应用统计学第 7 章 方差分析
梁前德《统计学》(第二版)学习指导与习题训练答案：07第七章 假设检验与方差分析 习题答案
旗开得胜1第七章 假设检验与方差分析 习题答案一、名词解释用规范性的语言解释统计学中的名词。
1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。
2. 原假设：又叫零假设或无效假设，是待检验的假设，表示为 H 0，总是含有等号。
3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。
4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。
5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。
6. 方差分析：是检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。
二、填空题根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。
1. u ，nx σμ0-，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞nz nz σσααY2. 参数检验，非参数检验3. 弃真，存伪4. 方差旗开得胜25. 卡方， F6. 方差分析7. t ，u8. nsx 0μ-，不拒绝9. 单侧，双侧10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r18. 正态，独立，方差齐三、单项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。
1．B 2．B 3. B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C四、多项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。
1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD五、判断改错对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。
1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。
( ×)样本量一定时2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t检验均可使用，且两者检验结果一致。
方差分析
第七章方差分析●了解方差分析的概念和作用；●掌握方差分析的基本原理和步骤；●掌握单向分组资料的方差分析；●掌握两向分组和系统分组资料的方差分析。
能力目标：●学会完全随机试验资料进行方差分析；●学会单向分组资料进行方差分析；●学会两向分组和系统分组资料进行方差分析。
对一个或两个样本进行平均数的假设测验，可以采用u测验或t测验来测定它们之间的差异显著性。
而当试验的样本数k≥3时，上述方法已不宜应用。
其原因是当k≥3时，就要进行k(k-1)/2次测验比较，不仅工作量大，而且精确度降低。
因此，对多个样本平均数的假设测验，需要采用一种更加适宜的统计方法，即方差分析法。
方差分析法是科学研究工作的一个十分重要的工具。
第一节方差分析基本原理方差分析（analysis of variance，ANOV A）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。
即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。
一、自由度与平方和分解方差是平方和除以自由度的商。
要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。
因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步骤。
下面以单因素完全随机试验设计的资料为例说起。
假设有k 个处理，每个处理有n 个观察值，则该试验资料共有nk 个观察值，其观察值的组成如表7-1。
表7-1中，i 代表资料中任一样本；j 代表样本中任一观测值；x ij 代表任一样本的任一观测值；T t 代表处理总和；t x 代表处理平均数；T 代表全部观测值总和；x 代表总平均数。
表7-1 每处理具n 个观测值的k 组数据的符号表处理观察值处理总和T t 处理平均t x 12 … j … n 1 x 11 x i 2 … x 1j … x 1n T t1 1t x 2 x 21 x i 2 … x 2j … x 2n T t2 2t x… … … … … … … … …i x i1 x i 2 … x ij … x in T ti ti x… … … … … … … … …kx k 1x k 2… x kj…x k nT tk tk xT =∑xx在表7-1中，总变异是nk 个观测值的变异，故其自由度v =nk -1，而其平方和SS T 则为： =T SS 221()nk ij x x x C -=-∑∑ (7-1)（7-1）式中的C 称为矫正数：22()x T C nknk==∑ (7-2) 产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶然因素影响造成的，即试验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。
应用统计学方差分析
对收集到的数据进行整理，包括数据筛选、缺失 值处理、异常值处理等。
4. 计算统计量
根据方差分析的要求，计算样本均值、总体均值、 样本方差、自由度和误差方差等统计量。
5. 检验假设
利用统计量进行假设检验，判断原假设是否成立 。
6. 解读结果
根据检验结果解读方差分析的意义，并给出结论和建议 。
