六年级下册奥数试题行程问题(一)全国通用(含答案)

第11讲行程问题（一）

在人们的生活中离不开“行”，“行”中有三个重要的量：路程、速度、时间。研究这三个量的典型应用题叫做行程问题。这三个量之间的关系可以用下面的公式来表示：

路程=速度×时间

速度=路程÷时间

时间=路程÷速度

相遇问题和追及问题是行程问题的两个重要的类型。

相遇问题是指两个物体在行进过程中相向而行，然后在途中某点相遇的行程问题。其主要数量关系式为：

总路程=速度和×相遇时间

追及问题是指两个物体在行进过程中同向而行，快行者从后面追上慢行者的行程问题。其主要数量关系式为：

路程差=速度差×追及时间

例1 姐姐放学回家，以每分钟80米的速度步行回家，12分钟后妹妹骑车以每分钟240米的速度从学校往家中骑，经过几分钟妹妹可以追上姐姐？

分析：经过12分钟，姐姐到达A地，妹妹骑车回家。如下图所示：

从图中可以看出妹妹从出发到追上姐姐这段时间里，妹妹要比姐姐多行的路程就是姐姐12分钟所走的路程，也就是妹妹与姐姐的路程差。有了路程差，再求出速度差，根据追及问题的数量关系式

追及时间=路程差÷速度差

就可求出妹妹追上姐姐的时间。

解答：妹妹与姐姐的路程差

80×12=960（千米）妹妹与姐姐的速度差

240-80=160（千米）

妹妹追上姐姐的时间

960÷160=6（分）

答：经过6分钟妹妹追上姐姐。

例2 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距360千米的两地相向而行，公共汽车每小时行35千米，小轿车每小时行55千米，几小时后两车相距90千米？

分析：两车从相距360千米的两地同时出发相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米。如下图

这时两车共行的路程为

360－90=270（千米）

值得注意的是，当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米。如下图所示

从图中可知，这时两车共行的路程为

360+90=450（千米）

根据相遇问题的数量关系式

相遇时间=总路程÷速度和

所求的问题就可以解答。

解答：相遇前

（360－90）÷（35+55）

=270÷90

=3（时）

相遇后

（360+90）÷（35+55）

=450÷90

=5（时）

答：两车在出发后3小时相距90千米，在出发后5小时再一次相距90千米。

说明：本题中两车没有相遇，从表面上看虽然不是相遇问题，但是两车所有的时间是相同的，因此可以当做相遇问题来解答。

例3 兄弟两人骑自行车同时从学校出发回家。哥哥每小时行15千米，弟弟每小时行10千米。出发半个小时后哥哥因事返回学校，到学校后又耽搁了1小时，然后动身去追弟弟。当哥哥追上弟弟时，距学校多少千米？

分析：本题可以分段考虑，从开始一步步分析。出发半个小时后，哥哥因事返回学校，在这个过程中哥哥和弟弟各行了1小时，到学校后哥哥又耽搁了1小时，这时弟弟又行了1小时。因此可以看作当哥哥准备从学校追弟弟时，弟弟共行了2小时，弟弟2小时所行的路程就是哥哥与弟弟的路程差，由此可求出追及时间。

解答：哥哥从学校开始追弟弟的路程差

10×（0.5×2+1）=20（千米）

哥哥追上弟弟的时间

20÷（15－10）=4（时）

哥哥在追上弟弟时离学校的距离

15×4=60（千米）

答：哥哥在追上弟弟时离学校60千米。

例4 小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米？

分析：根据题意画图如下

从图中可知，小张、小明两人第一次相遇时，共行的路程即是甲、乙两地之间的距离，这时，小张行了40米。当他们第二次相遇时，小张行了甲、乙间距离还多15米，小明行了两个甲、乙间距离少15米，合起来两个人共行了甲、乙间距离的3倍。因此小张从出发到第二次相遇所行的路程应是他从出发到第一次相遇所行的路程的3倍，即可求出他从出发到第二次相遇所行的路程。又知这段路程比甲、乙间距离多15米，甲、乙间距离就可求出了。

解答：小张从出发到第二次相遇所行的路程

40×3=120（米）

甲、乙间距离

120－15=105（米）

答：甲、乙两地相距105米。

例5 在周长为400米的圆形跑道的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒6米和每秒4米的速度骑自行车同时同向出发（顺时针）沿圆周行驶，经过多长时间，甲第二次追上乙？

分析：如图，在出发的时候，甲、乙两人相距半个周长，根据路程差÷速度差=追及时间，就可求出甲第一次追上乙的时间。当甲追上乙后，两人就可以看作同时同地出发，同向而行。甲要追上乙，就要比乙多骑一圈400米，从而可求出甲第二次追上乙的时间。

解答：甲第一次追上乙的时间

400÷2÷（6－4）=100（秒）

甲第二次追上乙的时间

400＋（6－4）=200（秒）

一共所用的时间

100+200=300（秒）

答：经过300秒后甲第二次追上乙。

说明：在环形跑道上行驶，两车同时同地同向出发，若再一次相遇，快行者必须比慢行者多行一圈，即路程差为环形跑道的周长。

例6 客车、货车、卡车三辆车，客车每小时行60千米，货车每小时行50千米，卡车每小时行55千米。客车、货车从东镇，卡车从西镇，同时相向而行，卡车遇上客车后，10小时后又遇上了货车。东西两镇相距多少千米？

分析：根据题意画图

当卡车与客车在A点相遇时，而货车行到B点，10小时后，卡车又遇到货车，说明在10小时内卡车与货车合行路程是（卡车与客车相遇时）客车与货车所行的路程差。客车与货车相差AB的路程所用的时间就是卡车与客车的相遇时间。

解答：AB间距离(客车与货车路程差)

（55+50）×10=1050（千米）

客车与卡车相遇时间

1050÷（60－50）=105（时）

两镇间距离

（60+55）×105=12075（千米）

答：两镇相距12075千米。

说明：这是一道相遇问题与追及问题相结合的应用题。客车与货车相差1050千米所用的时间就是卡车与客车的相遇时间，这一点是解题的关键。

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