(整理)对弧长的曲线积分.
对弧长的曲线积分
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
对弧长的曲线积分
(0 x 1)
2 2
y ds
1
0
x
2
1 ( x )' dx
1 0 x
1 4 x 2 dx
3 1 2 2
1 1 4x 12
1 5 5 1 12
0
例2 计算半径为R、中心为2α的圆弧L对于它的对称轴
的转动惯量I(设线密度μ=1).
解：取坐标系如图所示，则
'2 (t ) '2 (t )dt， 再作到的定积分
即可。 (注意 )
x x (2) 若取x为参数，则 y ( x) 则
X x0
x0 x X
f ( x, y )ds f x, ( x) 1 '2 ( x)dx L ( x0 X )
f (t ), (t ) '2 (t ) '2 (t ) dt
( )
证: 假定当t由变至时，M由A变至B，在L上取一列点
A M 0 , M 1 , M 2 ,, M n 1 , M n B 其对应一列单增参数值,
t0 t1 t 2 t n 1 t n
R3 (2 sin 2 ) 2 R 3 ( sin cos ).
例3 计算曲线积分 Γ ( x y z )ds，其中Γ为 螺旋线
2 2 2
x a cos t y a sin t 上相应于t从0到2π 的一段弧。 z kt
解：( x 2 y 2 z 2 )ds
Γ
2π 0
(a cos t )
2
(a sin t ) (kt )
高等数学第一节 对弧长的曲线积分1
n
⑶ 求和：得柱面 面积的近似值 S h(xi ,hi )si ． i1
⑷ 取极限：令 l 0，则有 的面积
n
S
lim
l 0
i1
h(xi ,hi )si
上任取一点(x i , h i)，以r(x i , h i)s i 作为第 i 小段质量的近似值，
其中s i 表示第 i 小段的弧长．于是整个曲线构件的质量
n
M r(xi ,hi )si ． i 1
用l表示n个小弧段的最大
长度．为了计算M 的精确值，
y
线密度为r(x, y)的曲线 L：B
如果f (x, y)在L上关于y为奇函数, 如果f (x, y)在L上关于y为偶函数.
⑵ 如果 L 关于 y 轴对称， L1 为 L 在 y 轴上方的部分，则
L
f
(x, y)ds
2
L1
f
0, (x, y)ds,
如果f (x, y)在L上关于x为奇函数, 如果f (x, y)在L上关于x为偶函数.
i 1
B Mn1
s i Mi
A
L
(x i, h i)
Mi-1
O
M1
M2
x
２．第一类曲线积分的定义：
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数f(x, y)在L上有界．
在 L上任意插入一点列M1，M2，···，Mn把L分在n个小段．
设第 i 个小段的长度为s i，
第 i 个小段上任意取定的一点(x i, h i) ， 作乘积f(x i, h i) s i，并作和
高数 对弧长的曲线积分讲解
r2 ?? ??
r?2 ?? ?d?
(4)
设L: x =? (t), y =? (t), z =? (t) (? ? t? ? ), 则有
?L
f
?x,
?
y, z?ds???
f
??
?t?,?
?t ?,?
?t??
? ?2 ?t???
?2 ?t?? ? ?2 ?t?dt
(5)
7. 练习
例1 计算?L yds ,
第一节 对弧长的曲线积分
1. 知识回顾
1. 二重积分： 平面闭区域
对弧长的曲线积分
定积分的积分区域：数轴上的[a,b]
一段曲线弧？
2. 三重积分： 空间闭区域
2. 曲线形构件的质量（1）
假设一曲线形构件所处的位置在 xOy 平面内 y
?B
的一条光滑曲线弧 L 上，它的端点是A 、B 。若该
构件的线密度为 ? (x, y)，其中 (x,y)?L，求该构件的
? ? 0 时，上述和式的极限总存在，则称此极限为函数f (x, y) 在曲线弧
L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 ?L f (x, y)ds ，即
n
? ? f (x, y)ds ? lim
L
?? 0
f (?i ,? i )? si 。
i?1
积分弧段
被积函数
积分和式
3. 对弧长的曲线积分的定义（2）
4. 对弧长的曲线积分的性质（1）
性质1 设k为常数,则
?L kf ?x, y ?ds ? k ?L f ?x, y ?ds 。
性质2
?L ?? f ?x , y ?? g ?x , y ???ds ? ?L f ?x , y ?ds ? ?L g ?x , y ?ds 。
对弧长的曲线积分
实例: 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M = ρ ⋅ s . 分割 M1 , M 2 ,L, M n−1 → ∆si ,
n
y
B
L Mn−1
(ξi ,ηi ) M i M2 Mi−1 M1
A
o
x
取 (ξ i ,η i ) ∈ ∆si , ∆M i ≈ ρ (ξ i ,η i ) ⋅ ∆si .
