角平分线及中垂线(学案)
角平分线定理和中垂线定理
课时训练
1.下列命题中，是真命题的是( ) C A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等 D.如果两个圆相交，那么这两个圆有三条公切线 2.△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，在△ABC内 有一点P到各边的距离相等，则这个距离是( B ) A.1 B3. C.6 D.无法求出
6.如图4-4-11，△ABC中，DE是中位线，∠B的平分线 交DE于F，则△ABF是( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形或钝角
4.如图4-4-5所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15° ，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，DB=10cm， 则AC=( ) C A.6 B.8 C.5 D.10
5.如图4-4-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂 直平分线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，则∠B= 36° .
【例 4 】 已知：如图 4-4-10(1) 所示， BD、CE 分别是 △ ABC 的外角平分线，过点 A 作 AF⊥BD，AG⊥CE，垂 足分别为 F、G. 连接 FG，延长 AF、AG、与直线 BC 相交， 易证FG=1/2(AB+BC+BC). (1)若BD· CE分别是△ABC的内角平分线(如图4-4-10(2) 所示). (2)BD 为△ ABC 的内角平分线， CE 为△ ABC 的外角平 分线(如图4-4-10(3)所示)，则在此 两种情况下，线段 FG 与△ ABC 三边又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.
典型例题解析
【例 1 】 如图 4-4-7 所示，在△ ABC 中，∠ A=90°， AB=AC，BD是∠ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线 段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性 ( 证明 你的猜想需用题中所有的条件)
初中数学三角形(二)三角形的角平分线和中垂线
三角形的角平分线和中垂线姓名时间【教学目标】1．要求学生掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这四个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线和中垂线的性质定理和判定定理的证明3．能够作已知角的角平分线，和已知线段的中垂线，并会熟练地写出已知、求作和作法.【教学重点】角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理。
【教学难点】掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理并进行证明。
【本节知识点】1、垂直平分线性质及判定定理判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2、角平分线性质及判定定理判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.定理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等.3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线.【经典练习】三角形的角平分线的性质及定理一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=___度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.2.已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长.三角形的中垂线的性质及定理一、判断题1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图（3），PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线（1）（2）（3）二、填空题1.如右上图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2.如左下图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.图6EDCA3.如右上图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ .4.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.5.如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.6.如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.7.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在_____上.（1）（2）（3）8.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是_________的垂直平分线.三、选择题1.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如左下图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对3.如右上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm四、解答题如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF.求证：OP 垂直平分EF. 一题多变例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理
人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理课 题：角平分线和线段中垂线定理【知识点精讲】一、两个重要定理：➢ 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
几何语言描述：如图：∵MN 垂直平分线段AB ∴ P A =PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言描述：如图：∵P A =PB ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上➢角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言描述：如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD =PE逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
几何语言描述：如图： ∵PD =PE ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴OP 平分∠AOB二、证明线段相等的方法：AABO1、线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；2、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等3、等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；4、线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；5、角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三、证明角相等的方法：1、角在同一三角形中，通常证明等边对等角；2、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等3、等腰三角形底边上的高或底边中线平分顶角；4、角平分线性质定理逆定理；5、两直线平行（同位角，内错角）6、同角的余角相等；7、等角的余角相等；8、同角的补角相等；9、等角的补角相等； 10、三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和．【典型例题及相似题练习】例题分析例1：尺规作图作角的平分线按照步骤，完成作图：（要求保留作图痕迹） 已知AOB ∠.求作：AOB ∠的平分线 作法：① 以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于C ；② 画射线OC ，射线OC 即为所求，人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理BAE DCFBO例2：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA, PE ⊥ OB ，垂足分别是D ，E. PD=5，求PE 的长度.例3：已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC 证明：例4：在△ABC 中，∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3.求BD 的长。
初中数学：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线
一. 教学内容：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线二. 教学内容1. 三角形的角平分线和中线2. 三角形的高线和中垂线3. 角平分线性质定理、中垂线性质定理三. 教学目标和要求1. 理解三角形角平分线、中线、高线和中垂线的概念，并能画出相应的线。
2. 掌握三角形角平分线、中线、高线及中垂线的一些特征，并能在解题中灵活应用。
四. 教学重点、难点1. 重点：角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用2. 难点：三角形中线在面积方面的应用，角平分线性质定理、中垂线性质定理的运用是本周难点。
五. 知识要点1. 角平分线性质定理2. 中垂线性质定理3. 三角形中的三条角平分线4. 三角形中的三条中线5. 三角形中的三条高线6. 三角形中三边上的中垂线【典型例题】例1. 如图，△ABC的两条角平分线AD，CE相交于P，PM⊥BC于M，PN ⊥AB于N，则PN＝PM，请说明理由。
解：过P作PF⊥AC，垂足为F∵AD平分∠BAC，PN⊥AB，PF⊥AC∴PN＝PF （为什么）∵CE平分∠ACB，PM⊥BC，PF⊥AC∴PM＝PF∴PM＝PN （为什么）例2. 如图，BP、CP分别为△ABC的两个外角的平分线，则点P到△ABC三边的距离相等吗？若相等，请说明理由。
解析：略例3. 已知△ABC ，要把它分成面积相等的6块，且只能画三条线，应怎样分？并说明分法的正确性。
解：分法：分别画△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，交于P 点，所分得的6块面积相等。
理由：∵AD 为中线∴BD ＝CD ∴S △PBD ＝S △PCD 设S △PBD ＝S △PCD ＝a同理：可设S △PCE ＝S △PEA ＝b ；S △PAF ＝S △PBF ＝c ∵AD 为△ABC 的中线 ∴S △ABD ＝S △ACD 即a+2c ＝a+2b ∴c ＝b同理可得a ＝b ∴a ＝b ＝c∴△ABC 三条中线分得的6块三角形面积相等。
垂直平分线与角平分线精讲教案
课题:线段的垂直平分线与角平分线（1）知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC＝BC，则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线,,i j k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：如图所示，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
人教版数学八年级上册《第一课时 角平分线》教案
人教版数学八年级上册《第一课时角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是初中数学八年级上册的教学内容，主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
本节课的内容对于学生理解角的内部结构，以及运用角平分线解决实际问题具有重要意义。
通过本节课的学习，学生将能够掌握角平分线的作法，理解角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、角的测量等知识，对于角的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于角平分线的定义和性质可能较为陌生，需要通过实例和操作来理解和掌握。
