《相似三角形判定定理的证明》习题1

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相似三角形判定定理的证明检测试题1

相似三角形判定定理的证明检测试题一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.如图，是斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对2.如图，在中，），则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.3.如图，是的边上异于）一点，过点作直线截得的三角形与相似，那么这样的直线可以作的条数是（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.如图所示，在中，），则下列结论中，正确的是（）A. B. C. D.5.下列命题中，正确的个数是（）①等边三角形都相似；②直角三角形都相似；③等腰三角形都相似；④锐角三角形都相似；⑤等腰三角形都全等；⑥有一个角相等的等腰三角形相似；⑦有一个钝角相等的两个等腰三角形相似；⑧全等三角形相似．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.在与中，有下列条件：））），如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组7.如图，中，，若，若的面积为，则四边形的面积为（）A. 3B. 9C. 5D. 218.已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A. B. C. D.9.如图，在中，点在上，在下列四个条件中：①）②）③）④，能满足与相似的条件是（）A. ）））））B. ）））））C. ）））））D. ）））））10.如图，在中，））为上两点，过点）分别作）的垂线，两垂线交于点，垂足分别为），若），则下列说法中不正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）11.如图，在中，）分别是）边上的点，））），则________）12.如图，请你添加一个条件使得．这个条件是：________）13.如图，中，））），则的长是________）14.如图，在中，）两点分别在边）上，）），要使与相似，则线段的长为________）15.如图，点在的边上，要使，添加一个条件________）16.如图，除公共角相等外，请你补充一条件，显然该条件应为________，使得）17.如图，已知））））是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点，连结，交线段于点，如果以））为顶点的三角形与相似，则线段的长为________）18.如图，中，点在边上，满足，若），则________）19.如图：已知在中，是斜边上的高．在这个图形中，与相似的三角形是________（只写一个即可）．20.在中，）分别是）边上的点，）））…）是边的等分点，）．如图，若），则________度；如图，若），则________（用含）的式子表示）．三、解答题（共6 小题，每小题10 分，共60 分）21.如图，），又，点））在同一条直线上．求证：）22.如图，为的斜边上的高线，的平分线交）于点），求证：）23.如图，在中，），点从点出发沿边想向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果）同时出发，经过几秒后和相似？24.如图，在中，是角平分线，是上的一点，且）求证：）25.如图，在中，是边上的中点，且），交于点）与相交于点）求证：）26.如图，在中），点在边上，于点）若），求的长；设点在线段上，点在射线上，以））为顶点的三角形与有一个锐角相等，交于点．问：线段可能是的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．。

《相似三角形的判定定理》练习题

(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B. 又∵∠AFD＝∠AGB＝90°，∴△AFD∽△AGB. ∴AAGF ＝AADB .∵AD＝3，AB＝5，∴AAGF ＝35.
15.(导学号 40134043)(2017·泰安)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝ AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD. (1)证明：∠BDC＝∠PDC； (2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长.
九年级下册数学（人教版）
第二十七章相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定定理3
知识点1：相似三角形的判定定理3
1.如图在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，
则一定有(
)C
A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF
C.△ADE∽△ECF D.△AEF∽△ABF
DP·BD＝AD·BC，∴AB2＋AD·BC＝DB·PB＋DP·BD＝DB(PB＋DP)＝
DB2，即BD2＝AB2＋AD·BC.
2.如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有( B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是( A ) A.AADB＝AACE B.ABEE＝CADD C.AADC＝AAEB D.DBCE＝AADC
8 4.如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BA＝5，AE＝2，则DE＝__3__.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∴A︵B＝D︵C.∴AB＝DC.
(2)易证△ADP∽△DBC，∴ABDD＝BDCP.∴DP·BD＝AD·BC.

