二次函数与方程不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
二次函数与方程不等式的关系ppt课件
x2-2x+2=0
△＜0 无实数根
y=x2-2x+1 y=x2-2x+2
1个
（1，0） 0个
与x轴交点 个数 交点坐标
2个
（0，0） （-2，0）
无
归 纳 总 结
1、函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数 与方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的个数一致。 △＞0 △＝0 △＜0 有两个交点 有一个交点 没有交点
-1 0
3
x
归 纳 总 结
不等式ax2+bx+c＞0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分 所对应的x的取值范围； 不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的部分 所对应的x的取值范围；
拓 展 延 伸
如图: 二次函数y1=ax2+bx+c 与一次函数y2=kx+b的图象相 交于点A (-1,3) 和 B (5,2),
不等式ax2+bx+c＜0 的解集就是函数y=ax2+bx+c的图 象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 4. 数学方法：类比、转化；数学思想：数形结 合的思想.
作
业
活页练习18.19.20.21.
谢谢合作
2、你能做出它的大致图象吗？
Байду номын сангаас
问 题 探 究 一
议一议
y
你能说出方程x2-2x-3=0 的根吗？ 你能猜出函数y=x2-2x-3 的图像与x轴的交点个数 及交点的坐标吗？你是怎 样思考的？
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析
程 ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解
（或称无实数根）。
二次函数是我们初中数学中的一个
难点，我们一定要掌握好二次函数与一元
二次方程的关系，使我们在面对二次函数
时，能够巧妙地结合方程来解决二次函数 的相关问题。
四、进一步的拓展应用
在二次函数与一元二次方程关系的 基础上，我们其实还可利用二次函数的图 像去解一元二次不等式，我们可以结合二 次函数图像与 x 轴交点的情况来判断一 元二次不等式的解集；下面以 a>0 为例说 明，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴无交 点时，不等式 ax2+bx+c>0（或 <0）（a>0）的 解集为全体实数或无解；抛物线
参考文献： [1]石慧英，秦继东.从“有形无图”到 “以形助数”— —— 一道中考题的解法与变 式探究[J].中学数学，2020(14):67-69. [2]仓猛.复习课“三个关注”：目标、教 材与“考向”———以“二次函数与一元二次 方程”复习课为例[J].中学数学，2019(22): 41-42. [3]徐章韬.从二次函数到一元二次方 程———教育数学研究之九[J].教育研究与 评论(中学教育教学)，2019(08):43-46. [4]沈莉.基于机会的教学立意———以 “二次函数与方程、不等式的关系”教学为 例[J].中学数学，2018(18):10-12. [5]陆炜锋.重新建构学材，提升学习 能力—— —以“二次函数与一元二次方程” 教学为例[J].中学数学，2017(18):15-17.
