报童模型newsboy
报童模型的最优解及其解空间研究
报童模型的最优解及其解空间研究作者：黄宇菲， 汪应洛， 吕绚丽， HUANG Yu-fei， WANG Ying-luo， LV Xuan-li作者单位：黄宇菲,汪应洛,HUANG Yu-fei,WANG Ying-luo(西安交通大学管理学院,陕西西安,710049)， 吕绚丽,LV Xuan-li(合肥工业大学管理学院,安徽合肥,230009)刊名：运筹与管理英文刊名：OPERATIONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCE年，卷(期)：2010,19(5)1.万仲平;侯阔林;程露;蒋威报童问题的扩展模型[期刊论文]-武汉大学学报(理学版) 2008(03)2.Khouja M The single-period(newsvendor)problem:literature review and suggestion for future research [外文期刊] 1999(5)3.Chen X;Sim M;Simchi-Lev D;Sun P Risk aversion in inventory management[外文期刊] 2007(05)4.Keren B;Pliskin J S A Benchmark solution for the risk-averse newsvendor problem[外文期刊] 2006(03)5.Gotoh J;Takano Y Newsvendor solutions via conditional value-at-risk minimization[外文期刊] 2007(1)6.Choi S;Ruszczyński A A risk-averse newsvendor with law invariant coherent measures of risk[外文期刊] 2008(1)7.Zhang M;Bell P C The effect of market segmentation with demand leakage between market segments ona firm 's Price and Inventory Decisions[外文期刊] 2007(02)8.Granot D;Yin S On sequential commitment in the price-dependent newsvendor model[外文期刊] 2007(1)9.Khouja M A Note on the newsboy problem with an emergency supply option 199610.Lin C;Kroll D E The single-item newsboy problem with dual performance measures and quantity discounts[外文期刊] 1997(3)11.Polatoglu L H Optimal order quantity and pricing decisions in single-period inventory systems[外文期刊] 199112.Whitin T M Inventory control and price theory[外文期刊] 195513.AbdelMalek L;Montanari R On the multi-product newsboy problem with two constraints[外文期刊] 2005(08)14.Abdel-Malek L;Montanari R An analysis of the multi-product newsboy problem with a budget constraint[外文期刊] 2005(03)15.Abdel-Malek L;Areeratchakul N A quadratic programming approach to the multi-product newsvendor problem with side constrain s[外文期刊] 2007(03)16.Bitran G R;Haas E A;Matsuo H Production planning of style goods with high setup costs and forecast revisions 198617.Hausman W H;Peterson R Multiproduct production scheduling for style goods with limitedcapacity,forecast revisions,and terminal delivery 197218.Kodama M Probabilistic single period inventory model with partial returns and additional orders [外文期刊] 199519.Matsuo H A stochastic sequencing problem for style goods with forecast revisions and hierarchical structure[外文期刊] 199020.Murray G R;Silver E A A Bayesian analysis of the style goods inventory problem[外文期刊] 1966(11)21.