2021年数列中不定方程问题的几种解题策略

数列中不定方程问题的几种解题策略欧阳光明（2021.03.07）王海东（江苏省丹阳市第五中学，212300）数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有极其重要的地位．数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的热点，在近年来的高考模拟卷中，这类问题屡见不鲜，本文中的例题也都是近年来大市模考题的改编．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨，以期给同学们的学习带来帮助。

题型一：二元不定方程 双变量的不定方程，在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解，方法较灵活，下面介绍3种常用的方法。

方法 1.因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积，多项式分解为若干个因式的乘积，再由题意分类讨论求解。

题1（2014·浙江卷）已知等差数列{}n a 的公差d ＞0.设{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，3632=⋅S S . (1)求d 及S n ； (2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得65...21=+++++++k m m m m a a a a .解析(1)略(2)由(1)得2,12n S n a n n =-=(n ∈N *)所以65)1)(12(=+-+k k m ，由m ，k ∈N *知1112>+≥-+k k m65151365⨯=⨯=，故⎩⎨⎧=+=-+511312k k m 所以⎩⎨⎧==45k m点评 本题中将不定方程变形为()()135112⨯=+⋅-+k k m ,因为分解方式是唯一的，所以可以得到关于k m ,的二元一次方程组求解。

方法 2.利用整除性质 在二元不定方程中，当其中一个变量很好分离时，可分离变量后利用整除性质解决．题2.设数列{}n b 的通项公式为2121n n b n t -=-+，问：是否存在正整数t ，使得12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由．解析：要使得12,,m b b b 成等差数列，则212m b b b =+ 即：312123121m t t m t -=+++-+ 即：431m t =+- ∵,m t N *∈，∴t 只能取2，3，5 当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =．点评 本题利用t 表示 m 从而由431m t =+-得到14-t 是整数，于是1-t 是4的约数，从而估计出可能的所有取值，再逐一检验即可，当然，本题也可以利用m 表示t 来处理.方法 3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围，再分别求解。

如转化为()()n g m f =型，利用()n g 的上界或下界来估计()m f 的范围，通过解不等式得出m 的范围，再一一验证即可。

题3：已知n n nb 3=,试问是否存在正整数q p , (其中q p <<1)，使q p b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解析：假设存在正整数数组(p ，q )，使成等比数列，则21333p q p q =+．2p ≥时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp }(2p ≥)为递减数列， 2113333p q p q =+>，且数列{23p p }(2p ≥)为递减数列， 当2p =时，241933p p =>成立；当3p ≥时，2232127933p p ⨯≤=<， 因此，由2133p p >得，2p =，此时3q = 点评：本题利用等式右边q q 331+的上界31来估算左边p p 32的范围, 解2133p p >时，我们是构造函数()p p p f 32=再由其单调性得出整数解。

题型二 ：三元不定方程 一个方程中三个未知量，在高中通常判定此类不定方程是否有解，通常都是假设存在满足题意的三个变量，再用反证法证明不成立。

反证法中如何找出矛盾，以下两种方法比较常用。

1.等式两边的奇偶性分析法题4.已知1(21)4n n a n -=+，是否存在互不相同的正整数,,r s t ，使得,,r s t a a a 成等比数列？若存在，给出,,r s t 满足的条件；若不存在，说明理由。

解析：若存在,,r s t a a a 成等比数列，则22(21)(21)4(21)r t s r t s +-++=+ 由奇偶性知右边为奇数，当且仅当20r t s +-=时，左边也为偶数， 所以2(21)(21)(1)r t r t ++=++，即r t =，这与r t ≠矛盾．故不存在互不相同的正整数,,r s t ，使得,,r s t a a a 成等比数列点评：本题中等式22(21)(21)4(21)r t s r t s +-++=+要是成立，左右两边的奇偶性要相同，右边为奇数，左边只有当等式20r t s +-=才为奇数，所以用20r t s +-=进一步代入进行求解。

题5.已知n n a 2=, 证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列。

解析：假设}{n a 中存在三项,,r s t a a a ()t s r <<构成等差数列， 则t r s a a a +=2,t r s 2222+=⋅,等式两边同除以r 2,得r t r s --++=2121 因为等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列题6.已知n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=32, 证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列。

解析：假设}{n a 中存在三项,,r s t a a a ()t s r <<构成等差数列，则t r s a a a +=2,t r s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅3232322,等式两边同乘以t 3,得t r t r s t s 232321+⋅=⋅--+，等式两边再同除以r 2,得r t r t s t r s ---++=⋅2332-1 因为等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列点评 题5和题6都是用反证法证明不存在满足题意的三项，考试中常见此题型，放在一起便于比较，题5中化简t r s 2222+=⋅时,等式两边同除以r 2，t s 2,2中的最小值，题6中化简t r s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅3232322时，等式两边同乘以t s r 3,3,3中的最大值，将分数整数化，然后利用奇偶性寻找矛盾．二．等式两边是有理数或无理数分析题7.已知2+=n b n ,求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数例。

解析：假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，为互不相等的正整数）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r +=++．p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，．与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．点评 在反证法中利用有理数性质产生矛盾．若02≠--r p q ,则等式化为rp q q pr ---=222，等式左边为无理数，右边为有理数，矛盾。

题8（选修2-2教材P84第9题）证明：13不可能是一个等差数列中的三项．解析：假设1，，3是某一公差为d 的等差数列的三项，则有,12md +=nd +=13）（*,N n m ∈。

由上两式消去d ，得n n m 22=+，易见上式左边为有理数，右边为无理数，故等式不能成立。

所以1，，3不可能是等差数列的三项。

点评：书本中的每个习题都要重视，是命题的来源，下面的这个高考题中就可以找到题7，题8的影子。

题9（2008江苏第19题改编）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．解析：假设对于某个正整数n ，存在一个公差为d 的n 项等差数列n b b b ,......,21，其中111,,x y z b b b +++（01x y z n ≤<<≤-）为任意三项成等比数列，则2111y x z b b b +++=⋅，即2111()()()b yd b xd b zd +=+⋅+，化简得221()(2)y xz d x z y b d -=+- （*）由10b d ≠知，2y xz -与2x z y +-同时为0或同时不为0当2y xz -与2x z y +-同时为0时，有x y z ==与题设矛盾．故2y xz -与2x z y +-同时不为0，所以由（*）得212b y xz d x z y-=+- 因为01x y z n ≤<<≤-，且x 、y 、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1b d 为有理数．于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要1b d 为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．如题7中的数列2+=n b n 就是满足题意的数列。

上面给出了数列中不定方程的常见解题策略，这些策略有一个共同的特征，就是对等式两边适当的变形选择等式一边的特征进行解题，如整除的性质，范围上界或下界，因数分解的形式，是否为有理数，奇偶性等。

数列与不定方程(函数或不等式)的交汇使得试题变化多样，精彩纷呈，解法也有很大的灵活性．以上仅列举了几种常用的探求方法，具体问题还需具体分析，根据题设条件灵活处理．。