2021·9
解：（1）①当 m=0 时，原方程可化为
x-2=0，解得 x=2；
②当 m≠0 时，方程为一元二次方程，
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系
二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系二次函数与二元一次方程、不等式的解的对应关系在数学领域中，二次函数与二元一次方程、不等式的解之间存在着密切的对应关系。
本文将从简单到复杂的角度，全面评估这一主题，并据此撰写一篇有价值的文章，以便读者更深入地理解这一关系。
一、二次函数的基本形式我们首先来了解二次函数的基本形式。
二次函数通常具有以下标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
1. 二次函数图像的特点二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a > 0时，图像开口向上；当a < 0时，图像开口向下。
二次函数的顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 二次函数的零点二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，也就是函数图像与x轴的交点。
要求出二次函数的零点，可以使用求根公式或配方法，进而得到对应的解。
二、二元一次方程、不等式的基本形式接下来，我们将了解二元一次方程和不等式的基本形式，以及它们与二次函数解之间的联系。
1. 二元一次方程的一般形式二元一次方程一般可表示为：ax + by = c。
在解二元一次方程时，通常采用代入、相消、加减消元法等方法，最终得到方程的解。
2. 二元一次不等式的一般形式二元一次不等式的一般形式为：ax + by > c或ax + by < c。
解二元一次不等式时，同样可以通过代入法等方式，最终得到不等式的解集合。
三、二次函数与二元一次方程、不等式解的对应关系了解了二次函数和二元一次方程、不等式的基本形式后，接下来我们来探讨它们之间的对应关系。
1. 二次函数的解与二元一次方程的关系对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其解即为方程f(x) = 0的解。
而方程f(x) = 0可以化为ax^2 + bx + c = 0的形式，与一元二次方程的形式一致。
高一二次函数与一元二次方程不等式
高一二次函数与一元二次方程不等式摘要：一、二次函数与一元二次方程不等式的基本概念1.二次函数的定义及性质2.一元二次方程的基本概念3.不等式的基本概念二、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式的学习内容1.二次函数的图像与性质2.一元二次方程的解法与判别式3.不等式的基本性质与解法4.二次函数与一元二次方程不等式的关系三、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的应用1.利用二次函数解决实际问题2.利用一元二次方程不等式解决实际问题3.二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的综合运用正文：在高一阶段，我们开始接触到二次函数与一元二次方程不等式这两个重要的数学概念。
它们不仅在初高中数学知识体系中占有重要地位，同时也广泛应用于实际生活问题中。
首先，我们需要了解二次函数与一元二次方程不等式的基本概念。
二次函数是指形如f(x) = ax + bx + c 的函数，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。
二次函数的性质包括开口方向、对称轴、顶点等。
一元二次方程是指形如ax + bx + c = 0 的方程，其中a、b、c 为常数，x 为未知数。
不等式是指用不等号连接的数学表达式，表示大小关系。
在高一阶段，我们会学习到二次函数的图像与性质，如何通过二次函数的图像来判断其开口方向、对称轴、顶点等性质。
同时，我们也会学习一元二次方程的解法与判别式，了解如何通过判别式判断方程有没有实数解，以及如何求解一元二次方程。
此外，我们还会学习不等式的基本性质与解法，如何通过移项、合并同类项等操作简化不等式，以及如何求解包含一元二次方程的不等式。
二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中也有广泛应用。
例如，我们可以利用二次函数来描述抛物线运动，从而解决物理、化学等领域的相关问题。
同时，一元二次方程不等式也可以帮助我们解决实际问题，例如在经济学、社会学等领域中常常需要通过不等式来描述资源分配、收入差距等问题。
此外，二次函数与一元二次方程不等式还可以在实际问题中进行综合运用，例如在解决与增长率相关的问题时，我们可以将二次函数与一元二次方程不等式结合起来，更准确地描述问题的特点。
二次函数与二元方程、二次不等式的关系
二次方程的求解方法
1
配方法
通过配方法将二次方程转化为完全平方。
2
公式法
学习使用二次方程根的求解公式，解决各类二次方程。
3
图像法
借助二次函数的图像直观地解决二次方程。
二次方程的常见形式
一元二次方程
了解一元二次方程常见的形式和求解策略。
二元二次方程
探讨二定量二次方程的特点和解的个数。
二次不等式的概念
对称性
探讨二次函数的对称轴和对称中心，了解图像的对称性质。
判别式
了解二次函数判别式对二次方程解的影响。
二次函数的最值
1 最高点/最低点
2 顶点坐标与判别式
3 实际问题中的最值
探索二次函数图像的最值， 理解关键点对应的意义。
掌握二次函数中顶点的坐 标与判别式的关系。
通过实际问题，将二次函 数的最值应用到实际情境 中。
二次函数与二元方程、二 次不等式的关系
本次演讲将深入探讨二次函数、二次方程和二次不等式之间的紧密联系。通 过图像、形式和应用等多个角度，带您领略二次函数的魅力。
什么是二次函数
了解二次函数的定义和特点，掌握它的基本形式及其图像，为后续的讲解打 下坚实基础。
二次函数的性质
单调性
研究二次函数的增减规律，理解单调性在图像上的表现。
介绍二次不等式的定义和求解思路，了解判别式在二次不等式中的应用。
二次不等式的解法
符号法
