系统的稳定性nyquist判据以及bode判据

s
N=0 P=1 Z=P-2N=1 闭环系统有1个右 半平面的特征根
具有单位反馈的非最小相位系统 G(s) K /(Ts 1)
试分析闭环系统的稳定性。
P=? N=?
右半侧极点数为1 P=1 逆时针绕（-1，j0） 圈数与K有关
j Im
解：（1）绘制奈氏曲线
G( j) K /( jT 1) K 1 jT 1 T 2 2
例2 设单位反馈系统，其开环传递函数
G(s) K s 2 (Ts 1)
试用奈氏判据判断系统稳定性。 解：开环幅相大致曲线如图所示
0
1 0
曲线顺时针包围（-1，j0）点一圈， N= -1 。P=0，Z= P-2N =2 。
闭环系统不稳定。
用在 (,1) 区间，奈氏曲线的正、负穿越 的次数来确定 N
2
2
arctan arctan 2
( j 1)(2 j 1) 1 2 1 42
系统是否 稳定？
sNyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
闭环系统，当 从-∞变到﹢∞时，在[GH]平
面上系统的开环频率特性逆时针包围（-1，j0 ）点N 圈 , 1）若N=P，则该闭环系统稳定 2）若N≠P, 则该闭环系统不稳定，闭环系统在 复平面右侧的根的个数由Z=P-N来确定。
K
0
0
Re
K>1曲线包围 （-1，j0）一圈 N=1 P=N K<1,曲线不包围 （-1，j0），N=0 P≠N,系统不稳定 K=1曲线穿过（-1，j0）系统临界稳定。
G j H ( jw)
2
jw( jw 1)(2 jw 1)
稳定吗？
补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行 90o 的
圆弧，这样可得完整的 0 部分奈氏曲线。
Gs H(s)
2
(s 1)(2s 1)
G j H ( j)
2
2
arctan arctan 2
( j 1)(2 j 1) 1 2 1 42
系统是否稳定？
P=? N=?
右半侧极点数为0 P=0
逆时针绕（-1，j0） 圈数为0圈 N=0 P=N 系统稳定 Z=P-N =0 系统没有特 征根在复平面右半侧
例：已知系统开环传递函数
G(s)H (s)
20
(s 1)(2s 1)(5s 1)
应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性
解：G( j)H ( j)
20
( j 1)( j2 1)( j5 1)
A()
20
(1 2 )(1 42 )(1 252 )
() arctg arctg 2 arctg5
系统闭环不稳定。
1/T
0
1 0
0 0
0 180
Bode图上的稳定性判据可定义为 一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数
为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相
频曲线与-π线的正负穿越之差N = N+-N-来确定, 即
Bode图上的稳定性判据
L)
Im
(-) (+) (-1,j0)
CB
A
Re
)
-
(-)
(+)
N N N 11 0
s
正负穿越的概念
正负穿越
在系统频率特性的Bode图上，在开环对数 频率特性为正值的频率范围内，沿着ω增加 的方向，对数相频特性曲线自下而上穿越－ 180°线称为正穿越；反之，沿着ω增加的 方向，对数相频特性曲线自上而下穿越－ 180°线为负穿越。
Z P 2N
若Z=0，则闭环系统稳定， 则闭环系统不稳定
Z 0 Z为闭环特征方程正实部根的个数。
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例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳 定性判据, 判断系统的稳定性。
已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，
N 1 N 1 N N N 0
sNyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
闭环系统稳定的充要条件是，当 从0变到
﹢∞时，在[GH]平面上系统的开环频率特性逆 时针包围（-1，j0）点N 圈 ,
计算Z=P-2N，若Z=0 说明闭环特征根不在复平 面右半侧，则系统稳定
若Z≠0，说明闭环系统有Z个特征根在复平面右 半侧，系统不稳定。
自动控制原理
对比
• 劳斯判据 闭环传递函数
• nyquist判据 开环传递函数判断对应的闭 环系统的稳定性
Nyquist 稳定判据
• 利用系统的开环传递函数绘制的nyquist图，判断相应的闭 环系统的稳定性。
复习 一般系统nyquist图的画法
Gs H(s)
2
(s 1)(2s 1)
G j H ( j)
N N N
()
()
() 1
若轨迹终止于（-1，j0） 左侧负轴上，则为半次 穿越
1 () 2
() 1
s
s
Nyquist曲线
例
一个单位反馈系统，开环传递函数为
G(s) K s2 (Ts 1)
试用Nyquist判据判定系统的稳定性。
解 系统的开环幅相曲线如图所示。
Im
(-1,j0)
从Nyquist曲线上看到，曲线顺时 针包围(-1,j0)点一圈， 即N= -1， 而开环传递函数在s右半平面的极 点数P=0，因此闭环特征方程正 Re 实部根的个数
半正负穿越 若对数相频特性曲线自－180°线向上，为半 次正穿越；反之，为半次负穿越。
当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画
0 0 这一段频率变化范围的相角变化曲线。 G( j0 )H ( j0 ) 90o
例如
G(s)H (s)
K
s 2 (Ts 1)
N N 1 , Z P 2N 2
M P 2N 2
故系统不稳定。
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
Nyquist稳定判据
A(0) 20,(0) 0
A() 0,() 270
系统是否稳定？ P=? N=?
右半侧极点数为0 P=0
逆时针绕（-1，j0） 圈数为-1圈 N=-1
Z=P-2N =2 系统有两个 特征根在复平面右半侧
s
Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据
3
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据