方差分析的定义与重要性
方差分析的定义
通过比较不同组的均值，确定它们之间是否存在显著差异。它是一种有效的统 计工具，用于处理多组数据，并确定这些数据组之间是否存在显著差异。
方差分析的重要性
在许多领域中，如社会科学、医学、生物学和经济学等，需要进行多组数据的 比较。通过方差分析，可以更准确地评估这些数据组之间的差异，从而做出更 可靠的决策和结论。
05 方差分析的局限性及注意 事项
方差分析的局限性
样本量要求
方差分析要求样本量足够大，以便能够准确地估计总体参 数。在样本量较小的情况下，方差分析的结果可能不准确 。
异常值的影响
方差分析对异常值较为敏感，异常值的存在可能会对分析 结果产生较大影响。在进行方差分析前需要进行数据清洗 ，剔除或处理异常值。
方差分析的假设条件
独立性
各组数据相互独立，即各组数据之间没有相互影响或关联。
正态性
各组数据的分布应符合正态分布，即数据的概率分布应呈现出钟 形曲线。
同方差性
各组数据的方差应相等，即各组数据的离散程度应相似。
方差分析的统计推断
统计量计算
在方差分析中，需要计算各组数据的均值、方差 和自由度等统计量。
独立性假设
方差分析基于独立观察值的假设，即各组数据之间相互独 立。如果数据之间存在相关性，则会影响分析结果的准确 性。
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
17
3
10
9
13
4
13
12
14
5
11
7
18
6
9
9
14
7
8
6
16
8
15
8
19
试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
第七章方差分析基础《卫生统计学》课件
方差分析简述方差分析也是统计检验的一种。
由英国著名统计学家：R.A.FISHER推导出来的，也叫F检验。
190240290340分组正常钙组中剂量钙(1.0%)高剂量钙(1.5%)1X 2X 3X X(2) 计算检验统计量可根据表7-5的公式来计算出离均差平方和、自由度、均方和F值。
从已知正态总体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了k=10组样本，每组样本的样本含量n i=20，可算出各组的均数和标准差，得表7-7的结果。
如果采用t检验作两两比较，其比较次数为(1)10(101)45 222k k km⎛⎫--====⎪⎝⎭从理论上讲10个样本均来自同一正态总体N(10,52)，应当无差异，但我们用两样本t检验时，已经规定犯第一类错误的概率不超过α=0.05，本次实验实际犯第一类错误的频率为5/45≈0.11，显然比所要控制的0.05要大。
因此不能直接用前面学过的两样本t检验对多样本均数作两两比较，而应采用专用的两两比较的方法。
(2) 计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次：, =11()2A B A B A B X X A BX X X X q S MS n n νν---==+误差误差(3) 确定值并作出推断结论自由度ν误差和对比组内包含组数a查附表4的q界值表得q界值，将算得的q值与相应q界值进行比较得各组的p值。
(3) 确定P值并作出推断结论自由度ν误差和实验组数 (不含对照组)查附表5.2的Dunnett –t(q， )界值表,得q，临界值，用计算得到的q，与临界值进行比较，得P值 。
(2) 计算检验统计量=11()A B A B A B X X A BX X X X t S MS n n νν---==+误差误差。
统计学原理第七章 方差分析
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
方差分析
变异间的相互关系
SST =∑∑( Xij −X )2 = ∑ni ( Xi − X )2 + ∑∑ ( Xij − Xi )2
i=1 j =1 i=1 i=1 j =1 k ni k k ni
SSTR = ∑ni (Xi − X )
组内均值 Xi 与总均值 X 之差的平方和
1
X
2
X
3
X4
X
n1 ( X 1 − X )
2
n4 ( X 4 − X ) 2
2
n2 ( X
− X )
2
n3( X
3
− X )2
12
Analysis of Variance的基本思想 的基本思想
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
四组资料的肝重占体重比值(%) 四组资料的肝重占体重比值(%)的测定结果 (%)的测定结果
饲料
A 2.62 2.23 2.36 2.40 B 2.82 2.76 2.43 2.73 4 2.6825 0.17 C 2.91 3.02 3.28 3.18 4 3.0975 0.16 D 3.92 3.00 3.32 3.04 4 3.3200 0.42 16 (
4
几个基本概念
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
2、因素水平(level of factor):
试验因素所处的某种特定状
态或数量等级称为因素水平，简称水平。 态或数量等级称为因素水平，简称水平。 例如： 例如： （1）比较3个品种奶牛产奶量的高低，这3个品种就是奶牛品种这 比较3个品种奶牛产奶量的高低， 个试验因素的3 个试验因素的3个水平 （2）研究某种饲料中4种不同能量水平对培育猪瘦肉率的影响，这 研究某种饲料中4种不同能量水平对培育猪瘦肉率的影响， 4种特定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的4个水平。 种特定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的4个水平。
第七章方差分析法
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单因素方差分析的数据结构
