模糊数学建模方法

x∈ X
则模糊规划转化为普通规划问题
max Z = λ 1 − (ti ( x) − bi ) di ≥ λ (t0 ( x) − z1 ) d0 ≥ λ λ ≥ 0, x ≥ 0 j (i = 1,2,L, m) ( j = 1,2,L, n)
max Z = λ 1 − (ti ( x) − bi ) di ≥ λ (t0 ( x) − z1 ) d0 ≥ λ λ ≥ 0, x ≥ 0 j (i = 1,2,L, m) ( j = 1,2,L, n)
某企业根据市场信息及自身能力， 例1 某企业根据市场信息及自身能力，准备开 发甲、乙两种系列产品。 发甲、乙两种系列产品。甲种系列产品最多大约 能生产400套，乙种系列产品最多大约能生产250 能生产 套 乙种系列产品最多大约能生产 据测算，甲种产品每套成本3万元 万元， 套。据测算，甲种产品每套成本 万元，每套获纯 利润7万元 乙种系列产品每套成本2万元 万元； 万元， 利润 万元；乙种系列产品每套成本 万元，每套 获纯利润3万元 生产甲、 万元。 获纯利润3万元。生产甲、乙两种系列产品的资金 投入大约不能超过1500万元。在上述条件下，如 万元。 投入大约不能超过 万元 在上述条件下， 何安排两种系列产品的生产， 何安排两种系列产品的生产，才能使企业获利最 大？ 乙两种系列产品生产量分别为x 解：甲、乙两种系列产品生产量分别为 1,x2，则
请注意模糊线性规划( )与普通线性规划( ) 请注意模糊线性规划(2)与普通线性规划(3)的区别
ax m f = t0 ( x) (2) ti ( x) ≤ [bi , di ] s.t . x ≥ 0
ax m f = t0 ( x) (3) ti ( x) ≤ bi + di s.t . x ≥ 0
∆
一、 模糊线性规划
在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性， 在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性， 目标函数可能不是单一的， 目标函数可能不是单一的，必须借助模糊集的方 法来处理. 法来处理.
模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化， 模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化， 是将约束条件和目标函数模糊化 引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题， 引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题， 模糊最优解. 它的最优解称为原问题的模糊最优解 它的最优解称为原问题的模糊最优解.
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max z = 7 x1 + 3 x2 3 x1 + 2 x2 ≤ 1500 x1 ≤ 400 s .t . x2 ≤ 250 解得z1=3250,x1=400, x2=150 解得 , x , x ≥ 0. 1 2 max z = 7 x1 + 3 x2 3 x1 + 2 x2 ≤ 1500 + 50 x1 ≤ 400 + 5 s .t . x2 ≤ 250 + 5 x , x ≥ 0. 解得z 解得 2=3337.5,x1=405, x2=167.5 , 1 2
简记为： 简记为：
% ti ( x) ≤ bi , i = 1,2Lm x ≥ 0
设普通线性规划的标准形式为
max f = t0 ( x) (1) ti ( x) ≤ bi s.t . x≥0
(bi , bi + di ) 内的某一个值，这里的 内的某一个值，这里的di＞0，它是决策人根据实际问题 ， 选择的伸缩指标 这样的规划称为模糊线性规划 伸缩指标. 模糊线性规划。 选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线性规划。
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模糊数学的建模方法
主要内容
模糊线性规划 模糊综合评判 模糊决策
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1. 模糊子集与隶属函数 是论域， 设U是论域，称映射 是论域 A(x)：U→[0,1] ： 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为 的隶属函 称为A的 确定了一个 上的模糊子集 ，映射 上的模糊子集 称为 它表示x对 的隶属程度 的隶属程度. 数，它表示 对A的隶属程度 的点x称为 的过渡点， 使A(x) = 0.5的点 称为 的过渡点，此点最具模糊 的点 称为A的过渡点 性. 当映射A(x)只取 或1时，模糊子集 就是经典子集， 只取0或 时 模糊子集A就是经典子集 就是经典子集， 当映射 只取 就是它的特征函数. 而A(x)就是它的特征函数 可见经典子集就是模糊子集 就是它的特征函数 的特殊情形. 的特殊情形
max Z = λ ti ( x) + di λ ≤ bi + di (i = 1,2,L, m) t0 ( x) − (z2 − z1 )λ ≥ z1 λ ≥ 0, x ≥ 0 ( j = 1,2,L, n) j
* * 最优解为 x1 = 402.5, x2 = 158.75, λ * = 0.5
1. 约束条件的模糊 .
