研究生《矩阵理论》复习题(辽宁科技大学)

Ax 1 = 2 + 50 + 40
Ax 2 = 4 + 50 + 40 = 94
Ax ∞ = 50
A 1 = max{ 3 + 10 ,6,4 + 2 ,5} = 3 + 10 A ∞ = max{ 4, 10 + 2 + 5,9} = 10 + 2 + 5
（二）矩阵的 QR 分解 基础知识
1.定义：设u ∈ C n 是单位向量，即u H u = 1, 称H = I − 2uu H 为Householde r矩阵 或初等反射矩阵。由Householde r矩阵H确定的C n 上的线性变换y = Hx称为 Householde r变换或初等反射变换。 2.定义：设A ∈ C n ×n , 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R , 使得A = QR 则称之 为A的QR 分解或酉 - 三角分解。当A ∈ R n× n时，称A = QR 为A的正交 - 三角分解。
故A的QR 分解为： ⎡ 5 ⎢ 10i A = QR = （H1 H3）R = ⎢ ⎢− 10i ⎢ ⎣ 0
∞
i, j
1
j
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∑a
i =1
∞
ij
;
n
矩阵2 - 范数或谱范数 : A 2 = ρ ( A H A) ; 矩阵∞ - 范数或行和范数 : A
= max
i
∑a ；
ij j =1
1.已知向量 X=(i,-2,i+1,0,1),分别求其下列范数： （1） L 1 — 范数 （2） L 2 — 范数
5
（3） L ∞ — 范数
⎡ 1 ⎢ 1 ⎢ 2i T 则H 1 = I − 2u1u 1 = 3 ⎢− 2i ⎢ ⎣ 0
T
取b3 = (- 4i , 3) , 取 α 3 = b3 2 = 5
H 又α 3 b3 ~ e1 = 4i α 3为实数, 可取α 3 = 5i , 作单位向量
~ ~ = b3 − α 3 e 1 = 1 (− 9i , 3)T u 3 b3 − α 3 ~ e1 2 90 ~ 1 ⎡ − 4 3i ⎤ T 则H3 = I − 2u3 u3 = ⎢ 5 ⎣ − 3i 4 ⎥ ⎦ ⎡1 ⎢0 T 0 ⎞ ⎢ ~ ⎟ = ⎢0 H3 ⎟ ⎠ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 1 0 0 4 0 − 5 3 0 − i 5 0⎤ 0⎥ 3 ⎥ i⎥ 5 ⎥ 4⎥ 5⎥ ⎦
⎤⎡ ⎥⎢0 2 ⎥⎢ 7 5 − 14 ⎥ ⎢ 1 5 − 2 5 ⎥⎢ ⎥⎢ 5 − 2 ⎥⎢1 5−2 5 ⎥ ⎦⎢ ⎣
⎡0 3 1 ⎤ ⎥ 2. 已知矩阵A = ⎢ ⎢0 4 - 2 ⎥, 求A的QR分解 ⎢ ⎣2 1 2 ⎥ ⎦
解：利用 Householder 变换法
因为a1 = ( 0,0,2)T , 取α 1 = a1 2 = 2, 作单位向量
⎛1 记H 2 = ⎜ ⎜0 ⎝
⎡ ⎢ ⎢2 T ⎞ 0 ⇒ H 2 H 1 A = ⎢0 ~ ⎟ ⎟ ⎢ H 2⎠ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣ 5 −2 5−2 5 2 5 −4 5−2 5 0
1 5 5 − 10 5− 2 5 0
⎡ ⎢0 ⎢ ⎢ Q = H 1 H 2 = ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣
4 −2 5⎤ ⎥ 5− 2 5 ⎥ 5−2 ⎥ (酉阵) 5− 2 5 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎦
T 1
⎛ 2⎞ 又因b 2 = ⎜ ⎜ 1⎟ ⎟, 取α 2 = b2 2 = 5 , 作单位向量 ⎝ ⎠ ~ T 1 ~ 2 = b 2 − α 2e 1 = u 2 − 5, 2 ， ~ b 2 − α 2e 1 2 10 − 4 5
(
)
~ H 2 = I − 2u 2u 2 T =
⎡2 5 − 4 1 5−2⎤ ⎢ ⎥ 5 − 2 5 ⎣ 5 − 2 4 − 2 5⎦ ⎤ ⎥ 2 ⎥ 7 5 − 14 ⎥ = R ( 上三角阵） 5 −2 5 ⎥ ⎥ 5−2 ⎥ 5 −2 5 ⎥ ⎦
矩阵论
0 1 − 1⎤ ⎡i ⎡ 1 2 1⎤ ⎢ 0 i +1 −1 i ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 2.已知矩阵 A = ⎢ ⎢ 2 1 2⎥ , B = ⎢− 1 i − 1 0 1 ⎥ 试求 A 和 B 的下列范数： ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 3 1 1⎥ ⎦ ⎣ 1 − i 1 − 1⎦ （1） （5） 解:
3 3 =1
n ×n n× n 3.定理：设A ∈ Cn , 则A可惟一地分解为A = QR ，其中Q是n 阶酉矩阵，R ∈ Cn
是具有正对角元的上三角矩阵。
2010 年 1 月 jiaxiaowei
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矩阵论
⎡ 0 1 1⎤ ⎥ 1.已知 A = ⎢ ⎢ 0 2 3⎥ , 求A的QR分解 ⎢ ⎣ 2 1 2⎥ ⎦
i =1
B
1
= max
1≤ j ≤ 4
∑
1
b ij = 2
2 +1
6 5 5
（6） A 2 = ρ AH A = max λn = max{ 7 ,5, 36 }= 5
1≤ n ≤3
(
)
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矩阵论
B 2 = ρ (B H B ) = max λn = max{ 0,5 − 14 ,5 + 14 ,6} = 5 + 14
. .