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试验数据变异原因（误差来源）分析
同一试验条件下的数据变异-----随机因素影响 不同试验条件下，试验数据变异-----随机因素
和可能存在的系统性因素即试验因素共同影响
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学习内容
第一节 方差分析简介
常用术语 基本假定
第二节 单因素方差分析 分析模型 基本思想
分析步骤 多重比较
第三节 双因素方差分析 无交互作用双因素方差分析
有交互作用双因素方差分析
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7.1 方差分析简介
7.1.1 方差分析中的基本概念 7.1.2 方差分析中的基本假设与检验
i= 1 j= 1
邋k
=
n 轾 犏 臌(xi.- x..)2 + 2(xi.- x..)(xij - xi.) + (xij - xi.)2
i= 1 j= 1
邋 邋 ? k
k
n
kn
= n (xi.- x..)2 + 2 [(xi.- x..) (xij - xi.)] +
(xij - xi.)2
i= 1
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7.2. 单因素方差分析
7.2.1 单因素方差分析模型 7.2.2 方差分析的基本原理 7.2.3 单因素方差分析的步骤 7.2.4 方差分析中的多重比较
统计学方差分析
统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。
它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。
通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。
方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。
在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。
每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。
而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。
方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。
对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。
方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。
方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。
均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。
通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。
F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。
在统计学中，F值与显著性水平相关。
当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。
否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。
方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。
多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。
第七章方差分析与正交试验设计初步
2019/9/23
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一、方差分析的有关概念和基本思想
在本章案例中，缩水率就是试验指标，染整工艺
是所要检验的因素（又称因子），三种不同的工艺可
看成是该因素的三种水平，故这是一个单因素三水平
的试验。
从表7.1可知，12个数据各不相同。一方面，同一
种工艺对不同种布样的缩水率是不同的，其差异可以
23
二、试验次数不等的方差分析
试验中，有时各水平下的试验次数不相等，如表7.6所 示：
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试验次数不等的单因素方差分析的计算步骤与试 验次数相等的完全一样，只是将K改为 即可。
例7.1 为了对几个行业的服务质量进行评价，某市 消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、公路客运 业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中 的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面 基本相同。经统计，最近一年消费者对这23家企业投 诉的次数资料如表7-7所示，消费者协会想知道:这几 个行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，究 竟是在哪些行业之间？如果能找出哪些行业的服务质 量最差，就可以建议对消费者权益保护法中该行业的 某些条款作出修正。
度的数量指标。
称为组内平方和或误差平方和，是观察值与组
内平均数之差的平方和，它反映了组内（即在同一水
平之下）样本的随机波动。
的自由度
，其组内方差为
。
称为组间平方和，是组内平均数与总平均数之差
的平方和，它反映了因素水平的不同及随机因素引起
的差异。 的自由度
，其组间方差为
