2020-2021学年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)及答案解析

广东省广州市高考数学二模试卷（理科）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）

A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0} D．M∪N=N

2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）

A．B．1 C．D．2

3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（）

A．B．C．﹣D．﹣

4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16

5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（）

A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4

6．使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（）

A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）

C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）

8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（）

A．πB．πC．πD．π

9．已知命题p：∀x∈N*，（）x≥（）x，命题q：∃x∈N*，2x+21﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（）

A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）

10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A．4+6πB．8+6πC．4+12πD．8+12π

11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2﹣y2=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|•|MN|的值为（）

A．B．C．λD．无法确定

12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）

A．7 B．6 C．3 D．2

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______．

14．已知平面向量与的夹角为，=（1，），|﹣2|=2．则||=______．

15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C 上，则椭圆C的方程为______．

16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC 的面积的最大值为______．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3（n∈N）

（I）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．

18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．

（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：

学生序号i 1 2 3 4 5 6 7

数学成绩x i60 65 70 75 85 87 90

物理成绩y i70 77 80 85 90 86 93

（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；

若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．

76 83 812 526

19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．

（Ⅰ）求证：CD⊥AM；

（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．

20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．

21．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．

（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC 的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．

（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；

（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．