10.1-10.3级数的敛散性判别习题课
正项级数的敛散性判别法(二)
柯西根值判别法
定理2设乌为正项级数，极限= 2存在，则
71 ~OO
(1)^/1 < 1,级数收敛;
(2)若义> 1 (包括4 = 8)
级数发散;
⑶若义=1,
不能由此断定级数的敛散也
例4判别下列级数的敛散性
00
(2)
n=lnn
00
n
3n-l
(1) limVu^ =lim- = 0 < 1
由根值判别法，级数
”"+1
(n+l)"〉 1 n
解
lint—- Um
n-^oo ht8
= lim (n+l)n+2 n—8
=Um (—)n+2 =1
n-»oo \n+17 e
由比较判别法的极限形式,
级数2 00
n=l
m?l+l
^发散
：♦例3判别级数2二亨!（. 其中* ＞ 0）的敛散性
带, 解这是一个正项级数，Un
(2) lim\/u^=liTn
由根值判别法,
例5判断级数
的敛散性（。＞ 0）.
当0=1时，原级数为
,显然是发散的.
当 0 < a < 1时，Um
当 口 ＞ 1时，lim
故当a ＞。且a尹1时，原级数收敛.
例1判别下列级数的敛散性
°°1 n=l ST)!
(2) > \i00
解(1) lim un+l
n n—>00
(2) Um 由比值判别法, (3) lim
(n+1)!
(n+l)n+1 3nn\
(n+1)! 10n
《高等数学》(北大第二版 )第11章习题课
（习题课） 习题课） 10.1 敛散性判定的方法 10.1.1 直接判定法
∞
设级数
∑ a 的部分和数列 S = ∑ a
n =1 n n k =1
∞
n
k
. 为判定
∑a
n =1
∞
的敛
n
散性，只要直接讨论数列Sn 的敛散性即可。
1 例 1 判定级数∑ 的敛散性. n =1 (2n - 1)(2n + 1)
∞
∑u
n =1
n
= u1 + u2 + ⋅ ⋅ ⋅
(1)
∑v
n =1
∞
n
= v1 + v2 + ⋅ ⋅ ⋅ (2)
如果级数（2）收敛，并且当 n ≥ N时，un ≤ vn , 则级（1 ）收敛. 如果级数（1）发散，并且当 n ≥ N时，u n ≤ vn , 则级（2）发散.
例2 判定下列级数的敛散性 :
10.1.5 任意项级数收敛准则
判定任意项级数的敛散性，通常把它转化为相应的绝对值组成 的级数，即一正项级数而加以考虑，这时如果收敛，原级数也收 敛，称为绝对收敛。对于绝对收敛的任意项级数，正项级数的判敛 法都能直接用上.一般地，有关于级数收敛的Cauchy准则：级数
∑u
n
收敛的充要条件为，对于任意给定的ε>0,总存在N,使对任何
∞
1 . p n 1
比值判敛法
对于正项级数
∑ u , 如果
n =1 n
∞
un +1 lim = ρ, n →∞ u n
则当ρ < 1时级数收敛;当ρ > 1时级数发散.
根值判敛法 对于正项级数
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习
第35讲：《同号（正项）级数敛散性判定法》内容小结、课件与典型例题与练习适用于正项(同号)常数项级数的判别法以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负，级数的敛散性不发生变化.另外，由于不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于的项.1、比较判别法用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.【注1】一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有次方项，考虑几何级数比较；包好有的幂级数结构或者n的有理式结构考虑级数（一般值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑的阶乘级数比较。
【注2】对于已知了级数收敛、发散或数列收敛、发散条件的抽象级数敛散性的判定与证明一般使用的方法过为比较法的不等式形式，或者拆项的部分和数列判定方法。
2、比值、根值判别法比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.【注1】当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！【注2】特别注意：极限值等于时，敛散性不确定！3、积分判别法积分判别法包括两个方面的处理方式，一种是将级数项转换为积分区间端点为正整数，长度为的积分描述形式，一般再借助比较法，或者部分和数列方法来讨论；一种是将级数通项的替换为，转换为积分区间为上单调递减的非负函数的反常积分来判定其敛散性.一般判定思路如下图所示：参考课件【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！相关推荐●高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！●历届考研真题及详细参考解答浏览菜单中选项●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部下选项。
高等数学 数项级数的敛散性判别法 课件
定理4 定理 . 比值判别法
un+1 设 为正项级数, 且 lim = ρ, 则 n→∞ un (1) 当 ρ < 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时, 级数发散 .