相似三角形判定练习题

相似三角形判定练习题### 相似三角形判定练习题一、选择题1. 下列各组三角形中，一定相似的是（）A. 等腰三角形与直角三角形B. 等边三角形与等腰三角形C. 等腰直角三角形与直角三角形D. 等腰三角形与等边三角形2. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形（）A. 一定全等B. 一定相似C. 不一定相似D. 以上都不对3. 三角形ABC与三角形DEF相似，若AB:DE=2:3，那么AC:DF的比值为（）A. 2:3B. 3:2C. 1:1D. 无法确定二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，则∠C=______。

5. 三角形ABC与三角形DEF相似，若AB=6cm，DE=9cm，则BC:EF的比值为______。

6. 如果三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=4cm，AC=6cm，DE=6cm，那么DF的长度为______。

三、判断题7. 如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形一定相似。

（）8. 三角形ABC与三角形DEF相似，如果∠A=∠D，∠B=∠E，那么∠C=∠F。

（）9. 三角形ABC的周长是三角形DEF的2倍，那么三角形ABC与三角形DEF相似。

（）四、简答题10. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:4，BC:EF=2:3，求AC:DF的比值。

11. 根据相似三角形的性质，如果一个三角形的三个内角的度数分别是40°，50°，90°，那么与它相似的另一个三角形的三个内角的度数分别是多少？12. 如果三角形ABC的面积是三角形DEF的9倍，且AB=6cm，DE=4cm，求三角形ABC的面积与三角形DEF的面积的具体数值。

五、解答题13. 在三角形ABC中，已知∠A=70°，∠B=40°，求∠C的度数，并判断三角形ABC是否为直角三角形。

14. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=5cm，BC=7cm，DE=10cm，求三角形ABC的周长。

北师大版九年级数学上册4.5 相似三角形判定定理的证明同步测试题

4.5 相似三角形判定定理的证明同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计6 小题，每题3 分，共计18分，）1. 如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的点，AE=2DE，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积为2，则△BCF的面积为()A.3B.6C.9D.92的值为（）2. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则BDADC.√2−1D.√2+1A.1B.√223 如图，直线l1//l2，AF:FB=1:2，BC:CD=2:1，则AE:EC是( )A.2:1B.1:2C.3:2D.2:34. 如图，DE // AB，下列比例式中不成立的是（）A.CE BC =CDCAB.COCF=OEFBC.AFBF=ODOED.BFOE=BEEC5 如图，四边形ABCD中，点E在AB上，过点E作EF // BC，交对角线AC于点F，过点F作FG // CD，交AD于点G，则下列结论错误的是（）A.AE AB =AFACB.AGGD=AFFCC.EFBC=FGCDD.ABAD=EFFG6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线相交于点F，若AE=2ED，则下列结论错误的是（）A.EF=2CEB.BF=3CDC.S△AEF=23S△BCF D.BC=32AE二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）7 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE // BC，且AB＝3AD，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为________．8 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在CD上，若点E将CD分成1:2两部分，连接BE交AC于点F，则OF:FC=________．9. 如图，已知∠ACD=∠B，AD=2，AC=√10，则BD=________．10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,CD⊥AB，垂足为D．如果AD=2,BD=1，那么线段CD的长为_________.11 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，已知AB=4，BC=6，CE=2，则CF的长等于________．12 如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE与线段CD交于点F，那么AE的值是________．AF13 如图，若ΔABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为ΔABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知ΔABC中，CA=CB，∠ACB=120∘，P为ΔABC的布罗卡尔点，若PB=3，则PA+PC=________．三、解答题（本题共计8 小题，共计81分，）15. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE // BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．16 如图，在△ABC中，DE//AC，若BD=4，DA=2，BE=3，求EC的长.17. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，求证：（（1））AC2＝AD⋅AB；（2）CD2＝BD⋅AD．18 如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．（1）求证：△AEB∽△CED；（2）若AB＝2，BC＝4，AE＝1，求CE长．19. 已知，如图，△ABC中，AB=4，BC=8，D为BC边上一点，BD=2．(1)求证：△ABD∼△CBA；(2)作DE//AB交AC于点E，将图形补充完整并直接写出DE的长．20. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE // BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2=FG⋅FE．(1)求证：△CAD∼△CBG；(2)联结DG，求证：DG⋅AE=AB⋅AG．21 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB于点Q，过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R．设点P运动的时间为t 秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S．（1）直接写出线段PQ的长．（用含t的代数式表示）（2）当点R落在边AC上时，求t的值．（3）当△PQR与△ABC重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式．（4）直接写出AQ或PC平分△PQR面积时t的值．22 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线．动点P从点C 出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD−DB向终点B运动．过点P作PQ⊥AC于点Q，PQ．设矩形PQMN与△ACD 以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN=23重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为t(s)(t>0)．（1）当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长．（2）当点N落在边AD上时，求t的值．（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1:2的两部分时，直接写出t的值．。

