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云大《数据结构》课程教学课件-第6章 树和二叉树(147P)_OK
^d ^ ^ e ^ 三叉链表
3）二叉链表是二叉树最常用的存储结构。还有其它链接方 法，采用何种方法，主要取决于所要实施的各种运算频度。
例:若经常要在二叉树中寻找某结点的双亲时，可在每个结 点上再加一个指向其双亲的指针域parent，称为三叉链表。
lchild data parent rchild
2021/8/16
2021/8/16
9
6.2 二 叉 树
6.2.1 二叉树的概念
一、二叉树的定义： 二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集，它或者是 空集(n=0)或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称 为根的左子树和右子树的二叉树组成。 可以看出，二叉树的定义和树的定义一样，均为递归定 义。
A
集合3
集合1
BCD
EF
G
集合2
2021/8/16
3
2、树的表示方法 1）树形图法
A
BCD
EF
G
2）嵌套集合法
3）广义表形式 ( A(B, C(E,F), D(G) )
4）凹入表示法
2021/8/16
A B
D
CG
EF
A B C E DF G
4
3、 树结构的基本术语
1）结点的度(Degree)：为该结点的子树的个数。 2）树的度：为该树中结点的最大度数。
7）路径(Path)：若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj,使得ki是 ki+1的双亲(1<=i<j)，则称该结点序列是从ki到kj一条路径 (Path)
路径长度：路径的长度为j-1,其为该路径所经过的边的数 目。
A
BCD
EF
G
数据结构第6章树和二叉树3树和森林ppt课件
§6.4 树和森林 ❖树的存储结构——孩子兄弟表示法
这种存储结构便于实现各种树的操作。首先易于 实现找结点孩子等的操作。如果为每个结点增设一个 (parent)域，则同样能方便地实现Parent(T, x)操作。
§6.4 树和森林
❖森林和二叉树的转换
1. 树和二叉树的对应关系 由于二叉树和树都可用二叉链表作为存储结构，
R AB C
DE
F
GHK
R^
A
^D
^B
^E ^
C^
F^
^G
^H
^K ^
§6.4 树和森林
❖树的二叉链表（孩子 - 兄弟）存储表示
typedef struct CSNode { Elem data; struct CSNode *firstchild , *nextsibling;
} CSNode, *CSTree;
A BC D E F GH
A BC D
E F GH A
BC D
1）在兄弟之间加一条连线； 2）对每个结点，除了左孩子外，去除其与其余孩子之间的联系； 3）以根结点为轴心，将整个树顺时针转45°。
Ia
A B
Ib
E F
d
C D
G H I
c E F G H I
§6.4 树和森林
❖森林和二叉树的转换
2. 森林和二叉树的对应关系 从树的二叉链表表示的定义可知，任何一棵
§6.4 树和森林
3
6^
5^
0
1
7
8
2^ 9^
R AB C
DE
F
GHK
§6.4 树和森林 ❖树的存储结构——孩子兄弟表示法
或称二叉树表示法，或称二叉链表表示法。即以 二叉链表作树的存储结构。链表中结点的两个链域分 别指向该结点的第一个孩子结点和下一个兄弟结点。
数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章 树与二叉树
6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义与基本操作 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
6.2.1 二叉树的定义与基本操作 定义：我们把满足以下两个条件的树型结构叫做二 叉树（Binary Tree）： （1）每个结点的度都不大于2； （2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。 森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一 个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
同构：对两棵树，通过对结点适当地重命名，就可以使两棵树完全相等（结点对应相 等，对应结点的相关关系也像等），则称这两棵树同构。
二叉树的基本结构由根结点、左子树和右子树组成
如图示
LChild Data RChild
Data
LChild RChild
用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍 历右子树，那么对二叉树的遍历顺序就可以有：
(1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树(记做DLR)。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树(记做DRL)。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树(记做LDR)。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根 (记做LRD)。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树 (记做RDL)。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根 (记做RLD)。
(8) NextSibling（Tree，x）： 树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不 是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点，否则 返回“空”。
基本操作:
(9) InsertChild（Tree，p，Child）： 树Tree存在，p指向Tree 中某个结点，非空树Child与Tree不相交。将Child插入Tree中， 做p所指向结点的子树。
《数据结构与算法项目化教程》课件第6章
为G=(V, E)，V是顶点A的有限集合，E是边的有限集合，即
V={A|A∈某个数据集合}， E={(A, B)|A, B∈V}
或
E={<A, B> |A, B∈V 且 path(A, B)}
其中，path(A, B)表示从顶点A到B的一条通路。
学习情境６ 图