。
2019/9/23
第七章协方差分析
相应的总体相关系数ρ 可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
（covariance），记为COV(x,y)或 xy 。统 计学证明了，均积MPxy是总体协方差COV(x,y) 的无偏估计量，即 EMPxy= COV(x,y)。
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，
均积MPxy表示为：
r MPxy MSx MSy
（10-3）
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在分析阶段控制混杂因素的方法：
1、采用分层分析：如把年龄分组，再比较 同一年龄组的正常体重与超重组有无差别。 （适用：计量、计数资料）
2、协方差分析（适用：计量资料）
3、多因素分析（适用：计量、计数资料）
协方差分析(analysis of covariance，ANCOVA)
将线性回归与方差分析结合起来，检 验两组或多组修正均数间有无差异的一种 统计方法，用于消除混杂因素对分析指标 的影响。
Yijuti eij
第i组第j个观 测值
一般均值
第i组的组效 应
随机误差
方差分析的前提是除随机误差外，水平变量是影响观测值的唯一变量
下面我们再看协方差分析数据结构（单因 素完全随机设计试验资料的协方差分析）：
观测值=一般均值+水平影响+协变量影响+随机误差
Y ij u y tie (X ij u x )ij
统计学期末复习选择练习题(分章节)——第七章
应用统计单项选择题-第07章-方差分析1.单选题：关于方差分析中的SSA和SSE，正确的说法是（）。
A. SSA和SSE反映了随机因素带来的影响B. SSA和SSE反映了系统因素带来的影响C. SSA所表现的是组间差异既包括随机因素，也包括系统因素D. SSE所表现的是组内差异既包括随机因素，也包括系统因素解答： C2.单选题：利用“方差分析表”进行方差分析时，该表不包括的项目有（）。
A. 方差来源B. 离差平方和及其分解C. 各离差平方和的自由度D. 原假设的统计判断解答： D3.单选题：下面不属于单因素方差分析中所需的平方和是（）。
A. SSTB. SSAC. SSED. SSR解答： D4.单选题：与假设检验相比，方差分析方法可以使犯第I类错误的概率（）。
A. 提高B. 降低C. 等于0D. 等于1解答： B5.单选题：方差分析中，错误说法是（）。
A. 如果方差分析只针对一个因素进行，称为单因素方差分析B. 如果同时针对多个因素进行，称为多因素方差分C. 方差分析就是通过不同方差的比较，作出接受原假设或拒绝原假设的判断D. 方差分析不可以对若干平均值是否相等同时进行检验解答： D6.单选题：以下对方差分析叙述不正确的是（）。
A. 方差分析可以对若干平均值是否相等同时进行检验B. 进行方差分析要求各水平下的样本容量相同C. 离差平方和能分解为组内方差与组间方差的和D. 方差分析方法在社会科学领域也大有用武之地解答： B7.单选题：下列式子错误的是（）。
A. F=MSE/MSAB. MSA=SSA/(r-1)C. MSE=SSE/(n-r)D. SST=SSE+SSA解答： A8.单选题：方差分析所研究的是（）。
A. 分类型自变量对分类型因变量的影响B. 分类型自变量对数值型自变量的影响C. 分类型因变量对数值型自变量的影响D. 分类型自变量对数值型因变量的影响解答： D9.单选题：若方差分析中，所提出的原假设是H0：μ1=μ2=…=μk，备择假设是（）。
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
方差分析
ni
x x
i i
xi
ij
2 ij
6 23.48 140.87 3317.85
6 17.18 103.09 1780.96
6 14.68 87.79 1289.92
6 24 13.92 1 7.30 83.50 425.25 1167.03 7555.78
区组间的变异是指每一区组的样本均数各不 相同，与总体数也不相同。既反映了区组不同的 影响，同时也包括了随机误差（含个体差异和随 机测量误差）。 由于区组内的个体特征比较一致，减少了个体 间差异对研究结果的影响，因此可提高研究的效 率。
SSe 组内 X ij X i
i 1 j i
k
ni
2
即观察值Xij与组均数 X 的离均差平方和 i
SS总 SS组间 SS组内
总 N 1
组间 k 1
组内 N k
总 组间 组内
单因素方差分析的计算公式
变异来源 总 组间 离均差平 自由度v 方和SS 2 N-1
三.随机区组设计资料方差分析中变异的分解
处理间变异 MS组间 MS A 总变异 处理因素+随机 误差的作用 。 区组因素+随机 误差的作用 随机 误差的作用
MS总
区组间变异 MS区组 MS B。
误差 MS误差 MS E
F1 MS A MSe F2 MS B MS e
随机区组设计方差分析的计算公式
方差分析表
变异来原 υ SS MS 组间 2 6226.07 3113.035 组内 33 4306.53 130.50 总变异 35 10532.60 F 23.85 P ＜0.01
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
方差分析公式
方差分析公式(2012—06—26 11:03:09）转载▼标签：分类：统计方法杂谈方差分析方差分析（analysis of variance,简写为ANOV或ANOVA）可用于两个或两个以上样本均数的比较。
应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。
方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。
常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。