∫
Γ
f ( x, y, z)ds
β α
= ∫ f [ϕ(t ),ψ (t ),ω(t )] ϕ′2(t ) +ψ′2(t ) + ω′2(t )dt (α < β )
x = a cos t , 例1 求 I = ∫ xyds, L : 椭圆 (第Ι象限 ). L y = b sin t ,
解 由对称性, 知 由对称性
∫ x ds = ∫
2 Γ
Γ
y ds = ∫ z ds .
2 2 Γ
1 故 I = ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ds 3 Γ
a2 2 πa 3 = ∫ ds = . ( 2πa = ∫ ds, 球面大圆周长 ) Γ 3 Γ 3
六、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
( 2) 当 f ( x , y ) ≡ 1时, L弧长 = ∫Lds ;
( 3) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x = ∫ y ρ( x , y )ds , I y = ∫ x ρ( x , y )ds .
2 2 L L
(4) 曲线弧的质心坐标
∫ xρ ( x , y )ds , x= ∫ ρ ( x , y )ds
对弧长曲线积分课件
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
16对弧长的曲线积分
2
2
sin 2 R sin d 2 R 2 4
0
R ( sin cos )
3
例3. 计算
(x y )
2 2 2
其中L为双纽线
a (x y )
2 2 2
( a 0)
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2 (0
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
●
授课教师
孙学峰
曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
曲面域
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
Mk sk M k 1
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,则定义对弧长的曲线积
分为
lim L f ( x, y ) ds 0 f ( k ,k )sk
k 1 n
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
2 2
cos sin 2k R 2k R
R
y
( x, y )
o
0
R x
Fx Fy
2k R 2k R
0
cos d
sin d
sin cos
第十章 第1节 对弧长的曲线积分
β
(α < β )
8
∫
L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′2 ( t ) + ψ ′2 ( t )dt
α
β
(α < β )
说明: 说明
y
ds = (dx) +(dy)
2
2 2
2
= φ′ (t ) +ψ′ (t ) dt
o
ds d y dx x x
9
注意: 注意:
1. 定积分的下限 α 一定要小于上限 β ; 2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形
x = x ⇒ y = ψ ( x)
(1) L : y = ψ ( x )
2
a ≤ x ≤ b.
2
′2(x) d x ds = (dx) +(dy) = 1+ψ
α
− α
3
o α
L R x
= ∫ R2 sin2θ (−Rsinθ)2 +(Rcosθ )2 dθ
= R3(α −sinαcosα )
θ θ sin2 = R ∫ sin θdθ = 2R − α − 2 4 0
α
2
3
α
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
π 2 0
= ab ∫ sin t cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
a ab u 2du (令 = a2 sin2 t +b2 cos2 t ) = 2 u 2 ∫b a −b
对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算
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一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为µ(x, y). •把曲线弧L分成n个小段: ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示弧长); •任取(ξi, ηi)∈∆si, 得第i小段质量的近似值µ(ξi , ηi)∆si;
∑ f (ξi ,ηi )∆si ;
如果当λ=max{∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn}→0时, 这和的极限总存在, 则 称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分, 记作
i=1 i =1
n
∫L f (x, y)ds ,
即
lim ∫L f (x, y)ds = λ →0 ∑ f (ξi ,ηi )∆si , i =1
M = lim ∑ µ (ξi ,ηi )∆si .
