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报童模型

某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。未售出的树只能按$1出售。如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？

一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后以0.50元的价格售出。但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。那么，他应当订购多少份报纸呢？

假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份0.4元买入，有多少买多少。那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？

基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。

（1）期望损失最小法

比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。

已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件

则：单件机会成本：Cu=P – C

单件超储成本：Co=C-S

当订货量为Q时，期望损失为：

式中P(d)为实际需求量为d时的概率

某商店挂历需求的分布率：

已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。降价处理S=30元/每份。求该商店应该进多少挂历为好。

（2）期望利润最大法

比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。

已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件

则： 单件收益：Cu=P - C

单件超储成本：Co=C-S

当订货量为Q 时，期望利润为：

式中P(d)为实际需求量为d 时的概率

某商店挂历需求的分布率：

（3）边际分析法

考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。

当增加到第D 个产品时，如果下式成立:

D 为订货量，P(D)为需求量大于等于D 的概率

从满足需要的最小可能订货量开始，随着订货量的增加，P(D)便随之下降。在某一点上，P(D)可以使上式两个期望值相等，将此时的P(D)记为P*(D)，并称之为临界概率:

已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件

则： 单件机会成本：Cu=P - C

单件超储成本：Co=C-S

计算临界概率P （D*）：

P （D*） Cu =[1-P （D*）] Co

P D C P D C u o ()(())⋅>-⋅1P D C P D C P D C C C u o o u o

***()(())()⋅=-⋅=+1

P（D*）= Co/（ Co+ Cu ）

即： Prob[Y ≥ D*] = Co/（ Co+ Cu ）

则：使得P（D）=P（D*）的订货量即为最佳订货量。

或者：满足条件： P（D）>P（D*）且P（D）- P（D*）为最小所对应的D即为最优订货量。

例如：圣诞树需求量的概率分布

报童问题的解：

Cu=0.5 – 0.2 = 0.3元，Co=0.2元

Prob[Y≥D*] =Co/( Co+ Cu)=0.2/(0.2+0.3)=0.4

查标准正态分布表得：z = 0.25

所以， D* = 50 + 0.25 ⨯ 12 = 53 份

（4）有不确定性因素的决策问题

上述单周期库存决策问题只是有不确定性因素的决策问题的一种；再比如：据统计，一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登机的人数具有均值为20人、标准差为10人的正态分布。据测算，每一个空座位的机会成本为100美元，乘客确认票后因满座而不能登机应支付赔偿费估计为400美元。该航空公司想限制该航班的“超额预订”。飞机共有150个座位。问确认预订的截止上限应取多少为好？这也是有不确定性因素的决策问题。

不确定性因素的决策问题的共同点：

都有一个决策变量D（挂历订购量、报纸订购量、多预售的座位）和一个随机变量Y（挂历需求量、报纸需求量、持票而未登机的人数）；

都有一个D大于Y的单位成本Co（单件超储成本）；

都有一个Y大于D 的单位成本Cu（单件机会成本）

都要测算Y的概率分布。

最优决策变量应当满足：Prob[Y≥D*] =Co/( Co+ Cu)

超额预售机票问题的解：

Cu=100$，Co=400$

Prob[Y≥D*] =Co/( Co+ Cu)=0.8

查标准正态分布表得：z = -0.84

所以， D* = 20 - 0.84 ⨯ 10 = 12 张

即预售机票数不要超过150+12=162张。