差错控制编码-循环码 共24页PPT资料

显然， （*式）不符合
形式，所以此生成矩阵不是典
型形式，不过，可以通过简单的代数变换将它变成典型矩阵。
现在以（7，3）循环码为例，来构造它的生成矩阵和生成多项式， 这个循环码主要参数为，n＝7，k＝3，r＝4。可以看到，其生成多 项式可以用第1码字构造：
kn矩阵
在上面的例子中，是（7，3）循环码的所有码字，构造了它的 生成多项式和生成矩阵。但在实际循环码设计过程中，通常只 给出码长和信息位数，这就需要设计生成多项式和生成矩阵， 这时可以利用g(x)所具有基本特性进行设计。
五、循环码的编码
在编码时，首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式
g(x)，也就是从
的因子中选一个（n-k）次多项式作为
g(x)；然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式
A(x)都可以被g(x)整除，来定义生成多项式g(x)。
根据上述原理可以得到一个较简单的系统循环码编码方法：设
要产生（n,k）循环码，m(x)表示信息多项式，则其次数必小于
则可以写为：F(x)≡R(x)（模N(x)） 这时，码多项式系数仍按模2运算，即只取值0和1，假设： 计算x4+x2+1除以x3+1的值可得：
这样式也可以表示为：
注意，在上述运算中，由于是模2运算，因此，加法和减法是等 价的，在式子中通常用加法运算符，具体模2运算的规则定义如 下：
在循环码中，若A(x)是一个长为n的许用码组，则 xi A( x)
3.1 循环码
第三章差错控制编码
一、循环码的特点
循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循 环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用 码组。
若 （ an1an2a1a0） 为一循环码组，则 (an2an3 a1a0an1) (an3an4 an1an2) 还是许用码组。
义为错误图样E， 也称为误差矢量， 即
EBA
其中E=［en-1,en-2,…,e1,e0］，且
0
ei


1
当bi=ai 当bi≠ai
BAE
令S=BHT，称为伴随式或校正子。 若S=0,则为有效码字
SBHT
SBHT
(AE)HT EHT
为求解B(x)整除g(x)的余式
由此可见，伴随式S与错误图样E之间有确定的线性变换关 系。接收端译码器的任务就是从伴随式确定错误图样，然 后从接收到的码字中减去错误图样。
k，而
·m(x)的次数必小于n，用
·m(x)除以g(x)，可
得余数r(x)，r(x)的次数必小于（n-k），将r(x)加到信息位后作
在按模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
运算下，亦是一个许用码组，也就是假如：
xiA(x)Al(x) （模
），可以证明 Al ( x)亦是一个许
用码组，并且，Al ( x)正是A(x)代表的码组向左循环移位i次的结
果。例如，由式表示的循环码，其码长n＝7，现给定i＝3，则：
其对应的码组为0101110，它正是表中第3码字。
结论：一个长度为n的循环码，它必为按模（ 一个余式。
0110100 0011010 0001101
rn矩阵
HT A0T 或HT A0 A (a6a5a4a3a2a1a0)
设发送码组A=［an-1,an-2,…,a1,a0］，在传输过程中可能发生
EBA 误码。接收码组B=［bn-1,bn-2,…,b1,b0］，则收发码组之差定
三、循环码的生成多项式及其特征
）运算的
如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x) 的倍式， 则称g(x) （全0码字除外）为生成多项式。循环码中次数最低的多项式 （全0码字除外)就是生成多项式。
可以证明生成多项式g(x)具有以下特性： （1）g(x)是一个常数项为1的r=n-k次多项式(首一多项式)；
四、监督多项式和监督矩阵
首先，生成多项式g(x)是
的一个因式，其次g(x)是一
个r次因式。因此，就可以先对
进行因式分解，找到它的
r次因式。下面仍以（7，3）循环码为例进行分析。
第一步：对
进行因式分解得：
第二步：构造生成多项式g（x） 为了求（7，3）循环码的生成多项式g(x)，要从上式中找 到r=n-k次的因子。不难看出，这样的因子有两个，即：
如（7，3）循环码的全部码字
二、码多项式 为了利用代数理论研究循环码，可以将码组用代数多项式来表 示，这个多项式被称为码多项式，对于许用循环码
A(an 1an2 a1a0)
可以将它的码多项式表示为：
对于二进制码组，多项式的每个系数不是0就是1，x仅是码元位 置的标志。因此，这里并不关心x的取值。表中的第7码字可以表 示为：
如：
在整数运算中，有模n运算。例如，在模2运算中，有1+1＝ 2≡0（模2），1+2＝3≡1（模2），2×3＝6≡0（模2）等。因 此，若一个整数m可以表示为:
则在模n运算下，有m≡p（模n），也就是说，在模n运算下， 一整数m等于其被n除所得的余数。
在码多项式运算中也有类似的按模运算法则。若一任意多项式 F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n 的余式R(x)，也就是：
1式
2式
以上两式都可作为生成多项式用。不过，选用的生成多项式不 同，产生出的循环码码组就不同。用1式作为生成多项式产生的 循环码为上述表码所列。 当然，在得到生成矩阵G以后，可以通过线性变化，使之成为 典型矩阵，同时得到监督矩阵H。除此之外，还可以利用循环 码的特点来确定监督矩阵H。 由于（n,k）循环码中g(x)是 的因式，因此可令：
这里h（x）称为监督多项式。与G(x)相对应，监督矩阵表 示为：
其中
是
逆多项式
对于前述例子中的（7,3）循环码，
g(x)x4x2x1
则：
x6 x5 x3
1101000
H(x)

x5 x4 x3
x4 x3 x2

x2
x1

x1
H

（2）g(x)是 的一个因式； （3）该循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。
为了保证构成的生成矩阵G的各行线性不相关，通常用g(x)来 构造生成矩阵，这时，生成矩阵G(x)可以表示成为：
（*式）
其中：
因此，一旦生成多项式g(x)确定以后，该循环码的生成矩阵就可 以确定，进而该循环码的所有码字就可以确定。