证: (1) 当ρ < 1时,
un+1 知存在 N ∈Z , 当n > N 时, < ρ + ε <1 un
un = 2 vn − un
n=1
n=1
∑ un , ∑2vn 收敛
n=1
∞
∞
n=1
∑un 也收敛
机动 目录 上页 下页 返回 结束
∞
例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ ; (2) ∑(−1) . n4 en n=1 n=1
sin nα 1 证: (1) Q ≤ 4,而 4 n n
S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −L− (u2n−2 − u2n−1)
− u2n
是单调递增有界数列, 故 又
n→∞
lim S2n+1 = lim( S2n + u2n+1)
n→∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u1,
= ±(un+1 − un+2 +L)
∴ rn = un+1 − un+2 + L ≤ un+1
1) un ≥ un+1 ( n = 1, 2, L);
2)
∞
n→∞
lim un = 0,
n−1 则级数 ∑(−1) un收敛 , 且其和 S ≤ u1, 其余项满足 n=1
数项级数敛散性习题课
limn2
n
1 n2
1.
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
2020/6/10
6
例3 判定 级n 数 1(1coπ)s的收.敛性
n1
n
解 因为
ln i n m 2 3u nln i n m 2 3 n1(1co n π)s
lim n2 n11(π)2 1 π 2 . n n 2n 2
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
根值审敛法 nl im nun 用它法判别
1
1
部分和极限 比较审敛法 积分判别法
收敛
发散
2020/6/10
3
3. 任意项级数审敛法
概念: u n 为收敛级数
n1
若 u n 收敛 , 称 u n 绝对收敛
n 1
n1
若
n1
un
发散 ,
称 un
n1
条件收敛
Leibniz判别法: 若 u nu n 10, 且 nl i mun0,
2020/6/10
7
例4 若级数 an与 bn 均收敛 , 且 ancnbn
n1
n1
(n1,2,),证明级数 c n 收敛 .
n1
证 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(bn a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n1
n1
c n [(cnan)an]
则交错级数 (1)nun 收敛 , 且余项 rn un1.
n1
2020/6/10
4
例1 判 断 级 数 敛 散 性:
n
n1 n
;
n1(n1)n
n
1
1
解
数项级数的敛散性的练习题及解析
数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1nn U∞=∑（ D ）A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n∞=∑收敛 选D2．设1nn U∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ）A ．1nn U∞=∑ B.()12008nn U ∞=∑C ．()10.001n n U ∞=+∑ D ．11n uU ∞=∑解：()12008nn U ∞=∑＝20081nn U∞=∑1nn U ∞=∑收敛∴由性质()12008nn U ∞=∑收敛3．下列级数中一定收敛的是…( A )A ．21014n n ∞=-∑ B ．10244n n nn ∞=-∑ C ．101nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑ D+… 解：214n U n =-0n ≥21n=lim 1n n nU V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ）A ．11n n n ∞=+∑n（－1） B ．()211nn n ∞=-∑C ．1nn ∞=- D ．()1312nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ 解：（1）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（2）11nn ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C5．级数()111cos nn k n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ （k>0）…（ B ）A ．发散B ．绝对收敛C ．条件收敛D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos nn n k k n n ∞∞-=⎛⎫--=- ⎪⎝⎭∑∑1cos n kU n=-222k n =lim 1n n nU V →∞=且1n n V ∞=∑收敛，故选B 6．设正项极数!1lim n nn n nU U p U∞+→∞==∑若则（D ）A..当0<p<+∞时，级数收敛B.当p<1时级数收敛，p ≥1时级数发散C.当p ≤1时级数收敛，p>1时级数发散D.当p<1时级数收敛，p>1时级数发散解：当P<1时级数收敛，当P>1时级数发散，当P ＝1时失效。