借助符号法解决一元二次不等式，掌握不等号的方向性。
图像法
通过观察二次函数图像，解决二次不等式。
判别式与解的类型
了解判别式与二次不等式解的类型之间的关系。
二次函数与二元二次方程的关系
1
分析图像
二次函数与二次方程二次不等式的关系
二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。
研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
6、二次函数与方程不等式的关系
第四讲二次函数的图像与性质(一)【知识梳理】1、二次函数与一元二次方程的关系遇到抛物线与x轴的交点存在某种关系时，可综合应用一元二次方程根的判别式，根与系数的关系及二次函数的性质进行解答。
2、二次函数与不等式的关系（1）a>0：大于0取两边，小于0取中间。
（2）a<0：大于0取中间，小于0取两边。
例1.已知二次函数y=ax2-2x-2的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是例2.函数的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的取值和交点坐标分别是什么？例3.已知抛物线与x轴相交于A(x1,0) ,B(x2,0)，且x1≠x2。
（1）求a的取值范围，并证明A,B两点都在原点左侧；（2）若抛物线与y轴相交于C，且OA+OB-OC=-2,求a的值。
例4.已知抛物线y=ax2+bx+c，其顶点在x轴上方，经过点（-4,5）,它与y轴相交于点C（0,3），与x轴交于A，B两点，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和等于40.（1）求抛物线的解析式。
（2）抛物线上是否存在x轴上方的一点P，使S△PAB=2S△CAB？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
例5.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2 +bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax 2 +bx+c>0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax 2 +bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
例6.已知函数y1＝x2与函数y2的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）．A.＜x＜2 B．x＞2或x＜C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞变式练习：1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标(－1，－3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝( )A．－1.3 B．－2.3 C．－0.3 D．－3.32．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝____．(第1题) (第2题) (第3题)3．如图所示，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为( )A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9 C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥94．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( ) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1(第4题) (第5题)5.二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像如图，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．6.已知抛物线y＝ax2-2x＋1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限7、y=ax2+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________8.如果抛物线y=x2-mx+5m2与x轴有交点，则m______课后练习1.如图，二次函数的图象经过原点，顶点的纵坐标为，若一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.则方程A. B.C. D.A. B.C. D.4.下列二次函数的图象与轴有两个交点的是（）A. B.C. D.5.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是.6.已知抛物线与x轴交于A，B两点。
考点08 二次函数与方程不等式之间的关系(解析版)
考点八二次函数与方程不等式之间的关系知识点拓展一、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标．3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b 2–4ac 决定.1．当Δ>0，即抛物线与x 轴有两个交点时，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x 轴有一个交点（即顶点）时，方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x 轴无交点时，方程ax 2+bx +c =0无实数根，此时抛物线在x 轴的上方（a >0时）或在x 轴的下方（a <0时）．