二次函数与分段函数

第六讲：分段函数与二次函数

第一部分：分段函数

6． 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝

⎩

⎨⎧

g x ＋x ＋4，x

4

，0]∪(2，＋∞)

1．(2014·山西四校联考)定义在

R

上的函数

f (x )满足f (x )＝

⎩

⎨⎧log 2（8－x ），x ≤0，f （x －1）－f （x －2），x ＞0，则f (3)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－3

2.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，

则f (－2)＋f (log 212)＝( )

A.3

B.6

C.9

D.12

3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩

⎨⎧

e x －1，x ＜1，

x 13

，x ≥1，

则使得f (x )≤2成立的x 的取值范

围是________．(－∞，8]

4．(2014·上海卷)设f (x )＝⎩⎨⎧

（x －a ）2，x ≤0，

x ＋1

x

＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围

为( )

A ．[－1，2]

B ．[－1，0]

C ．[1，2]

D ．[0，2]

5.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，

3＋log a

x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则

实数a 的取值范围是________.(1，2]

6．(2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＜0，

－x 2

，x ≥0.

若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．(－∞，2]

7.(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，

2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1

B.[0，1]

C.⎣⎢⎡⎭

⎪⎫23，＋∞ D.[1，＋∞)

8.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩

‚‚‚≥

①若1a =，则()f x 的最小值为

；1

②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是

．

1

12

a ≤<或2a ≥. 9，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数是 .7.

10．已知函数22

2

(1)

(0)

()4(3)

(0)

x k a x f x x x a x ⎧+-≥=⎨-+-<⎩，其中R a ∈. 若对任意的非零实数1x ，

存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为 A ．0k ≤ B ．8k ≥ C ．08k ≤≤ D ．0k ≤或8k ≥

11．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m

的取值范围是________.(－∞，1] 第二部分：二次函数

1．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．

解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2

－4(a －1)＝9a 2

－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋8

9

＞0恒成立，

即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．

f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15

或a ≥1.

检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.

(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －6

5＝0，

解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠－1

5.

综上所述，a 的取值范围是⎝

⎛

⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．

2．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．则有f (1)＜0，(－2，1)

7． 设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．

(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？

解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2

－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c

3a

，由条件

a >c >0，

得2a >a ＋c ，故a ＋c 3a <2a 3a ＝2

3

<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边，且抛

物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数．

若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，

得c 2－c <0，所以0

则c <0，或a 0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.

因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝

a ＋c

3a

. 而f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋c 3a ＝

－a 2＋c 2－ac 3a <0， 所以函数f (x )在区间⎝

⎛⎭⎪

⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1) 内有两个零点．