λ →0 i =1
n
n
i =1
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对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲线 ∆s1, ∆s2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆sn(∆si也表示第i个小弧段的长度); 在每个小弧段∆si上任取一点(ξi, ηi), 作和
L
(3) 当 f ( x, y )表示立于L上的 柱面在点 ( x, y )处的高时,
对弧长的曲线积分公式
对弧长的曲线积分公式
弧长的曲线积分公式是一种用来计算沿曲线的弧长的数学工具。
它在微积分中被广泛应用，特别是在曲线的长度、路径的测量以及计算运动物体沿曲线所做的功的问题中。
曲线积分是一种将函数沿曲线进行积分的操作。
对于参数化曲线C，其参数方程可以写为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t是曲线上的参数。
假设曲线C的起点是t=a，终点是t=b。
弧长的曲线积分公式可以表示为：
L = ∫|r'(t)| dt
其中|r'(t)|表示曲线在每个点上的切线的长度。
它是曲线的切线向量r'(t)的模。
曲线C的弧长L可以通过对参数t从a到b进行积分来计算。
需要注意的是，弧长的曲线积分公式的结果是一个标量，表示曲线的总长度。
这个公式的应用范围广泛，可以用于计算直线、圆、椭圆等各种曲线的长度。
希望这能对你有所帮助！如果还有其他问题，请随时提问。
高数-对弧长的曲线积分
o z
x
B
M n1
弧 上对弧长的曲线积分为
n
f
(
x,
y,
z)ds
lim
0
i 1
f
(i
,i
,
i
)
si
.
(i ,i , i ) Mi
0 M2
si
M i 1
y
A M1
x
(6) 函数f ( x, y)在闭曲线 L上对弧长的
曲线积分记为 L f ( x, y)ds. 三、第一类曲线积分的性质
( y0 Y )
L f ( x, y)ds f [(t), (t)] (t)2 (t)2d t
公式的其它几种情形
( 3 ) 若 f ( x, y) 1, 则有
n
L
f ( x, y)ds
lim
0
i 1
f
(
i
,i
)
si
n
lim
0
si
i 1
s
（曲线弧 L 的长度）
即曲线弧 L 的长度 Lds
可看作
x
y
t,
(t),
( x0 t X ),
f ( x, y) f [x, ( x)],
d s (t)2 (t)2d t 1 (t)2d t 1 ( x)2d x
所以有
L f ( x, y)ds xX0 f [ x, ( x)] 1 2( x)dx.
( x0 X )
L f ( x, y)ds f [(t), (t)] (t)2 (t)2d t
解
（3）将 表
示成参数方程
x
a cos
对弧长的曲线积分
f ( x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
例1 求 L x2 y2 ds, L:x2 y2 4x
解法1 分析：因曲线L的方程关系
y
可直接用来化简被积函数,而
(x, y) r
x2 y2 4x ，
o 2 4x
故可将积分化为对x的定积分.
24 3( 2 sin2 t dt 2 sin4 t dt)
0
0
24 3(1 3 1 ) 3 3 .
22 422 2
五、小结
1.对弧长曲线积分的概念 2.对弧长曲线积分的计算
计算关键：选择合适的参数方程化为定积分,
计算步骤：(1)画弧L (2)将 L 用参数式表示
yx((tt)),. t
24
22
令
x 2 R cost, y x 1 Rsin t,
3
22
则 x 2 R sin t, 3
y 1 R cost x 1 R cost 2 R 1 sin t,
2
22
32
z x y, z2 x2 y2 2xy ,
x2 y2 z2 2(x2 y2 xy) 将x, y代入化简 R2
由 x2 y2 4x 对x求导得
yx
2x y
，
ds
1 yx2 dx
2 y2
dx，利用对称性,即L关于x轴对称,
4
2
I 2 4x dx
0
y2
而被积函数关于y为偶函数 若不用对称性 , 就要分段积分
4
8
x dx
0 4x x2
后再求和 .因L位于 x轴上方的 方程为y 4x x2 ,而下方一
对弧长曲线积分
∫
L
f ( x, y)ds
(化为定积分) 化为定积分)
x = ϕ(t ), 设曲线 L : (α ≤ t ≤ β ), y =ψ (t ), 且 其中 ϕ(t ),ψ (t ) 有连续的导数，
2 2
ϕ′ (t ) +ψ′ (t ) ≠ 0; f ( x, y) 在L上连续.
