最新大学物理 第二十七章 量子力学初步

量子力学的第一条基本假设
波函数标准条件
微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函 数可以得到体系所有的性质。
连续 单值 有限
波函数的三个标准条件：
因概率不会在某处发生突变，故波函数必 须处处连续；
因任一体积元内出现的概率只有一种，故 波函数一定是单值的；
因概率不可能为无限大，故波函数必须是 有限的；
以上只是自由粒子的波函数，不是任何情况都适用， 大多数情况下粒子不是自由粒子！
波和粒子的关系
如何理解波和它所描写的粒子之间的关系？ 早期观点：物质波是由它所描写的粒子组成。
实验：粒子流有干涉和衍射现象。
干涉和衍射现象是粒子流 中粒子相互作用的结果。
是否是这样的呢？
电子双缝衍射实验
电子束
单位时间接收到的电子数目
27.4 一维无限深势阱
one- dimensional infinite deep potential well
27.5 一维势垒 隧道效应
one-dimensional potential barrier tunnel effect
第一节
27 . 1
wave function and its statistical explanation
大学物理 第二十七章 量子力学初步
本章内容
Contents chapter 27
27.1 波函数及其统计解释
wave function and its statistical explanation
27.2 不确定关系
uncertainty relation
27.3 薛定谔方程
Schrodinger equation
概率密度分布取决于空间 各点波强的比例，并非取 决于波强的绝对值。
因此，将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍，不影响粒子 的概率密度分布，即 和C 所 描述德布罗意波的状态相同。
波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。
某粒子的 波函数为
归一化波函数
算例
概率密度 概率密度最大的位置
令
求
则归一化波函数：
显微镜观察电子
光子动量
p h
光源
光源
使用短波长测量电子位置精 确，但是短波长的光子动量 大，和电子碰撞的时候会严 重改变电子动量。
I E2
从粒子性的角度，光强和单 位体积内的光子数成比例。
I N dV
从统计概率的角度，如果单 位体积内光子数目很多，在 该体积元内找到光子的几率 密度P/dV就大，或者说光子 在该体积内出现的几率密度 P/dV就大
PN dV dV
波函数的统计解释
空间中某处找到粒子的几率和该 粒子的波函数的模的平方成比例。
注意：波函数一般来说是复函数。
概率波与经典波
概率波（德布罗意波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经典波
概率波
波函数是实的，可测量 波函数是复的，不可测量
波强（振幅的平方）代表 通过某点的能流密度
波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
能流密度分布取决于空 间各点的波强的绝对值
因此，将波函数在空间 各点的振幅同时增大 C倍， 则各处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度 分布状态。
取比例系数为1，即
是
的共轭复数
德布罗意波又称 概率波
波函数又称 概率幅
1926 年提出了对 波函数的统计解释
因概率密度 故在 矢端的体积元
发现粒子的概率为
波函数归一化
内
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数
电子双缝衍射
28个电子入射后
1000个电子入射后
探测屏
如果直接用电子束射到双缝上，立刻就有条纹出现。 如果减弱入射电子流，使得电子一个一个的慢慢放出。 结论：干涉和衍射条纹和入射电子流强弱无关，即和 粒子之间的相互作用无关。
10000个电子入射后 长时间累积
波函数的统计解释
从波动性的角度，光强 和电矢量平方成比例。
令
求极大值的 x 坐标
积分得： 解得
另外两个解
处
最大
处题设
概率密度
第二节
测量的极限
测量学的极限
经典理论认为只要能够提高测量仪器精度，总可以使得测 量误差减小。
测量工具 毫米尺
游标卡尺 螺旋测微器
干涉仪
测量精度 10-3m
10-4~10-5m 10-5~10-6m 10-8~10-9m
到底是否只要技术成熟就可以无限的提高测量精度？
沿 x方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
沿 方向匀 速直线运动
的自由粒子的波函数为
应用欧拉公式
取实部 应用德布罗意公式
即 即
即
续上
自由粒子的
波函数
自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。 对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。
P
自由粒子波函数
E2
P
2
dV
dV
空间中某处波的强度和在该处找 到相应的粒子的几率密度成比例。
光的双缝干涉
Hale Waihona Puke Baidu
双缝 干涉 实验
令入射光极弱，光子数目 极少，光子将会在屏上出 现的确切位置无法预测。
延长曝光时间，可发现在光波干
涉理论算得的各明纹区域，光子
出现的概率最大；
摄 影
各暗纹区域，光子 出现的概率最小。
测量学的极限
量子力学认为无论仪器精度多高，对测量本身来说都存在一 个客观的内在限制，这个限制是和仪器本身精度无关的。
限制的来源： 1. 波粒二象性。 2. 测量仪器和被测系统的相互作用。
测量黑暗房间里面一个运动的乒乓球的位置
用显微镜观察电子
最小分辨角 1.22
d
测量过程中光被电子 衍射或者散射才能看 到电子。
波函数
回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设
质量为
速度为
的自由粒子，
一方面可用 能量 和 动量 来描述它的粒子性 ；
另一方面可用 频率 和 波长 来描述它的波动性 。
自由粒子波函数
在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间的二元函数
一列沿 x 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
在量子力学中用复数表达式：
底
继续延长曝光时间，
板
可得到明暗连续变
或
化的双缝干涉清晰
显
图像，并与强光入
微
射（大量光子同时
观
入射）一次曝光的
察
情况等效。
在某个位置找到光子的几率和光强有关
概率密度
玻恩的理论
设描述粒子运动状态的波函数
为
，则
空间某处波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
在该处单位体积内发现粒子
的概率（概率密度）
与
的模的平方成正比。