此外，学生可能对于角平分线的作法存在一定的困难，需要通过实际操作和讲解来掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解角平分线的定义和性质，掌握角平分线的作法，并能运用角平分线解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义和性质，角平分线的作法。
2.难点：角平分线的性质的证明和运用。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，激发学生的思考和探究欲望。
2.演示法：通过实物演示和动画演示，帮助学生直观地理解角平分线的性质和作法。
3.实践法：通过学生动手操作，培养学生的实践能力和创新能力。
4.讨论法：通过小组讨论，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教具：角平分线的模型、直尺、圆规、三角板等。
2.教学多媒体：角平分线的动画演示、实例图片等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出角平分线的话题，激发学生的兴趣。
例如：在一条直线上，如何找到一个点，使得这个点到直线上两个点的距离相等？2.呈现（10分钟）介绍角平分线的定义和性质。
通过实物演示和动画演示，帮助学生直观地理解角平分线的性质和作法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线的性质和作法解决一些实际问题。
线段的中垂线和角平分线课件
中垂线与线段垂直，且中垂线 上的角为直角。
中垂线上的任意一点到线段两 端点的连线与中垂线垂直。
中垂线的应用
01
在几何作图中，中垂线 用于确定对称图形和等
分线段。
02
在实际生活中，中垂线 可用于建筑、工程和设 计等领域，例如桥梁、 道路和管道的铺设等。
03
在数学问题中，中垂线 是解决等腰三角形、菱 形和正方形等问题的关
在几何证明中，经常使用角平分线的性质来证明某些结论。
在实际生活中，角平分线可以用于设计、建筑、工程等领域 ，例如道路、桥梁、建筑物的布局和设计。
04
线段的中垂线和角平分线的 比较
定义的比较
总结词
线段的中垂线和角平分线的定义不同 ，中垂线是垂直平分线段的直线，而 角平分线是将一个角平分的射线。
详细描述
键工具。
03 角平分线
角平分线的定义
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角平分的射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 相对边上的两个点与角的顶点构 成三个相等的角。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离相等 。
角平分线将相对边上的任意一点与角 的顶点的连线分为两等份。
角平分线的应用
线段的中垂线和角平分线p• 引言 • 线段的中垂线 • 角平分线 • 线段的中垂线和角平分线的比较 • 练习与问题解答
01 引言
主题介绍
线段的中垂线
线段的中垂线是垂直平分线段的 直线，它将线段分为两个相等的 部分。
角平分线
角平分线是将一个角分为两个相 等的角的射线，它与相对边相交 于一点。
06
解答
中垂线上的任意一点到线段两端点的距离相等 ；角平分线上的任意一点到角的两边的距离相 等。
作角平分线,过直线外一点作垂线 教学设计
课题：探索三角形全等的条件---尺规作图一、教学目标利用尺规作图作线段、角、角平分线、线段垂直平分线，了解作图的方法、步骤，并能掌握基本的作图语言.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力，体会类比和化归的数学思想.激情投入，全力以赴，让学生认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，建立学习数学的自信心.二、学情分析学生之前已经学习了线段的度量方法，利用度量法和叠合法比较线段的大小关系：已经掌握了度量法即是测量线段两个端点之间的距离：叠合法即为使用圆规将一条线段叠放在另一条线段上，在比较另一个端点的位置。
学生们已经掌握了使用尺规作图的方法作一条线段等于已知线段，甚至可以使用尺规作图作线段的和差倍。
对于角相关知识，在小学学生已经掌握了利用量角器测量角的度数，利用量角器画一个角等于已知角，但是量角器画角的本质是什么，尺规作图画一个角等于已知角量角器画角之间有何本质上的联系？学生是模糊不清的，所以，学生通过两个数学实验的折纸活动，折出角平分线和线段垂直平分线，再从尺规作图的角度作角平分线、线段的垂直平分线，明确数学知识的几何本质。
学生已经学习了三角形全等的条件是SAS、ASA、AAS、SSS，而前面四个判定的研究均利用了“尺规作图”，如何促使学生充分理解三角形全等的判定方法和尺规作图的本质联系，是学生急需要解决的问题。
三、重点难点类比尺规线段作图法作线段、角，通过数学实验活动折角平分线、角平分线；理解尺规作图与常规作图的本质联系，探索尺规作图与全等三角形的本质联系。
四、教材分析《义务教育数学课程标准》（2011年版）课程内容部分对尺规作图是这样描述的：（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。
（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。
角平分线教学教案
课题：1.4.1角平分线学习目标：1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．教学过程一、情境引入如图，要在S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）二、探究新知角平分线的性质（1）实验：OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点1.操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：猜想：（2）验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P 在OC 上，PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.（3）性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：应用格式：例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.DS例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_______.（2）求△APB的面积.（3）求∆PDB的周长.角平分线的判定思考：你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?你能证明它吗?（1）证明猜想已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.（2）判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.应用所具备的条件：应用格式：例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．例4如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)三、当堂练习1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，则∠EBF=度，BE=.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？三、课本例题学习四、五、随堂练习课本第29页1、2题。
人教版数学七年级上册《角平分线的性质》教学设计
人教版数学七年级上册《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册《角平分线的性质》是学生在学习了角的概念、垂线的性质等知识后，进一步研究角平分线的性质。
通过本节课的学习，学生能够掌握角平分线的定义、性质和作法，并为后续学习三角形内心的性质和线段的垂直平分线打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对角的概念和垂线的性质有一定的了解。
但是，对于角平分线的性质和作法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动形象的讲解和丰富的实例，帮助学生理解和掌握角平分线的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够准确地描述角平分线的定义和性质，并会运用角平分线的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养自己的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验成功的喜悦，增强对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义和性质。
2.难点：角平分线的作法和在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和模型，引发学生的兴趣，引导学生主动探究角平分线的性质。
2.启发式教学法：教师提问引导学生思考，激发学生的思维，培养学生的创新能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件等。
2.学具：每人一套几何工具，包括三角板、直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入本节课的主题——角平分线。
例如，教师可以提问：“在修筑公路时，如何确定两个交叉路口之间的距离？”引导学生思考角平分线的作用。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的定义和性质，引导学生初步理解角平分线的概念。
同时，教师可以给出一些实例，让学生观察和思考，进一步加深对角平分线性质的理解。
沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》学案
角的平分线【学时安排】3学时【第一学时】【学习目标】1．归纳总结已学的几种尺规作图。
2．会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线，证明作图的正确性。
【学习重难点】会作角平分线以及过一点作已知直线的垂线，证明作图的正确性。
【学习过程】一、学前准备：1．角平分线是指。
2．已学过的基本作图有哪些？试完成以下题目（不写作法保留作图痕迹）。
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作线段的垂直平分线；3．请你尝试用折叠的方法，能否找出角的平分线？二、合作探究认真阅读教材内容，完成下列问题（一）角是对称图形，是它的对称轴。
（二）探究学习1．学习教材内容作角平分线。
2．根据作图证明OP是∠AOB的平分线。
提示：这里可连接PM、PO、PN，应用全等三角形的判定和性质，以及角平分线的定义去证明。
思考：①当∠ABC的两边成一条直线时，这时的角平分线与直线AB的关系是怎样的？②平面内的点与直线的位置关系有哪几种？（三）例题解析1．过一点作已知直线的垂线。
（阅读教材内容，自己尝试作一下。
）①经过已知直线上的一点作这条直线的垂线；②经过已知直线外的一点作这条直线的垂线2．已知一直角边和斜边作直角三角形。
四、学习检测1．作△ABC的三个内角的平分线。
2．已知底边及底边上的高，作等腰三角形。
【第二学时】【学习目标】1．理解角平分线的性质定理。
2．能运用角平分线的性质定理去解决问题。
【学习重难点】1．理解角平分线的性质定理。
2．能运用角平分线的性质定理去解决问题。
【学习过程】一、学前准备1．复习旧知：叫做角平分线；2．怎样用圆规和直尺作角平分线？3．角是对称图形，是它的对称轴。
二、合作探究（一）操作：1．作∠AOB的平分线OM，在OM上取点P，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，C、D是垂足。
2．量一量：PC、PD的长分别是多少？你有什么发现？3．猜一猜：角平分线上的点具有什么性质？（二）根据你猜想的结论，写出这个问题的已知、求证、证明。
《三角形的高、中线、角平分线》优秀教案
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AB=2 ，BD=,AE=
1
.
2
5．如图 2， AD ， BE， CF 是 Δ ABC地三条角平分线，则∠ 1= ,
1
∠ 3=
,
2
∠ ACB=2.
A
F
E
A F 12 E
B
D
C
B
3 D
4
C
图1
图2
6．如图
3，
1
BD=
BC，则
BC边上地中线为
______，△ ABD地面积 =地面积．
2
图 3图 4 7．如图 4，△ ABC中，高 CD、 BE、AF 相交于点 O，则△ BOC?地三条高分别为线段 . 8．如图 5，在△ ABC中， D、 E 分别是 BC、AD地中点， S△ABC =4cm2，则 S△ABE = .