程露;万仲平;侯阔林;蒋威CVaR准则下的双层报童问题模型研究[期刊论文]-运筹学学报 2008(04)22.许明辉;于刚;张汉勤带有缺货惩罚的报童模型中的CVaR研究[期刊论文]-系统工程理论与实践 2006(10)23.Khouja M The newsboy problem under progressive multiple discounts[外文期刊] 1995(2)1.李雪敏.缪立新.徐青青报童模型的研究进展综述[期刊论文]-统计与决策2008(17)2.许明辉.于刚.张汉勤.XU Ming-hui.YU Gang.ZHANG Han-qin带有缺货惩罚的报童模型中的CVaR研究[期刊论文]-系统工程理论与实践2006,26(10)本文链接：/Periodical_ycygl201005002.aspx。
报童模型
报童模型(Newsboy model)
问题：
报童出售报纸，零售价a>购进价b>退回价c。
因此，每售出一份报纸，赚a-b，每退回一份报纸赔b-c。
那么，报童每天要购进多少份报纸才能使收入最大？
分析：
如果购进太多，就会卖不完，从而赔钱；如果购进过少，导致报纸不够销售，就会减少收入。
因此，存在一个最优的购进量，使得收入最大。
因此，应当根据需求来确定购进量。
然而，每天的需求是随机的，进而每天的收入也是随机的。
因此，优化问题的目标函数应是长期日平均收入，等于每天收入的期望。
准备：
调查随机量的需求规律——每天需求量为r 的概率f(r), r=0,1,2…
建模：
设每天购进n 份，日平均收入为G(n)。
已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c。
若r<=n，则售出r，返回n-r => 赚(a-b)r，赔(b-c)(n-r)。
若r>n，则售出n，赚(a-b)n。
目标函数
求n使G(n)最大。
求解：
视r为连续变量f(r)=>p(r)（概率密度）
结果解释：
取n，使
其中，a-b即售出一份报纸赚的钱，b-c即退回一份报纸赔的钱。
运筹学11-存储论
第11章存储论存储论也称库存论（Inventory theory），是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。
物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。
任何工商企业，如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且还占用仓储空间，增加保管费用。
如果存储的物资是过时的或陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。
寻求合理的存储量、订货量和订货时间是存储论研究的重要内容。
§1 确定型经济订货批量模型本节假定在单位时间内（或称计划期）的需求量为已知常数，货物供应速率、订货费、存储费和缺货费已知，其订货策略是将单位时间分成n等分的时间区间t，在每个区间开始订购或生产相同的货物量，形成t循环储存策略。
在建立储存模型时定义了下列参数及其含义。
D：需求速率，单位时间内的需求量（Demand per unit time）。
P：生产速率或再补给速率（Production or replenishment rate）。
A：生产准备费用（Fixed ordering or setup cost）。
C：单位货物获得成本（Unit acquisition cost）。
H：单位时间内单位货物持有（储存）成本（Holding cost per unit per unit time）。
B：单位时间内单位货物的缺货费用（Shortage cost per unit short per unit time）。
π：单位货物的缺货费用，与时间无关（Shortage cost per unit short, independent of time）。
t：订货区间（Order interval），周期性订货的时间间隔期，也称为订货周期。
L：提前期（order lead time），从提出订货到所订货物且进入存储系统之间的时间间隔，也称为订货提前时间或拖后时间。
报童模型newsboy
报童模型某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。
该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。
未售出的树只能按$1出售。
如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后以0.50元的价格售出。
但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。
那么，他应当订购多少份报纸呢？假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份0.4元买入，有多少买多少。
那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。
（1）期望损失最小法比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件机会成本：Cu=P – C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望损失为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。
