(整理)对弧长的曲线积分.

对弧长的曲线积分
一、概念的引进
假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度
为ρ(,
)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的
质量m 。

在L 上任意地插入n +1个分点
A M M M M M M
B i i n n ==--0111,,,,,,,
将L 分划成n 个小弧段。

对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数
ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于
ρξηξη(,)(,),
i i i
i i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11
于是,整个曲线弧L 的质量近似值为
m s i i i
i n
≈⋅=∑ρξη(,)∆1
用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即
λ=≤≤max {}
1i n
i s ∆
为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,
即
m s i i i
i n
=⋅→=∑lim (,)λρξη01
∆ (1)
撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。

【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内
任意地插入n +1点,
A M M M M M M
B i i n n ==--0111,,,,,,,
它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为
弧M i M i -1上任取的一点,记
λ=≤≤max {}
1i n
i s ∆
作和式 f s i i i
i n
(,)ξη⋅=∑∆1
如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01
f s i i i
i n
∆ 存在,
这个极限值就叫做函数
f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作
f x y ds
L
(,)⎰。

亦即 f x y ds f s L i i i i n
(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη0
1
∆
其中:
f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。

注记:
1、f x y ds
L
(,)⎰中的被积函数
f x y (,)的定义域为L 上的一切点。

2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形,
设Γ是空间的一条光滑曲线,函数
f x y z (,,)在Γ上有界,则
f x y z ds f s i i i i i n
(,,)lim (,,)Γ
∆⎰∑=⋅→=λξηζ0
1
3、若L 为一条封闭曲线,一般将f x y ds
L
(,)⎰记为 ⎰L
ds
y x f ),(。

二、对弧长的曲线积分的性质
利用对弧长的曲线积分定义, 我们可以证明下述性质 1、[(,)(,)](,)(,)f x y g x y ds f x y ds g x y ds
L
L
L
±=±⎰⎰⎰
2、若k 为常数,⎰⎰⋅=⋅L
L
ds
y x f k ds y x f k ),(),(
3、的长度
L ds L
=⎰
4、若在L 上,
f x y
g x y (,)(,)≤,则 f x y ds g x y ds
L
L
(,)(,)≤⎰⎰
5、若L L
L =+12,则 f x y ds f x y ds f x y ds
L L L (,)(,)(,)=+⎰⎰⎰1
2
上述性质均不加以证明, 有兴趣的同学可以查阅有关书籍。

三、对弧长曲线积分的计算法
假设曲线L 由参数方程
x t y t t ==≤≤ϕφαβ(),()()
给出,且函数ϕφ()
,()t t 在[,]αβ上具有一阶连续导数；函数f x y (,)在L
上连续；当参数t 由α变至β时, 依点A 至点B 的方向描出曲线L 。

在L 上取一系列的点
A M M M M M M
B i i n n ==--0111,,,,,,
设它们对应于一列单调增加的参数值
αβ=<<<<<<<=--t t t t t t i i n n 0111
依定义
f x y ds f s L
i i i i n
(,)lim (,)⎰∑=→=λξη0
1
∆
这里的(,)ξηi i M i M i ∈-弧1,并设点(,)ξηi i 对应于参数值τi
则 ξϕτηφττi
i i i i i i t t ==≤≤-(),()
1
由弧长计算公式与定积分中值定理有
[][]∆s t t dt
i t t i i
='+'-⎰
ϕφ()()221
[][]=
''+''⋅≤'≤=---ϕτφττ()()(,)i i
i i i i i i i t t t t t t 2211∆∆
从而
[][]f x y ds f t L
i i i n
i i i
(,)lim [(),()]()()⎰∑=''+''⋅→=λϕτφτϕτφτ01
2
2
∆ (2)
由于函数
[][]'+'ϕφ()()t t 22在[,]αβ上连续, 在λ→0时,小区间
[,]t t i i -1的长度∆t i n i →=012(,,,) 。

