5)
讨论
（1）集合A中每一个元素都有象 吗？如有，有几个？ （2）集合B中每一个元素都有原象 吗？如有，有几个？ （3）集合A，B可以是数集，还可 以是其它集合吗？
映射概念小结
１ 集合Ａ中元素一定有象，且唯一 ２ 集合Ｂ中的元素不一定有原象。 即使有，也不一定唯一 ３ 集合Ａ，Ｂ可以是数集，也可以 是其他集合。
2
阅读教材，观察下面的对应,哪些对应是从A到B的映射？
A 开平方 9 4 1
（1 ）
B 3 -3 2 -2 1 -1
A
30o
45o 60o
求正弦 B
1 2
2 2 3 2
90o
1
（2）
求平方Ｂ Ａ １ １ －１ ２ 4 －２ ３ ９ －３
（3）
Ａ １ ２ ３
乘以２ １ Ｂ ２ ３ ４ ５ ６
3
（4）
8
三 能力训练
1 下面的对应是Ａ到Ｂ的映射吗？说明理由．画出对应图（每一个集合各取5个元素）
A R, B xR x 0, x A, f : x x
理由：
集合A中元素0 在集合B中没有 对应的元素ＡFra bibliotek-2Ｂ
不是映射
-1
0 1 2 …
？
1 2 3 4 5
…
10