2．图的类型 (1) 无向图。 无向图(undirected graph)中的边没有方向，每条边用两个 顶点的无序对表示，如(A, B)表示连接顶点A和B之间的一条 边，(A, B)和(B, A)表示同一条边。图6-1是一个无向图，用G 表示无向图，其顶点集合V为
V(G)={A,B,C,D,E} E(G)={<A,B>,<A,D>,<A,E>,<B,C>,<C,B>,<C,D>,<D,B> ,<D,E>,<E,A>}
学习情境６ 图
图6-2 有向图
学习情境６ 图
(3) 自身环的图和多重图。 如图6-3所示，顶点C有一个路径指向自身，这种图称为 带自身环的图；顶点B有两条路径到顶点A，这种图属于多重 图。这些一般不属于数据结构讨论的范畴，本学习情境只讨 论无向图和有向图。 (4) 完全图。 完全图(complete graph)的任一顶点均有路径到其他顶点。 完全图的边数是最大的。无向完全图的边数有n × (n-1)/2，有 向完全图的边数为n × (n-1)。
学习情境６ 图
图6-13 邻接表元素
学习情境６ 图
图6-14 带权无向图的邻接表表示
学习情境６ 图
3．有向图的邻接表表示 以邻接表表示有向图，需要根据边的方向而得到边表， 边表有两种：出边表和入边表。 出边表：第i行单链表存储以顶点vi为起点的所有边<vi, vj>，dest域是该条边的终点vj在顶点表中的下标。 入边表：第i行单链表存储以顶点vi为终点的所有边<vj, vi>，dest域是该条边的起点vj在顶点表中的下标。 有向图的邻接表表示有两种，分别是由出边表构成的邻 接表和由入边表构成的逆邻接表。带权有向图邻接表的出边 表表示如图6-15所示。在有向图的邻接表或逆邻接表中，每 条边只存储一次。
数据结构课件CH6
树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系 定义的层次结构。
§6.1 树的定义
定义：
树(tree)是n(n>0)个结点的有限集T，其中： 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有 限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树， 称为根的子树(subtree)
• 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) • 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒
★ 基本形态
A
A
A
A
只有根结 空二叉树 点的二叉树
B 右子树为空
B
B
C
左子树为空
左、右子 树均非空
二叉树的基本运算
① 构造一棵二叉树 CreateBTree ( BT) ② 清空以BT为根的二叉树 ClearBTree(BT) ③ 判断二叉树是否为空 BTreeEmpty(BT) ④ 获取给定结点的左孩子和右孩子
遍历的过程就是把非线性结构的二叉树中的结点排 成一个线性序列的过程。
二叉树遍历方法可分为两大类，一类是“宽度优先 ”法，即从根结点开始，由上到下，从左往右一层一层 的遍历；另一类是“深度优先法”，即一棵子树一棵子 树的遍历。
按根、左子树和右子树三部分进行遍历
• 方法
★ 先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、 右子树
★ 特点：
» 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现; » 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为L，则
其左分支下子孙的最大层次必为L或L+1。
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§6.1 树的定义
定义：
树(tree)是n(n>0)个结点的有限集T，其中： 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有 限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树， 称为根的子树(subtree)
• 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) • 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒
★ 基本形态
A
A
A
A
只有根结 空二叉树 点的二叉树
B 右子树为空
B
B
C
左子树为空
左、右子 树均非空
二叉树的基本运算
① 构造一棵二叉树 CreateBTree ( BT) ② 清空以BT为根的二叉树 ClearBTree(BT) ③ 判断二叉树是否为空 BTreeEmpty(BT) ④ 获取给定结点的左孩子和右孩子
遍历的过程就是把非线性结构的二叉树中的结点排 成一个线性序列的过程。
二叉树遍历方法可分为两大类，一类是“宽度优先 ”法，即从根结点开始，由上到下，从左往右一层一层 的遍历；另一类是“深度优先法”，即一棵子树一棵子 树的遍历。
按根、左子树和右子树三部分进行遍历
• 方法
★ 先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、 右子树
★ 特点：
» 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现; » 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为L，则
其左分支下子孙的最大层次必为L或L+1。
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6.1 图的逻辑结构
V1 V3
V4 V1
V3
V2 若顶点vi和vj之间的边没有方向，则 称这条边为无向边，表示为(vi,vj)。 如果图的任意两个顶点之间的边都
V5 是无向边，则称该图为无向图。
V2 若从顶点vi到vj的边有方向，则称这 条边为有向边，表示为<vi,vj>。 如果图的任意两个顶点之间的边都
第6章 图
本章的主要内容是:
图的逻辑结构 图的存储结构及实现 图的连通性 最小生成树 最短路径 AOV网与拓扑排序 AOE网与关键路径
2019/10/26
第6章 图
图是一种非常复杂的非线性结构，并且具有极强的表达能力， 现实世界中的许多问题都可以抽象为图结构。本章是本课程 的难点和重点。通过本章的学习，要求学生：
i =1
V1
V2
V3
V4
V5
在具有n个顶点、e条边的无向图G中，各顶点 的度之和与边数之和的关系？
6.1 图的逻辑结构
图的基本术语
V1
V2
n
n
ID(vi ) = OD(vi ) = e
i=1
i=1
V3
V4
在具有n个顶点、e条边的有向图G中，各顶点 的入度之和与各顶点的出度之和的关系？与边 数之和的关系？
A
B
C
D
E
F
线性结构
A
V1
V2
B
C
V3
D
EF
V4
V5
树结构