降价处理S=30元/每份。
求该商店应该进多少挂历为好。
（2）期望利润最大法比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件收益：Cu=P - C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望利润为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：（3）边际分析法考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。
第5章库存管理
23
库存模型
定期订货模型(Fixed-time Period Model)
• 也称定期系统、定期盘点系统、固 定订货间隔期系统以及P模型 • 时间驱动 • 库存盘点只在盘点期发生
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定量订货模型 库存降到……时，订……货 库存水平(Inventory Position)
• 目前库存量加已订购量减去延期交货量
运营管理
第5章 库存管理
案例: 的库存管理 1995年，杰夫.贝佐斯(Jeff Bezos)创建亚 马逊公司。其最早最核心的业务是网上 书店，读者可以在上买到近 150万种英文图书、音乐和影视节目。亚 马逊被认为是全球电子商务的成功代表 自1999年，Amazon开始销售服装、礼品、 儿童玩具、家用电器等20多个门类的商 品。2009年亚马逊网站销售额高达190亿 美元(2010年第一季度71亿美元），其中 图书销售额占全美图书零售总额的8-9%。
41
随机型模型
随机型模型的假设条件 需求率d 和提前期LT为已知分布的随机变量， 在不同的补充周期，这种分布不变； 补充率无限大，全部订货一次同时交付； 允许延迟交货，一旦到货所欠物品必须补上； 年平均需求量为D； 已知一次订货费为R，单位维持库存费为CH， 单位缺货损失费为CS； 无价格折扣。
42
相关需求模型
准时制(JIT) 物料需求计划(MRP)
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库存模型
定量订货模型(Fixed-order Quantity Model)
• 也称经济订购批量，EOQ或Q模型 • 事件驱动 • 永续盘存(perpetual)系统：每次从库存 里取出货物或者往库存里增添货物 时，必须刷新记录以确认是否已达到 再订购点
持有成本是价格的百分比
9-报童问题
Qiu canhua, Tongji University
超额预售问题的解法
设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。 X > Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人数。 再多售一张机票就要蒙受400美元的损失， co = $. X < Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数，预 订数量减少一个就蒙受100美元的损失， cu = $100.。 最佳的 X* 应当满足
Qiu canhua, Tongji University
有不确定因素的决策问题
这三个问题有以下几个方面的共同点： 都有一个决策变量 X (报纸供应量；出发时间；多预售的 座位）和一个随机变量 Y (报纸需求量；实际路程时间； 持票而未登机人数）。这两个变量共同决定结果。但是我 们必须先选定 X 的数值，然后才能看到Y的数值。 都有一个 X 大于 Y 的单位成本（过量成本） (未售出的报 纸；一名因客满而未能乘机的乘客；提前一分钟）。 都有一个Y 大于X 的单位成本（不足成本）(差一份报纸； 一个空座；晚到一分钟）。 都需要测算 Y 的概率分布。
Qiu canhua, Tongji University
报童问题 II的解
设 X为留作自售的份数， Y 为明天的报纸需求。. {X > Y} 意味着留得太多，否则可以前一天卖给另一报贩， 每份可赚0.40元，所以每份损失利润 co = 0.40 元。 {X < Y} 意味着留得太少，每份前一天只卖了0.40元，留着 可卖0.50元, 多卖 cu = 0.50-0.40 = 0.10元。 最 优解X* 应满足
P{Y>X*} 表示需求Y大于X*的概率。 P{Y<X*} 表示需求Y小于X*的概率。 CuP{Y>X*} 第X*件产品售出时所带来的收益； CoP{Y<X*} 第X*件产品未售出时所带来的损失。
报童模型文档
报童模型1. 简介报童模型是运筹学中的一个经典模型，用于解决库存管理中的订货数量决策问题。
它的名称源于报童，因为报童每天需根据自己判断的需求来购买报纸，而这正是报童模型所要解决的问题。
在报童模型中，我们需要确定一个合适的订货数量，以最大化利润或最小化成本。
2. 模型假设在分析报童模型之前，我们需要明确一些基本的假设： -需求是随机的，且符合一定的概率分布（如正态分布、泊松分布等）； - 不满足需求的部分将有一定的溢价折价销售； - 不满足的需求无法满足后续补充，即库存不叠加； - 不考虑报童之后的报纸销售。
3. 数学建模我们用以下符号来描述报童模型： - Q：订货数量； - Q：需求量； - Q：成本，包括订货成本和溢价折价销售成本； - Q：报纸售价； - Q：单位库存持有成本。
