2018年高考文科数学(全国I卷)参考答案

文科数学试题参考答案 第1页（共4页）
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题 1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．A
8．B
9．B
10．C
11．B
12．D
二、填空题 13．7- 14．6
15
．16
三、解答题 17．解：
（1）由条件可得12(1)
n n n a a n
++=
. 将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =. 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =. 从而11b =，22b =，34b =.
（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得121n n
a a n n
+=
+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.
（3）由（2）可得12n n
a n
-=，所以12n n a n -=⋅. 18．解：
（1）由已知可得，90BAC ∠=︒，BA AC ⊥.
又BA AD ⊥，所以AB ⊥平面ACD . 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .
文科数学试题参考答案 第2页（共4页）
（2）由已知可得，3DC CM AB ===，
32DA =. 又
2
3
BP DQ DA ==
，所以22BP =. 作QE AC ⊥，垂足为E ，则QE
1
3
DC . 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1QE =. 因此，三棱锥Q ABP -的体积为
111
1322sin 451332Q ABP ABP V QE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△S .
19．解：
（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.353m 的频率为
0.20.110.1
2.60.1
20.05
0.48????，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.353m 的概率的估计值为0.48. （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
11
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.
50
x =??????? 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
21
(0.0510.1550.2513
0.3510
0.45160.555)0.35.50
x =
??????
估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-?.
文科数学试题参考答案 第3页（共4页）
20．解：
（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-. 所以直线BM 的方程为112y x =
+或1
12
y x =--.
（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以ABM ABN ∠=∠. 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则120,0x x >>.
由2(2),2y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2240ky y k --=，可知12122
,4y y y y k +==-.
直线BM ，BN 的斜率之和为
121222BM BN y y k k x x +=
+++211212122()
(2)(2)
x y x y y y x x +++=++. ①
将112y x k =
+，222y
x k =+及1212,y y y y +的表达式代入①式分子，可得 121221121224()2()y y k y y x y x y y y k +++++=
88
0k
-+==.
所以0BM BN k k +=，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. 综上，ABM ABN ∠=∠.
21．解：
（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()e x f x a x
'=-.
由题设知，(2)0f '=，所以2
12e a =.
从而2
1()e ln 1
2e x
f x x =
--，211()e 2e x f x x '=-. 当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>. 所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增.
（2）当1
e a ≥时，e ()ln 1e
x f x x --≥.
设e ()ln 1e x g x x =--，则e 1
()e x g x x
'=-.
当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 所以1x =是()g x 的最小值点.
故当0x >时，()(1)0g x g =≥.
因此，当1
e
a ≥时，()0f x ≥.
文科数学试题参考答案 第4页（共4页）
22．解：
（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为
22(1)4x y ++=. （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆.
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线. 记y 轴右边的射线为1l ，
y 轴左边的射线为2l . 由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1
l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.
当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2
2=，故
43k =-或0k =. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =-时，1l 与2C 只有
一个公共点，2l 与2C 有两个公共点.
当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2
2=，故
0k =或43k =
. 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =时，2l 与2C 没有公共点.
综上，所求1C 的方程为4
||23y x =-+.
23．解：
（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,
11,2, 1.
x f x x x x --⎧⎪
=-<<⎨⎪⎩
≤≥ 故不等式()1f x >的解集为1
{|}2x x >.
（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立.
若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤. 综上，a 的取值范围为(0,2].。