线性代数与解析几何矩阵
线性代数与解析几何 第二章 矩阵
求 AB . 2 3 1 1 2 ×1 + 3× 0 +1× 2 4 解 0 = 1×1 + 2 × 0 + (−1) × 2 = −1 1 2 −1 0 3 1 2 0 ×1 + 3× 0 +1× 2 2
运算性质: 运算性质: A + B = B + A, ( A + B ) + C = A + ( B + C )
A + 0 = A,
A + (− A) = 0
8
2.2.2 运算性质:
数乘
kA = k(aij )m×n = (kaij )m×n
k(lA = (kl) A ) k(A+ B) = kA+ kB (k +l)A = kA+lA
1 2 −1 3 −7 1 例4 设 A = , B = , C = 1 2, 2 4 −2 1
求 AB 及 AC. AC. 1 2−1 3 −5 5 解 AB = −2 1 = −10 10 , 2 4
k =1
s
L L L L a a L a is i1 i2 L L L L
M b j 1 M b 2j M M M bs j
M M M = L cij L M M M
总结如下: 总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数. 阶数为前行数×后列数. 乘积阶数：
线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题
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3
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
记-A=(-aij),成为矩阵A的负矩阵
3 A A 0, A B A B (aij bij )
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4
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
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16
例4
设
A
0 2
0 1
,
B
1 1
1 1
,
C
2 1
1 1
则AB
AC
0 3
0 3
注意4 矩阵不满足消去律，即：
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
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5
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
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1 3 1 1 2 3 10
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23
2、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;
线性代数与解析几何
1 2
y2
x3 y3
也可写成矩阵形式, 令
X (x 1 ,x 2 ,x 3 )T ,Y (y 1 ,y 2 ,y 3 )T
C
1
0
1 2 1
0
0
0 0 1
C显然是个可逆矩阵, 因此所作可逆线
性变换为X = CY .
使
f y12 14y22 2y32
注: (1) CTAC= , C是可逆阵,不唯一.
3.二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系
例1 将三元二次型 f (x1,x2,x3) 写成矩阵形式.
f( x 1 ,x 2 ,x 3 ) 3 x 1 2 x 2 2 x 3 2 2 x 1 x 2 x 1 x 3 4 x 2 x 3
解 二次型 f 的矩阵应为3阶对称阵,
3
A 1
1 1
对特征值2=-1求解方程组 EA0
222 111 EA222000
222 000
得到基础解系: 2=(1,0,-1)T, 3=(0,1,-1)T
将2 ,3施行施密特正交化,得到
1
1
η2
1 2
0
,
1
η3
1 6
2 1
1 1 1
令
P(1,2,3)
3 1 3
2 0
6 2
为正交阵,
6
5 则PTAP 1
注意:对角阵中特征值的顺序和对应的 特征向量在P 中的排列顺序一致.
例4 试将下列二次型化为标准形
f x 1 2 x 2 2 x 3 2 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 4 x 2 x 3
解 (1) 二次型 f 的矩阵为
1 2 2 A 2 1 2
2 2 1
大学线性代数与解析几何习题
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A-1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知 ，则 ．
提示：a0=a/|a|
2．设 则 ＝．
提示：|a×b|=|a||b|sin→cos→a.b=|a||b|cos
2．
（A） （B）
（C） （D）
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设 阶矩阵 ,若矩阵 的秩为 ,则 必为
()
提示：参见书本及作业上的例子。
4．
提示：参见前面的内容。
5． ()
提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
4．设 ，则 .
提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设 ，则当 满足条件时， 可逆.
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设 阶矩阵 ，则必有（）
（A） （B） （C） （D）
提示：A的逆矩阵为BC
2． （）
提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
2．设向量 ( )
提示：Prjba=|a|cos，|a|＝3→cos→cosa.b)/(|a||b|)
3． ( )
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量 且 ( )
提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。
线性代数与空间解析几何4-1
5.方阵的幂
若 A为方阵, 我们用 An 表示n个 A的连续乘积, 称其 为 A的n次幂. 由于矩阵的乘法满足结合律, 此约定 是明确的. 为了方便, 我们约定 A0 E . 容易看到对 于方阵 A及任意自然数m, n, 幂运算满足: (1) Am An Amn; (2) ( Am )n Amn.
【证明】 由 行 列 式 转 置 其 值 不 变 知 结 论 成 了 .