根据这些符号，我们可以得到报童模型的目标函数和约束条件：目标函数我们的目标是最大化利润或最小化成本，因此我们可以将目标函数定义为：$$ \\max \\left\\{ (P-C) \\cdot \\min\\{Q,D\\} -h \\cdot \\max\\{Q-D,0\\} \\right\\} $$约束条件•不能超出需求量：$$ Q \\ge D $$•订货量必须大于等于0：$$ Q \\ge 0 $$4. 求解方法对于报童模型，我们可以采用多种求解方法，其中常见的方法有以下两种：1. 数值求解方法通过数值方法可以较为准确地求解报童模型。
具体步骤如下： - 根据历史数据或经验，估计需求的概率分布； - 根据概率分布，计算目标函数的期望值； - 对于给定的成本参数和库存持有成本，确定最优的订货数量。
2. 分析解法在某些特殊情况下，可以通过分析解法来求解报童模型。
常见的情况包括： - 需求服从某个特定的概率分布，如泊松分布、正态分布等； - 成本参数和库存持有成本可以通过确定的方法获得。
对于这些情况，我们可以通过求导和设置目标函数关于订货数量的一阶、二阶导数为零来求解最优订货数量。
报童模型
缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。
在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。
报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。
如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。
然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。
但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。
对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。
这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。
在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。
其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。
5 随机性需求
5
ML P(需求≥n） ≥ MP ML 或 MP P(需求<n） ≤ MP ML
假设某产品的需求是不确定的，用随机变量r表示需 求量，每销售一件产品盈利v元，如果未售出，则每 件亏损u元。产品销售需求量的概率P(r) 可以根据历 史销售记录统计而得。如果订货过多而供过于求，因 过剩致使资金积压，会造成滞销损失；如果订货过少 而供不应求，则出现缺货而失去盈利机会，造成机会 损失。那么订货量为多少是期望利润值最大？ 最优订货量应按下列不等式确定：
7
例2：A产品每件销售价为100元/件，每件 成本70元。如不卖掉还剩残值30元。在这 一时期需求量在35—40件之间，即35件以 下可以全部卖掉，超过40件以上部分则卖 不掉。需求概率以及与此关联的可销售出 的概率见下表：
8
需求概率
总需求量
35 36 37 38 39 40 41
9
这一需求 量的概率
订货提前期需求量DL： DL ＝d· L 取订货点：R= DL
12
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
库存问题可以延伸到时间(Time),生产能力 (Production Capacity),资金(Capital)等方 面。
13
库存问题的扩展(Expansion of Inventory Management Model)
第五章 随机性需求
• 一次性订货(单周期）
• 定量订货
• 定期订货
1
第一节 单期模型（Single-Period Models)
单期模型是指为了满足某一规定时期的需
要只发生一次订货的情况。用于短时期有需求 而在此后就失去价值或过时变质的物品。 这类模型通常被称为报童问题（“Newsboy”
报童模型概念
报童模型概念引言报童模型（Newsboy Model）是供应链管理中常用的一种模型，用于帮助企业决策商品订购量。
它的目标是在不确定需求的情况下，最大化企业的利润。
本文将从报童模型的基本概念入手，深入探讨其原理、适用范围以及在实际应用中的注意事项。
什么是报童模型？报童模型是一种在需求不确定的情况下，进行商品订购量决策的模型。
它的名称源自于一位报童，在购买报纸时不知道具体有多少人会买报纸，只能根据过去的数据和一些预测来决定购买的数量。
报童模型的目标是最大化利润，即最大化销售额与成本之间的差额。
原理报童模型的核心原理是基于销售量与利润之间的关系。
一般来说，销售量越高，利润越大，但过高的销售量也会导致库存积压和浪费。
因此，企业需要在平衡销售量与成本之间做出决策。
具体而言，报童模型需要考虑以下几个关键因素：需求分布需求不确定是报童模型的前提条件之一。
一般来说，需求可以被建模为一个概率分布，比如正态分布、泊松分布等。
通过分析过去的销售数据和市场趋势，可以对需求分布进行估计。
订购成本订购成本是指企业为了获得一定数量的商品而需要支付的费用，包括采购成本、运输成本等。
订购成本一般随着订购量的增加而增加。
销售收益是指企业通过销售商品所获得的收入。
销售收益与销售量成正比，但一般销售收益与销售量之间并非线性关系。