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角平分线和中垂线
角平分线和中垂线类型1：角平分线【例题1】如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为__________．【答案】6．（提示：）【例题2】如图，已知点E为矩形ABCD的边CB延长线上一点，且D到直线AE的距离DF＝DC，下列结论：①∠AEB＝∠EDC；②AE＝BC，③AF＝AB；④若BC，则点F在线段BC的垂直平分线上，其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B．（提示：②④正确．∵DF＝DC，DF⊥EF，DC⊥BC，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴AE＝AD＝BC，∴②正确；设DC＝1，BCFD＝1，ADRt△F AD中，AF＝1，∴AF＝FD，∴点F在线段BC的垂直平分线上，∴④正确）【例题3】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，且∠MDN＋∠BAC＝180°．若AD＝6，∠BAC＝60°，则四边形AMDN的面积为_________．【答案】（提示：作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED＝∠AFD＝90°，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF；∵∠MDN＋∠BAC＝180°，∴∠AMD＋∠AND＝180°，又∵∠DNF＋∠AND＝180°∴∠EMD＝∠FND，又∵∠DEM＝∠DFN，DE＝DF，∴△DEM≌△DFN，∴S△DEM＝S△DFN，∴S四边形AMDN＝S四边形AEDF，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠DAF＝30°，∴Rt△ADF中，DF＝3，AF＝，∴S△ADF＝12AF×DF＝12×3，∴S四边形AMDN＝S四边形A EDF＝2×S△ADF＝ABCGFPQQPGABCF MABCDEF32FEDCBA1AB CDNM MNFEDCBA【例题4】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝√6，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是__________．（提示：过点P作PE⊥AB于点E，当C、P、E三点共线时，PE＋PC＝CE最小）【例题5】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，且∠BCD＝12∠A，若△BCD的面积是20，则CD的长为____________．【答案】．（提示：如图，作AH⊥CD于H，BM⊥CD交CD的延长线于M．∵AC＝AD，AH⊥CD，∴∠CAH＝∠DAH，CH＝DH，∵∠CAH＋∠ACH＝90°，∠BCD＝12∠CAD＝∠CAH，∴∠BCD＋∠ACH＝90°，∴∠ACB＝90°，∵∠AHC＝∠M＝90°，∴∠ACH＋∠BCM＝90°，∠BCM＋∠CBM＝90°，∴∠ACH＝∠CBM，∵AC＝BC，∴△AHC≌△CMB（AAS），∴CH＝BM，∴CH＝DH＝BM，设BM＝CH＝DH＝m，∵S△BCD＝12CD·BM，∴12·2m·m＝20，∴m＝，∴CD＝2m＝4）【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，点D是BC边上的点，CDACD 沿直线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是_________．【答案】3PNDCBA ABCDEFNPDCBAA BCDMHEDC BAP【例题7】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形；②S四边形DFBE＝12S△ACB；③AE；④AC＝8DG；其中正确的是_____________．【答案】①②③④．（提示：根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边三角形的判定定理，即可判断①；根据三角形的中线等分三角形的面积，即可判断②；先推出BF＝AE，结合含30°角的直角三角形的性质，即可判断③；根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可判断④）【例题8】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A 作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是_____________．【答案】＋8．（提示：如图，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DF＝CD＝2．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝2，BD＝BC＝CD＋BD＝2＋AC＝BC＝2＋AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD＝ADBE的面积＝BD•AC＝2＋2）＝8）【例题9】如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为____________．【答案】6－（提示：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点E，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF ＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF ＝BE＝x，BD＝DF＝2－x，在Rt△BED中，DE2＋BE2＝BD2，∴x2＋x2＝（2－x）2，解得x1＝－2－2（负值舍去），x2＝－2＋，∴△DEF的面积为（－2＋2＋）÷2＝6－A BCDEFGABCDEFEDC BAFEDC BA【例题10】如图所示，△ABC 的两条外角平分线AP 、CP 相交于点P ，PH ⊥AC 于H ．若∠ABC ＝60°，则下面的结论：①∠ABP ＝30°；②∠APC ＝60°；③PB ＝2PH ；④∠APH ＝∠BPC ，其中正确结论的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D ．（提示：如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．∵∠PAH ＝∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，∴PN ＝PH ，同理PM ＝PH ，∴PN ＝PM ，∴PB 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝12∠ABC ＝30°，故①正确，∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中，PA ＝PA ，PN ＝PH ，∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，∴∠APN ＝∠APH ，∠CPM ＝∠CPH ，∵∠MPN ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠APC ＝12∠MPN ＝60°，故②正确，在Rt △PBN 中，∵∠PBN ＝30°，∴PB ＝2PN ＝2PH ，故③正确，∵∠BPN ＝∠CPA ＝60°，∴∠CPB ＝∠APN ＝∠APH ，故④正确）【例题11】如图，BH 是△ABC 的角平分线，BA ＝BC ＝10，AC ＝12，P ，D 分别是BH 和AB 上的任意一点，连接PA ，PC ，PD ，CD ．给出下列结论：①PA ＝PC ；②PA ＋PD ≥CD ；③PA ＋PD 的最小值是485；④若PA 平分∠BAC ，则△APH 的面积为12．其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④ 【答案】A ．（提示：∵BA ＝BC ，BH 是角平分线，∴BH ⊥AC ，AH ＝CH ，∴PA ＝PC ，故①正确；∴PA ＋PD ＝PD ＋PC ≥CD ，故②正确；根据垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，C ，P ，D 共线时，PA ＋PD 的值最小，最小值为CD ，在Rt △ABH 中，AB ＝10，AH ＝6，BH ＝8，由等积法可知CD ＝4.8，∴PA ＋PD 的最小值为4.8，故③正确；如图，过点P 作PT ⊥AB 于T ．在△PAT 和△PAH 中，∠PTA ＝∠PHA ＝90°，∠PAT ＝∠PAH ，PA ＝PA ，∴△PAT ≌△PAH （AAS ），∴AT ＝AH ＝6，PT ＝PH ，设PT ＝PH ＝x ，在Rt △PTB 中，则有（8－x ）2＝x 2＋42，∴x ＝3，∴S △APH ＝＝9，故④错误）类型2：垂直平分线【例题12】如图，△ABC 的面积为9cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为__________．PH A BCD EEDCBA H MP NHA BCDPPDCBAHT【答案】4.5cm 2．（提示：延长AP 交BC 于点D ，∵BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP ，∴AP ＝PD ，∴S △ABP ＝S △DBP ，S △APC ＝S △DPC ，∴S △BPC ＝9÷2＝4.5cm 2）【例题13】如图，已知在△ABC 中，BC ＝6，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点M 、N ，若MN ＝2，则△AMN 的周长是__________．【答案】10．（提示：依题意AN ＝CN ，AM ＝BM ，∴AM ＋AN ＝BC ＋MN ＝6＋2＝8，△AMN 的周长＝8＋2＝10）【例题14】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 、DE ，下列结论：①△AEF ≌△DEF ；②CF ＝AF －CD ；③DE ∥AC ；④△AEG 为等边三角形，其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．（提示：①②③正确．∵EF 垂直平分AD ，∴△AEF ≌△DEF （SSS ），∴①正确；∵△AEF ≌△DEF ，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴DE ∥AC ，∴③正确；∵EF 垂直平分AD ，∴AF ＝DF ，∴CF ＝AF －CD ，∴②正确）类型3：解答题【例题15】如图，△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，∠ACB ＝100°，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，过点E 作EH ⊥BD ，且∠CEH ＝50°． （1）求∠ACE 的度数；（2）求证：AE 平分∠CAE ；（3）若AC ＋CD ＝14，AB ＝8.5，且S △ACD ＝21，求△ABE 的面积．【答案】（1）∠ACE ＝40°；（2）略；（3）S △ABE ＝514． （提示：（3）S △ACD ＝S △ACE ＋S △CED ）A BCD EMN ABCDEFG321A BCDEFGHFED C BAABC DE FH。
专题04 解三角形中的中线、垂线、角平分线(解析版)