矩阵转置运算的基本性质: (1) (AT)TA; (2 )( A B )T A T B T ; (3 )(A B )TB T A T .
7 . 线 性 方 程 组 的 矩 阵 形 式
由 矩 阵 乘 法 知 ,线 性 方 程 组
5 A 5 X 4 B 2 X ,7X 4B 5A ,
X
1 7
(4B
5A)
1 7(4 5 33 13 1 5 4 15 12 1 )
0 1
1 3
2 1
.
3.矩 阵 的 乘 法
【定义3】 若 A [aij]mn , B [bij]ns, 则矩阵
AB
n
aik
bkj
k1
ms
称为 A与 B 的乘积, 即 A与 B 的乘积 AB是一个m s
32 31 30
2 1 0
=
4
2
0
6 3 0
AB和BA不是同 型矩阵, AB BA
请 记 住 : ( n 1 矩 阵 ) ( 1 n 矩 阵 ) 是 一 个 n 阶 方 阵 !
【例3】
设
A
1 3
1 4
2 5
,
B
2 0 2
1 2, 4
计算 AB和BA.
【解】
2 1
线性代数与空间解析几何：5.4 实对称矩阵的相似对角化
1, 1, , 1T 是 A 的一个特征向量 .
返回
例2 设 1 12 是 矩阵 A的特征值 ,
7 4 1 A 4 7 1
4 a 4 求 A 的其余特征值 .
5 4 1
解 1I A 12I A 4 5 1
4 a 8 9a 36 0 a 4 .
返回
2 2 2
解 I A 2 5 4 12 10
2 4 5
1 1 二重, 2 10 .
返回
求 1 1的特征向量：
1 2 2 1 2 2
1I A 2 4 4 0 0 0
2 4 4 0 0 0
x1 2x2 2x3 ,
1 2, 1, 0T, 2 2, 0, 1T .
I A 3 a 22 2a b2 1 b2 2b 1
I 3 52 4 ,
{a 2 5 b2 2b 1 0 ,
a3, b1.
1 1 1
A 1 3 1 , 1 0 , 2 1 , 3 4 .
1 1 1
求 1 0的特征向量：
1 1 1 1 0 1
2 4
1 0
0 1
1
2 1
2 4 5 0 0 0
x1
1 2
x3
,
x2 x3 ,
3 1, 2, 2T.
将
3
单位化：
3
1
3
3
1 1，2， 2T.
5
返回
2 2
5 35
令
C 1
2
3
1 5
4 35
1
3 2
,
3
0
5 35
2 3
则 C 为正交矩阵且：
CT
AC
C
1 AC
线性代数解析几何的重要概念
线性代数解析几何的重要概念线性代数和解析几何是现代数学中的两个基本分支，其中线性代数主要研究向量空间和线性方程组等代数结构，而解析几何主要研究几何对象的性质和变换，两者有着紧密的联系。
本文将重点介绍线性代数解析几何中的几个重要概念。
一、向量和点向量是线性代数中最基本的概念之一，通常用箭头表示。
向量既可以表示为坐标形式，也可以表示为列向量。
在解析几何中，向量可以表示为由起点指向终点的有向线段，它既具有长度，也具有方向。
在向量应用中，我们常常需要对向量进行加减、数乘、点积、叉积等运算。
向量是描述几何对象的有力工具，其中包括位置向量、位移向量、速度向量、加速度向量等等。
在解析几何中，点是一个基本原子对象。
点有坐标表示，可以看作是一个零向量和某个位置向量的和。
点可以用来表示物体的位置、端点、中点等属性。
二、矩阵和线性变换矩阵是线性代数中另一个非常重要的概念。
矩阵可以看作是一个数表，它有行数和列数。
矩阵可以用来表示线性方程组的系数矩阵，也可以用来表示变换矩阵。
线性变换是解析几何中常用的一个工具，它可以保留物体的几何性质，如大小、形状、位置等。
线性变换是一种特殊的变换，它满足线性性质，即对于任意向量u和v，以及任意标量k，都有以下性质：T(u+v) = T(u) + T(v)T(ku) = kT(u)其中T是线性变换。
为了更方便地描述和计算线性变换，我们通常采用矩阵乘法的方式。
给定矩阵A和向量v，线性变换T可以表示为T(v) = Av。
三、向量空间和基向量空间是指一个线性空间中的一组向量，它们可以通过线性组合的方式表示出空间中的所有向量。
向量空间由基向量组成，基向量是向量空间的生成元，可以用线性组合的方式表示出向量空间中的任意向量。
在解析几何中，我们常常将向量空间看作一个坐标系，其中每个坐标都可以用一组基向量表示。
基向量的选择可以使问题变得更加简单，减少计算难度。
四、行列式和特征值特征向量行列式是一个方阵的一个标量值，它可以表示线性变换对空间的拉伸或压缩程度。
线性代数与解析几何——矩阵
det(aij )
(aij )mn
同型矩阵与矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 2 14 3
例如
5
6
与
8
4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2. 两个矩阵A (aij )st与 B (bij )st为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 aij bij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
b21
b3311 b4411
b12 lb11
b22
l b21
b3322 b4422
l l
b3311 b4411
lb12
l
b22
l l
b3322 b4422
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
2、数与矩阵相乘
定义：数 k是复数域中的一个数，它与矩阵 A 的乘积记作 k A 或 A k ，规定为
√√
始发地
B C
√ √
√ √
D
√
B C
D
其中√ 表示有 航班
A
B
CD
A
√√
B√
√
C√
√
D
√
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
例 某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可 用数表表示为：