图结构
在线性结构中，元素之间的关系为前驱和后继； 在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子； 在图结构中，顶点之间的关系为邻接。
6.1 图的逻辑结构
图的基本术语
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间 都存在边，则称该图为无向完全图。
有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都 存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。
哥尼斯堡七桥问题
能否从某个地方出发，穿过所有的桥仅一次 后再回到出发点？
哥尼斯堡七桥问题
七拉回路的判定规则： 1.如果通奇数桥的地方多于 两个，则不存在欧拉回路； 2.如果只有两个地方通奇数 桥，可以从这两个地方之一 出发，找到欧拉回路； 3.如果没有一个地方是通奇 数桥的，则无论从哪里出发， 都能找到欧拉回路。
V1
V2
V1
V2
V3
V4
V3
6.1 图的逻辑结构
含有n个顶点的无向完全图有多少条边？ 含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？
V1
V2
V1
V2
V3
V4
V3
含有n个顶点的无向完全图有n×(n-1)/2条边。 含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边。
6.1 图的逻辑结构
图的基本术语
稀疏图：称边数很少的图为稀疏图； 稠密图：称边数很多的图为稠密图。
无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在边 (vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边 (vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。
V1的邻接点： V2 、V4 V2的邻接点： V1 、V3 、V5
V1
V2
V3
V4
V5
6.1 图的逻辑结构
图的基本术语
邻接、依附
有向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在弧 <vi，vj>，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶 点vi，同时称弧<vi，vj>依附于顶点vi和顶点vj 。
V4 是有向边，则称该图为有向图。
6.1 图的逻辑结构
图的基本术语
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同 一条边不重复出现。
V1
V2 V1
V2 V1
V2
V3
V3
V3
V4
V5 V4
V5 V4
V5
非简单图
非简单图
简单图
数据结构中讨论的都是简单图。
6.1 图的逻辑结构
图的基本术语
邻接、依附
V1
V2
V1的邻接点： V2 、V3
V3的邻接点： V4
V3
V4
不同结构中逻辑关系的对比
A
B
C
D
E
F
线性结构
A
V1
V2
B
C
V3
D
EF
V4
V5
树结构
图结构
在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系； 在树结构中，结点之间具有层次关系； 在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系。
不同结构中逻辑关系的对比
顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶 点的边数，通常记为TD (v)。 顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶 点为弧头的弧的数目，记为ID (v)； 顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶 点为弧尾的弧的数目，记为OD (v)。
6.1 图的逻辑结构
图的基本术语
n
TD (vi ) = 2e
•掌握图的定义及其基本术语； •理解图的抽象数据类型定义； •掌握图的邻接矩阵和邻接表存储； •掌握图的遍历方法及其在邻接矩阵和邻接表存储结构上的实现； •理解图的十字链表、邻接多重表和边集数组存储方法； •理解无向图的连通性； •了解有向图的连通性； •掌握Prim算法和Kruskal算法的基本思想和求解过程； •理解Prim算法和Kruskal算法的C++描述； •掌握Dijkstra算法和Floyd算法的基本思想及求解过程； •理解Dijkstra算法和Floyd算法的C++描述； •掌握拓扑序列的定义及拓扑排序算法； •掌握关键路径的定义及求解过程； •理解求关键路径算法。
图论——欧拉
欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔城，19岁开始发 表论文，直到76岁。几乎每一个数学领域都可以 看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体 的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四 次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方 程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧 拉方程，复变函数的欧拉公式等等。据统计他那 不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中 分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和 力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、 建筑学等占3%。 1733年，年仅26岁的欧拉担任 了彼得堡科学院数学教授。1741年到柏林担任科 学院物理数学所所长，直到1766年，重回彼得堡， 没有多久，完全失明。欧拉在数学上的建树很多， 对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的 研究。
6.1 图的逻辑结构
图的定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组 成，通常表示为：
G=(V，E) 其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是 图G中顶点之间边的集合。 在线性表中，元素个数可以为零，称为空表； 在树中，结点个数可以为零，称为空树； 在图中，顶点个数不能为零，但可以没有边。