在报童模型中，一般假设销售收益可以通过销售价格和销售量之间的函数关系来描述。
库存损失库存损失是指由于库存过剩导致的商品价值降低、过期等损失。
库存损失是报童模型考虑的一个重要因素，过高的库存会增加企业的成本。
基于以上因素，报童模型的目标是找到一个最优的订购量，使得销售收益与订购成本之间的差额最大化。
通常使用数学模型和优化算法来求解最优解。
适用范围报童模型在许多行业中都有广泛的应用。
以下是几个适用范围的示例：零售业零售业是报童模型应用最广泛的领域之一。
对于一些季节性商品或者具有一定时效性的商品，企业需要根据过去的销售数据和市场趋势来进行订购决策，以最大化利润。
多产品报童模型的研究综述
多产品报童模型的研究综述王东红【摘要】文章从报童模型扩展到多产品及多产品联合定价这两个方面,对近年来关于多产品报童模型研究的有关文献进行了分析和总结,提出了研究中考虑的问题和进一步的研究方向.【期刊名称】《物流科技》【年(卷),期】2015(038)003【总页数】6页(P21-25,55)【关键词】多产品;报童模型;定价【作者】王东红【作者单位】广西财经学院管理科学与工程学院,广西南宁530003【正文语种】中文【中图分类】F2500 引言报童模型（Newsvendor Problem，NP）是一个考虑单周期、随机需求的经典库存模型。
自从该模型被提出以后，便成为库存理论研究的焦点之一，在现实生活中得到了广泛的推广和应用，例如，报刊杂志、果蔬、数码类电子产品、时尚产品以及酒店客房和航空机票的经销订购等问题；理论界也涌现了大量的对报童模型及其扩展模型问题的研究文献和综述。
Khouja[1]对经典的报童模型及它的11 种扩展做了一个非常全面的综述，总结了从20 世纪50 年代至1999 年以来相关文献的主要贡献和模型的扩展研究。
例如扩展到不同的目标和效用函数；扩展到不同的供应商定价策略；折扣问题；需求规律和信息的缺乏度；随机产出以及带资源约束的多产品库存问题；可替代多产品方面的扩展；多层次系统方面的扩展；多场所系统方面的扩展；销售季节多阶段备货方面的扩展及其他方面的扩展，并提出了进一步的研究方向，认为将上述扩展的两个或多个相结合对报童模型来说会更加实际。
随着生产技术的进步和销售环境的复杂化，多产品的生产经营顺应了现实的决策环境而产生，多产品报童模型也被众多研究者关注。
本文综合分析了多产品报童模型的研究文献，主要从不考虑定价的多产品报童模型研究和考虑定价决策的多产品报童模型研究两个方面对多产品报童模型的研究进行综述，挖掘文献中所提出的新的研究视角和解决方法，并提出对多产品报童模型的进一步研究的方向。
1 多产品报童模型自从Hadley 和Whitin[2]在1963 年首次将经典报童模型扩展到带有约束下的多产品报童模型（Multi-Product Newsvendor Problem, MPNP），在求解这些模型的时候采用了拉格朗日算子（Lagrange Multipliers）莱布尼兹规则（Leibniz Rule）和动态规划方法（Dynamic Programming）。
带有费用约束和广告投入的Newsboy模型
这说 明当资金充分时 ，带有广告投入费用的 Ｎ ｅ ｗ ｓ ｂ ｏ ｙ 模型 的最优订购量是 ，最优 投入 广告费用是 ，而订购资金成
３ ． １ 带有订购成本预算费用约束
众所周知 ，经销商在订购某一产品时 ，首先考虑的是订购
本费用不足时，其最优订货量为 ＝ ／ ｃ。这反映出，订购
１ ／ 、
。
｛ ｍ ａ ｘ Ｅ （ ｎ ） ＝ （ Ｐ － Ｃ ） ａ ｏ － ｎ 一 （ Ｐ － Ｖ ） Ｊ ｏ［ Ｑ ｏ － ｘ Ｄ （ 。 ） ］ （ ） （ ５ ）
Ｉ ｓ ． ｔ ． Ｃ ａ ａ ≤Ｗ１
对 约 束 条件 引 入 广义 拉 格 朗 日乘 子 ，该 问题 的 Ｋ ｕ ｈ ｎ —
Ｔ ｕ ｃ ｋ ｅ ｒ 条件如下 ：
假定③ ：假定是单增 的凹函数 ，即 Ｄ ａ ） ｔ０ ＞ ， Ｄ ”ａ ） ≤０且
ｌ ｉ ｍ Ｄ（ ａ ） ＝ Ｄ 。
ｒ ｒ ∞
ｆ
化简得 ：
一 Ａ ｃ ＝ 。 ，
＝ 。
（ ６ ）
【 Ａ １ （ Ｗ１ 一 ｃ ａ ） ＝０ ，Ｃ Ｑ ￣ － Ｗ１ ≤０ ，Ａ Ｉ １０ ＞
从而 ，令式（ ３ ） 为０ ，可求 出最 佳投入广告 费用 ａ ，把 ａ
代入式 （ ４ ） 可求出相应 的最优订货量 。这实际是无 约束情况
下的最优解。
Ｉ ｌ Ｑ
。
＝
｝ Ｑ。 ，０： Ⅱ ；ｃａ． ＜ Ｗｌ
，
；ｃ Ｑ
．
定理 １ ：在假定式（ １ ） 、 式（ ２ ） 、 式（ ３ ） 条件下 ，Ｅ 仃（ Ｑ 。 ，ｎ ） 是
这种假定是符合 实际情形 的，因为投入广告初期能提高商 品的需求 ，但是由于潜在顾客的有限性 ，随着广告费用的增加 ， 需求量增长 的速度从一开始就是递减的 ，且会趋于 ０ 。
2.3报童问题模型
6
7 8 9 10 11 12 13 14
0.04
0.08 0.09 0.11 0.16 0.20 0.11 0.10 0.04
0.07
0.15 0.24 0.35 0.51 0.71 0.82 0.92 0.96
0.93
0.85 0.76 0.65 0.49 0.29 0.18 0.08 0.04
i 4 k
18
LLBean: Expected profit