3线性代数与空间解析几何
第二节矩阵的秩矩阵的秩的概念1矩阵的秩的求法2矩阵的秩的性质3回顾学习了矩阵的初等变换，我们知：实质：矩阵的秩矩阵可以经过行初等变换化为行阶梯形矩阵；矩阵的行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的.唯一性尚未证明行列式来定义矩阵的秩矩阵的秩的概念回顾一、K 阶子式定义m n ⨯k k 1,1k m k n ≤≤≤≤,A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1345=-102301-10例如,设则由1、3两行，2、4两列交叉处的元素355.10=-构成的二阶子式为则其一阶子式共12个，分别是A 的各元素.在矩阵中，任取行列（），位于这些行列交叉处个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.A 2k k A k A m n ⨯矩阵的阶子式共有个.注A kk k m nC C ⋅若,A O ≠则它的任何子式都为零；若,A O =则它至少有一个一阶非零子式；若中有一个二阶非零子式，则继续考察它的三阶子式，依次进行下去直到有阶子式不为零，且没有比高阶的不为零的子式.矩阵A 的秩再考察它的二阶子式：探究A A r r定义m n ⨯例1求矩阵,⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭123A =23-5471的秩.注规定零矩阵的秩为零.解≠12=-10,23A =12312323-5=0-1-11=0,4710-1-11且故() 2.R A =,3A A 阶子式只有一个的易看出有二阶子式设为的矩阵，如果存在的阶子式不为零，而任何阶子式（如果存在的话）皆为零，则称数为矩阵的秩，记为A r A 1r +r A ().R A所以() 3.R B =解因为B 是一个行阶梯形矩阵,其非零行只有3行,213032240,004--=≠此外，又存在的一个三阶子式，B 常取行阶梯形矩阵的非零行的非零首元作为最高阶非零子式的对角元。
例2求矩阵的秩..00000340005213023012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=B .4阶子式全为零的所有即知B显然，矩阵的秩具有下列性质：(1)(2)(3)(4)定义可逆矩阵又称为满秩矩阵；则称为满秩矩阵;则称为降秩矩阵.不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵.1124 A⎛⎫= ⎪⎝⎭1122 B⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶数总结K阶子式、矩阵的秩、满秩矩阵与降秩矩阵的概念思考(1)当矩阵行数与列数较高时，按定义求秩将是很麻烦的；(2)易知，行阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数；(3)任何矩阵可经行初等变换化为行阶梯形矩阵.矩阵的秩与其行阶梯形矩阵的秩有什么关系？相等吗？。
大学线性代数与解析几何习题
《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一)填空题.1．设()1123123,(1,,)αβ==，TT B A βαβα==,，则3___________A =.提示：A 3=βαββαβααββαβααTT T T T T T 3)(==2．设方阵A 满足240,,A A I I +-=其中为单位矩阵，1)_____________A I --=则(. 提示：A 2+A-4I=0→A 2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I →(A-I)(A+2I)/2=I 3．设方阵A 满足0322=--I A A ，则=-1A ____________.提示：A 2-2A-3I=0 → A(A-2A)=3I4．设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=1301113111211111A ，则=)(A r . 提示： 对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。
5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆.提示：矩阵A 的行列式detA ≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题1．设n 阶矩阵,,,A B C ABC I I =满足为单位矩阵，则必有 （ ） （A ）I ACB = （B ）I BCA = （C ）I CBA = （D ）I BAC =提示：A 的逆矩阵为BC2．12321,,0,312Q t P QP t ⎛⎫ ⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭已知是三阶非零矩阵且则 （ ）()1()1()2()2A B C D --提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P 非零，Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=0 3．1112132122232122231112131313233311132123313010,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦设2100010,101P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则必有 （ ）12211221()()()()A APP BB AP P BC PP A BD P P A B ====提示：矩阵B 由矩阵A 经初等行变换得到，故在C 或D 中选择，P1、P2为初等矩阵，P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C 4．