2021年正态概率图(normal probability plot)

正态概率图(normal probability plot)

欧阳光明（2021.03.07）

方法演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q)

➢概述

正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。如果这组实数服从正态分布，正态概率图将是一条直线。通常，概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布，如二项分布或泊松分布。

➢适用场合

·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时；

·当有50个或更多的数据点，为了获得更好的结果时。

例如：

·确定一个样本图是否适用于该数据；

·当选择作X和R图的样本容量，以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时；

·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前；

·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。

➢实施步骤

通常，我们只需简单地把数据输入绘图的软件，就会产生需要的图。下面将详述计算过程，这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了，并且我们也可以自己画简单的图。

1将数据从小到大排列，并从1～n标号。

2计算每个值的分位数。i是序号：

分位数＝(i－0.5)/n

3找与每个分位数匹配的正态分布值。把分位数记到正态分布概率表下面的表 A.1里面。然后在表的左边和顶部找到对应的z 值。

4根据散点图中的每对数据值作图：每列数据值对应个z值。数据值对应于y轴，正态分位数z值对应于x轴。将在平面图上得到n 个点。

5画一条拟合大多数点的直线。如果数据严格意义上服从正态分布，点将形或一条直线。将点形成的图形与画的直线相比较，判断数据拟合正态分布的好坏。请参阅注意事项中的典型图形。可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。

➢示例

为了便于下面的计算，我们仅采用20个数据。表5. 12中有按次序排好的20个

值，列上标明“过程数据”。

下一步将计算分位数。如第一个值9，计算如下：

分位数＝(i－0.5)/n＝(1－0.5)/20＝0.5/20＝0.025同理，第2个值，计算如下：

分位数＝(i－0.5)/n＝(2－0.5)/20＝1.5/20＝0.075

可以按下面的模式去计算：第3个分位数=2.5÷20，第4个分位数＝3 5÷20

以此类推直到最后1个分位数＝19. 5÷20。

现在可以在正态分布概率表中查找z值。

z的前两个阿拉伯数字在表的最左边一列，

最后1个阿拉伯数字在表的最顶端一行。如

第1个分位数＝0. 025，它位于－1.9在行与

0.06所在列的交叉处，故z＝－1.96。用相

同的方式找到每个分位数。

如果分位数在表的两个值之间，将需要用插值法进行求解。例如：第4个分位数为0. 175，它位于0.1736与0.1762之间。0.1736对应的z值为－0.94，0.1762对应的z值为－0.93，故

这两数的中间值为z＝－0.935。

现在，可以用过程数据和相应的z值作图。图表5. 127显示了结果和穿过这些点的直线。注意：在图形的两端，点位于直线的上侧。这属于典型的右偏态数据。图表 5.128显示了数据的直方图，可进行比较。

➢概率图( probability plot)

该方法可以用于检验任何数据的已知分布。这时我们不是在正态分布概率表中查找分位数，而是在感兴趣的已知分布表中查找它们。

➢分位数-分位数图（quantile-quantile plot）

同理，任意两个数据集都可以通过比较来判断是否服从同一分布。计算每个分布的分位数。一个数据集对应于x轴，另一个对应于y轴。作一条45°的参照线。如果这两个数据集来自同一分布，

那么这些点就会靠近这条参照线。

➢注意事项

·绘制正态概率图有很多方法。除了这里给定的程序以外，正态分布还可以用概率和百分数来表示。实际的数据可以先进行标准化或者直接标在x轴上。

·如果此时这些数据形成一条直线，那么该正态分布的均值就是直线在y轴截距，标准差就是直线斜率。

·对于正态概率图，图表5.129显示了一些常见的变形图形。

短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈S 型。表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。

长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈倒S 型。表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。一个双峰分布也可能是这个形状。

右偏态分布：右偏态分布左边尾部短，右边尾部长。因此，点所形成的图形与直线相比向上弯曲，或者说呈U型。把正态分布左边截去，也会是这种形状。

左偏态分布：左偏态分布左边尾部长，右边尾部短。因此，点所形成的图形与直线相比向下弯曲。把正态分布右边截去，也会是这种形状。

·如果翻转正态概率图的数轴，那么弯曲的形状也跟着翻转。比如，左偏态分布将是一个U型的曲线。

·记住过程应该在受控状态下对图形作出有效判断。

·尽管作直方图能马上知道数据的分布，但它却不是判断这些数据是否来自同一特定分布的好办法。人眼不能很好地判别曲线，其他的分布也可能形成相似的形状。并且，用服从正态分布的少量数据集作成的直方图可能看起来不是正态的。因此，正态概率图是判断数据分布的较好方法。

·判断数据分布的另一种方法是使用拟合良好性检定，比如Shapiro-Wilk检验，Kolmogorov-Smirnov检验，或者Lilliefors检验。关于这些检验的具体描述，不在本书的讨论范围，这些检验在大多数的统计软件上都能实现。向统计学家咨询如何选择正确的检验并解释其结果。请参阅“假设检验”以理解这些检验和所得到的结论的一般原则。

·最好的方法是使用统计软件得到正态概率图并作拟合性检验。结合使用可以对数据和统计标准有直观的理解，以此判定是否为正态。

END