max z = 7 x1 + 3 x2 % 3 x1 + 2 x2 ≤ 1500 % x1 ≤ 400 s .t . % x2 ≤ 250 x , x ≥ 0. 1 2
(1) (2) (3)
一般地， 一般地，
max Z = c1 x1 + c2 x2 +Lcn xn % a11 x1 + a12 x2 +L+ a1n xn ≤ b1 % a21 x1 + a22 x2 +L+ a2n xn ≤ b2 LL a x + a x +L+ a x ≤ b % m mn n m1 1 m2 2 xj ( j = 1,2,Ln) ≥ 0 max Z = t0 ( x)
ti (x) O bi bi+ di
目标函数的模糊化： 目标函数的模糊化： 先求普通线性规划问题
max Z = t0 ( x) ti ( x) ≤ bi , i = 1,Lm (1) x ≥ 0
max Z = t0 ( x) ti ( x) ≤ bi +di , i = 1,Lm (2) x ≥ 0
约束条件中不考虑伸缩指标时目标函数的最优解Z 约束条件中不考虑伸缩指标时目标函数的最优解 1， 约束条件中完全放开时目标函数的最优解Z 约束条件中完全放开时目标函数的最优解 2，则目标函数 max(min)CX转化为普通的约束为 转化为普通的约束为
t 0 ( x ) − ( Z 2 − Z1 )λ ≥ (或 ≤ ) Z1
(1) (2) (3)
根据实际情况，假设约束条件( )( )(3) )(2)( 根据实际情况，假设约束条件(1)( )( )的伸 缩系数分别为d 元， 套， 套， 缩系数分别为 1=50(元)，d2=5(套)，d3=5 (套)，为 将目标函数模糊化，解经典线性规划问题： 将目标函数模糊化，解经典线性规划问题：
就必须降低D(x). Z1，就必须降低
ti ( x) ≤ bi bi < ti ( x) ≤ bi + di ti ( x) > bi + di
知：当D(x)=1时,G(x)=0，要提高目标函数值大于 时 ，
令λ= D(x)∧ G(x) ，有
max( D( x ) ∧ G ( x ))
x∈ X
= max{ λ | D( x ) ≥ λ , G ( x ) ≥ λ , λ ∈ [0,1]}
将原问题转化为普通的线性规划问题： 将原问题转化为普通的线性规划问题： 线性规划问题
max λ 3 x1 + 2 x2 + 50λ ≤ 1500 + 50 x1 + 5λ ≤ 400 + 5 s .t . x2 + 5λ ≤ 250 + 5 7 x + 3 x − 87.5λ ≥ 3250 2 1 λ , x1 , x2 ≥ 0
约束条件的模糊化： 约束条件的模糊化：
1 Di ( x) = 1 − ( ti ( x) − bi ) di 0
其中d 为伸缩指标。 其中 i为伸缩指标。 图形如右图
ti ( x) ≤ bi bi < ti ( x) ≤ bi + di ti ( x) > bi + di
Di (x)
的最优解， 的最优解。 设Z1是(1)的最优解，设Z2是(2)的最优解。 的最优解 的最优解 目标函数的弹性可表示为Z 目标函数的弹性可表示为 1≤Z=t0(x)≤ Z2 d0 = Z2- Z1 ＞0为目标函数的伸缩指标，d0也 为目标函数的伸缩指标， 为目标函数的伸缩指标 可由决策人确定。 可由决策人确定。
2、普通线性规划 、 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的。 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的。 其约束条件和目标函数都是确定的
max Z = c1 x1 + c2 x2 + Lcn xn = t0 x） （ a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn ≤ b1 t1( x) ≤ b1 a21 x1 + a22 x2 +L+ a2n xn ≤ b2 ∆ t2 ( x) ≤ b2 ⇒LL LL a x + a x + L+ a x ≤ b t ( x) ≤ b mn n m m m1 1 m2 2 n x ≥ 0 xj ( j = 1,2,Ln) ≥ 0
max Z = λ ti ( x) + di λ ≤ bi + di (i = 1,2,L, m) t0 ( x) − (z2 − z1 )λ ≥ z1 λ ≥ 0, x ≥ 0 ( j = 1,2,L, n) j
模糊线性规划转化成普通线性规划的步骤： 模糊线性规划转化成普通线性规划的步骤：
因此甲403套，乙159套，能获得最大利润： 套 因此甲 套 能获得最大利润：
* * 万元， z = 7 x1 + 3 x2 = 3293.75 万元，
比普通规划问题利润提高43.75万元 万元 比普通规划问题利润提高
模糊线性规划转化成普通线性规划的步骤： 模糊线性规划转化成普通线性规划的步骤：
第一步， 第一步， 目标函数转化为普通约束
若约束条件带有弹性，即右端常数bi可能取 若约束条件带有弹性，即右端常数
把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为
max f = t0 ( x) (2) ti ( x) ≤ [bi , di ] s.t . x ≥ 0
这里的ti (x) ≤[ bi, di ] 表示当di = 0(普通约束 时, ti 这里的 表示当 普通约束)时 普通约束 (x) ≤bi；当di＞0(模糊约束 时, ti (x) 取(bi , bi + di )内的 模糊约束)时 模糊约束 内的 某一个值. 某一个值
变形得
max Z = λ ti ( x) + di λ ≤ bi + di (i = 1,2,L, m) t0 ( x) − (z2 − z1 )λ ≥ z1 λ ≥ 0, x ≥ 0 ( j = 1,2,L, n) j
例1
max z = 7 x1 + 3 x2 % 3 x1 + 2 x2 ≤ 1500 % x1 ≤ 400 s .t . % x2 ≤ 250 x , x ≥ 0. 1 2
目标函数的隶属函数为： 目标函数的隶属函数为：
0 G( x) = (t0 ( x) − z1 ) d0 1
结合约束条件的隶属函数： 结合约束条件的隶属函数：
t0 ( x) ≤ z1 z1 <t0 ( x) ≤ z2 t0 ( x) > z2
1 Di ( x) = 1 − ( ti ( x) − bi ) di 0
第二步， 第二步， 模糊约束转化为普通约束 a) 当第 个模糊约束为 i(x)≥[bi ,di]时，转化为普通约束为 当第i个模糊约束为 个模糊约束为t 时 ti(x) -diλ≥bi-di; b) 当第 个模糊约束为 i(x) ≤ [bi ,di]时，转化为普通约束为 当第i个模糊约束为 个模糊约束为t 时 ti(x) +diλ≤ bi+di; c) 当第 个模糊约束为 i(x) = [bi ,di]时,现将 i(x) = [bi ,di]转化成 当第i个模糊约束为 个模糊约束为t 现将t 时 现将 转化成 两个模糊约束t 然后按a)和 处理 两个模糊约束 i(x) ≥[bi ,di]和ti(x) ≤ [bi ,di], 然后按 和b)处理 和