设n 维向量)21,0,,0,21(=α,矩阵ααααT T I B I A 2,+=-=,其中I 为n 阶单位矩阵,则=AB ( )()()()()T A B IC ID I αα-+提示：AB ＝ (I-αT α)(I+2αT α)=I+αT α-2 αT α αT α= I+αT α-2 αT (α αT )α=I5．A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+ （ ） （A ） B=E （B ） A=E （C ）A=B （D ）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6．矩阵==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ii 则其中 ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 提示：A=(a 1,a 2,a 3,a 4)T (b 1,b 2,b 3,b 4) (三)计算题1．2101,02010AB I A B A I B ⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭设,为单位矩阵,求矩阵。
1-1线性代数
矩阵就是一个 数表. 矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具. 矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具. 是数学中一个极重要的应用广泛的工具
11
一、矩阵的定义
1 .定义 由m × n个数 a ij ( i = 1,2, L , m; j = 1,2, L , n) 定义
列的数表， 排成的 m 行n列的数表， 称为m 行n列矩阵.
同型， A与B相等： A = (aij )与B = (bij )同型，且 与 相等 aij = bij , i = 1,..., m; j = 1,..., n
记为 A = B.
23
例
设
1 2 3 A= , 3 1 2
1 B= y
x 3 , 1 z
已知 A = B , 求 x , y , z .
记作
A= A= diag(a11, a22 ,L, ann ).
2 0 如 A = diag( 2,−1) = 0 − 1
17
单位矩阵 方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零. 方阵，主对角元素全为 ，其余元素都为零 记作 I n 或 I .
1 1 = diag(1,1,...,1) In = O 1 n×n × 数量矩阵
9
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x +L+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 一般的 线性方程组 LLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
下三角矩阵 下三角矩阵
a11 a 21 形如 L a n1
《线性代数与解析几何》矩阵部分练习题及答案
《线性代数》练习题矩阵部分一、填空题1．设A 是3阶方阵，A ＝-3,则2A ＝______，3A ＝______2 设A ＝1203⎛⎫⎪⎝⎭，B ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则当b,d 为任意常数，且c=______ a=______时，恒有AB=BA.3.设矩阵A ＝111022003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，T A 为矩阵A 的转置矩阵，则TAA ＝______， 4.若A ＝011001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，f(x)=33x +x,则f(A) ＝______. 5.设A ＝120303010-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，则)()(E +A E -A ＝______。
6．设A ＝101210325⎛⎫⎪⎪ ⎪--⎝⎭，则)(1E --A ＝______。
7．设A ＝5200210000120011⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭，则1-A ＝______。
8．n 阶可逆矩阵A,B,若A ＝3，则1-K B A B ＝______。
9．对于n 阶方阵A ，若T AA ＝2E ，则A ＝______。
10．已知 n 阶矩阵A 可逆，则（ ）成立。
A ，)(12-A ＝12-A ； B,)(12--A =112--A ; C,)(12--A ＝112-A ; D,)(12-A =2A .11.对于n 阶可逆矩阵A,B,则下列等式中（ ） 不成立。
A )(1-AB ＝1-A 1-B B, )(1-AB = 11-A .11-BC, )(1-AB ＝1-A .1-BD , )(1-AB ＝1AB12.若A 为n 阶方阵，且3A ＝0，则矩阵()1-E -A ＝______。
13．设A 为3阶方阵，且3A =，则212⎛⎫A ⎪⎝⎭＝______。
14．设A ＝[]1,2,3，[]1,1,1B =，则()KT A B ＝______。
15．设A 为3阶方阵，且2A =，则132-*A -A ＝______。
《线性代数与空间解析几何》哈工大版课件幻灯和习题.ppt
3 1
10.