专题04 解三角形中的中线、垂线、角平分线常见考点考点一 中线问题典例1．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos C c B +=，且23C π=． （1）求A 的大小；（2）若ABC 的周长为8+AC 边上中线BD 的长度． 【答案】 （1）6A π=（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的周长可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）sin cos C c B +=，sin sin cos B C C B C +=， 因为()0,,sin 0C C π∈≠，cos B B +=sin 6B π⎛⎫+=⎪⎝⎭ 因为23C π=，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以63B ππ+=，即6B π=，所以6A π=（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，故2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，代入数据解得：=AB ，因为ABC 的周长为8+28x +=+4x =，所以4,BC AC AB ===122DC AC ==, 在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为变式1-1．已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos C c B +，且2π3C =. （1）求A 的大小；（2）若ABC 的面积为AC 边上中线BD 的长度. 【答案】 （1）6π.（2） 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的面积公式可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）解：由正弦定理得2sin b R B =，2sin c R C =，R 为外接圆半径且 0R ≠sin cos C c B +，2sin sin 2sin sin 2sin R B C R B B R C +=，因为(0,)C π∈，所以sin 0C >cos B B +=2(sin cos cos sin )66B B ππ+所以sin()6B π+=2,3C A B C ππ=++=，则662B πππ<+<，所以63B ππ+=，得6B π=，所以6A B C ππ=--=；（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，则2211sin 2224ABCSab C x x ==⨯⨯==解得4x =，则12,42DC AC BC ===，在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为变式1-2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos()cos sin cos 0c B A c C A C -++=.（1）求C ；（2）若4c =，求AB 的中线CD 长度的最小值. 【答案】 （1）23C π=（2【分析】（1）利用正弦定理可得[cos()cos()]sin sin cos B A A B C B A C --+=-，结合三角恒等变换可得结果；（2）由题意可得22224402222CD b CD a CD CD+-+-+=⨯⨯⨯⨯，即22228CD a b =+-，结合余弦定理及均值不等式可得结果. （1）因为cos()cos sin cos 0c B A c C A C -++=，所以cos()cos sin cos c B A c C A C -+=-，即[cos()cos()]sin sin cos B A A B C B A C --+=-，整理得2sin sin sin sin cos C A B B A C =-，因为A ，B 为三角形内角，所以0A π<<，0B π<<，所以sin 0A ≠，sin 0B ≠，所以sin C C =，即tan C = 又因为0C π<<，所以23C π=； （2）因为ADC BDC π∠+∠=，所以22224402222CD b CD a CD CD+-+-+=⨯⨯⨯⨯， 整理得22228CD a b =+-，在三角形ABC 中，由余弦定理得22222242cos3a b ab a b ab π=+-=++. 因为222a b ab +≤，当且仅当a b =时取等号，所以()()22222222131622a b ab a b a b a b =++≤+++=+，即22323a b +≥，所以22232828833CD a b =+-≥-=，即CD ≥，即CD变式1-3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝a cos C sin A ，点M 是BC 的中点. （1）求A 的值；（2）若a AM 长度的最大值. 【答案】（1）3π；（2）32【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简b ＝a cos C sin A 即得解； （2）由余弦定理和基本不等式得b 2＋c 2≤6，由已知得AM →＝2AB AC →→+，平方后利用基本不等式即得解. （1）解：因为b ＝a cos C sin A ，根据正弦定理得sin B ＝sin A cos C C sin A ，所以sin （A ＋C ）＝sin A cos C C sin A ，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C C sin A ，所以cos A sin C C sin A .因为sin C ≠0，所以tan A又0＜A ＜π，所以A ＝3π.（2）解：在ABC 中，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝3.因为bc ≤222b c +，当且仅当b ＝c 时取等号，所以b 2＋c 2≤6.因为AM 是BC 边上的中线，所以AM →＝2AB AC →→+，两边平方得|AM →|2＝14（b 2＋c 2＋bc ）≤142222()2b c b c +++＝14×32×（b 2＋c 2）＝94，当且仅当b ＝c AM 的长度取得最大值32.考点二 垂线问题典例2．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c BC b-=． （1）求角B 的大小；（2）若边AB 上的高为4c ，求cos C ． 【答案】 （1）4B π=；（2）cos C = 【分析】（1）利用余弦定理可求得tan 1B =，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出a =，利用余弦定理可得出b =，再代入sin cos a c B C b -=即可得解. （1）解：由余弦定理，得222sin 2a b c a c B ab b+--=， 所以，()2222sin a b c a a c B +-=-，所以，2222sin b a c ac B =+-，又因为2222cos b a c ac B =+-，所以，sin cos B B =，则tan 1B =，()0,B π∈，因此，4B π=.（2）解：因为ABC的面积21sin 28c S ac B ===，则a =，由余弦定理，得22222252cos 28b a c ac B c c c ⎫=+-=+-⨯=⎪⎪⎝⎭，所以，b ，所以，sin cos a c B C b -== 变式2-1．在△ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos +=ac B b C A. （1）求角A .（2）若2,3b c ==，求a 边上的高AH . 【答案】 （1）3A π=（2）7【分析】（1）根据正弦定理边化角得sin cos sin()2A A B C ⋅+=，进而得1cos 2A =，故3A π=； （2）由余弦定理得a =. （1）解：由题知，cos (cos cos )2aA cB bC ⋅+⋅=， 由正弦定理知，sin cos (sin cos sin cos )2AA CB BC ⋅⋅+=， 即sin cos sin()2AA B C ⋅+=. 又B C A +=π-，且sin 0A ≠. 所以1cos 2A =， 由于()0,A π∈. 所以3A π=.（2）解：由余弦定理得：2222cos 4967a b c bc A =+-⋅=+-=，解得a =又11sin 22ABC S bc A a AH ==⋅△，2,3b c ==，所以23AH ⨯==变式2-2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c <<，三角形三边上的高之比为2:3:4. （1）求cos C 的值；（2）若E 为边AC 上一点，30CEB ∠=︒，3BC =，求BE 的长. 【答案】 （1）1124-（2【分析】()1由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =，根据123111222ABC S ah bh ch ===△，得出432a b c ==，并利用余弦定理求出cos C 的值； ()2利用()1中cos C 的值求出sin C 的值，进而利用正弦定理求出BE 的长.（1）解：由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =. 又因为123111222ABC S ah bh ch ===△，则432a b c ==. 设43212a b c x ===，则3a x =，4b x ，6c x =. 在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a b c C ba+-=222291636112424x x x x +-==-. （2） 解：将11cos 24C =-代入22sin cos 1C C +=，得2223513sin 1cos 24C C ⨯=-=，又()0,C π∈，则sin C ==. 在EBC 中，由正弦定理得sin sin BC BECEB C=∠，则6BE ==变式2-3．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边c 上的高为2cos ,ab Cab c= （1）求cos C ；（2）若ABC 的周长为4，求边c 的长. 【答案】（1（2 【分析】（1）利用等面积法，结合三角形的面积公式以及同角三角函数关系，即可容易求得； （2）由余弦定理，结合已知条件，即可容易求得. （1） 由12c ⨯2cos ab C c 1sin 2ab C =⋅，可得tan 2C =，故0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又22sin 2cos ,sin cos 1C C C C =+=，解得：cos C =，又0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos C = （2）若ABC 的周长为4，即可得：4a b c ++=，又ab()22222222a b ab c a b c ab ab +--+-===解得：c =考点三 角平分线问题典例3．在①πsin sin 3a Bb A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+sinsin 2B Ca B +=三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足___________. （1）求角A ；（2）若A 的角平分线AD 长为1，且6b c +=，求sin sin B C 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1）2π3A = （2）320【分析】（1）选①，先用正弦定理，再求解角；选②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选③，先用正弦定理、诱导公式、二倍角公式，再根据特殊三角函数值求解. （2）由面积公式得bc b c =+，再用余弦定理得a =，再由2sin sin sin a b cR A B C===转化计算即可求解. （1）选①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得，πsin sin sin sin 3A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.即πsin sin 3A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π3A A =-（舍）或ππ3A A +-= 所以2π3A =；选②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+得，()()()a b a b b c c +-=+ 即222b c a bc +-=-由2221cos 22b c a A bc +-==-， 又()0,πA ∈，所以2π3A =；选③sinsin 2B C a B +=sin 2B CA +=2sin cos 222A AA =，因为cos02A ≠，所以sin 2A 又()0,πA ∈，所以2π3A =.（2）由ABD ACD ABC S S S +=△△△)b c +，即6bc b c =+=，由余弦定理，()22222cos 36630a b c bc A b c bc =+-=+-=-=. 解得a =由正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C==== 263sin sin 44020bc B C R ⋅===. 所以sin sin B C 的值为320.变式3-1．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 （1）若1cos 4A =，求BDC 的面积; （2）若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】（1 （2）6 【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =. （1）解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得sin A 由正弦定理可得sin sin BD AB A ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠所以1sin sin 2ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以sin sin CDB ADB ∠=∠=， 因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故7cos 8CDB ∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以11sin 6222BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯=（2）解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（ 在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.