典例引领1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()22y x k =--+（k 是常数）与x 轴交于A 、B 两，其中点A 的坐标为()1,0，点P 在此抛物线上，其横坐标为()1m m >，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点B 的坐标；(3)当点P 在x 轴上方，且PQ AQ +的值随m 的增大而增大时，求m 的取值范围；(4)当抛物线上点A 与点P 之间的部分（包括点P ）的最高点到y 轴的距离等于3PQ 时，直(1)若6AB =，5AC =，求(2)若2b a =-，3c =，（ⅰ）当0a >，请判断此时抛物线点的情况；（ⅱ）已知点(),P a y 和点(1)已知一次函数的图象过点(2)当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，函数2y x b =-+（b 为常数）的值大于函数256y x x =-+的值，直接写出b 的取值范围．【答案】(1)26y x =-+(2)6b >【分析】（1）令0y =，则2560x x -+=，可求()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，可求()06C ，，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，结合图象求解作答即可．【详解】（1）解：令0y =，则2560x x -+=，解得，2x =或3x =，∴()30B ，，当0x =，则2566y x x =-+=，即()06C ，，设一次函数解析式为y kx b =+，将()30B ，，()06C ，代入得，306k b b +=⎧⎨=⎩，解得，26k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为26y x =-+；（2）解：由题意知，2y x b =-+的图象与直线BC 平行，如图，∵当03x ≤≤时，对于x 的每一个值，2625x x b x +>-+-，∴由图可知：6b >．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．变式拓展5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过()1,0-、()3,0、()03-，三点．(1)求二次函数的解析式；(2)方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为__________．(3)不等式23ax bx c x ++>-的解集为__________；【答案】(1)2=23y x x --(2)4m ≥-(3)0x <或3x >【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为()()13y a x x =+-，进而代值求解a 值即可；（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线y m =与二次函数图象有两个交点时的m 值的取值范围即可；（3）先判断出二次函数2y ax bx c =++的图象与直线3y x =-的交点坐标为()0.3-，()3,0，（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y＝kx 23+（k≠0＝10时，求k的值；（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值1(1)求直线AB 的函数表达式及点(2)点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点AB 交于点D ，设点【答案】(1)4y x =-(2)m 的值为2，3或∵2PD =，∴2542m m -+=解得∵01m <<∴5172m -=如图，当点P 在直线∵2PD =，∴2542m m -+=解得∴二次函数表达式为：232y x x =-+，令0y =，得：2320x x -+=，解得：1x =或2x =，∴二次函数图像与x 轴有两个公共点的坐标是：()1,0，()2,0，又 点A 坐标为()1,0，∴点B 坐标为()2,0．。
专题15二次函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。
2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。
3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。
【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。
二次函数与一元二次方程不等式的关系课件
根据 yx2 2x3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
x y＝x2－2x－3
例题精讲
3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
(1)方程-x2+3x+4=0的解
y
是_x_=-1,x_=_4_
4
(2)不等式-x2+3x+4>0的解集 3 2
x
探究
探究2:抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元
二次方程的知识来说明呢？
Y b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
y=ax2+bx+c的图 方程ax2+bx+c=0的
象和x轴交点
当x=x1或x=x2时,y=0 当x1<x<x2时,y<0 当x<x1或x>x2时,y>0
1、如图求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
O
-2
1x
2、、若x为任意实数，则二次函数 y=x2+2x+3的函数值y的取值范围
是 y≥2。
⊿=b2-4ac
y=ax2+bx+c （a>0）图像
⊿>0
y
⊿＝0
<1>①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系教案(横版)