1
2、
3
2
1
1
2
3 1 3 2 3 2 1 2 2
11 12
33 23
3 2
13 1
6 4 2
9
6 3
3、
b1
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12b1 a22b2 a32b3
例3 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2 AB BA. 此时称矩阵A、B可交换。
An2 A
aann11Ana1n2 an2 Aann2n A1n aAnn2nAnn AAnn
A
O
O
A
A
, A
故 AA A E.
同理可得
A
A
n k 1
Aki akj
A E.
五、小结
加法
数与矩阵相乘
矩 阵
矩阵与矩阵相乘
运 转置矩阵
算 方阵的行列式
对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵
与反对称阵之和.
证明 设C A AT
则CT
A AT
T
AT
A
C,
所以C为对称矩阵.
设B A AT , 则BT A AT T AT A B,
所以B为反对称矩阵.
线性代数与空间解析几何72二次型及其矩阵表示1课件
1 2 2
A
2 2
2 4
4 2
1 2
2
A E 2 2 4 22 7
2 4 2
从而得特征值 1 7, 2 3 2.
2．求特征向量
将 7代入 A E X 0,得基础解系 1
(1,2,2)T,
1
将1单位化，得
1
=
1 3
(1,
2,
2)T
.
将2 3 2代入 A E X 0,得基础解系
3、正交变换法
定理1
n
任给二次型 f aij xi x j aij a ji ,总有
i , j1
正交变换X QY ,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中 1, 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
主轴定理
例2 将二次型 f 2x12 x22 2 2x1x2化成标准形,
0 y2
1
y3
代入 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ,
得
f
2 y12
2
y
2 2
4 y1 y3
8 y2 y3.
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
2 5
2 35
1
3
令
Q 1
2
3
1 5
4 35
2 3
,
0
则 Q 为正交矩阵且 ：
5 35
2 3
1
QT
AQ
Q 1
线性代数与空间解析几何
00 对角矩阵;
A 00
12
aB1 ,a20000,aan2., ,an
,
零矩阵.
00 00 1n
18/19
思索题
矩阵与行列式有何区分? 答：(1)从形式上看矩阵行列数能够不一样， 但行列式不行，一定要行列数相等；
（2）矩阵是一张数表，而行列式表示 一个数，是能够比较大小。
19/19
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n 系数矩阵
am1 am1 amn
13/19
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
y1 x1,
y2 x2 ,
yn xn
称之为恒等变换.
对应
1 0
0 1
b1 b2
an1 an2 ann bn
2/19
2、产品调运方案
产地 B1 B2 … Bn 销地
A1
a11 a12 … a1n
┆
┆┆
┆
Am
am1 am2 … amn
3/19
二、矩阵定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成 行m 列n数表
a11 a12 a1n
矩阵A的
m , n元
5/19
比如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
2线性代数与空间解析几何
b11 t1 b21t1
b12 t 2， b22 t 2，
x 3 b31 t1 b32 t 2，
（ 2）
P（ t1， t2） M（ x1 , x2 , x3）
2.2.2 、矩阵的乘积与方阵的乘幂
从线性变换看矩阵乘积 设有两个线性变换
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
2.2.2 、矩阵的乘积与方阵的乘幂
从线性变换看矩阵乘积 设有两个线性变换
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3， a23 x3，
（1）
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
x1 x2
b11 t1 b21t1
b12 t 2， b22 t 2，
a 12 b 21 a 22 b 21
a 13 b 31 ) t 1 a 23 b 31 ) t 1
( a 11 b11 ( a 21 b12
a 12 b 21 a 22 b 22
a 13 b 31 ) t 2 a 23 b 32 ) t 2
C
a 11b11 a 21b11
a12b21 a 22b21
从线性变换看矩阵乘积 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3， a23 x3，
（1）
x1 x2
b11 t1 b21t1
b12 t 2， b22 t 2，
x 3 b31 t1 b32 t 2，
（ 2）
N（y1，y2）
P（ t1， t2）
a13 x3， a23 x3，
（1）
x1 x2
b11 t1 b21t1
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2 2
2 2
注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.