相似三角形判定定理证明

如何證明相似三角形判定定理預備知識：圖1中，平行線等分線段定理已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，則DE =EF由已知條件構造三角形全等，可證得平行線間距離相等，然後以此結論做條件可構造線段DE ，EF 所在三角形全等，結論獲證. 圖2中，平行線分線段成比例定理已知l 1//l 2//l 3，則DEEFBC AB =，命題可通過添加平行線轉化成平行線等分線段定理.由比例性質還可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF EDAC CB =相似三角形判定定理證明圖3，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC析：欲證兩三角形相似，則需證三對角對應相等，三對邊の比相等，本題目三對角相等，則證三邊比相等即可. 由DE//BC 得AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EACB BF =，依題意知四邊形DEFB 是平行四邊形，DE=BF . 則CBDEAC AE AB AD ==，命題獲證. 圖4，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可證△AD E ≌△AGH 此問題同圖3圖5，在△ABC 與△A`B`C`中，``````C A ACC B BC B A AB == 求證：△ABC ∽△A`B`C`在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴````````C A EA CB DE B A D A == ∵``````C A ACC B BC B A AB ==，AB=A`D ∴DE=BC ，A`E=AC3l3图3B图4B图5图6B∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C` 圖6，````C A ACB A AB =，∠A =∠A`，求證：△ABC ∽△A`B`C` 在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴``````C A EA B A D A =∵````C A ACB A AB =，A`D=AB ∴A`E=AC ∵∠A =∠A`∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`圖7，∠A=∠A`，∠B=∠B`求證：△ABC ∽△A`B`C`在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴∠A`DE=∠B`∵∠A=∠A`，∠B=∠B`，A`D=AB ∴∠A`DE=∠B∴△A`D E ≌△A`B`C` ∴△ABC ∽△A`B`C`圖8，Rt △ACB 與Rt △A`C`B`中，∠C=∠C`=90°，````C A ACB A AB = 求證：△ABC ∽△A`B`C`設````C A ACB A AB ==k ，則AB=kA`B`,AC=kA`C`則 k ````k ````k ``k ````222222==-=-=C B C B C B C A B A C B AC AB C B BC則三邊成比例，∴△ABC ∽△A`B`C`图7B图8B。

《相似三角形判定定理的证明》巩固练习(提高)

【巩固练习】一、选择题1. （2015•深圳校级模拟）若△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：3，则S △ABC ：S △DEF =（）A ．1：3B ．1：9C ．1：D ．1：1.52．已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A ．都相似B ．都不相似C ．只有（1）相似D ．只有（2）相似3．如图，G 是平行四边形ABCD 的边CD 延长线上一点，BG 交AC 于E ，交AD 于F ，则图中与△FGD 相似的三角形有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD 的是（）A ．∠BAC=∠BDCB ．∠ABD=∠ACDCD AO DO CO BO =AO OD OB CO=5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（）A ．不存在B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（）　A．1B．2C．3D．4二、填空题7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件　（只需写一个）．8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1除外）有　．9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形　．10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两对．11．如图，在3×4的方格上，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置．若点D在格点位置上（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D共有个．12.（2015•六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC= ．三、解答题13. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．14.（2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．15．如图，在△ABC和△ADE中，==，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选B．2.【答案】A;【解析】如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，∵∠E=75°，∠F=70°，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF；3.【答案】C；【解析】∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△GFD∽△GBC，△GFD∽△BFA，∴图中与△FGD相似的三角形有2对，故选C．4.【答案】C；【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；C、若=，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△COD，故本选项正确．D、若=，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD，故本选项错误；故选C．5.【答案】C；【解析】∵△ABD∽△CBD，∴∠ADB=∠BDC又∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠ADB=∠BDC=×180°=90°，∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，∴△ABC为直角三角形．故选：C．6.【答案】C；【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．故选C．二、填空题7．【答案】如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等；【解析】∵∠A是公共角，∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），当AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB；【解析】∵CP∥ER，∴△BCP∽△BER；∵CP∥DR，∴△PCQ∽△RDQ；∵CQ∥AB，∴△PCQ∽△PAB；∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5；【解析】设网格的边长为1．则AC=，AB=，BC=．连接DP2P5，DP5=，DP2=，P2P5=．∵==，∴△ACB∽△DP5P2．同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB相似．故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5．10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB;【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∵∠2=∠3，∴∠DEA=∠EAB，∵∠1=∠3，∴△EDA∽△AEB，故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB．11．【答案】4;【解析】∵方格中小正方形的边长为1，∴AB=1、BC=、AC=，∵△DBC与△ABC相似，∴BC=、CD=2、BD=，如图可知这样的点D如图：故答案为：4．12.【答案】4.8或.【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，即10：PC=6：8，解得：PC=，当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．三、解答题13.【解析】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×﹣=×（10+2）×8﹣×10×4﹣=24.（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2tS=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）=8t2﹣32t+48．②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2tFG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2tS=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．即S=﹣8t+32（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°1若=，即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG2若=即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．14.【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．15.【解析】证明：∵在△ABC和△ADE中，==，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△ABD∽△ACE．。