Demand d(i) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Probability p(i) 0.01 0.02 0.04 0.08 0.09 0.11 0.16 0.20 0.11 0.10 0.04 0.02 0.01 Sum(d(i)xp(i)) Cumulative Prob. Prob. demand greater Expected profit P(i) = Pr( D < d(i) ) 1 - P(i) = Pr( D > d(i) ) if stock d(i) 0.04 0.01 0.99 220.00 0.14 0.03 0.97 274.40 0.38 0.07 0.93 327.60 0.94 0.15 0.85 378.40 1.66 0.24 0.76 424.40 2.65 0.35 0.65 465.00 4.25 0.51 0.49 499.00 6.45 0.71 0.29 523.40 7.77 0.82 0.18 535.80 9.07 0.92 0.08 541.60 9.63 0.96 0.04 541.40 9.93 0.98 0.02 538.80 10.09 0.99 0.01 535.00
演示课件报童模型.ppt
7
某商家经营某种商品，零售价a元，购进价b元，退回价 c元，而一个经营周期的销售量 r 是一个离散型随机变量， 其分布列为 P(r k) pk ，试确定商家的最佳订货量。
分析与求解：设每次订购n件，其获得利润的期望为E(n)， 若他多订购一件商品，则这件商品能卖出去的概率为
P(r n 1) ，卖不出去的概率为P(r n) ，而商家每天获利 的利润函数为
Z
aX
c(n
X ) bn
X n且X Y n X n且X Y n
an bn
X n
现在只需要弄清楚销售量X（随机变量）和打折销售
量Y （随机变量）的联合概率密度就可以进行处理。
以上是采用连续型随机变量方式进行处理的，但有时在离散 随机变量下该如何处理呢？ 此时要用边际分析法处理。
.精品课件.
k 0
k n1
n 1
E(n) E(n 1) (a b) pk (b c) pk 0
k n
k 0
n
若记 qn P(r n) pk , 则1 qn
pk ；
k 0
k n1
所以
n1
qn1 P(r n 1) pk , 而1 qn1 pk
k 0
k n
E(n) E(n 1) (b c)qn (a b)(1 qn ) 0
分析：若订购量n件，则当
1、销售量 X n 时，正规售出X份，余下n-X份， ①打折售出量 Y n X时，售出Y份，退回n-X-Y份； ②打折售出量 Y n X时，售出n-X份，没有退回。
2、销售量X n时，正规售出n份，没有剩余衣服。
.精品课件.
6
则利润随机变量为
aX cY b( X Y ) (b d )(n X Y )
The Newsvendor Model(非常好的基础知识和推导)
1. Introduction
Early each morning, the owner of a corner newspaper stand needs to order newspapers for that day. If the owner orders too many newspapers, some papers will have to be thrown away or sold as scrap paper at the end of the day. If the owner does not order enough newspapers, some customers will be disappointed and sales and profit will be lost. The newsvendor problem is to find the best (optimal) number of newspapers to buy that will maximize the expected (average) profit given that the demand dis. The newsvendor problem is a one-time business decision that occurs in many different business contexts such as:
1
A stockout is a situation where the demand for one or more units cannot be satisfied immediately from inventory.
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报童问题的研究综述1
2.4约束条件的变化
根据文献，报童模型中对于约束条件扩展主要集在：多地点及预算约束 领域。文献[13]、[14]、分别从多点间需求的重新分配、各点需求的相关性等 方面进行相应的研究； 而文献[9]、[15]进行了带有预算约束方面的研究， 其 中[14]同时考虑了多地点情况下带有预算约束的情况。 Cherikh 等[14]考虑了一个多地点、单周期、单品种的报童模型。研究了 是否允许过剩需求在各地点之间重新分配两种情况下，分析集中控制及分散 控制对期望收益影响，证明了在某些条件下，集中控制比分散控制能产生更 高的期望利润。同时文中还采用数值算例进行了验证。
11shao等21考虑了多产品带有模糊需求且有预算约束的报童模型并根据决策标准的不同从最大化期望收益机会约束规划机会规划这三个方面建立了新模型并用基于遗传算法和模糊模拟的混合职能算法求解新模型moon等22研究对补货数量的总价值有预算约束的多产品的报童问题使用动态规划方法进行求解另外还提出了简单有效的启发式算法