L : x = ϕ(t ), y =ψ (t ) (α ≤ t ≤ β ).
f ( x , y )ds;
∫
Γ
f ( x , y , z )ds
对面积的（第一类） 对面积的（第一类）曲面积分
∫∫
Σ
f ( x , y , z )dS
为平面或空间有限光滑(或分段光滑 当G为平面或空间有限光滑 或分段光滑 为平面或空间有限光滑 或分段光滑) 曲线(L或 时 积分称为对弧长的曲线积分 曲线 或 Γ)时，积分称为对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分,即 第一类曲线积分 即
2 2
∆ x ds
dy
oa
x
x +∆x b
x
dy 2 ds = (dx) + (dy) = 1+ ( ) ⋅ dx, dx
弧长微分公式
ds = 1+ y′ dx,
2
(2) 参数方程情形
x = ϕ(t ), 曲线弧为 (α ≤ t ≤ β ). y =ψ (t ), 且在 [α, β ]上具有连续导数 ϕ′(t ),ψ ′(t ).
(1) 曲线弧为参数方程的计算 曲线弧为参数方程 参数方程的计算
L : x = ϕ(t ), y =ψ (t ) (α ≤ t ≤ β ).
β
∫
L
f ( x, y)ds= ∫α
对弧长的曲线积分计算思路、步骤与典型例题
对弧长的曲线积分计算思路、步骤与典型例题展开全文一、对弧长的曲线积分的几何意义与物理意义1、构建对弧长的曲线积分的模型对弧长的曲线积分即在微元弧微分ds分布的曲线上求分布的量的和。
比如小段ds的质量近似量，即为ds上一点(x,y,z)的线密度与弧长的乘积ρ(x,y,z)ds，总的曲线型构建的质量即为ds分布的曲线Γ上求和，从而得到对弧长的曲线积分模型描述形式为其中平面上的曲线积分即为以上模型的特殊情况，即z=0的情形。
2、对弧长的曲线积分的几何意义(1) 当f(x,y)=1时，表示积分曲线段L的长度；(2) 当f(x,y)>0时，表示以xOy面上的曲线L为准线，母线平行于z轴，顶部为(x,y,f(x,y))点构成的曲线的柱面片的面积。
当f(x,y,z)=1时，表示积分曲线段Γ的长度。
3、对弧长的曲线积分的物理意义当f(x,y)>0,f(x,y,z)>0时，分别表示平面曲线段L与空间曲线段Γ的长度。
二、对弧长的曲线积分的计算方法不管是空间曲线还是平面曲线，曲线积分的计算公式可以统一描述为其中C:r=r(t),a≤t≤b，即由曲线C的参数方程式分量构成的向量值函数描述形式，其中|r’(t)|表示向量值函数r=r(t)的导数向量的模。
1．积分曲线为平面曲线的情形● 当C:y=y(x),a≤x≤b时，则r=r(x)=(x,f(x))，a≤x≤b，所以有● 当C:x=x(x),y=y(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t))，a≤t≤b，所以有● 当C:ρ=ρ(θ),α≤θ≤β时，则r=r(θ)=( ρ(θ)cosθ, ρ(θ)sinθ)，α≤θ≤β，所以有2．积分曲线为空间曲线的情形当C:x=x(x),y=y(t),z=z(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t), z(t))，a≤t≤b，所以有【注】|r’(t)|dt即为弧微分，弧长大于0，所以以上的定积分计算式中一定有积分下限小于积分上限。
§10.1对弧长的曲线积分
由函数f及, 的性质可知, 上式右端的和式极限 存在, 因此有 2 2 f ( x , y ) ds f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) d t L ( < )
x (t ) 推广: 若 : y ( t ) ( t ), 则 z (t ) f ( x , y , z ) ds 2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t ) dt . 对弧长的曲线积分的计算三原则:
注意: 转换后定积分的下限一定要小于上限( <). 特殊情形: (1) 若L: y=(x), a x b, b 2 f ( x , y ) ds f [ x , ( x )] 1 ( x ) dx . L a
(2) 若L: x= (y), c y d, d 2 f ( x , y ) ds f [ ( y ), y ] 1 ( y ) dy . L c
2
(2) 当 f(x, –y) = f(x, y) 时, f ( x , y ) ds 2 f ( x , y ) ds . L L 其中L2是L的关于x 轴对称的部分弧段: L2 = { (x, y) | (x, y)L, y 0 }.