m1
（2） （6）
. .
m2
（3） （7）
. .
F
（4）
∞
.
m
∞
1
2
(1)
A B
m1
= ∑ ∑ a ij = 14 i j
=1
m1
= ∑ ∑ b ij = 10 + 2 i j
=1 =1
4
4
2
3
3
(2)
A
m2
=
∑∑
i =1 j =1
4 4
a ij
2
=
26
B
m2
=
∑∑
i =1 j =1
3 3
b ij
m A (λ )( 方阵A的最小多项式); f ( λ ) | g ( λ )(多项式f (λ )整除g (λ )); Gk ( A)(方阵A的第k个盖尔圆); R ( A)( 矩阵A的值域，A的像空间);
（一）向量范数与矩阵范数 几种常见的向量范数与矩阵范数： 1.向量范数
n n
L −1范数： x 1 = ∑ xi ; L − 2范数 : x 2 =
故A的QR 分解为：
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矩阵论 5−2 5− 2 5 2 5−4 5− 2 5 0 4− 2 5 ⎤ ⎥ 5 −2 5 ⎥ 5 −2 ⎥ 5 −2 5 ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢2 A = QR = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣
1 5 5 − 10 5 −2 5 0
1
又α1 a1 H e1 = α1为实数，则取α 1 = 3
u1 =
a1 − α 1e1 1 = ( −2,2i ,−2i,0) T a1 − α 1e1 2 12
− 2i 1 2 0 2i 0 ⎤ ⎡ 3 − 6 2 10i ⎤ ⎥ ⎢0 0 2 0⎥ 4i 10 ⎥ ⎢ ⎥ , 则H 1 A = ⎢ 0 0 − 4i 5 ⎥ 1 0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 3⎦ 3 0⎦ ⎣0 0
1≤ n ≤ 4
⎡14 7 8⎤ 初等变换 ⎡7 0 ⎢ ⎥ 注： AH A = ⎢ ⎢ 7 6 5⎥ → ⎢0 5 ⎢ ⎢ ⎣ 8 5 6⎥ ⎦ ⎣0 0
0⎤ ⎥ 0⎥ 36 ⎥ 5 ⎦ 0 0 5 + 14 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 6⎦
1 − 2i 1− i i − 2 ⎤ ⎡0 0 ⎡ 3 ⎢ 1 + 2i ⎥ ⎢ 5 2i − 1 − i ⎥ ⎢ 0 5 − 14 BHB = ⎢ → ⎢ i + 1 − 2i − 1 3 − i − 2⎥ ⎢ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ i i−2 4 ⎦ ⎣0 0 ⎣− i − 2
u1 =
a1 − α 1e1 1 = (−1,0,1)T a1 − α 1e1 2 2
⎡0 0 1⎤ ⎡2 1 2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ 则H 1 = I − 2u1u = ⎢0 1 0⎥ , 则H 1 A = ⎢ ⎢0 4 - 2⎥ ⎢ ⎢ ⎣1 0 0⎥ ⎦ ⎣0 3 1 ⎥ ⎦
T 1
⎛ 4⎞ 又因b 2 = ⎜ ⎜ 3⎟ ⎟, 取α 2 = b2 2 = 5, 作单位向量 ⎝ ⎠ ~ ~ 2 = b 2 − α 2 e 1 = − 1 (− 1, 3)T u b 2 − α 2~ e1 2 10 ~ 1 ⎡4 3 ⎤ 则H 2 = I − 2u 2 u 2 T = ⎢ 5 ⎣3 - 4⎥ ⎦ ⎛1 记H 2 = ⎜ ⎜0 ⎝ ⎡2 1 2 ⎤ 0T ⎞ ⇒ H 2H1A = ⎢ 0 5 −1 ⎥ ~ ⎟ ⎟ ⎢ ⎥ = R ( 上三角阵） H 2⎠ ⎢ ⎣0 0 − 2⎥ ⎦
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矩阵论
矩阵论复习题
符号及说明：
AH (矩阵A的共轭转置)；trA(方阵A的迹，A的主对角元之和) ρ ( A)(方阵A的谱半径)；C n (复n维列向量集合，n维复向量空间)；
n C m ×n (复m × n 矩阵集合); Crm×（秩为 r 的复m × n 矩阵集合); ϕ ( λ )(方阵A的特征多项式);