正项级数的敛散性习题+小测+详解(精)
6．解：∵ ，∴原级数发散。
7．解：∵ ，而 发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵ ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
9．解：∵ ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵ ，而 ，故 ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
Part B
用定义判断下列级数的敛散性
解：分两种情形说明：
（1）当 时， （ ），级数 发散，由比较判别法知 发散。
（2）当 时，任取一 ， ，由于
级数 收敛（ ），由比较判别法的极限形式知 收敛。
8.求 。
解：令 ，考察级数 ， ，且
由比值判别法知 收敛，故由级数收敛的必要条件知 ，亦即 。
9.设 （ ）， ，试判别级数 的敛散性。
解：令 ，由 知数列 严格单调递增，亦即 ，且 ，故有
PartC
1．用定义判断下列级数的敛散性
2．设 ， ，判断级数
的敛散性。
判断下列正项级数的敛散性
3． ；4． ；5． ；
6．判断级数 的敛散性。
1．解：
,
故原级数收敛，且和为 。
2．证： ，由比较判别法知原正项级数收敛。
3．解：∵ ， ，∴由比值判别法知，原级数发散。
4．解：考虑函数 ， ， ，由 得 ，易知 时 的最大值，所以当 地， ，∴ ，但 为收敛的几何级数，∴原级数也收敛。
与 的敛散性相同。（ 时， ）
3.
解：由于
（ 时， ）
收敛，由比较判别法的极限形式知 收敛。
4.设 为常数，讨论级数 的敛散性。
解：分三种情形说明：
（1）当 时，
由级数收敛的必要条件知 发散。
（2）当 时， ，由级数收敛的必要条件知 发散。
10.3数项级数的收敛性判别法(1)
1+ n 由比较判别法知，级数∑ un = ∑ 发散. 2 n =1 n =1 1 + n
12
∞
∞
n! 例5 判断级数 ∑ n 的敛散性. n =1 n
但
p ≤ 1, 级数发散 .
21
∞
例12 讨论级数
∑n x
n =1
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: ∵ lim n − 1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收 敛 ; 当 x > 1时, 级数发散 ;
n− N
u N +1
k ( ρ + ε ) 收敛 , 由比较判别法可知 ∑
∑ un 收敛 .
20
(2) 当ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N
u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > ⋯ > u N
(1) 当0 < l <∞时, 取 ε < l , 由定理 2 可知
∑ u n 与 ∑ vn
n =1 n =1
∞
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知 若 ∑ vn 收敛 , 则 ∑ u n 也收敛 ;
微积分第二版课件第二节数项级数敛散性判别法
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件为：它的 n1
前n 项部分和所构成的数列 {Sn}有上界.
定理(比较判别法1) 设两个正项级数 un与 vn ,
n1
n1
如果满足 un vn ,(n 1,2,)，那么
(1) 若 vn收敛, 则 un 收敛.（大的收敛小的必收敛）
n1
n1
(2) 若 un 发散, 则 vn 发散. (小的发散大的必发散）
kvn (k
0) ，则正项级数
un
也发散.
n1
例
判定级数
(1)
n1
1 2n
; 1
(2)
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解
(1)因为
un
1 1 0(n 1,2,) 2n 1 2n
而级数
1
发散，由比较法知
1
发散.
n12n
n12n 1
(2)对于正项级数
n1
n n 2n 1
因为
un
n
n
比值的极限 lim un1 ，则
n1
n un
（1）当 1时，级数收敛；
（2）当 1 时，级数发散；
（3）当 1时，级数可能收敛也可能发散.
说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主 要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数
的敛散性.但当 1 时，判别法失效.
例
判定 (1)
综合上述有 n1n1p当p 1时收敛，0 p 1时发散.