例4
设
A
1 2
2 4 ,
B
1 2
3 1 ,
C
7
1
1 2 ,
求 AB 及 AC.
解
AB
1 2
2 1 4 2
3 1
5 10
5 10 ,
AC
1 2
2 7
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1 a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
例3
设
A
1 1
1 1 ,
B
1 1
1
1
则
b1 j
ais
b2 j
cij
bs j
总结如下:
可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
运算性质: (A是mn的矩阵)
(1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C) AB + AC
由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成 的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即
a11 a12
a1n
| A | a21 a22
a2n
an1 an2
ann
21
运算性质(定理2.1): 设A, B, Ai 为 n 阶方阵, k 为数, 则有 (1) kA k n A , A (1)n A (2) | AB |=| A | | B | (行列式乘法公式) (3) | A1A2 As || A1 || A2 | | As | (4) Am A m
4
1
1 2
5 10
5 10
.
注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC,
但是B不等于C.这说明消去律不成立!
总结一下矩阵乘法的一些反常性质:
不满足交换律: AB BA 不满足消去律: AB = AC B = C 可能有零因子: AB 0 A 0或 B 0
A 0且 B 0 AB 0
如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换.
祝 大 家 中秋节 快 乐 !
预习2.3-2.4
18
2.2.4 方阵的幂
AA有意义当且仅当A为方阵.
对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:
A1 A, A0 E
Ak
1
Ak
A,
k 1, 2,
运算性质:
Ak Al
(
Ak
)l
Ak l Akl
因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于
《线性代数与空间解析几何》
第二章
矩阵
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室
2007.9
本章主要内容
矩阵的概念及运算 可逆矩阵* 矩阵的初等变换与初等阵 矩阵的秩 分块矩阵
2
2.1 矩阵的概念
2.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
(B + C)A = BA + CA 学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什
么熟知的运算规律.特别是乘法运算.
2 3 1 1
例1 设 A 1 2 1 , B 0
求 AB .
0 3 1
2
解
2 1
3 2
1 1 21 30 1 2 4 1 0 11 2 0 (1) 2 1
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
am1 am2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
amn
简记为 Amn (aij )mn
当 m=n 时称为n 阶方阵.
矩阵同形它们行数和列数相同. 矩阵相等它们同形且对应元素相等.
方阵的行列式: | A || aij |nn 或 det Α .
2.特殊矩阵
零矩阵: 0mn, 0
1A A, 0A 0
2.2.3 矩阵乘法
Α (aij )ms , Β (bij )sn ,,则 C = AB (cij )mn
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
aikbkj , i 1,L , m; j 1,L , n. k 1
ai1 ai2
负矩阵: Α (aij )mn (aij )mn 减 法: A B A (B)
运算性质: A+ B = B + A, (A+ B) C A (B + C)
A 0 A, A (A) 0
8
2.2.2 数乘
kA k (aij )mn (kaij )mn
运算性质:
k (lA) (kl) A k(A+ B) kA kB (k l) A kA lA
同阶方阵A与 B, 一般 (AB)k Ak Bk .
19
矩阵多项式
设 f (x) an xn an1xn1 L a1x a0
A是方阵，则称
f ( A) an An an1 An1 L a1 A a0 E
为A的矩阵多项式，f ( A) 仍是方阵.
20
2.2.5 方阵的行列式及乘法公式
L an
ann
a1
列矩阵:
a2
M
an
2.2 矩阵运算
矩阵的线性运算 矩阵的乘法运算 方阵的幂及行列式
的乘法公式 矩阵的转置
2.2.1 矩阵的加法: ( A与B 要同形).
加 法: Α (aij )mn Β (bij )mn A + B = C (cij )mn (aij bij )mn
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 En diag(1,1,
数(纯)量矩阵: Α diag(c, ,c)
, ann )
,1)
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
a11
下三角矩阵:
a21
an1
行矩阵: a1 a2
a22
an 2
22
例1 设A为3阶方阵, B为4阶矩阵, 且|A|=3, | B |=-2, 则||B| A|= -24 .
解 ||B| A|=|-2A|=(-2)3| A |=(-8)3=-24.
例2 设A为n阶矩阵, k为非零常数,则
|-k A|=
.
(A) –k| A |
(B) k| A |
(C) (-1)nk n| A | (D) kn| A |