初中数学规律探究题

归纳猜想型问题

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

A ． 637

B ．635

C ． 5

31

D ．

739

1111

21

1

3311

4

641

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

1222

3

3

2

2

3

4432234

()()2()33()464a b a b a b a ab b a b a a b ab b

a b a a b a b ab b +=++=+++=++++=++++

根据前面各式的规律，则6

()__________________________________.a b +=

考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第

n 个图案中共有

小三角形的个数是 ．

2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n 个图形需 根火柴棒．

3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有点的个数为

____________（用含n 的代数式表示）．

4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．

5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n ）图，需用火柴棒的根数为 ．

6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方

形；…按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形．

7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．

8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3

是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．

9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()

A．32 B．29 C．28 D．26

10．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()

A．21 B．24 C．27 D．30

11. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左

上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．

12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（

2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n 个图案有 个三角形（用含n 的代数式表示）

13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中

国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．

14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各

个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n (n 为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n 的代数式表示)．

考点三:几何图形计算变化规律

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

2．（黑龙江）已知等边三角形ABC 的边长是2，以BC 边上的高AB 1为边作等边三角形，得到第一个等

第1个

第2个

第3个第4个

边三角形AB 1C 1，再以等边三角形AB 1C 1的B 1C 1边上的高AB 2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB 2C 2，再以等边三角形AB 2C 2的边B 2C 2边上的高AB 3为边作等边三角形，得到第三个等边AB 3C 3；…，如此下去，这样得到的第n 个等边三角形AB n C n 的面积为 ． 3．（牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB =60°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠F AC =60°．连结AE ，再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE =60°…按此规律所作的第n 个菱形的边长是 ．

4．（六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线m 上，OA 边在直线m 上，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时，点O 运动到了点O 1处（即点B 处），点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处，又将正方形纸片AO 1C 1B 1绕B 1点，按顺时针方向旋转90°…，按上

述方法经过4次旋转后，顶点O 经过的总路程为 ，经过61次旋转后，顶点O 经过的总

路程为 ．

5. 如图，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )均在反比例函数1

y x

=

（x >0）的图象上，若△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n 1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n 1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点P 3的坐标是____________，点P n 的坐标是___________．（用含n 的代数式表示）

6. 二次函数2

23

y x =

的图象如图，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3…A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3…B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3…C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3…四边形A n -1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3…=∠A n -1B n A n =60°，菱形A n -1B n A n C n 的周长为 ．

P

3

P 2P 1

O

x

y

A 3A 2A 1