例 判定 (1)
1
, (2)
1
的敛散性.
n1(n 1)(n 4) n1n n 2
解
(1)因为 0 un
(习题解答)习题9 常数项级数收敛性的判定
习题 9-21.判断下列级数的敛散性.<1）； <2）； <3）；<4）； <5）； <6）<）．解：<1）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<2）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<3）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为<），且调和级数发散；则由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而，所以，即，又调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<4）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<5）；因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。
<6）<）．当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，且级数是公比为<）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
无穷级数习题课及答案
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=1100!n nn 2．()∑∞=++1332n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=---11121n n n n ；2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3．Λ++-+++-144133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1．∑∞=13n nn x n；2．∑∞=1!n nx n ；3．()∑∞=-1121n nnx n；4．∑∞=+-112121n n n x；5．∑∞=123n nn x n求下列级数的和函数1．∑∞=-11n n nx；2．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3．x1，30=x ； (B)用定义判断下列级数的敛散性()()∑∞=++043131n n n 判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=+1n )1(1n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞=13n n n ；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=-⋅-11311n n n n ；2．()∑∞=--1n1211n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间1．()∑∞=-121n nnn x ；求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞=--11)1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑∞=-112n n n 的和；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．()13212+-=x x x f ，00=x ；2．()21x x f =，10=x。
数项级数的敛散性判别法-数项级数敛散性判别法
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性.
解:根据比较判别法的极限形式知
例4. 判别级数
解:根据比较判别法的极限形式知
～
定理4 . 比值判别法
设 为正项级数, 且
则
(1) 当(2) 当证: (1)
时, 级数收敛;或 时, 级数发散.
收敛, 由比较判别法可知
因此
所以级数发散.
2) 若
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在 对一切
发散.
证: 因为
而级数
发散
根据比较判别法可知, 所给级数发散.
例2. 证明级数
定理3. (比较判别法的极限形式) 设两正项级数满足 则有
当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散;当 l = 0当 l =∞证: 据极限定义,
由定理 2 可知
(3) 当l = ∞时,
即
由定理2可知, 若
发散,
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散;
由定理2 知
(2) 当l = 0时,若 收敛,
是两个正项级数,
(1) 当
特别取
(2) 当
且
(3) 当
时, 两个级数同时收敛或发散;收敛时, 也收敛;
且 发散时, 也发散.对正项级数 可得如下结论:
第二节
数项级数敛散性判别法一、正项级数敛散性判别法二、交错级数与任意项级数的敛散性
第五章
一、正项级数及其判别法
收敛
部分和序列
有界.
收敛,
∴部分和数列
有界, 故
又已知
故有界.
若 则称定理 1. 正项级数
为正项级数.
无穷级数敛散性练习题含答案
无穷级数敛散性练习题（含答案）1.判断级数∑∞=1n n的敛散性。
解：u n =n, s n =1+2+3+…+n, →n lim s n =s ，该极限存在故原级数是收敛的2.判断级数∑∞=121n n的敛散性解：u n=21n,u n =21×21n-1,q =21<1,故原级数是收敛的若q ≥1，则说明级数是发散的3.若级数)(∑∞=-12n n u 是收敛的，求n n u lim ∞→解：有题意可知，)(n n u -∞→2lim =0，则n n u ∞→lim =2 若级数∑∞=1n n u 收敛，则通项n u 必趋于零，即n n u lim ∞→=0反之，未必成立4.