4
Dekker等[3]分析了简单报童模型环境下终止交易数量对平均库存成本的 影响，在具有离散性订购数量的复合泊松分布需求下，证明了如何确定平均 成本和最优终止交易数量。在此基础上，HShore[4]取消所有的分布假设，假 定订购量为任意值，顾客到达率和订购数量的一次三阶矩已知，使用Shore的 分段线性近似理论，得出了更为通用的最优订购量。
11
于春云等[27]研究了模糊随机需求模式下建立模糊随机收益期望值最大的 报童模型，并根据遗传算法理论和计算机模糊随机变量模拟技术设计求解模 型的算法。
Guo等[28]使用可能性分布来刻画短生命周期新产品市场的不确定性，提 出了报童问题的可能性模型，通过在需求的可行性和收益的满意中进行平衡 ， 来求得最优订购量。
【国家自然科学基金】_newsboy模型_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
科研热词 推荐指数 报童模型 3 报童问题 2 广告费用 2 供应链管理 2 newsboy模型 2 风力发电商 1 预测 1 随机模糊模拟 1 随机模糊变量 1 随机模拟 1 随机期望值模型 1 转载价格 1 资金约束 1 贷款价值比 1 订货策略 1 订货决策 1 蒙特卡罗方法 1 策略型顾客 1 滞后支付 1 横向转载 1 条件风险值 1 时变参数 1 日前和实时市场 1 收益共享契约 1 投标策略 1 库存 1 差分进化算法 1 均衡约束均衡问题 1 加和形式随机产出 1 供应链金融 1 供应链融资 1 供应链契约 1 乘积形式随机产出 1 两次订购机会 1 wind power producer 1 spsa 1 newsboy型产品 1 newsboy problem 1 monte-carlo method 1 equilibrium problem with equilibrium 1 constrains（ day-ahead and real-time market1 cvar 1 conditional value at risk 1 bidding strategy 1
推荐指数 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
报童模型的最优解及其解空间研究
则上式必须满足 0≤ 下面对该不等式分类讨论： （ I） 当 P + S － C ≥0 且 P + S － V ＞ 0 时 由 P + S － C ≥0 可得 不等式（ 2 ） 两边同时乘以 P + S － V 可得 （ i） 当 P ≥C ≥0 ①当 S ＜ 0 时 P +S －C ≤1 P +S －V （ 2）
12q的解空间设在自由市场经济条件下由pc和四个变量的定义及特点可知p价格由市场决定残值由两个变量可以通过一些经济政策的手段进行调整从而决定报的解空间示意图图16o时q的解空间示意13结果解释表示单位产品的销售利润当pc时我们用则代表相关部门为阻止生产而支付给企业的单3由于报童模型的特点缺货惩罚s仅发生在销售期
∫
ɕ
Q
Qf（ x） dx － S
∫
ɕ
Q
xf（ x） dx + （ P － V）
∫
Q
0
xf（ x） dx － （ C － V）
∫
Q
0
Qf（ x） dx
（ 14 ）
通过 Leibniz 公式， 可证明上式为凹函数。令 E （ π） 的一阶导数为 0 ， 即可得到等式（ 1 ） 。但当 P + S － V = 0 时， 等式（ 1 ） 分母为 0 ， 不成立。因此我们将 P + S － V = 0 直接带入（ 14 ） 得
要： 文章从经典报童模型出发， 找到了使收益最大化的报童模型最优解及其存在的解空间 。 在分析最优解 研究了单位生产成本和单位缺货惩罚成本对最优解的解空间的影响 。 在此基础上， 进一步 存在条件的基础上， 分析了如何通过控制单位生产成本和单位缺货惩罚成本， 影响最优解存在条件的方法 。 最后， 在该领域其他学 者的实际算例的基础上， 提出了分别通过调节单位生产成本和单位缺货惩罚成本， 以及同时调节单位生产成本 和单位缺货惩罚成本， 从而影响企业生产决策的三种方法 。文章结果可以指导相关学者选择适当的报童模型算 例， 且实际算例表明该方法在企业管理方面也有较好的效果和应用前景 。 关键词： 生产管理； 报童模型； 最优解； 解空间； 管理策略 3221 （ 2010 ） 05-0009-06 中图分类号： O224 文章标识码： A 文章编号： 1007-
三种产品可以相互替换的Newsboy型最优订购问题
三种产品可以相互替换的Newsboy型最优订购问题
杨志林;田玉敏;蔡英杰;杨善林
【期刊名称】《运筹与管理》
【年(卷),期】2008(17)6
【摘要】经典的报童(Newsboy)库存问题是在单周期内、商品在需求量为随机状态下、寻找一种商品订购数量,使系统的预期总费用得到最小.本文主要研究三种商品的相互替换问题:首先,我们建立三种商品相互替换的模型,根据实际的库存与缺货状况,将其分为八种情况,并求出这八种情况下库存与缺货的费用,得到整个过程的总费用;最后,结合应用实例给出最优的数值解;
【总页数】6页(P26-31)
【作者】杨志林;田玉敏;蔡英杰;杨善林
【作者单位】合肥工业大学,数学系,安徽,合肥,230009;合肥工业大学,数学系,安徽,合肥,230009;合肥工业大学,数学系,安徽,合肥,230009;合肥工业大学,管理学院,安徽,合肥,230009
【正文语种】中文
【中图分类】O227