相似三角形的判定及习题

知识点：相似三角形1、相似三角形1）概念：若是两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形必然相似。

两个等腰直角三角形必然相似。

两个等边三角形必然相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不必然相似。

补充：关于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

相似比为k。

4）判定：①概念法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所组成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：若是一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：若是一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，而且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：若是一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，而且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有普遍的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

初中相似三角形经典习题(附答案)

一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。

分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．考点：相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形。

分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．（2）根据点F是BC的中点这一条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．分析：由FD∥AB，FE∥AC，可知∠B=∠FDE，∠C=∠FED，根据三角形相似的判定定理可知：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．点评：本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。

(完整)4.4.5相似三角形判定定理的证明练习题

4。

5相似三角形判定练习题1．如图1，（1)若OAOB=_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________．（2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边．（3)请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD．2．如图2,若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______．（1) （2） (3)3．如图3，已知A（3，0）,B(0,6），且∠ACO=•∠BAO，•则点C•的坐标为________，•AC=_______．4．已知,如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）．A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）．A．45° B．60° C．75° D．90°(4）（5） (6)7．如图6,若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．8．如图，在△ABC中，CD,AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形,简要说明理由．9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，•写出图中的相似三角形,并求出对应的相似比．10．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B(0，4),在坐标轴上找到点C（1，0）•和点D，使△AOB 与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．11．已知：如图是一束光线射入室内的平面图，•上檐边缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N•与窗户的距离NC．12．如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C,∠MCN=45°,试说明△BCM∽△ANC．13．在ABCD中,M，N为对角线BD的三等分点,连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．(1）试说明△AMD∽△EMB;(2）求FNNE的值．14．在△ABC中，M是AB上一点,若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，•试说明满足条件的直线有几条,画出相应的图形加以说明．15．为了测量一大楼的高度,在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m,他与镜子的距离是2。

数学上册第四章图形的相似4.5相似三角形判定定理的证明作业课件北师大版

第四章图形的相似
*5.相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理的证明 1．(4分)如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( C )
2．(4分)如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是( A ) A．△AFD B．△AED C．△FED D．不能确定
3．(4分)如图，在▱ABCD中，DE∶AD＝1∶2，EC交对角线BD于点F，则 EF∶FC等于( A )
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝
∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE ＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△
DEC
(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴CD＝AB＝8.∵△ADF∽△DEC，∴AD ＝ AF
DE ，∴DE＝AD·CD ＝6 3×8 ＝12
10．(黔东南州中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E为CD的中点，连接 4
AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝__3__．
二、解答题(共 42 分)
11．(12 分)(驻马店平舆县一模)如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的
点，DC 交 BE 于点 F，且 AD＝1 AB，AE＝1 EC.求证：
DB BC
2
1 BD2＝AC2，∴BD ＝ 2
2
AC
AC
解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ACB ＝∠CAD，∠ADB ＝∠CBD.又∵∠BAC＝
∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴BC ＝CA ，即 CA2＝BC·AD.∵BD 平分∠ABC，∴ CA AD
∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC·AB，∴△ABC 是“比

相似三角形判定定理的证明(含解析)