i =1
∑
i =1
xi ; L − ∞ 范数 : x ∞ = max xi ;
i
2
2.矩阵范数
n
1
n m2
n
n ij
矩阵m1 - 范数： A m = ∑∑ aij ; 矩阵m2 - 范数或F范数 : A
i =1 j =1
= A
F
=
∑∑ a
i =1 j =1 n
2
;
矩阵m ∞ - 范数 : A m = n max aij ；矩阵1 - 范数或列和范数 : A = max
2
=
14
(3)
A
F
=
∑∑
i =1 j =1
4 4
a ij
2
=
26
B
(4）
F
=
m∞
∑∑
i=1 j=1 ij
b ij
2
=
14
A B
= n max a ij = 3 × 3 = 9 = n max b ij = 4
ij
3
m∞
2
（5） A
1
= max
1≤ j ≤ 3
∑
4
a ij = 1 + 2 + 3 = 6
解：令 a = (0,0,2)T , 取α = a = 2, 作单位向量
1 1 1 2
u1 =
a1 − α 1e1 1 = (−1,0,1)T a1 − α 1e1 2 2
⎡0 0 1⎤ ⎡2 1 2 ⎤ ⎢ ⎥ 令 H 1 = I − 2u 1u = 0 1 0 , 则H 1 A = ⎢0 2 - 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣1 0 0⎥ ⎦ ⎣0 1 1 ⎥ ⎦
解： （1） X 1 = ∑ xi = 1 + 2 + 2 + 0 + 1 = 4 + 2
i =1
5 2
（2） X 2 = （3） X
∞
∑x
i =1
1≤ i ≤5
i
= 1+ 4 + 2 + 0 +1 = 2 2
= max xi = x2 = 2
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矩阵论 6 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 利用Householde r矩阵求A的QR 分解。 0 15⎥ ⎥ 3 0⎦
1 2
3.已知矩阵
⎡ 1 ⎢ 2i A=⎢ ⎢ − 2i ⎢ ⎣ 0
−2 − 4i 4i 0
1
解： 令a = (1,2i ,−2i ,0) T , 取 α = a = 3, 作单位向量
3
（7） A
∞
= max
1≤ i≤ 3
∑
a ij = 5
j=1
4
B
∞
= max
1≤ i ≤ 4
∑
b ij = 4
j= 1
⎡ −1 0 2 3.已知 A = ⎢3 + i 5 1 + i ⎢ ⎢ i 2 ⎣ 2 解： Ax = ( 2,7 − i, −2 + 6i )T
⎛ − 1⎞ i ⎤ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎥ 0 ⎥, x = ⎜ ⎟ 试求 Ax 1 ， Ax 2 ， Ax ∞ ， A 1 ， A ∞ 0 ⎜ − 4⎥ ⎦ ⎜−i ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ I2 记H 3 = ⎜ ⎜0 ⎝
⎡3 - 6 2 ⎢0 0 4i 则H3 H1 A = ⎢ ⎢0 0 5i ⎢ ⎣0 0 0
10i ⎤ 10 ⎥ ⎥ = R (上三角阵） −4 ⎥ ⎥ − 3i ⎦
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矩阵论 − 10i 5 10 0 − 8i −8 −4 − 9i − 6i ⎤ ⎡3 - 6 2 ⎢ 6i ⎥ ⎥ ⎢0 0 4i 3i ⎥ ⎢0 0 5i ⎥⎢ 12 ⎦ ⎣0 0 0 10i ⎤ 10 ⎥ ⎥ −4⎥ ⎥ − 3i ⎦
所以 A 的 QR 分解为： ⎡0 ⎢ ⎢ A = ( H 1 H 2 ) R = QR = ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣ 3 5 4 5 0 4 − ⎤ 5 ⎥⎡2 1 2 ⎤ 3 ⎥⎢ ⎥ ⎢ 0 5 − 1⎥ ⎥ 5 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 − 2 0 ⎥⎣ ⎦ ⎥ ⎦
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