【相关文献】
1.三种Web缓存替换的最优化模型研究 [J], 韩英杰;胡静
2.基于变质性产品及模糊需求情况下的最优订购问题 [J], 郭照庄;孙月芳;聂铭玮
3.两种产品可以互相替换的Newsboy存贮问题 [J], 杨善林;杨志林;陈国琪
4.基于Newsboy及多次订购理论的服装网商订货模型建构 [J], 蔡建梅;洪道乾;王世杰
5.三种可替代的Newsboy型产品最优订购模型 [J], 李彤;胡海玲;杨志林
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报童模型
某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。
该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。
未售出的树只能按$1出售。
如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？
一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后以0.50元的价格售出。
但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。
那么，他应当订购多少份报纸呢？
假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份0.4元买入，有多少买多少。
那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？
基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。
（1）期望损失最小法
比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件
则：单件机会成本：Cu=P – C
单件超储成本：Co=C-S
当订货量为Q时，期望损失为：
式中P(d)为实际需求量为d时的概率
某商店挂历需求的分布率：
已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。
降价处理S=30元/每份。
求该商店应该进多少挂历为好。
（2）期望利润最大法
比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件
则： 单件收益：Cu=P - C
单件超储成本：Co=C-S
当订货量为Q 时，期望利润为：
式中P(d)为实际需求量为d 时的概率
某商店挂历需求的分布率：
（3）边际分析法
考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。
当增加到第D 个产品时，如果下式成立:
D 为订货量，P(D)为需求量大于等于D 的概率
从满足需要的最小可能订货量开始，随着订货量的增加，P(D)便随之下降。
在某一点上，P(D)可以使上式两个期望值相等，将此时的P(D)记为P*(D)，并称之为临界概率:
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件
则： 单件机会成本：Cu=P - C
单件超储成本：Co=C-S
计算临界概率P （D*）：
P （D*） Cu =[1-P （D*）] Co
P D C P D C u o ()(())⋅>-⋅1P D C P D C P D C C C u o o u o
***()(())()⋅=-⋅=+1
P（D*）= Co/（ Co+ Cu ）
即： Prob[Y ≥ D*] = Co/（ Co+ Cu ）
则：使得P（D）=P（D*）的订货量即为最佳订货量。
或者：满足条件： P（D）>P（D*）且P（D）- P（D*）为最小所对应的D即为最优订货量。
例如：圣诞树需求量的概率分布
报童问题的解：
Cu=0.5 – 0.2 = 0.3元，Co=0.2元
Prob[Y≥D*] =Co/( Co+ Cu)=0.2/(0.2+0.3)=0.4
查标准正态分布表得：z = 0.25
所以， D* = 50 + 0.25 ⨯ 12 = 53 份
（4）有不确定性因素的决策问题
上述单周期库存决策问题只是有不确定性因素的决策问题的一种；再比如：据统计，一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而未登机的人数具有均值为20人、标准差为10人的正态分布。
据测算，每一个空座位的机会成本为100美元，乘客确认票后因满座而不能登机应支付赔偿费估计为400美元。
该航空公司想限制该航班的“超额预订”。
飞机共有150个座位。
问确认预订的截止上限应取多少为好？这也是有不确定性因素的决策问题。
不确定性因素的决策问题的共同点：
都有一个决策变量D（挂历订购量、报纸订购量、多预售的座位）和一个随机变量Y（挂历需求量、报纸需求量、持票而未登机的人数）；
都有一个D大于Y的单位成本Co（单件超储成本）；
都有一个Y大于D 的单位成本Cu（单件机会成本）
都要测算Y的概率分布。
最优决策变量应当满足：Prob[Y≥D*] =Co/( Co+ Cu)
超额预售机票问题的解：
Cu=100$，Co=400$
Prob[Y≥D*] =Co/( Co+ Cu)=0.8
查标准正态分布表得：z = -0.84
所以， D* = 20 - 0.84 ⨯ 10 = 12 张
即预售机票数不要超过150+12=162张。