A . 55 B .2 5 5 C . 55或2 5 5 D .2 5 5或3 5 5
27.在△ABC 中，AB=AC=10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合），连结 AD，作∠ADE=∠B=α，DE 交 AC 于点 E，且 cosα= 5．有下列结论：①△ADE∽△ACD； ② 当 BD=6 时，△ABD 与△DCE 全等；③当△DCE 为直角三角形时，BD=8；④3.6≤AE ＜10．其中正确的结论是( )
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①②③④
13.如图，点 D、E、F、G 为△ABC 两边上的点，且 DE∥FG∥BC，若 DE、FG 将△ABC 的
面积三等分，那么下列结论正确的是（
）
A． C．
= = +
B． D．
= =
=1
14.已知点 A、B 分别在反比例函数 OA⊥OB，则的值为（）
（x＞0），
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
21.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，点 P 是 BC 边上的一个动点（点 P 与点 B、C 都不重合），现将△PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作∠BPF 的角平分线交 AB 于点 E．设 BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（）
7.如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DC 切⊙O 于 E，交 AM 于 D，
交 BN 于 C．若 AD•BC=9，则直径 AB 的长为（
）
A．3
B．6
C．9
D．
8. 如图，平行四边形 ABCD 中，F 是 CD 上一点，BF 交 AD 的延长线于 G，则图中的相似三角形对数共有（）

5.相似三角形判定定理的证明

解：存在. ①若△PCD∽△APB,则CPBD＝PADB,即14－4 PD＝P6D,解得 PD＝2 或 PD＝12； ②若△PCD∽△PAB,则CADB＝PPDB,即64＝14P－DPD,解得 PD＝5. 6. ∴当 PD 的长为 2 或 12 或 5. 6 时,△PCD 与△PAB 相似.
5 相似三角形判定定理的证明
C 拓广探究创新练
14. 如图 4－5－13,已知直线 l 的函数表达式为 y＝－43x＋8,且 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动,同时动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动,设点 Q,P 移动的时间为 t 秒. (1)求点 A,B 的坐标； (2)当 t 为何值时,以 A,P,Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.721.9.7Tuesday, September 07, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。04:28:5604:28:5604:289/7/2021 4:28:56 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.704:28:5604:28Sep-217-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。04:28:5604:28:5604:28Tuesday, September 07, 2021
图 4－5－11
5 相似三角形判定定理的证明
解：(1)证明：∵AC＝BC,∴∠A＝∠B. ∵∠BEC＝∠ACE＋∠A,∠ACF＝∠ACE＋∠ECF,∠ECF＝∠A,∴∠ACF＝ ∠BEC, ∴△ACF∽△BEC,∴BAEC＝BACF, ∴AC2＝AF·BE. (2)∵∠A＝60°,AC＝BC,∴△ABC 是等边三角形,∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60° ＝∠ECF,∴∠ACE＝∠FCB. 又∵∠ECB＝∠ACB－∠ACE,∠F＝∠ABC－∠FCB,∴∠ECB＝∠F. 又∵∠ABC＝∠A,∴△ACF∽△BEC, ∴ABCE＝ABFC,∴AF＝136, ∴BF＝AF－AB＝43.

4.5《相似三角形判定定理的证明》课时练习(含解析)