变式3-2．在△ABC 中，点D 在边BC 上，AD 为∠A 的角平分线，AC AD ==2CD =. （1）求sin BAC ∠的值； （2）求边AB 的长. 【答案】 （1）2425（2【分析】（1）先利用余弦定理可求cos CAD ∠，再利用同角的三角函数基本关系式和倍角公式可求sin BAC ∠. （2）利用BAC DAC DAB S S S =+△△△可得关于AB 的方程，从而可求边AB 的长. （1）在ACD △中，由余弦定理可得164cos 205CAD ∠===，而CAD ∠为三角形内角，故3sin 5CAD ∠=，因为AD 为∠A 的角平分线，故24sin 2sin cos 25BAC CAD CAD ∠=∠∠=. （2）因为BAC DAC DAB S S S =+△△△，所以111sin sin sin 222AC AD CAD AB AD BAD AB AC BAC ⨯⨯∠+⨯⨯∠=⨯⨯∠，313124525225AB AB +=，解得AB =变式3-3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. （1）求角C 的大小；（2）设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值. 【答案】 （1）2π3； （2） 【分析】（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案； （2）在ACD △和BCD △中，分别运用正弦定理，进而求出c =ABC 中再次运用正弦定理得到1sin 1sin A B⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案. （1）根据题意，由正弦定理可知：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A ++=，则()()2sin cos sin 02sin cos sin 2sin cos sin 0B C A C B C B B C B π++=⇒+-=+=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，则1cos 2C =-，而0C π<<，于是23C π=. （2）由（1）可知，3ACD BCD π∠=∠=，在ABC 中，设(0)AD m m c =<<，则||BD c m =-，在ACD △中，由正弦定理得：2sin sin3m m A π=⇒=在BCD △中，由正弦定理得：2sin sin3c m c m c m B π-=⇒-⇒=所以c =+在ABC中，由正弦定理得：1sin 1sin sin sin sin sin Aa b a b A B A B B⎧=⎪⎪==⇒==⎨⎪⎪⎩，所以1111122c c a b a b ⎛⎫==+⇒+= ⎪⎝⎭.由基本不等式可得：111162ab ab+=≥≥，当且仅当4a b ==时取“=”.于是，1sin 2ABCS ab C ==≥即△ABC的面积的最小值为巩固练习练习一 中线问题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 0a b A -=. （1）求角B 的大小； （2）若23C π=，ABC的周长为4+BC 边上的中线AD 的长.【答案】 （1）π6或5π6； （2【分析】(1)结合正弦定理边化角即可求解； (2)求出△ABC 的边长，解△ACD 即可﹒ （1）∵2sin 0a b A -＝，又由正弦定理得sin sin a B b A ＝，∴sin 2sin 0sin a Ba A A-⋅＝， 则1π2sin 0012sin 0sin 026a a B a B B B B π-∴-∴＝，＞，＝，＝，＜＜，＝或5π6； （2） ∵C 23π＝，∴π6B ＝，∴π6A B C π--＝＝， 作CH AB ⊥于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∴H 为AB 中点，CH 为∠ACB 平分线，∴π6CAH ∠＝，设2CH x AC x AH AB ＝，＝，＝，＝，∴||224AC BC AB x x ＋＋＝＋＋＝＋∴12x AC BC ＝，＝＝， 取BC 中点为D ，在△ACD 中，由余弦定理得222||||cos 2AC CD AD ACD AC CD∠-⋅⋅＋＝，即22π41||1cos 32212AD --⨯⨯＋＝＝，解得AD ＝∴BC ﹒2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，S 是该三角形的面积，且 24sin(3)sin ()cos(2)124A A A πππ-+-- （1）求角A 的大小；（2）若角A 为锐角，1,b S ==BC 上的中线AD 的长.【答案】（1）233ππ，（2 【解析】试题分析：（1）根据诱导公式，降幂公式，二倍角公式将题中式子化简为sin A =，再根据A 为三角形内角即可求出A ；（2）根据角A 为锐角和（1）可得3A π=，然后根据三角形的面积公式再结合条件1,b S =C 的值，而求边BC 上中线AD 的长有两种思路，法一：由于AD 为BC 边上的中线，则根据向量加法的平行四边形法则可得()12AD AB AC =+，然后两边平方即可求出AD 也即为AD 的长；法二 ：先根据cos A 利用余弦定理求出a 的值，再在ADC ∆和ABC ∆中两次利用余弦定理即可求出AD 的值. 试题解析：（1）原式因（2）因A 为锐角，则而面积解法一：又由余弦定理，又，即解法二：作CE 平行于AB ，并延长AD 交CE 地E ， 在△ACE 中，又即这样3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，若222b c a bc +-=. （1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 的最大值.【答案】（1）3π；（2）32.【分析】（1）由已知等式可推导得到cos A ，由此可求得A ；（2）在ABC 中，利用余弦定理和基本不等式可求得3bc ≤；在ABM 中，利用余弦定理可化简整理得到()22334bc AM +-=，由3bc ≤可求得最大值. 【详解】 （1）222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，又()0,A π∈，3A π∴=； （2）在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-=， 2232b c bc bc ∴+=+≥（当且仅当b c =时取等号），3bc ∴≤； 又222cos 2a c b B ac+-=，在ABM 中，由余弦定理得：2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅⋅，()22222222223322942444bc a a c b c b a AM c ac ac +-+-+-∴=+-⋅==≤，32AM ∴≤，即中线AM 的最大值为32.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +=+． （1）求A ；（2）若6b c +=，求ABC 的中线AM 的最小值．【答案】（1）3A π=；（2 【分析】(1)先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理计算即得；(2)用,AB AC 表示出AM ，借助向量模的计算公式及均值不等式推理计算即得. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理化222sin sin sin sin sin B C A B C +=+为222b c a bc +=+，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，而0A π<<，则3A π=，所以3A π=；（2）因AM 是ABC 的中线，则()12AM AB AC =+，由(1)知3A π=， 于是得221()4AM AB AC =+22211()[()]44b c bc b c bc =++=+-22127[()()]424b c b c ++-=≥，当且仅当b =c 时取“=”，则33AM ≥所以ABC 的中线AM练习二 垂线问题5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .222sin sin sin sin sin A C B A C +=+. （1）求角B ；（2）若b =sin 3sin A C =，求BC 边上的高.【答案】（1）3π；（2 【分析】（1）利用正弦定理角化边得到222a c b ac +-=，进而结合余弦定理即可求出结果； （2）由正弦定理得3a c =，再利用余弦定理求出1c =，即得BC 边上的高． 【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.由正弦定理可得222a c b ac +=+，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==， 所以3B π=；（2）由sin 3sin A C =，得3a c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222793c c c =+-，因为0c >，解得1c =，所以BC 边上的高为sin c B . 6．已知锐角三角形ABC 中，sin(A +B )=35，sin(A - B )=15（1）求证: tan A =2tan B（2）设AB =3，求AB 边上的高CD .【答案】（1）证明见解析；（2）2 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式求得21sin cos cos sin 55A B ,A B ==，再结合同角的商数关系即可得出结论；（2）结合同角的基本关系求出()tan A B +，利用（1）的结论与两角和的正切公式即可求出tan tan A,B 的值，然后结合平面图形的几何性质即可求出结果. 【详解】（1）证明：因为sin(A +B )=35，sin(A - B )=15， 所以31sin cos cos sin sin cos cos sin 55A B A B ,A B A B +=-=,21sin cos cos sin 55A B ,A B ==， 所以sin cos 2cos sin A BA B=，即tan 2tan A B =；（2）因为三角形ABC 为锐角三角形，所以<2A B π+<π，又因为sin(A +B )=35，所以()4cos 5A B +=-，因此()3tan 4A B +=-，所以tan tan 31tan tan 4A B A B +=--⋅，结合tan 2tan A B =，因为tan 0tan 0A ,B >>，解得tan 2tanA B =+=又因为tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=，又因为AB =3，所以2CD =故AB 边上的高CD 为27．在①2sin cos cos cos a C B C C =；②2cos 2c B b a +=；③(2)cos cos b a C c A -= 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足． （1）求sin C ；（2）已知5a b +=，ABC ∆ABC ∆的边AB 上的高h ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（12 【分析】（1）根据2sin cos cos cos a C B C C =，由正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到sin C C =求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 选择条件②：（1）根据2cos 2c B b a +=，利用正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到sin (12cos )0B C -=求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 选择条件③：（1）根据2cos 2c B b a +=，利用正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到2sin cos sin()sin B C A C B =+=求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】 选择条件①：（1）因为2sin cos cos cos a C B C C =，所以由正弦定理得，2sin sin cos cos A C C C B C =，即sin sin (sin cos sin cos )A C C C B B C =+，故sin sin sin A C C A =．