教学过程一、复习预习1、二次函数的定义：（1）一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据；（2）当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数；（3）只要函数通过变形能变为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的形式都是二次函数，二次函数的另外两种形式为：顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0），交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
2、二次函数的图像：1）、y=ax2+bx+c（a≠0）的图像（1）二次函数的图像是一条抛物线；（2）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．并能从图象上认识二次函数的性质；（3）对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a决定了二次函数的开口方向，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下；︱a︱的大小决定抛物线的开口大小．︱a︱越大，抛物线的开口越小，︱a︱越小，抛物线的开口越大．（4）a、b共同决定了对称轴的位置，可以用四个字来概括“左同右异”，即：当对称轴在y轴的左边时，a、b正负性相同，当对称轴在y轴的右边时，a、b正负性相反；（5）c决定了图像与y轴的交点，即与y轴交点的横坐标，c>0，交于y轴正半轴；c<0，交于y轴负半轴；c＝0时，抛物线过原点。
（6）当△=b2－4ac>0时，图像与x轴有两个交点，且两交点之间的距离为|X1−X2|=√b2－4ac；当△=b2－|a|4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当△=b2－4ac<0时，图像与x轴没有交点。
2）、y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像（1）二次函数的图像是一条抛物线；（2）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．并能从图象上认识二次函数的性质；（3）对于二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0），a决定了二次函数的开口方向，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下；（4）a、k共同决定了对称轴的位置，可以用四个字来概括“左同右异”，即：当对称轴在y轴的左边时，a、k正负性相同，当对称轴在y轴的右边时，a、k正负性相反；3）、y=a(x-x 1)(x-x 2)的图像： （1）二次函数的图像是一条抛物线；（2）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．并能从图象上认识二次函数的性质；（3）对于二次函数y=a(x-x 1)(x-x 2)，a 决定了二次函数的开口方向，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下；（4）x 1、x 2表示二次函数与x 轴交点的横坐标，且有对称轴x=-b2a =x 1+x 22, 两交点之间的距离为|X 1−X 2|=√b2－4ac|a |。
考点07 二次函数与一元二次方程和不等式的关系-解析版 2023-2024学年九年级数学考点归纳与解
考点07 二次函数与一元二次方程和不等式的关系1 抛物线与x 轴的交点情况的分析二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）1.抛物线与x 轴的交点的横坐标是一元二次方程ax 2+bx +c=0的解.2.若已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的函数值为s ，求自变量x 的值，就是解一元二次方程ax 2+bx +c=s .3.二次函数y =a x 2+bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程a x 2+bx +c =0的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x 轴相离.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点的个数一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况b 2-4ac >0有两个有两个不相等的实数根b 2-4ac =0有一个有两个相等的实数根b 2-4ac<0没有公共点没有实数根2 抛物线与y 轴的交点情况图像与y 轴的交点即是x ＝0的情况求y 的值，也就是c 的值。
3 已知函数值求自变量的值只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值4 根据图像确定方程根的情况二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的横坐标即是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根。
5 图像法确定一元二次方程的近似根图像与x轴的交点纵坐标为0，在这个点的左右的点的纵坐标的值必然是一正一负，根据条件，离这个交点的最近的左右两个点的横坐标即是对应的方程的近似值。