一、完全随机设计的多个样本均数的比较又称单因素方差分析。
把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。
目的是推断k个样本所分别代表的μ1，μ2，……μk是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。
其计算公式见表19-6。
表19-6 完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式变异来源离均差平方和SS 自由度v 均方MS F 总ΣX2—C* N—1组间（处理组间) k-1 SS组间/v组间MS组间/MS组间组内（误差）SS总—SS组间N-k SS组内/v组内＊C=（ΣX）2/N=Σni，k为处理组数表19—7 F值、P值与统计结论αF值P值统计结论0。
05 ＜F0。
05（v1.V2）＞0。
05 不拒绝H0，差别无统计学意义0.05 ≥F0.05(v1.V2）≤0.05 拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义0.01 ≥F0。
01（v1。
V2）≤0.01 拒绝H0,接受H1，差别有高度统计学意义方差分析计算的统计量为F,按表19—7所示关系作判断。
例19.9 某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有无差别？表19-8 某湖水不同季节氯化物含量(mg/L)X ij春夏秋冬22。
6 19.1 18。
9 19.022。
8 22.8 13。
6 16.921。
0 24.5 17.2 17.616。
9 18。
0 15。
1 14.820.0 15。
统计学 7方差分析
1.组内平方和(within groups)
因素的同一水平下数据误差的平方和
比如，无色饮料A1在5家超市销售量的误差平方 和
只包含随机误差
2.组间平方和(between groups)
因素的不同水平之间数据误差的平方和
比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之
间 2021/5/4
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9
三、方差分析的原理
两类方差
组内方差(MSE)
因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差
比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差
组内方差只包含随机误差
组间方差(MSA)
因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差
比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间 的方差
组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
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其他随机因素的影响 （随机性影响）
水平间方差 （组间方差）
水平内方差 （组内方差）
如果原假设成立：说明某因素不同水平的影响不显著（无系统性 影响），只剩下随机性影响，因此组间方差与组内方差差别不大， 它们的比接近于1。
如果原假设不成立：说明某因素不同水平的影响显著（存在系统 性影响），组间方差与组内方差差别较大，它们的比远超出1。
三、方差分析的原理
分析可知，四种颜色饮料销售量的差异主要来自以 下两个方面：
随机误差：在因素的同一水平(同一个总体)下，样本 的各观察值之间的差异。比如，同一种颜色的饮料在 不同超市上的销售量是不同的，不同超市销售量的差 异可以看成是随机因素的影响，或者说是由于抽样的 随机性所造成的，称为随机误差。
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2021/5/4
5
二、方差分析的有关术语及假设
统计学方差分析ppt课件
水平
水平指因素的具体表现，如销售的 四种方式就是因素的不同取值等级。有 时水平是人为划分的，比如质量被评定 为好、中、差。
单元
单元指因素水平之间的组合。如销 售方式一下有五种不同的销售业绩，就 是五个单元。方差分析要求的方差齐就 是指的各个单元间的方差齐性。
元素
元素指用于测量因变量的最小单 位。一个单元里可以只有一个元素， 也可以有多个元素。
均衡
如果一个试验设计中任一因素各水 平在所有单元格中出现的次数相同，且 每个单元格内的元素数相同，则称该试 验是为均衡，否则，就被称为不均衡。 不均衡试验中获得的数据在分析时较为 复杂。
交互作用
如果一个因素的效应大小在另一 个因素不同水平下明显不同，则称为 两因素间存在交互作用。当存在交互 作用时，单纯研究某个因素的作用是 没有意义的，必须分另一个因素的不 同水平研究该因素的作用大小。如果 所有单元格内都至多只有一个元素， 则交互作用无法测出。
地点一 地点二 地点三 地点四 地点五
方式一
77
86
81
88
83
方式二
95
92
78
96
89
方式三
71
76
68
81
74
方式四
80
84
79
70
82
【解】设这四种方式的销售量的均值分别用 1•, 2•, 3•, 4• 表示，四 个销售地点的平均销售量用 •1, •2, •3, •4 表示；则要检验的假设为
例题
Excel操作
构造F统计量
判断与结论
例题
Excel操作
方差分析概述
因素和水平
单元和元素
均衡
交互作用
07t检验--方差分析(医学统计学)
• 例1(P60例7-1) 以往通过大规模调查已知某地新生 儿出生体重为3.30kg.从该地难产儿中随机抽取35 名新生儿作为研究样本,平均出生体重为3.42kg,标 准差为0.40kg,问该地难产儿出生体重是否与一般 新生儿体重不同?