又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以sin C C =，所以tan C = 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π==（2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab Ch c===（1）因为2cos 2c B b a +=，由正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A +=，即2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin C B B B C B C B C +=+=+，于是sin (12cos )0B C -= 在ABC ∆中，sin 0B ≠，所以1cos 2C =， 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π==（2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab Ch c=== 选择条件③：（1）因为(2)cos cos b a C c A -=，所以由正弦定理得，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=， 所以2sin cos sin()sin B C A C B =+=， 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2C =， 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π== （2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab C h c ===8．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足()2cos cos b a C c A -=． （1）求角C 的大小；（2）已知4c =，5a b +=，求ABC 的边AB 上的高h ．【答案】（1）3C π=；（2）h = 【分析】（1）由正弦定理将()2cos cos b a C c A -=化为()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，再利用三角函数恒等变换公式化简可求出角C ，（2）由余弦定理结合已知条件可得3ab =，再利用等面积法可求出ABC 的边AB 上的高h【详解】（1）因为()2cos cos b a C c A -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，即()2sin cos sin sin B C A C B =+=，因为()0,B π∈，所以1sin 0cos 2B C ≠⇒=，又()0,A π∈，所以3C π=．（2）由已知4c =，5a b +=，由余弦定理得()22222cos 316c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以()21633a b ab ab +-=⇒=．于是得ABC 的面积11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab C h c === 练习三 角平分线问题9．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 满足()cos cos sin cos 0b C c B B A +=. （1）求A ；（2）若2c =，a =B 的角平分线交边AC 于点D ，求BD 的长.【答案】（1）2π3；（2【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求得角A ； （2）利用余弦定理可得b 的值，进而可求出角,B C ，在ABD △中，求出ABD ∠、ADB ∠利用正弦定理即可求解.【详解】（1）由正弦定理化边为角可得： ()sin cos sin cos sin cos 0B C C B B B A +=，即()sin sin cos 0B C B B A +=所以sin sin cos 0A B B A =，因为sin 0B ≠，所以sin A A =0即tan A =因为0πA <<，所以2π3A =.（2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 代入数据可得：21124222b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭即21242b b =++. 解得：2b =或4b =-(舍).所以2b c ==，所以π6B C ==，在ABD △中，由BD 是ABC ∠的角平分线，得π12ABD ∠=， 则2ππππ3124ADB ∠=--=， 在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AB BD ADB BAD =∠∠即2π2πsin sin 43BD =，可得：2π2sin23πsin4BD⨯===10．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin sin()sinc C a A b a B=+-，角C的角平分线交AB于点D，且CD=3a b=，（1）求角C；（2）求c的值【答案】（1）3π；（2【分析】（1）先用正弦定理把角化为边，再用余弦定理即可求解；（2）由ABC ACD BCDS S S=+△△△可得，ab a b=+，然后与已知条件联立求解，再用余弦定理即可求解【详解】（1）因为sin sin()sinc C a A b a B=+-，由正弦定理可得：222c a b ab=+-，即222ab a b c=+-由余弦定理可得：2221cos222a b c abCab ab+-===，因为0Cπ<<，所以3Cπ=；（2）由ABC ACD BCDS S S=+△△△，有111sin sin sin232626ab a CD b CDπππ=⨯⨯+⨯⨯，得ab a b=+，由3a bab a b=⎧⎨=+⎩，解得443ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理得：c===11．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C ；（2）若角C 的角平分线交AB 于点D ，13ACD ABC S S=△△，3AB =，求AC 和CD 的长度. 【答案】（1）23C π=；（2）AC =CD . 【分析】（1）由正弦定理得1cos 2C =-，结合C 为三角形内角可得答案； （2）D 到CA ，CB 的距离相等，设为h ，由13ACD ABC S AD AB ==，得2BD AD =， 由角平分线性质得12b a=，由余弦定理得a ABC S ACD S =可得答案.【详解】（1）由2cos 2c B a b =+及正弦定理得2sin cos 2sin sin 2sin()sin C B A B B C B =+=++，2sin cos 2sin cos sin B C C B B =++，得2sin cos sin 0B C B +=，因为sin 0B >，所以1cos 2C =-，由C 为三角形内角得23C π=； （2）因为CD 平分C ，则D 到CA ，CB 的距离相等，设为h ， 因为13ACD ABC S AD AB ==， 所以2BD AD =，由角平分线性质得12b AD a DB ==，所以12b a =，因为3AB =，23C π=，由余弦定理得2219121222a a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭-=⨯，解得a所以AC b =，因为12ABC S=，1123ACD S ==解得CD =.12．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S，且满足222b c a +-=. （1）求角A 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D，且512a B π==，求线段AD 的长. 【答案】（1）3π；（2） 【分析】（1）由余弦定理以及三角形的面积公式即可求解； （2）在ABC 中求出角C ，再由正弦定理求出边AB 、AC ，再由ABC ACD ABD S S S =+△△△结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-=，所以2222cos b c a bc A +-= 由三角形的面积公式可得1sin 2S bc A =，因为222b c a +-=，所以12cos sin 2bc A bc A =，整理可得：cos A A =，即tan A = 因为0A π<<，所以3A π=（2）由（1）知：3BAC π∠=，AD 为BAC ∠的角平分线，所以6CAD BAD π∠=∠=，由512B π=可得53124C A B πππππ=--=--= 在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin sin AC BC AB B A C ==，即5sin sin sin 1234AC AB ππ==，因为51sin sin 1264222πππ⎛⎫=+=⨯= ⎪⎝⎭，所以AC ==AB == 由ABC ACD ABD S S S =+△△△可得：111sin sin sin 232626AD AD πππ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯整理可得：((114AD =⨯⨯，解得：AD =所以线段AD的长为。
角平分线的性质教案
角平分线的性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解角平分线的定义；（2）掌握角平分线的性质定理；（3）学会运用角平分线解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、思考、交流，探索角平分线的性质；（2）运用角的平分线性质定理，提高解题能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）角平分线的定义；（2）角平分线的性质定理。
2. 教学难点：（1）角平分线性质定理的证明；（2）运用角平分线解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：回顾上节课所学的角的概念，引出角平分线的定义。
2. 新课讲解：（1）介绍角平分线的定义；（2）讲解角平分线的性质定理；（3）运用角平分线性质定理解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）判断题：判断角平分线是否平分角；（2）填空题：填空完成角平分线性质定理的证明；（3）应用题：运用角平分线解决实际问题。
四、课后作业1. 复习角平分线的定义和性质定理；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 预习下一节课内容。
五、教学反思本节课通过讲解角平分线的定义和性质定理，使学生掌握了角平分线的基本性质。
在教学过程中，注意引导学生观察、思考、交流，培养学生的逻辑思维能力和解题能力。
通过课后作业的布置，帮助学生巩固所学知识，为后续课程的学习打下基础。
六、教学拓展1. 对比分析：（1）角平分线与线段中垂线的联系与区别；（2）角平分线与高的联系与区别。
2. 探索问题：（1）角的平分线是否一定是直线？（2）角的平分线在几何中的应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结角平分线的定义、性质定理及应用；2. 强调角平分线在几何中的重要性。
八、测试与评价1. 课堂测试：（1）判断题：判断角平分线与线段中垂线的联系与区别；（2）选择题：选择正确的角平分线性质定理；（3）应用题：运用角平分线解决实际问题。
2. 评价：（1）学生自我评价：总结自己在课堂学习中的收获；（2）同伴评价：评价他人的解题方法和思路；（3）教师评价：对学生的学习情况进行总结和评价。
七年级数学下册《7.1.2三角形的高、中线与角平分线》教案 人教新课标版
三角 形的中线
连结ΔABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，线段AD叫做ΔABC的边BC上的中线。
（1）画出ΔABC的另外两边上的中线；（2）说出哪条线段是ΔABC的哪条边上的中线；观察ΔABC的三条中线，说说你的发现。
把刚才的锐角三角形换成直角三角 形或钝角三角形，结果又怎么样呢？
①AD是⊿ABE的角平分线( )②BE是⊿ABD边AD上的中线( )
③BE是⊿ABC边AC上的中线( )④CH是⊿ACD边AD上的高( )
六、课堂小结：1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
①三角形的高:②三角形的中线③三角形的角平分线
七、作业：69页ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3、8题
师提出问题，学生思考后师生共同完成
生自学课本师生对照课件共同学习三角形的高、中线、角平分线
三角形的三条角平分线在三角形的内部交 于一点
小结：①任何三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部，交于 一点。②三角形的角平分线线是一条线段。而角平分线是 一条射线。
三、应用举例：填空：（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线， 则AB=2，BD=，AE=
2）如图（2），AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1=，∠3=，∠ACB=2。
四、巩固练习：
如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空：
（1）BE== ；
（2）∠BAD==；
（3）∠AFB==90°；
（4）SΔABC=
五、自我检测：如图,在⊿ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG 交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.
