(整理)对弧长的曲线积分.

对弧长的曲线积分

一、概念的引进

假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度

为ρ(,

)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的

质量m 。

在L 上任意地插入n +1个分点

A M M M M M M

B i i n n ==--0111,,,,,,,

将L 分划成n 个小弧段。对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数

ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于

ρξηξη(,)(,),

i i i

i i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11

于是,整个曲线弧L 的质量近似值为

m s i i i

i n

≈⋅=∑ρξη(,)∆1

用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即

λ=≤≤max {}

1i n

i s ∆

为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,

即

m s i i i

i n

=⋅→=∑lim (,)λρξη01

∆ (1)

撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。 【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内

任意地插入n +1点,

A M M M M M M

B i i n n ==--0111,,,,,,,

它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为

弧M i M i -1上任取的一点,记

λ=≤≤max {}

1i n

i s ∆

作和式 f s i i i

i n

(,)ξη⋅=∑∆1

如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01

f s i i i

i n

∆ 存在,

这个极限值就叫做函数

f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作

f x y ds

L

(,)⎰。

亦即 f x y ds f s L i i i i n

(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη0

1

∆

其中:

f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。

注记:

1、f x y ds

L

(,)⎰中的被积函数

f x y (,)的定义域为L 上的一切点。

2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形,

设Γ是空间的一条光滑曲线,函数

f x y z (,,)在Γ上有界,则

f x y z ds f s i i i i i n

(,,)lim (,,)Γ

∆⎰∑=⋅→=λξηζ0

1

3、若L 为一条封闭曲线,一般将f x y ds

L

(,)⎰记为 ⎰L

ds

y x f ),(。

二、对弧长的曲线积分的性质

利用对弧长的曲线积分定义, 我们可以证明下述性质 1、[(,)(,)](,)(,)f x y g x y ds f x y ds g x y ds

L

L

L

±=±⎰⎰⎰

2、若k 为常数,⎰⎰⋅=⋅L

L

ds

y x f k ds y x f k ),(),(

3、的长度

L ds L

=⎰

4、若在L 上,

f x y

g x y (,)(,)≤,则 f x y ds g x y ds

L

L

(,)(,)≤⎰⎰

5、若L L

L =+12,则 f x y ds f x y ds f x y ds

L L L (,)(,)(,)=+⎰⎰⎰1

2

上述性质均不加以证明, 有兴趣的同学可以查阅有关书籍。

三、对弧长曲线积分的计算法

假设曲线L 由参数方程

x t y t t ==≤≤ϕφαβ(),()()

给出,且函数ϕφ()

,()t t 在[,]αβ上具有一阶连续导数；函数f x y (,)在L

上连续；当参数t 由α变至β时, 依点A 至点B 的方向描出曲线L 。

在L 上取一系列的点

A M M M M M M

B i i n n ==--0111,,,,,,

设它们对应于一列单调增加的参数值

αβ=<<<<<<<=--t t t t t t i i n n 0111

依定义

f x y ds f s L

i i i i n

(,)lim (,)⎰∑=→=λξη0

1

∆

这里的(,)ξηi i M i M i ∈-弧1,并设点(,)ξηi i 对应于参数值τi

则 ξϕτηφττi

i i i i i i t t ==≤≤-(),()

1

由弧长计算公式与定积分中值定理有

[][]∆s t t dt

i t t i i

='+'-⎰

ϕφ()()221

[][]=

''+''⋅≤'≤=---ϕτφττ()()(,)i i

i i i i i i i t t t t t t 2211∆∆

从而

[][]f x y ds f t L

i i i n

i i i

(,)lim [(),()]()()⎰∑=''+''⋅→=λϕτφτϕτφτ01

2

2

∆ (2)

由于函数

[][]'+'ϕφ()()t t 22在[,]αβ上连续, 在λ→0时,小区间

[,]t t i i -1的长度∆t i n i →=012(,,,) 。 那么在[,]t t i i -1上,

[][]''+''ϕτφτ()()i i 22

与 [][]'+'ϕτφτ()()i i 22