与球有关的切、接问题(有答案).

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与球有关的切、接问题

1．球的表面积公式： S ＝ 4πR 2；球的体积公式 V ＝43πR 3 2．与球有关的切、接问题中常见的组合： (1)

正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为

a ，内切球的半径为

r ，

外接球的半径为 R ，取 AB 的中点为 D ，连接 CD ，SE 为正四面体的高，在 截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE

上的圆．因为

(2) 正方体与球：

①正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所

a

示．设正方体的棱长为 a ，则 |OJ|＝ r ＝ 2(r 为内切球半径 )．

②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆， 则 |GO|＝ R ＝ 22a.

(3) 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：

①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正

方 体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． 即三棱锥 A 1-AB 1D 1 的外接球的球心和正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的外接球的球心重合．如图，设

正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为

O.此时， CO ＝OS ＝ R ， OE ＝r ，SE R 2

－r 2

＝|CE|2

＝a

3，解得 R ＝ 46

a r ＝ 126

a. ③正方体的外接球：截面图为正方形 ACC 1A 1的外接圆，则 |A 1O|＝ R ′

3

＝2a

3 AA 1＝ a ，则 R ＝ 23

a.

②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外

角度一：正四面体的内切球 1．(2015 长·春模拟 )若一个正四面体的表面积为 S 1，其内切

球的表面积为 S 2，则 S S1＝

接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． a 2＋ b 2＋

c 2 2 ＝l 42(l 为长方体的体对角线长 )．

解析：设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S1＝ 4 ·43·a2＝ 3a2，其内切

球半径

为正四面体高的14，即 r＝41·36a＝126a，因此内切球表面积为 S2＝4πr2＝π6a，则

S S 1

2＝

π3a

2＝

6a

63 π

角度二：直三棱柱的外接球

2．（2015 唐·山统考）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的六个顶

点都在半径为 1 的半球面上， AB＝AC，侧面 BCC 1B1是半球底面圆

A．2 B．1 C. 2

D.22

解析：选 C 由题意知，球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上，BC

为截面圆的直径，∴∠BAC＝90 °，△ABC的外接圆圆心 N是 BC

的中点，同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中心．设正方形 BCC 1B1

OM＝x2，MC1＝x2，OC1＝R＝1（R 为球的半径），

2，则 AB＝AC＝1，∴S 矩形 ABB1A1＝ 2×1＝ 2.

角度三：正方体的外接球3．一个正方体削去一个角所得到的

几何体的三视图如图所示（图

中

解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是

正方体的体对角线；∴ 2R＝2 3（R 为球的半径），∴R＝ 3，∴球的体积 V＝

4

3πR

3＝ 4 3π.

答案： 4 3π

角度四：四棱锥的外

4．（2014 大·纲卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，

底面边长为 2，则该球的表面积为（）

的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为（）

解析：选 A 如图所示，设球半径为 R ，底面中心为 O ′且球心为 O ，∵正四棱锥 P-ABCD 中 AB ＝2，∴AO ′ ＝ 2.

∵PO ′ ＝ 4，∴在 Rt △AOO ′中，AO 2

＝AO ′2

＋OO ′2

，∴R 2

＝( 2)2

＋(4－R)2

，解得

[ 类题通法 ]

切”“ 接”问题的处理规律 1．“ 切”的处理

解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过 作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．

2．“接”的处理

把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．

[ 牛刀小试 ]

1． (2015 ·云南一检 )如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 的圆，那么这个空间几何体的表面积等于 (

解析： 选 A 易知该几何体为球，其半径为 5，则表面积为 S ＝ 4πR 2＝100 π.

解析： 选 D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 ＝12 12＋ 12＋ 2 2＝ 1，所以 V 球＝43π×13＝43π

.故选 D.

3．已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为 6时，其高的值为 ( ) A ．3 3

B. 3

C ． 2 6

81π A.

4

B ． 16π

C ． 9π

27π D.

4

92

9

4

，∴该球的表面积为 4πR 2

＝

814

π，故选 A.

A ．100 π B.103

0π C ．25π 25π D.

3

2． (2014 陕·西高考 )已知底面边长为 球面上，则该球的体积为

1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个 32π A.

3

B ． 4π

C ．2π

4π D. 3π

D ．2 3