6 二次函数与不等式（组）1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.考点1抛物线与x轴的交点考点2 抛物线与y轴的交点情况考点3 已知函数值求自变量的值考点4 根据图像确定方程根的情况考点5 图像法确定一元二次方程的近似根考点6 二次函数与不等式（组）考点7 根据不等式确定自变量或函数值的范围考点8 求x轴与抛物线交点的截线长考点1抛物线与x轴的交点A ．11x =，2x =C ．11x =，2x =∴方程()200ax bx c a ++=≠的两根是11x =-，27x =．故答案为：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性及二次函数与一元二次方程的性质，结合图象掌握函数的性质是解题的关键．3．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标为（ ）A ．()3,0-和()4,0-B ．()0,3和()0,4-C ．()0,3-和()0,4D ．()3,0和()4,0-【答案】D【分析】通过解方程()()2340x x -+=即可得到抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标．【详解】解：当0y =时，()()2340x x -+=，解得：13x =，24x =-，∴抛物线()()234y x x =-+与x 轴交点的坐标为()3,0，()4,0-，故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是求抛物线与x 轴交点的坐标问题转化成解关于x 的一元二次方程．4．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x 的二次函数()()y x a x b x =---的与x 轴的交点坐标是(),0c 和(),0d ，其中a ，b ，c ，d 均为常数，则关于x 的二次函数()()y x c x d x =--+与x 轴的交点坐标是（ ）A ．(),0a 和(),0b B ．(),0a -和(),0b -C ．(),0c 和(),0d D ．(),0c -和(),0d -【答案】A【分析】将()()y x a x b x =---化为一般式，根据根与系数的关系可得1c d a b +-=+，cd ab =，将()()y x c x d x =--+化为一般式，可得121x x c d +=+-，12x x cd ⋅=，即可求解．【详解】解：∵二次函数()()()21y x a x b x x a b x ab =---=-+++的与x 轴的交点坐标是(),0c 和(),0d ，∴方程()()0x a x b x =---的两个根分别为c 、d ，∴1c d a b +=++，cd ab =，∴1c d a b+-=+∵()()()21y x c x d x x c d x cd =--+=-+-+，设方程()()0x a x b x =--+的两根为1x ，2x ，∴121x x c d +=+-，12x x cd ⋅=，∴1x ，2x 分别为a 、b ，∴该函数与x 轴的交点坐标(),0a 和(),0b ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x 轴的交点横坐标即为对应方程的根，掌握一元二次方程根与系数的关系．考点2 抛物线与y 轴的交点情况在2=23y x x --中，当0y =时，解得：121,3x x =-=当0x =时，=3y -，即()()()1,03,00,3A B C --、、，∴4,3AB OC ==故ABC 的面积为：12436⨯⨯=考点3 已知函数值求自变量的值考点4 根据图像确定方程根的情况A．a<0B．【答案】B【分析】由图象可知，a<【详解】解：由图象可知，b<，∴0a>A．0C．240-<b ac【答案】B【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．值为（ ）A ．5B ．2C ．1D ．1或5【答案】A【分析】根据二次函数与x 轴只有一个交点，则关于x 的一元二次方程()21410a x x --+=只有一个实数根，据此求解即可．【详解】解：∵关于x 的二次函数()2141y a x x =--+图象与x 轴只有一个交点，∴关于x 的一元二次方程()21410a x x --+=只有一个实数根，∴()()2Δ441010a a ⎧=---=⎪⎨-≠⎪⎩，解得5a =，故选A ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．考点5 图像法确定一元二次方程的近似根A ．5m >【答案】A 【分析】利用函数图象，的解的情况．【详解】解：观察图象可得，【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是由二次函数的图象与考点6 二次函数与不等式（组）b<A．a<0，0a b+>C．40【答案】D【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时(即0)ab >，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即0)ab <，对称轴在y 轴右侧．(简称：左同右异)；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于()0,c ．抛物线与x 轴交点个数由∆决定：240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；24<0b ac ∆=-时，抛物线与x 轴没有交点．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，根据图象回答，当21ax bx c ++<时，x 的取值范围是（ ）A ．13x -<<B ．1x <-或3x >C ．1x <-D ．3x >【答案】A 【分析】由图象可得：当1y =时，=1x -或3x =，可得当21ax bx c ++<时，即图象在直线1y =的下方，从而可得x 的取值范围是13x -<<．【详解】解：由图象可得：当1y =时，=1x -或3x =，∴当21ax bx c ++<时，x 的取值范围是13x -<<；故选A【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．23．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则函数值0y >时，x 的取值范围是（ ）A ．1x <-B ．3x >C ．13x -<<D ．1x <-或3x >【答案】D 【分析】写出函数图象在x 轴上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，当1x <-或3x >时，0y >．