人教新课标版数学高一- 人教A版必修4学案 弧度制(教师版)

【学习要求】

1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应 关系．

3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 【学法指导】

1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．

2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．

3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.

1．1弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 ．

2．弧度制：用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． 3．角的弧度数的规定：

一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 .这里，α的正负由角α的终边的 旋转方向决定．

4．角度与弧度的互化： (1)角度转化为弧度：

360°＝ rad ；180°＝ rad ；1°＝ rad ≈0.017 45 rad. (2)弧度转化为角度：

2π rad ＝ ；π rad ＝ ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

180π°≈57.30°＝57°18′.

探究点一 弧度制

问题1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？

答 把长度等于半径长

的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定

值，与所在圆的半径无关．如图所示， ∠AOB 就是1弧度的角．

问题2 如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数与l 、r 之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.

规律：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对

的弧长为l ，

那么_______________________，即_________.

问题3 除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容． 答 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l

r .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．

问题4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.

角度化弧度

弧度化角度

AB 的长

OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数

0 —— π2r 顺时针方向 πr 逆时针方向 2πr

顺时针方向

πr 180 逆时针方向 r 逆时针方向 2r

顺时针方向

探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式

问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．

答半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝nπr

180，扇形面积公式为S扇＝

nπr2

360.

∵

l

2πr＝

|α|

2π，∴l＝|α|r.

∵S扇

S圆

＝

S扇

πr2＝

|α|

2π，∴S扇＝

1

2|α|r

2.

∵S扇

S圆

＝

S扇

πr2＝

|α|

2π，∴S扇＝

1

2|α|r

2.

问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：

设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则

探究点三利用弧度制表示终边相同的角

在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．

问题1利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.

问题2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.

【典型例题】

例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π

12

化成角度．

解 先将112°30′化为112.5°，然后乘以π180 rad ，即可将112°30′化成弧度，－7π

12乘以⎝ ⎛⎭

⎪⎫180π°即可化为角度． 所以，(1)112°30′＝112.5°＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫2252°＝2252×π

180＝5π8.

(2)－7π12＝－7π12×⎝ ⎛⎭

⎪⎫180π°＝－105°.

小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝ ⎛⎭

⎪⎫180π°即可．

跟踪训练1 将下列角按要求转化：

(1)300°＝________rad ； (2)－22°30′＝________rad ； (3)

8π

5

＝________度． 例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面

积最大？最大面积是多少？

解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， ∴S ＝12lr ＝1

2×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.

∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×10

10

rad ＝2 rad.

所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.

小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．

跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝1

2lR ， 得1＝1

2(4－2R )·R ，

∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝2

1＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.

例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π

6

； (3)－4.

解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角． (2)∵23π6＝2π＋11π6，

(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π

2<2π－4<π.

小结 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用．