那么在[,]t t i i -1上,
[][]''+''ϕτφτ()()i i 22
与 [][]'+'ϕτφτ()()i i 22
只相差一个∆t i 的高阶无穷小, 因此, 我们可以把(2)式右端的'τ换成τi ,有
[][]f x y ds f t L i i i n
i i i (,)lim [(),()]()()⎰∑='+'⋅→=λϕτφτϕτφτ0
122
∆
而右端和式的极限,就是函数
[][]
2
2
)()()]
(,)([t t t t f φϕφϕ'+'在区间
],[βα上的定积分。

由于函数是连续的,故此定积分存在,因此,上式左端的曲线
积分亦存在,且有
[][]dt
t t t t f ds y x f L
2
2
)()()](),([),(φϕφϕβ
α
'+'=⎰⎰ (3)
强调指出, (3)式中的定积分下限α一定要小于上限β,理由是 (2)式中的∆t i 由表达式
[][]∆∆s t i i i
i =
''+''⋅ϕτφτ()()22 给出,因小弧段的长度∆s i >0, 从而
∆t t t t t i n i i i i i >⇒->⇒>=--001211(,,,)
因此 βα
=<<<<<<<=--n n i i t t t t t t 1110
利用(3)式,可导出如下几种对弧长的曲线积分计算公式 1、曲线L 由方程
y x a x b =≤≤φ()()
给出时,
[]f x y ds f x x x dx
L
a
b
(,)[,()]()⎰⎰=+'φφ12
2、曲线L 由方程
x y c y d =≤≤ϕ()()
给出时,
[]f x y ds f y y y dy
L
c
d
(,)[(),]()⎰⎰=+'ϕϕ12
3、空间曲线Γ由参数方程
)()()()(βαωφϕ≤≤⎪⎩⎪
⎨⎧===t t z t y t x
给出时,
[][][]dt
t t t t t t f ds z y x f 2
2
2
)()()()](),(),([),,(ωφϕωφϕβ
α'+'+'=⎰⎰Γ
【例1】计算x y ds L
22
+⎰
,其中L 为圆周
x y ax a 22
0+=>() 【解法一】L 可化为参数方程
()()
x a y a -+=2222
2
x a y a =+=⎧
⎨
⎪⎩⎪⎪≤≤212
02(cos )sin ()
θθθπ
[]
[]sin cos '+'=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥+⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥=
x y a a a 22
2
2
222θθ 2cos
)cos 1(22
2
2θθa a y x =+=+
)2(2cos 2cos 2202
20222θθθθππd a d a ds y x L ⎰⎰⎰==+
2
2
2
2
2cos 2cos a tdt a dt t a ===⎰⎰π
π
【解法二】曲线L 关于x 轴对称,设L
1是在x 轴上方的一支,则方程应为 y ax x x a =-≤≤2
0()
而被积函数
f x y x y (,)=+22在L 上关于x 轴偶对称,故
x y ds L
22
+⎰
=+⎰2221
x y ds
L
=⎰21
axds
L
dx x ax x a ax a
2
20
2212⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡--+⋅
=⎰
=⋅
-+--⎰
24240
22
2
ax ax x a x ax x dx a
()()()
=-⎰240
2
ax a x a x dx
a ()
=-⎰
a a dx
a x
a
[
]=--a a a x
a
20
=22
a
【例2】计算半径为R ,中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为ρ
=1)。

解:建立如图所示的坐标系
则 I y ds
L
=⎰2
而
L x R y R :cos sin ()
==⎧⎨
⎩-≤≤θθαθα
于是
I R R R d =-+-⎰2222sin (sin )(cos )θθθθ
α
α
=-⎰R d 3
2
sin θθα
α
=⎰23
20
R d sin θθ
α
=-⎰
2122
3
R d cos θ
θ
α
=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥21214230R θθα
sin
=-R 31
22(sin )
αα。