八年级秋季班-第17讲：垂直平分线、角平分线及轨迹(教案教学设计导学案)
利用线段的垂直平分线和角平分线的性质添加辅助线，解决相关角度与边长之间的关系是几何证明中又一个重点内容，更加完善了证明边角关系的知识体系．1、线段的垂直平分线：（1）线段的垂直平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．【例1】如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于_______________．【难度】★【答案】【解析】【例2】已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE．【难度】★【答案】【解析】【例3】在△ABC中，AB=AC，BC=12,∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC 的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．【难度】★【答案】【解析】【例4】如图，D是线段AB、AC的垂直平分线的交点，若∠BAC=50°，求∠BDC的度数．【难度】★【答案】【解析】【例5】如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC于点D，且DC=AC，求△ABC各角的度数．【难度】★★【答案】【解析】【例6】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角△B的大小为___________________．【难度】★★【答案】【解析】【例7】如图，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：AD是EF的垂直平分线．【难度】★★【答案】【解析】【例8】如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的点，BD=BC，过点D作AB 的垂线交AC于点E，CD交BE于点F，求证：BE垂直平分CD．【难度】★★【答案】【解析】【例9】如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D是AB边上的点，AD的垂直平分线EF交AC于点E，垂足为F，ED的延长线与CB的延长线交于点G，求证：点E在GC的垂直平分线上．【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，在△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，求证：AF=FG=BG．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°，（1）求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；（3）若∠A=α，你发现了怎样的规律，并证明之；（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否要加以修改．【难度】★★★【答案】【解析】2、角平分线：（1）角的平分线性质定理给我们提供了证明两条线段相等的由一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；（2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；（3）利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．【例12】如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③【难度】★★【答案】【解析】【例13】如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD．【难度】★★【答案】【解析】【例14】如图，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD=CD．【难度】★★【答案】【解析】【例15】已知：如图，P A、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线．【难度】★★【答案】【解析】【例16】（1）如图1△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则有：；（2）如图2：△ABC中，∠ABC的外角角平分线和∠ACB的外角角平分线相交于点P，则有：；（3）如图3：△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角角平分线相交于点P，则有：．【难度】★★【答案】【解析】【例17】如图，在直角△ABC中，∠C=90°，直角△ABP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC，求证：PE⊥AO．【答案】【解析】【例18】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于点G，求证：GC平分∠BGD．【难度】★★【答案】【解析】【例19】如图，在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BF平分∠ABC，交AC于点F、AD于点E，EG∥BC交AC于点G，求证：AF=CG．【难度】★★★【答案】【解析】【例20】如图，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于F点，CD交AB于点G，BE交AC于点H，求证：AF平分∠DFE．【答案】【解析】【例21】如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P，连接CP．（1）求证：CP平分∠ACB；（2）如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：EP=DP；（3）如图2，当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°，（2）中的结论是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【例22】已知，如图AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，PE、PF分别垂直AD、BC，垂足为E、F．求证：点P在EF的垂直平分线上．【难度】★★【答案】【解析】【例23】已知：如图，△ABC中，∠BAC=64°，∠B=38°，AD平分∠BAC，M是BC延长线上的一点，过点M作MF⊥AD，垂足为点H，交AB、AC于点F、E．求∠M的度数．【难度】★★【答案】【解析】【例24】已知：如图，D是△ABC的边AC上的一点，过D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足为E、F，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．求证：（1）DG=BG；（2）BD垂直平分EF．【难度】★★【答案】【解析】【例25】如图，在△ABC中，OE、OF分别是边AB、AC的垂直平分线，∠OBC、∠OCB的平分线相交于点G，判断OG与BC的位置关系，并证明你的判断．【难度】★★★【答案】【解析】【例26】已知，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，判断下面四个结论中哪些成立，（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC>AB哪些不成立，成立的说明理由，不成立的在原有条件的基础上，添加条件使之成立，并证明【难度】★★★【答案】【解析】【例27】如图，AD是等腰△ABC底边上的高，E、F为AD上两点，且∠ABE=∠EBF=∠FBC，联结CF并延长交AB于点G，求证：（1）△GBF为等腰三角形；（2）GE∥BF．【难度】★★★【答案】【解析】点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合．三个基本轨迹：（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．【例28】（1）经过点A、B的圆的圆心的轨迹是_____________；（2）到直线m距离等于a的点的轨迹是_____________________；（3）以线段AB为腰，点B为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹是___________________．【难度】★★【答案】【解析】【例29】以下说法中错误的是（）A．到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆B．如果P是∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，PM⊥OA于点M，PN⊥OB 于点N，且PM=PN，那么射线OP是∠AOB的平分线C．底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线D．经过P、Q两点的圆的圆心的轨迹是PQ的垂直平分线【难度】★★【答案】【解析】【例30】在△ABC内找一点P，使它到△ABC的三个顶点的距离都相等．【难度】★★【答案】【解析】【例31】作图：（1）已知线段a、b，求做直角△ABC，使得∠C=90°，AB=b，BC=a；（2）已知∠AOB，点P及线段a，求作点Q，使得点Q到OA、OB的距离相等，且PQ=a．【难度】★★★【答案】【解析】【习题1】以下说法错误的是（）．A．如果P A=PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上B．如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端距离相等C．如果点P在∠AOB的内部且到OA、OB距离相等，那么射线OP是∠AOB的角平分线D．如果OP是∠AOB的平分线，那么点P到OA、OB上两点M、N的距离相等，即PM=PN【难度】★【答案】【解析】【习题2】如图在△ABC中，∠B=115°，AC的垂直平分线与AB交于点D，且∠ACD︰∠BCD=5︰3，则∠BDC =_________．【难度】★【答案】【解析】【习题3】如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_________．【难度】★【答案】【解析】【习题4】作图：（1）到点A的距离等于a的点的轨迹；（2）到两条相交直线AB、CD距离相等的点的轨迹．【难度】★★【答案】【解析】【习题5】如图，△ABC中，AB=AC=8cm，∠A=50°，线段AB的垂直平分线分别交AB 于点D，交AC于点E，BC=3cm，求：（1）∠EBC的度数；（2）△BEC的周长．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】如图，AE是△ABC的角平分线，AE的垂直平分线与BC的延长线相交于点F，若∠CAF=50°，求∠B的度数．【难度】★★【答案】【解析】【习题7】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延长线于E，求证：DE=AE+BC．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】如图，正方形ABCD中，E是边AB上的任意一点，F是边BC延长线上的一点，EF交CD于点G，AE=CF，（1）求证：点D在线段EF的垂直平分线上；（2）如果EF交正方形的对角线BD于点P，BP=BE，求证：EP=FG．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】如图，∠BAC和∠CBF的平分线相交于点P，联结CP，分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、AB的延长线于E，F，G，H为垂足，求证：BF=CE．【难度】★★【答案】【解析】【习题10】已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，∠EBF=45，BG⊥EF，求证：BE=EG．【难度】★★★【答案】【解析】【习题11】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，BE与DF交于点G，GC平分∠BGD.求证：BE=DF．【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】已知点I是△ABC三内角平分线的交点，则点I() A．到△ABC三边距离相等；B．到△ABC三个顶点距离相等；C．是△ABC三边上的高的交点；D．是△ABC三边中线的交点．【难度】★【答案】【解析】【作业2】（1）到x轴的距离为到y轴距离的两倍的点的轨迹是__________________；（2）底边为5厘米的等腰三角形的顶点的轨迹__________________．【难度】★【答案】【解析】【作业3】△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC 的周长是_____________．【难度】★【答案】【解析】【作业4】如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，EF=1，则点F到BC的距离为________________．【难度】★★【答案】【解析】【作业5】作图：（1）以线段BC为底边的等腰三角形的顶点A的轨迹；（2）到直线l的距离等于2cm的点的轨迹．【难度】★★【答案】【解析】【作业6】已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．【难度】★★【答案】【解析】【作业7】如图，已知：△ABC中，AB=CB，D在AC上,且，AB=AD,∠ABC=108°，过A作AE∥BC，交∠ABD的平分线于E，联结CE，求证：BD垂直平分EC.【难度】★★【答案】【解析】【作业8】在△ABC中，∠A=α，AC、AB的垂直平分线交于点O，求∠BOC的度数（用含α的式子表示）．【难度】★★【答案】【解析】【作业9】已知：等边△ABC的边长为4，D是边BC上的一个动点（与BC不重合），联结AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F，（1）求△BDE和△DCF的周长和；（2）设CD的长为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】如图，已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F．（1）求证：EF=BE+CF；（2）当点D为∠ABC的角平分线和∠ACB的外角的角平分的交点，EF、BE、CF的关系又如何；请证明．（3）当点D为∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角的角平分的交点，EF、BE、CF的关系又如何；请直接写出结论．【难度】★★★【答案】【解析】。
《 角平分线》 (第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