③ 若L关于原点对称: f ( x , y ) ds 0 ; (1) 当 f(–x, –y)= – f(x, y)时, L
f ( x , y ) ds g ( x , y ) ds . L L f ( x , y ) ds | | f ( x , y ) | ds . 特别地, 有 | L L
对弧长的曲线积分的计算法
思考: 例5中 改为
, 如何
计算
X x 1 解: 令 Y y 1 ,
Z z
则
:
X
2
Y2 Z2 X Y Z
a2 0
(X 1)2 ds
利用形心公式
2 X ds
2 πa3 2 X 2πa 3
圆 的形心
在原点, 故
X 0
例6. 计算
其中 为球面
x2
y2
z2
9 2
与平面 x
z
1的交线.
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y)ds f [ (t ) , (t )] 2(t ) 2(t ) d t
L
证: 根据定义
n
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
设各分点对应参数为
点 (k ,k ) 对应参数为
sk
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
L
:
x
y
R cos R sin
( )
O
L Rx
R2 sin2 (R sin )2 (R cos )2 d
R3 sin2
d
2R3
2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2 (t ) 2 (t ) d t
ds dy dx
因此上述计算公式相当于“换元法”. O x x
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对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
注记:1、f x y dsL(,)⎰中的被积函数f x y (,)的定义域为L 上的一切点。
2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形,设Γ是空间的一条光滑曲线,函数f x y z (,,)在Γ上有界,则f x y z ds f s i i i i i n(,,)lim (,,)Γ∆⎰∑=⋅→=λξηζ013、若L 为一条封闭曲线,一般将f x y dsL(,)⎰记为 ⎰Ldsy x f ),(。
二、对弧长的曲线积分的性质利用对弧长的曲线积分定义, 我们可以证明下述性质 1、[(,)(,)](,)(,)f x y g x y ds f x y ds g x y dsLLL±=±⎰⎰⎰2、若k 为常数,⎰⎰⋅=⋅LLdsy x f k ds y x f k ),(),(3、的长度L ds L=⎰4、若在L 上,f x yg x y (,)(,)≤,则 f x y ds g x y dsLL(,)(,)≤⎰⎰5、若L LL =+12,则 f x y ds f x y ds f x y dsL L L (,)(,)(,)=+⎰⎰⎰12上述性质均不加以证明, 有兴趣的同学可以查阅有关书籍。
三、对弧长曲线积分的计算法假设曲线L 由参数方程x t y t t ==≤≤ϕφαβ(),()()给出,且函数ϕφ(),()t t 在[,]αβ上具有一阶连续导数；函数f x y (,)在L上连续；当参数t 由α变至β时, 依点A 至点B 的方向描出曲线L 。
在L 上取一系列的点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,设它们对应于一列单调增加的参数值αβ=<<<<<<<=--t t t t t t i i n n 0111依定义f x y ds f s Li i i i n(,)lim (,)⎰∑=→=λξη01∆这里的(,)ξηi i M i M i ∈-弧1,并设点(,)ξηi i 对应于参数值τi则 ξϕτηφττii i i i i i t t ==≤≤-(),()1由弧长计算公式与定积分中值定理有[][]∆s t t dti t t i i='+'-⎰ϕφ()()221[][]=''+''⋅≤'≤=---ϕτφττ()()(,)i ii i i i i i i t t t t t t 2211∆∆从而[][]f x y ds f t Li i i ni i i(,)lim [(),()]()()⎰∑=''+''⋅→=λϕτφτϕτφτ0122∆ (2)由于函数[][]'+'ϕφ()()t t 22在[,]αβ上连续, 在λ→0时,小区间[,]t t i i -1的长度∆t i n i →=012(,,,) 。