北师大版数学九年级上册第4章第5节相似三角形判定定理的证明同步检测一、选择题1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为2、2、10，只有选项B的各边为1、2、5与它的各边对应成比例．故选：B．分析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得选项A，B，C，D各三角形的三边的长，最后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．熟悉三组对应边的比相等的两个三角形相似定理是解答此题的关键．2．如图，点P是ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对答案：D解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形．故选：D．分析：利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．熟练掌握相似三角形的判定方法是解答此题的关键．3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．2AB AD AC=D．AD AB AB BC=答案：D解析：解答：A．∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；B．∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；C．∵2AB AD AC=，∴AD ABAB BC=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，所以此选项不合题意；D．AD ABAB BC=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．分析：根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出正确答案．此题考查了相似三角形的判定．4．下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个30︒的内角B．都含有一个45︒的内角C．都含有一个60︒的内角D．都含有一个80︒的内角答案：C解析：解答：因为选项A、B、D给出的角30︒，45︒，80︒可能是顶角也可能是底角，不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；所以选项A，B，D错误；因为有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，所以选项C正确．故选：C．分析：若要判定两三角形相似，最常用的方法是找两对对应相等的角，而选项A、选项B、选项D都只能找到一对相等的角，只有选项C可以找出两对对应相等的角．5．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组答案：A解析：解答：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选：A．分析：根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，确定最后答案．边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．6．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G，AF⊥BE于F，图中相似三角形的对数是（）A．5B．7C．8D．10答案：D解析：解答：∵矩形ABCD∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=90︒∴△EDG∽△ECB∽△BAG∵AF⊥BE∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=90︒∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA∴△GAF∽△GBA∽△ABF∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA∴共有10对故选：D．分析：根据已知及相似三角形的判定方法找出存在的相似三角形即可得到答案．此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．7．如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中，（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB（3）2=（4）AB•CP=AP•CB，AC AP AB其中能满足△APC和△ACB相似的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：（1）中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，（1）正确；（2）∠APC=∠ACB，且有一公共角∠A，（2）正确；（3）中AC2=AP•AB，∠A为其夹角，（3）正确；（4）中不是两组对应边成比例，夹角相等，所以（4）错误．故选：C．分析：两组对应角相等的三角形是相似三角形；两组对应边成比例且夹角相等两个三角形是相似三角形．由此可求出答案．8．如图，已知点P是不等边△ABC的边BC上的一点，点D在边AB或AC上，若由点P、D截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（）A．2处B．3处C．4处D．5处答案：C解析：解答：①△CPD与△CBA相似；此时△CPD与△CBA共用∠C，P点的位置有两个：∠CPD=∠B或∠CPD=∠A；②△BPD与△BCA相似；此时△CPD与△CBA共用∠B，P点的位置同样有两个：∠BPD=∠C或∠BPD=∠A；所以符合条件的D点位置最多有4处．故选：C．分析：先判断由点P、D截得的小三角形与△ABC有哪些相等的条件，再根据相似三角形的判定方法来判断符合条件的D点有几个．注意不要漏解．9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90 ，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB 边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：∵AB ⊥BC ， ∴∠B =90︒． ∵AD ∥BC ，∴∠A =180°-∠B =90︒， ∴∠PAD =∠PBC =90︒．AB =8，AD =3，BC =4，设AP 的长为x ，则BP 长为8-x ．若AB 边上存在P 点，使△PAD 与△PBC 相似，那么分两种情况： ①若△APD ∽△BPC ，则AP ：BP =AD ：BC ，即x ：（8-x ）=3：4，解得x =247； ②若△APD ∽△BCP ，则AP ：BC =AD ：BP ，即x ：4=3：（8-x ），解得x =2或x =6． ∴满足条件的点P 的个数是3个，故选：C ．分析：因为∠PAD =∠PBC =90︒，所以要使△PAD 与△PBC 相似，分两种情况讨论：①△APD ∽△BPC ，②△APD ∽△BCP ，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP 的长，从而得到P 点的个数．