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是关键．24．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，抛物线214y x x =-+和直线22y x =，当12y y <时，x 的取值范围是（ ）A ．02x <<B ．0x <或2x >C ．0x <或>4x D ．04x <<【答案】B 【分析】先求出两图象的交点为()()0,0,2,4，可得当0x <或2x >时，抛物线的图象位于直线的下方，即可求解．【详解】解：联立得：224y x y x x=⎧⎨=-+⎩，解得：121202,04x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，即两图象的交点为()()0,0,2,4，∴当0x <或2x >时，抛物线的图象位于直线的下方，∴当12y y <时，x 的取值范围是0x <或2x >．故选：B【点睛】此题考查求两个函数图象的交点坐标，根据函数图象确定自变量x 的取值范围，正确解出交点坐标及正确理解函数图象是解题的关键．考点7 根据不等式确定自变量或函数值的范围则t 的取值范围是（ ）A ．2t >B ．0t >C ．02t <<D ．2t <【答案】B【分析】将(),A t m 、()4,B t n +代入二次函数24y x x c =-+求解即可．【详解】将(),A t m 、()4,B t n +代入二次函数24y x x c =-+，∴24m t t c =-+，()()2444n t t c =+-++，∵m n <，∴()()224444t t c t t c -+<+-++，∴0t >．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式．26．（2022春·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知点A （4，2），B （4，4）抛物线L ：y ＝﹣（x ﹣t ）2+t （t ≥0），当L 与线段AB 有公共点时，t 的取值范围是（ ）A ．3≤t ≤6B ．3≤t ≤4或5≤t ≤6C ．3≤t ≤4，t ＝6D ．5≤t ≤6【答案】B【分析】根据题意知线段AB 平行于y 轴，先根据二次函数经过点A 与点B 构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可．【详解】解：根据题意知：∵点()4,2A ，()4,4B ，故对于二次函数()()20y x t t t =--+≥与线段AB 有公共点时，即当x =4时，2y 4≤≤，即()2244t t --+≤≤，当()242t t --+=时，解得123,6t t ==，当()244t t --+=时，解得434,5t t ==，∴()2244t t --+≤≤的解集为34t ≤≤或56t ≤≤；方程在13x -<<的范围内有实数根，当2x =时，7y =∵抛物开口朝下，函数243y x x =-++在2x =时有最大值7，对称轴是2x =，()213,321--=-=，31>即在13x -<<的范围，当=1x -时的函数值最小∴当=1x -时，=2y -∴t 的取值范围是27t -<≤故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．考点8 求x 轴与抛物线交点的截线长A．3B．−3故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．。
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二次函数与方程不等式的关系
一、知识点梳理
1、二次函数表达式的几种常见方法
（1）三点式（或一般式）：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数且，表达式的右边是二次三项式
的一般形式，当已知抛物线上不共线的三点坐标时，通常把三点坐标代入表达式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解.
（2）顶点式：k h x a y +-=2)()0,,(≠a k h a 为常数且由抛物线的表达式右边可知，抛物线的顶
点坐标为),(k h ，当已知抛物线的顶点和抛物线上另一点时，通常设函数表达式为顶点式，然后代入另一个点的坐标，解关于a 的一次方程来求。
当已知两点的坐标和对称轴时，亦可将其
代入k h x a y +-=2)(中求解.
2、二次函数 c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系
抛物线：c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，恰为一元二次方程02=++c bx ax 的实根. 因为x 轴上的点的纵坐标都为0,所以求抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，可利用函数表达式c bx ax y ++=2来求，只需令0=y ,得一元二次方程02=++c bx ax ,方程的解即为交点的横坐标.
抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点有三种情况：
（1）当042＞ac b -时，方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ，拋物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x x ；
（2）当042=-ac b 时，方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根2a -
21b x x ==， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点)0,2(a
b -; （3）当042＜a
c b -时，方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线与x 轴没有交点.