那么在[,]t t i i -1上,[][]''+''ϕτφτ()()i i 22与 [][]'+'ϕτφτ()()i i 22只相差一个∆t i 的高阶无穷小, 因此, 我们可以把(2)式右端的'τ换成τi ,有[][]f x y ds f t L i i i ni i i (,)lim [(),()]()()⎰∑='+'⋅→=λϕτφτϕτφτ0122∆而右端和式的极限,就是函数[][]22)()()](,)([t t t t f φϕφϕ'+'在区间],[βα上的定积分。
由于函数是连续的,故此定积分存在,因此,上式左端的曲线积分亦存在,且有[][]dtt t t t f ds y x f L22)()()](),([),(φϕφϕβα'+'=⎰⎰ (3)强调指出, (3)式中的定积分下限α一定要小于上限β,理由是 (2)式中的∆t i 由表达式[][]∆∆s t i i ii =''+''⋅ϕτφτ()()22 给出,因小弧段的长度∆s i >0, 从而∆t t t t t i n i i i i i >⇒->⇒>=--001211(,,,)因此 βα=<<<<<<<=--n n i i t t t t t t 1110利用(3)式,可导出如下几种对弧长的曲线积分计算公式 1、曲线L 由方程y x a x b =≤≤φ()()给出时,[]f x y ds f x x x dxLab(,)[,()]()⎰⎰=+'φφ122、曲线L 由方程x y c y d =≤≤ϕ()()给出时,[]f x y ds f y y y dyLcd(,)[(),]()⎰⎰=+'ϕϕ123、空间曲线Γ由参数方程)()()()(βαωφϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x给出时,[][][]dtt t t t t t f ds z y x f 222)()()()](),(),([),,(ωφϕωφϕβα'+'+'=⎰⎰Γ【例1】计算x y ds L22+⎰,其中L 为圆周x y ax a 220+=>() 【解法一】L 可化为参数方程()()x a y a -+=22222x a y a =+=⎧⎨⎪⎩⎪⎪≤≤21202(cos )sin ()θθθπ[][]sin cos '+'=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥+⎡⎣⎢⎤⎦⎥=x y a a a 2222222θθ 2cos)cos 1(2222θθa a y x =+=+)2(2cos 2cos 220220222θθθθππd a d a ds y x L ⎰⎰⎰==+22222cos 2cos a tdt a dt t a ===⎰⎰ππ【解法二】曲线L 关于x 轴对称,设L1是在x 轴上方的一支,则方程应为 y ax x x a =-≤≤20()而被积函数f x y x y (,)=+22在L 上关于x 轴偶对称,故x y ds L22+⎰=+⎰2221x y dsL=⎰21axdsLdx x ax x a ax a2202212⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⋅=⎰=⋅-+--⎰24240222ax ax x a x ax x dx a()()()=-⎰2402ax a x a x dxa ()=-⎰a a dxa xa[]=--a a a xa20=22a【例2】计算半径为R ,中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为ρ=1)。
解:建立如图所示的坐标系则 I y dsL=⎰2而L x R y R :cos sin ()==⎧⎨⎩-≤≤θθαθα于是I R R R d =-+-⎰2222sin (sin )(cos )θθθθαα=-⎰R d 32sin θθαα=⎰2320R d sin θθα=-⎰21223R d cos θθα=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥21214230R θθαsin=-R 3122(sin )αα。