高中数学专题练习20 立体几何中的平行与垂直问题(新高考地区专用)解析版

立体几何中的平行与垂直问题

一、题型选讲

题型一、线面平行与垂直

知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线

例1、如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.

求证：(1)MN∥平面PBC；

MD⊥平面PAB.

例2、如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F 分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1) 求证：EF∥平面ABC；

(2) 求证：BB1⊥AC.

例3、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：(1)DE∥平面ACC1A1；

(2)AE⊥平面BCC1B1.

例4、如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：

(1) EF∥平面ABC；

(2) BD⊥平面ACE.

例5、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C 与BC1交于点E.

求证：(1) DE∥平面ABB1A1；

(2) BC1⊥平面A1B1C.

例6、如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：

(1) 直线A1E∥平面ADC1；

(2) 直线EF⊥平面ADC1.

题型二、线面与面面平行与垂直

证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。

例7、（2020年江苏高考）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．

（1）求证：EF∥平面AB1C1；

（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1．

C

例8、在四棱锥SABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．

(1) 求证：平面SAC ⊥平面SBD ；

(2) 若点M 是棱AD 的中点，点N 在棱SA 上，且AN ＝1

2

NS ，求证：SC ∥平面BMN.

例9、如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，

BP BC ，E ，F 分别是PC ，AD 的中点．

求证：（1）BE ⊥CD ； （2）EF ∥平面PAB ．

例10、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．

(1) 求证：B1C1∥平面A1DE；

(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.

例11、如图，在四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．

（1）求证：AB EF

∥；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF EF

⊥．

二、达标训练

1、如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.

(1) 求证：AC⊥平面BDE；

(2) 求证：AC∥平面BEF.

A B C

D E

F

P

(

2、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：

(1) MN∥平面ABB1A1；

(2) AN⊥A1B.

3、如图，已知矩形ABCD所在平面与△ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．

(1) 求证：MN∥平面BEC；

(2) 求证：AH⊥CE.

4、如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.

(1) 若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA；

(2) 若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.

．

5、如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．

(1) 求证：BD⊥AC；

(2) 过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.

立体几何中的平行与垂直问题

一、题型选讲

题型一、线面平行与垂直

知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线

例1、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.

求证：(1)MN∥平面PBC；

MD⊥平面PAB.

【证明】(1)在四棱锥P－ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD.(2分) 又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD.所以MN∥BC.(4分)

又BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. (6分)

(2)因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，所以AB⊥侧面PAD.(8分)

又MD⊂侧面PAD，所以AB⊥MD.(10分)

因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥PA. (12分)

又PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB.(14分)

例2、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

(1) 求证：EF∥平面ABC；