3、二次函数的图像与一次函数图像的交点
一次函数()0≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程
组⎩⎨⎧++=+=c
bx ax y ,n kx y 2的解的个数来确定： （1）方程组有两组不同的解-----L 与G 有两个交点；
（2）方程组只有一组解-----L 与G 只有一个交点；
（3）方程组无解-----L 与G 没有交点。
三、典型例题
（一）二次函数与x 轴的交点
例1 若函数()12122++++=m x m mx y 的图像与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、0或2 C 、2或－2 D 、0,2或－2
例2 小兰画了一个函数b ax x y ++=2的图像如图，则关于x 的方程02=++b ax x 的解是（ ）
A 、无解
B 、1=x
C 、4-=x
D 、41=-=x x 或
例 3 如图，一次函数x y =1与二次函数c bx ax y ++=22的图像相交于P 、Q 两点，则函数()c x b ax y +-+=12的图像可能是（ ）
（二）利用二次函数的图像解方程（不等式）
例1 二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则函数值0＞y 时，x 的取值范围是（ ）
A 、x ＜－1
B 、x ＞3
C 、－1＜x ＜3
D 、x ＜－1或x ＞3
例2 抛物线1221--=x x y 和反比例函数x y 22-=的图像如图所示，利用图像解答： （1）方程x
x x 2122-=--的解是什么？ （2）x 取何值时，21y y ＞？
（三）二次函数解析式的确定
例1 如图，A （－1,0），B （2,－3）两点在一次函数m x y +-=1与二次函数322-+=bx ax y 的图像上。
（1）求m 的值和二次函数的表达式；
（2）设二次函数的图像交y 轴于点C ，求△ABC 的面积。
例2 如图，二次函数c x x y ++-=4
1321的图像与x 轴的一个交点为A （4,0），与y 轴的交点为B ，过A 、B 的直线为b kx y +=2。
（1）求二次函数1y 的表达式及点B 的坐标；
（2）由图像写出满足21y y ＜的自变量x 的取值范围；
（3）在两坐标轴上是否存在点P ，使得△ABP 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
四、课堂练习
1、若二次函数bx x y +=2的图像的对称轴是经过点（2,0）且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程52=+bx x 的解为（ ）
A 、4021==x x ，
B 、5121==x ,x
C 、5121-==x ,x
D 、5121=-=x ,x
2、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，下列说法：
①02=+b a ；②当－1≤x ≤3时，0＜y ；③若()11y ,x ，()22y ,x 在函数
图像上，当21x x ＜时，21y y ＜；④039=++c b a 。
其中正确的是（ ）
A 、①②④
B 、①④
C 、①②③
D 、③④
3、如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A （1,0）和B （3,2），
不等式m x c bx x +++＞2的解集为______________。
4、用图像探索二次函数2x y =和反比例函数()不为零k x
k y =
的交点个数为（ ） A 、一定是1个 B 、一定有2个
C 、1个或2个 C 、0个
5、如图，已知抛物线x x y 421+-=和直线x y 22=，我们约定：当x 任取一值
时，x 对应的函数值分别为21y y ，，若21y y ≠，取21y y ，中的较小值记为M ；
若21y y =，记M=21y y =。
下列判断：①当x ＞2时，M=2y ；②当x ＜0时，x 的值越大，M 值越大；
③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则1=x 。
其中正确的有（ ）
A 、①②
B 、①②③
C 、②③
D 、②③④
6、如图所示，直线2--=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为A ，且经过点B.
(1) 求该抛物线的表达式；
(2) 若点)2
9,(-m C 在该抛物线上，求m 的值.
五、课后作业
1、如图，二次函数c bx x y ++=2的图像过点B （0，－2），它与反比例函数x
y 8-
=的图像交于点A （m ，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A 、22--=x x y
B 、22+-=x x y
C 、22-+=x x y
D 、22++=x x y 2、已知二次函数c bx x y ++=2经过点（3,0）和（4,0），则这个二次函数的解析式是_________。
3、二次函数c bx ax y ++=2（c ,b ,a 为常数，且0≠a ）中的x 与y 的部分对应值如下表： x －1
0 1 3 y
－1 3 5 3 下列结论：①ac ＜0；②当1＞x 时，y 的值随x 值的增大而减小；
③3是方程()012=+-+c x b ax 的一个根；④当31＜＜x -时，()012＞c b ax +-+。
其中正确的个数为（ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
4、如图，抛物线c bx x y +-=2交x 轴于点A （1,0），交y 轴于点B ，对称轴是x =2.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，已知二次函数c bx ax y ++=2的图像过点A （2,0）、B （0，－1）和C （4,5）三点。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图像与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线1
y，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次
+
=x
函数的值。