例题里涉及两个总体：
• 一般新生儿出生体重（已知总体，µ0=3.30kg） • 该地难产儿出生体重（未知总体，µ未知） • 3.42 >3.30既可能是抽样误差所致，或本质上不同
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
n1 n2 2
若n1=n2时：
S X1X 2
S2 S2 X1 X2
S12
n1
S
2 2
n2
例3 测得14名慢性支气管炎病人与11名健
康人的尿中17酮类固醇（mol/24h）排出量 如下，试比较两组人的尿中17酮类固醇的 排出量有无不同。
• 原始调查数据如下：
t | 1.33 | 0.58 7.91 12
• （3）确定P值，作出推断结论 自由度=n-1=12-1=11，查附表2，t界值表，得
单侧t0.05,11=1.796,t=0.58<t0.05,11=1.796,故P > 0.05。 按α=0.05水准，不拒绝H0, 差异无统计学意义。
• 结论：故尚不能认为该减肥药有减肥效果。
t ' 10.38 6.62 2.0639 6.322 2.162 14 16
v 15.6447 16，
查 t 界 值 表 ， t t0 . 0 5 / 2=(21.61)1 9 。 P > ， 不 拒 绝 H0， 尚 不 能 认 为 两 种 药 的 疗 效 不 等 。
三、t检验与Z检验
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2
前例的计算结果
SST = SSA + SSE
4164.608696=1456.608696+2708
构造检验的统计量 (计算均方MS)
1. 各误差平方和的大小与观察值的多少有关， 为消除观察值多少对误差平方和大小的影响， 需要将其平均，这就是均方，也称为方差 2. 由误差平方和除以相应的自由度求得 3. 三个平方和对应的自由度分别是
k ni i 1 j 1
2
前例的计算结果 SSE = 2708
构造检验的统计量 (三个平方和的关系)
总离差平方和(SST)、误差项离差平方和
(SSE)、水平项离差平方和 (SSA) 之间的关 系
x
k ni i 1 j 1
ij
x ni xi x xij x
f(X)
m1 m2 m3 m4
X
方差分析中的基本假定
• 若备择假设成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全 相等
– 至少有一个总体的均值是不同的 – 4个样本分别来自均值不同的4个正态总体
f(X)
m3 m1 m2 m4
X
问题的一般提法
问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用m1 , m2, , mk 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出 如下假设： H0 ： m1 m2 … mk H1 ： m1 , m2 , ，mk 不全相等 3. 设 m1为零售业被投诉次数的均值，m2 为旅游业被 投诉次数的均值，m3为航空公司被投诉次数的均 值，m4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的 假设为 H0 ： m1 m2 m3 m4 H1 ： m1 , m2 , m3 , m4 不全相等
SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数 SSE 的自由度为n-k
诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种 差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著 影响
方差分析的基本假定
方差分析的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布
对于因素的每一个水平，其观察值是来自服
从正态分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态 分布
2. 各个总体的方差必须相同
1. 试验
这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水
平的试验
2. 总体
因素的每一个水平可以看作是一个总体
•
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个 总体
3. 样本数据
被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取
的样本数据
方差分析的基本思想和原理
方差分析的基本思想和原理 (图形分析—散点图)
80 60
x21 x22 : : x2n
… … : : …
xk1 xk2 : : xkn
分析步骤 • 提出假设 • 构造检验统计量 • 统计决策
提出假设
1. 一般提法 H0 ：m1 = m2 =…= mk
• •
自变量对因变量没有显著影响 自变量对因变量有显著影响
H1 ：m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
n x
i 1
k
i i
构造检验的统计量 (例题分析)
构造检验的统计量 (计算总误差平方和 SST)
1. 全部观察值 x ij与总平均值 x的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
SST xij x
k ni i 1 j 1
2
前例的计算结果
SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295
各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽
取的 比如，4个行业被投诉次数的方差都相等
3. 观察值是独立的
比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被
投诉的次数独立
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是 否有显著影响，实际上也就是检验具有同方 差的4个正态总体的均值是否相等 2. 如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本 的均值也会很接近
– 这种差异可能是由于抽样的随机性造成的
2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显 著，也就是进行方差分析