进行分类讨论是解答此题的关键．10．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：D解析：解答：如图①，∠OAB =∠1BAC ，∠AOB =∠1ABC 时，△AOB ∽△1ABC ．如图②，AO ∥BC ，BA ⊥2AC ，则∠2ABC =∠OAB ，故△AOB ∽△2BAC ；如图③，3AC ∥OB ，∠ABC 3=90︒，则∠ABO =∠CAB ，故△AOB ∽△3C BA ；如图④，∠AOB =∠4BAC =90︒，∠ABO =∠4ABC ，则△AOB ∽△4C AB ．故选：D ．分析：根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理可得出结论．此题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：解答：∵∠BDO =∠BEA =90︒，∠DBO =∠EBA ， ∴△BDO ∽△BEA ，∵∠BOD =∠COE ，∠BDO =∠CEO =90︒， ∴△BDO ∽△CEO ，∵∠CEO =∠CDA =90︒，∠ECO =∠DCA ，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CD A．故选：C．分析：根据∠BDO=∠BEA=90︒，∠DBO=∠EBA，证得△BDO∽△BEA，同理可证△BDO∽△CEO，△CEO∽△CDA，从而可知．此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是找出两个对应角相等．12．下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A．∠C=∠F=90︒，∠A=55︒，∠D=35︒B．∠C=∠F=90︒，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C．∠C=∠F=90︒，BC AC EF DF＝D．∠B=∠E=90︒，AB DF EF AC=答案：D解析：解答：A．相似：∵∠A=55︒∴∠B=90︒-55︒=35︒∵∠D=35︒∴∠B=∠D∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；B．相似：∵AB=10，BC=6，DE=15，EF=9，则102153ABDE==，6293BCEF==，∴AB BCDE EF=，又∵∠C=∠F∴△ABC∽△DEF；C．相似：∵∠C=∠F=90︒，BC ACEF DF＝∴△ABC∽△DEF；D．不相似：∵∠B=∠E=90︒，AB DFEF AC=，有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似．故选：D．分析：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析作出正确判断．此题考查了相似三角形判定的理解及运用．13．下面两个三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个直角三角形C．两个钝角三角形D．两个等边三角形答案：D解析：解答：A．等腰三角形的角不一定相等，各边也不一定对应成比例，所以A不正确；B．两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，所以B不正确；C．两个钝角三角形的对应角不一定相等，各边也不一定对应成比例，所以C不正确；D．两个等边三角形的各角度都为60︒，各边对应相等，所以D正确．故选：D．分析：按照三角形相似的判定定理逐个分析，确定正确答案．三角形相似的判定定理有：①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．14．已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是图中的（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：∵AB=AC=6，∴∠C=∠B=75︒，∴∠A=30︒，∵55 66 =，∴与△ABC相似的是选项C．故选：C．分析：由已知图形，根据等边对等角及三角形内角和定理，可得∠A=30︒，△ABC是等腰三角形；根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可求得答案．解题的关键是仔细识图和熟悉相似三角形的判定方法．15．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对答案：A解析：解答：甲：根据题意得：AB∥A B''，AC∥A C''，BC∥B C''，∴∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A BC'''，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A B''=C D''=3+2=5，A D''=B C''=5+2=7，∴35AB CDA B C D''''＝＝，57AD BCA DB C''''＝＝，∴AB ADA B A D≠''''，∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法正确．故选：A．分析：甲：根据题意得：AB∥A B''，AC∥A C''，BC∥B C''，可证得∠A=∠A'，∠B=∠B'，由两角对应相等两三角形相似得△ABC∽△A BC'''；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A B''=C′D′=3+2=5，A′D′=B C''=5+2=7，则可得AB ADA B A D≠''''，即新矩形与原矩形不相似．此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．二、填空题16．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO等于______答案：1 2解析：解答：∵∠ADO=∠ADO，∠DOA=∠DAE=90°，∴△AOD∽△EAD，∴AO AEDO AD==12．故答案为：12．分析：利用两角对应相等得△AOD∽△EAD，那么AO AEDO AD=．此题考查了相似三角形的判定；把所求的线段的比进行相应的转移是解决此题的关键．17．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于答案：1：3解析：解答：∵∠ABC=90︒，∠DCB=90︒∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=1：3∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．分析：一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于1：3，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．18．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC=答案：6解析：解答：∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD DE AB BC =，即123BC= 解得：BC =6．故答案为：6．