第一章三角形的证明1.4角平分线教学设计第1课时一、教学目标1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.2．证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.二、教学重点及难点重点：角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点：灵活运用角的平分线的性质和判定解题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源角平分线的尺规作图动画演示，微课.五、教学过程【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20 000）？其中“到公路、铁路的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．角是一个轴对称图形，其中角平分线就是它的对称轴．我们曾经用折纸的方法，根据折叠过程中角两边重合说明了角平分线的一个性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．所以在这个问题中，确定民宅位置利用此性质就能完成．设计意图：通过实际情境，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．【探究新知】1.角的平分线的尺规作图 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ． （2）分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ．射线OC 即为所求．师：思考：为什么要以大于MN 的长为半径画弧？ 生：因为以小于或等于MN 的长为半径画弧时不能形成交点．2．角平分线的性质还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎么得到的？请尝试证明这一性质，并与同伴交流.生：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 生：可用量角器，也可以用对折角的方法．师：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，对折的方法就不行了，那还有别的方法适合吗？生：量角器、尺规作图。
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数学辅导讲义学员编号：年级：初二课时数： 3学员姓名：辅导科目:数学学科教师：授课主题：角平分线和垂直平分线授课时间：教学目标：1.回顾角平分线的性质及三角形中的角平分线；2.掌握三角形中角平分线的有关辅助线的作法；3.掌握三角形中有关于角平分线的计算问题.4.掌握线段的中垂线的性质；5. 会运用线段的中垂线的性质以及角平分线的性质来解决线角的计算以及最短距离问题.教学内容特殊的三角形知识点一：角平分线【知识梳理】1．定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
图1 图2如图1，画∠BAC的平分线AD，交对边BC于点D，则线段AD是△ABC的角平分线。
2．特征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角平分线交三角形内于一点，这点成为三角形的内心.如图2，线段AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则有∠1=∠2，∠3=21∠ABC，∠ACB=2∠4。
3．提示：三角形的角平分线与一般角的平分线不同，三角形的角平分线是线段，而一般角的平分线是一条射线.4. 角平分线的两个性质：知识精讲内容回顾（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．（它们具有互逆性）【例题精讲】例1.（★★）给出下列结论，正确的有（）①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题A.1个B.2个C.3个D.4个例2.（★★）下列结论正确的有（）①在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；②如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；③如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上A.1个B.2个C.3个D.0个例3.（★★★）如图，AD是ABC∆的角平分线，DE AB⊥，垂足分别是,E F。
连接EF，⊥，DF AC交AD于点G。
说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。
【课堂练习】1. （★）如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2. （★）如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3. （★★）如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.（1）（2）（3）4. （★★）已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=____度.5. （★★）如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）6. （★）下列各语句中，不是真命题的是（）A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等7. （★★）下列命题中是真命题的是（）A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等8. （★★）如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（）A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm9. （★★）如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（）A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③10. （★★）如图，已知在ABC∠=，12∆中，BD DC∠=∠。
求证：AD平分BAC三角形的中垂线 【例题精讲】例1.（★★）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点例2. （★★）在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7BD CD =，则点D 到AB 的距离为（ ）A. 18B. 16C. 14D. 12例3.（★★★）如图，直线123,,l l l 表示三条互相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（ ）A. 一处B. 两处C. 三处D. 四处例4.（★★）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=o ，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D ，若CD n =，AB m =，则ABD ∆的面积是（ ）A.13m n B.12mn C. mn D. 2mn例5.（★★★）如图，ABC ∆中，90C ∠=o ，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点,,D E F 分别是垂足，且10AB cm =，8BC cm =，6CA cm =，则点O 到三边,,AB AC BC 的距离分别等于（ ）cmA. 2、2、2B. 3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5例6.（★★★）如图，已知,BA CA 分别是DBC ∠，ECB ∠的平分线，BD DE ⊥，CE DE ⊥，垂足分别为,D E ，则DA 与EA 有怎样的数量关系____________。
例7.. （★★）已知ABC ∆中，90C ∠=o ，AD 平分A ∠，2AD BD CD ==，点D 到AB 的距离等于5.6cm ，则BC 的长为___________cm 。
例8.. （★★★）如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，236ABC S cm ∆=，18AB cm =，12BC cm =，则DE 的长是__________。
【课堂练习】1.如图（1），点P 为△ABC 三条角平分线交点，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，则PD __________PE __________PF .2.如图（2），P 是∠AOB 平分线上任意一点，且PD =2cm ，若使PE =2cm ，则PE 与OB 的关系是__________.3.如图（3），CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF __________FG ，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE __________CF .（1） （2） （3）4.以下说法正确的有①在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个②在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个 ③三角形三条角平分线交于一点④等腰三角形底边中点到两腰的距离相等⑤三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形6、作图题：（1）在右图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.（2）.如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.7.已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.知识点二：垂直平分线【知识梳理】1.定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）线段的垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中非常重要的一部分。
2. 性质：（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段。
（2）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
（3）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（4）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
3.作法：（1）画一条线段AB，记其长度为a（2）用圆规以大于a/2为半径，与以A,B分别为圆心画圆（半径相同）（3）连结两圆交点，则此线为线段的垂直平分线【例题精讲】例1.（★★）下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB 的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个例2.（★★）下列作图语句正确的是（）A.过点P作线段AB的中垂线B.在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BCC.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥bD.过点P作直线AB的垂线例3.（★★）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12 cm，AC=6 cm，则图中等于60°的角共有（）图2A.2个B.3个C.4个D.5个例4.（★★）△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于（）A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定例5.（★★）已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥B C.例6.（★★）在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若△BCD的周长为m，求证：BC=m－a.例7.（★★★）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB 于点M、N.求证：CM=2BM.【课堂练习】1. 如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则P A，PB，PM的大小关系是P A__________PB__________PM.2.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________上.（1）（2）（3）3.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是__________的垂直平分线.4.如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△__________≌△__________(SAS)；△ABC是__________三角形.5.如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=__________度.6.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个（）①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个7.如左下图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对8.如右上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm9.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形10.如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP 垂直平分EF.：角平分线和垂直平分线的性质以及应用1.（重庆）△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（）A.点P在△ABC 内B.点P在△ABC 底边上C.点P在△ABC 外D.点P的位置与△ABC 的边长有关2.如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB等于( )A.95°B.15°C.95°或15°D.170°或30°课后作业总结回顾4.（日照）如图6，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF.（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由。