– 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均 值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借 助于方差 – 这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的 分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进 行方差分析时，需要考察数据误差的来源
方差分析及其有关术语
什么是方差分析(ANOVA)? (analysis of variance)
1. 检验多个总体均值是否相等
通过分析数据的误差判断各总体均值是否相
等
2. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
– 一个或多个分类型自变量
• 两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
– 一个数值型因变量
第7章 方差分析
学习内容
7.1 7.2 7.3 方差分析引论 单因素方差分析 双因素方差分析
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6. 解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 理解多重比较的意义 掌握双因素方差分析的方法及应用 掌握试验设计的基本原理和方法
k 2 k i 1 j 1 i 1
ni
2
前例的计算结果 SSA = 1456.608696
构造检验的统计量 (计算组内平方和 SSE )
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的 离差平方和 2. 反映每个样本各观察值的离散状况 3. 该平方和反映的是随机误差的大小 4. 计算公式为
SSE xij xi
3. 有单因素方差分析和双因素方差分析
– 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 – 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量
什么是方差分析? (例题分析)
【 例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者 协会在4个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一 年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表
消费者对四个行业的投诉次数 行业 观测值 零售业 旅游业 航空公司 家电制造业
4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相
等的证据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据 就越充分
方差分析中的基本假定
• 如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4
– 4个行业被投诉次数的均值都相等 – 意味着每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一 正态总体
•
比如，零售业被投诉次数的误差平方和
只包含随机误差
3. 组间平方和(between groups)
因素的不同水平之间数据误差的平方和
•
比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和
既包括随机误差，也包括系统误差
方差分析的基本思想和原理 (均方—MS)
1. 平方和除以相应的自由度 2. 若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应该 很接近，它们的比值就会接近1 3. 若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它们 之间的比值就会大于1 4. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投
方差分析中的有关术语
1. 因素或因子(factor)
所要检验的对象
•
分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子
2. 水平或处理(treatment)
因子的不同表现
•
零售业、旅游业、航空公司、家电制造业
3. 观察值
在每个因素水平下得到的样本数据
•
每个行业被投诉的次数
方差分析中的有关术语
7.1
7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4
方差分析引论
方差分析及其有关术语 方差分析的基本思想和原理 方差分析的基本假定 问题的一般提法
为什么不做两两比较？
1. 设有四个总体的均值分别为 m1 、 m2 、 m3 、 m4 ，要 检验四个总体的均值是否相等，每次检验两个的作法 共需要进行6次不同的检验，每次检验犯第一类错误 的概率为，连续作6次检验犯第Ⅰ类错误的概率增加 到1-(1-)6=0.265，大于0.05。相应的臵信水平会降 低到0.956=0.735 2. 一般来说，随着增加个体显著性检验的次数，偶然因 素导致差别的可能性也会增加，(并非均值真的存在 差别) 3. 方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了 错误累积的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设
» ¶ ß Î ý ±Í Ë ´ Ê
40 20 0 0
零售业 1
2旅游业
3 航空公司4
家电制 5
Ð Ò µ
造
» ¬ ² Í Ð Ò ±Í Ë ´ Ê µ É µ Í µ » ¶ ß Î ý Ä ¢ ã ¼
方差分析的基本思想和原理 (图形分析)
1. 从散点图上可以看出
– 不同行业被投诉的次数有明显差异 – 同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显 不同
7.2
7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4
单因素方差分析
数据结构 分析步骤 关系强度one-way analysis of variance)
观察值 ( j ) 水平A1 因素(A) i 水平A2 … 水平Ak
1 2 : : n
x11 x12 : : x1n
这种差异 可能 是由于抽样的随机性所造成的，
也可能 是由于行业本身所造成的，后者所形成 的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差