分析：根据DE ∥BC ，判断△ADE ∽△ABC ，利用对应边成比例的知识可得AD DE AB BC=，代入数据求出B C ．19．如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且S △ADE =4，S △EFC =9，则△ABC 的面积为答案：25解析：解答：∵DE ∥BC ，EF ∥AB∴∠C =∠AED ，∠FEC =∠A ，∴△EFC ∽△ADE ，而ADE S ∆=4，EFC S ∆=9， ∴294EC AE =（）， ∴EC ：AE =3：2，∴EC ：AC =3：5， ∴EFC ABC S S ∆∆=2239()()525EC AC ==， ∴ABC S ∆=9×259=25．故答案为25．分析：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即对应边之比的平方，所以先利用△EFC ∽△ADE ，得出对应线段的比，从而得出面积比，再代入求出其面积．此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质．20．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，AE ：EB =2：3，若△AED 的面积是4m 2，则四边形DEBC 的面积为答案：21解析：解答：∵23AE EB =， ∴25AE AB =． ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴2()ADE ACB S AE S AB∆∆=． ∵△AED 的面积是24m ， ∴242()5ACB S ∆=， ∴ACB S ∆=25，∴四边形DEBC 的面积为：25-4=21．故答案为：21．分析：根据DE ∥BC 可得出△ADE ∽△ACB ，可以得出2()ADE ACB S AE AB S ∆∆＝，由23AE EB =可以得出25AE AB =，代入可以求出△ABC 的面积，从而求出四边形DEBC 的面积．三、解答题21．已知，在△ABC 中，三条边的长分别为2，3，4，△A ′B ′C ′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC ∽△'''A B C ，求△A BC '''中的第三边长．答案：2解析：解答：已知在△ABC 中，三条边的长分别为2，3，4，△'''A B C 的两边长分别为1，1.5，可以看出，△'''A B C 的两边分别为△ABC 的两边长的一半，因此要使△ABC ∽△'''A B C 需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．故答案为：2．分析：此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．22．如图，ABCD是平行四边形，点E在边BC延长线上，连AE交CD于点F，如果∠EAC=∠D，试问：AC•BE与AE•CD是否相等？答案：相等解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B，∵∠EAC=∠D，∴∠EAC=∠B，∵∠E=∠E，∴△ACE∽△BAE，∴AC：AE=AB：BE，即AC•BE=AE•AB，∵AB=CD，∴AC•BE=AE•C D．分析：要证明AC•BE=AE•CD，只要证明这4条线段所在的三角形相似即可，但直接找不到，利用相等的线段代换后，从条件可以得出4条线段所在三角形相似从而得出结论．此题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形求出线段比，从而转化为线段的积．23．如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上，AD的延长线交EF于H点．若E为CD的中点，正方形ABCD的边长为4，求DH的长．答案：1解析：解答：∵正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH=∠ADC=∠EDH=90︒，∴∠AED+∠DEH=90︒，∠AED+∠DAE=90︒，∴∠DEH=∠DAE．∵△AED∽△EHD，AD DEDE DH=．∵正方形ABCD的边长为4，∴AD=CD=4．∵E为CD的中点，∴DE=2．∴422DH =，∴DH=1．分析：根据正方形的性质和等角的余角相等，可得两个三角形中，有两个角对应相等，证得两个三角形相似，在此基础上，根据相似三角形的性质进行求解．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90︒，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E 处．（1）问：△BDE与△BAC相似吗？答案：相似（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．答案：3解析：解答：（1）相似．理由如下：∵∠C=90︒，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处，∴∠C=∠AED=90︒，∴∠DEB=∠C=90︒，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理，得AB=222268AC BC+=+=10．由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90︒．∴BE=AB-AE=10-6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，222DE BE BD+=，即22248CD CD +=-（），解得：CD =3，在Rt △ACD 中，由勾股定理得222AC CD AD +=，即22236AD +=，解得：AD =3分析：（1）根据折叠的性质得出∠C =∠AED =90︒，利用∠DEB =∠C ，∠B =∠B 证明三角形相似；（2）先由勾股定理求出AB 的长，再由折叠的性质知DE =CD ，AE =AC ，BE =AB -AE ，在Rt △BDE 中运用勾股定理求出DE ，即CD ，最后在Rt △ACD 中运用勾股定理得出A D ．25．如图，在△ABC 中，AB =8cm ，BC =16cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2cm /s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4cm /s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么何时△QBP 与△ABC 相似？答案：2秒｜0.8秒解析：解答：设经过t 秒时，以△QBC 与△ABC 相似，则AP =2t ，BP =8-2t ，BQ =4t ， ∵∠PBQ =∠ABC ，∴当BP BQ BA BC =时，△BPQ ∽△BAC ，即824816t t -=，解得t =2（s ）；当BP BQ BC BA =时，△BPQ ∽△BCA ，即824168t t -=，解得t =0.8（s ）；综合上述，经过2秒或0.8秒时，△QBC 与△ABC 相似．分析：设经过t 秒时，以△QBC 与△ABC 相似，则AP =2t ，BP =8-2t ，BQ =4t ，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当BP BQ BA BC =时，△BPQ ∽△BAC ；当BP BQ BC BA=时，△BPQ ∽△BC A ．。