证明调和级数∑∞=11n n 是发散的证明：取前2n项和n s 2=1＋21＋31＋41＋…＋n21n s 2=1+21+31+41+51+61+71+81+…+n21=1+21+（31+41）＋（51＋61＋71＋81）＋…+（1211+-n ＋…+n21）>21＋（41+41）+（81+81+81+81）+…+（n21+n21+…+n21)=21+21+21+…+21 =2n n s n 2lim∞→≥2limn n ∞→=+∞，所以该级数是发散的若级数∑∞=1n n u 的通项u n ,当∞→n 时（注意是∞→n ，而不是1→n 或0→n ）n n u ∞→lim ≠0，则级数∑∞=1n n u 是发散的5.p 级数的敛散性，级数∑∞=11n pn，当p ≤1时发散，当p >1时收敛 讨论级数∑∞=+12)1(1n n 的敛散性解：因为2)1(1+n <)1(1+n n ∑∞=+1)1(1n n n ，u n=)1(1+n n =（n 1－11+n ）s n=（1－21+21－31＋31＋…+11-n －n 1）s n=（1－n1），n n s l i m ∞→=1故该级数是收敛的令u n =2)1(1+n ，v n =)1(1+n n6.判别级数∑∞=+1211n n的敛散性解：因为调和级数∑∞=11n n 发散nn n 1112lim+∞→=1,0<1<＋∞故级数∑∞=+1211n n是发散的设级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都是正项级数，且nn n v u lim∞→=L若L=0,且级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛若L=＋∞且级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散7.p 级数敛散性的经验判别法∑∞=1n nu ，nu 关于n 的有理分式，当分子n 的最高次数为k ，分母n 的最高次数为m 若m －k >1,该级数是收敛的 若m －k ≤1,该级数是发散的例如级数∑∞=+121n n n，k=1,m=2,故该级数是发散的8.比值判别法 设∑∞=1n n u 为正项级数，且nn n u u 1lim+∞→=ρ（n u 中含n a ，n!) 当ρ<1，级数收敛当ρ>1（或ρ=+∞），级数发散 当ρ=1，级数可能收敛也可能发散 判别级数∑∞=1!n n nn 的敛散性解：n u =n n n !nn n n n n n !)1()!1(1lim+∞→++=!)1()1(!1limn n n n n nn n ∙+++∞→ =nnn n n )1(lim+∞→ =nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→1lim=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n 111lim=e1 ρ=e1<1故该级数收敛。
探索级数与收敛性级数收敛与发散判断练习题
探索级数与收敛性级数收敛与发散判断练习题在数学中，级数是由一系列项组成的无穷序列的和。
级数的收敛性与发散性是在数学分析领域中的重要概念。
本文将通过一些练习题来探索级数的性质，并判断它们的收敛性或发散性。
练习题 1：考虑以下级数：1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ...这是一个等比级数，公比为0.5。
我们知道，等比级数收敛的条件是公比的绝对值小于1。
因此，在这个练习题中，公比的绝对值为0.5，小于1。
因此，这个级数收敛。
练习题 2：考虑以下级数：1 + 2 + 3 + 4 + ...这是一个等差级数，差为1。
我们知道，等差级数是发散的，因为它的项随着索引的增长而线性增长。
因此，这个级数发散。
练习题 3：考虑以下级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...这是一个交错级数，它的每一项交替正负。
解决这类级数的方法是通过部分求和。
我们可以发现，当部分求和的项数是偶数时，它的和是0；当部分求和的项数是奇数时，它的和是1。
因此，这个级数是发散的。
练习题 4：考虑以下级数：1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ...这个级数在练习题 1 中已经出现过了。
这个级数是一个等比级数，公比为0.5。
我们已经知道，这个级数收敛。
练习题 5：考虑以下级数：1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...这个级数是一个阶乘级数。
我们知道，阶乘级数收敛的条件是项趋于零。
这是因为阶乘的增长速度非常快，因此项会随着索引的增大而趋于零。
因此，这个级数收敛。
练习题 6：考虑以下级数：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...这个级数是一个几何级数，公比是1/2。
几何级数收敛的条件是公比的绝对值小于1，而在这个级数中，公比的绝对值是1/2，小于1。
因此，这个级数收敛。
练习题 7：考虑以下级数：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...这个级数是一个调和级数。
调和级数是发散的，这是因为当 n 趋于无穷大时，调和级数的部分和趋近于无穷大。
习题课级数的收敛求和与展开
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 、
1
n1 n1
收敛 ,
故
(3)
(1)
n1
n
ln
n
n
1
因
un
ln
n 1 n
ln (1
1) n
单调递减,
且
lim
n
un
0
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln n 1 lim n ln k 1
n1 n
n k 1 k
n
lim ln( k 1) ln k
]n
xn
的收敛半径.
解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成得级数
k (x)
k 1
42k k 1 2k
x2k ,
k
k 1
(x)
22k 1 x2k 1 k 1 2k 1
lim
n
n1( x) n (x)
(4x)2,
R1
1 4
lim
n
n1( x) n (x)
(2x)2 ,
R2
1 2
∵ 原级数 = k (x) k (x)
1
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1[cos 1 sin1] 2
四、函数得幂级数展开法
1、 函数得幂级数展开 •法直接展开法 — 利用泰勒公式
• 间接展开法 — 利用已知展式得函数及幂级数性质
例题:
1
1、 数
解:
将函 (2
1 (2 x)2
x)2
2
展开成 x 得幂级数、
n k 1
lim ln( n 1)
级数敛散性判断习题
n 1
(c n a n ) a n 收敛
n 1
n 1
例2. 判别下列级数的敛散性:
1
提示: (1)
lim
n
nn
1 n
n
lim
n
1 nn
据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .
(3)
n1
n
cos 2 2n
nπ 3
:
, 原级数发散
0
n
cos 2 2n
(1 x 1)
例8
将 f(x)
x
展开成麦克劳林级数.
(x 1)(1 x)2
解
f
(x)
1 4(1 x)
1 4(1
x)
1 2(1
x)2
1 x n 1 (1)n x n 1 1 '
4 n0
4 n0
21 x
1 (1 (1)n )x n 1 nx n1
2
x 3n2 |
2 | x |3
n | un ( x) |
n
n
| n2 2 x 3n1 |
收敛域为 1 x 1 ,
62
62
n
xS( x) n2 2 x 3n n( 2x 3 )n
n1
n1
2x2
S(x) (1
2x 3 )2
x ( 1 , 1 ) 62 62
例5
求级数
x 2n 收敛域及和函数.
n0 (2n)!
解 lim | un1 ( x) | lim x 2n2 (2n)! 0 n | un ( x) | n (2n 2)! x 2n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n
x
x x
exp{lim 1 } e0 1; x x
lim n
un
1
0,
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
ncos2 n
(2)
n1
2n 3 ;
解
un
n cos 2 2n
n 3
n 2n
,
令
n vn 2n ,
lim vn1 v n
n
n 1 2n lim 2 n n n1
n1 lim 2n n
称s( x)为函数项级数的和函数.
二、典型例题
例1
nn
n1 (n 1 )n ;
n
1
1
解
un
nn (n
nn 1 )n
(1
nn 1
)n
,
n
n2
lim(1 n
1 )n n2
lim[(1
n
1
1
)n2 ]n
n2
e0
1;
1
lim nn
1
lim x x
exp{lim 1 ln x}
n1
(2) 比较审敛法的极限形式
设
n1
un
与
n1
v
n
都是正项级数,如果lim n
un vn
l,
则(1) 当0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0 时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
(3) 极限审敛法
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性.
性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件:
lim
n
un
0.
常数项级数审敛法
一般项级数 正 项 级 数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散; 3.按基本性质;
第十一章 无穷级数
习 题 课一 主要内容 典型例题
1、常数项级数
定义
un u1 u2 u3 un
n1
n
级数的部分和 sn u1 u2 un ui
i 1
级数的收敛与发散
常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
故 1 当 n 1时单减, n ln n
1
1
un n ln n (n 1) ln(n 1) un1 (n 1),
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
问题:
交 错 级 数 (1)n1 un , 如 果 它 不 满 足 n1
,
原级数也发散．
n
例２
判断级数
n1
(1)n n ln n
是否收敛？如果收敛，
是条件收敛还是绝对收敛？
解
1 1, n ln n n
而 1 发散, n n1
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理：
n1 n ln n
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
(2) 收敛点与收敛域
如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点,否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
(3) 和函数
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
4.绝对收敛
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
2、正项级数及其审敛法
定义
un , un 0
n1
审敛法 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
(1) 比较审敛法
若 un 收敛(发散)且vn un (un vn ),
n1
则 vn 收敛(发散).
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n0
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
5、函数项级数
(1) 定义
设 u1( x), u2 ( x),, un ( x), 是 定 义在 I R 上
的函数,则 u1( x) u2 ( x) un ( x)
由于 lim n n 1, n
lim n ln(n 2) 1,
n
lim n
n
un
1. a
当 a 0 即 0 1 1时, 原级数收敛； a
当 0 a 1即 1 1时, 原级数发散； a
当 a 1时,
原级数为
n1
ln(n (1
1
2), )n
n
lim
n
ln(n (1
2) 1 )n
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
( ⅰ )un
un1
(n
1,2,3,);(
ⅱ
)lim n
un
0, 则
级 数 收 敛 , 且 其 和 s u1, 其 余 项 rn 的 绝 对 值
rn un1.
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
设 un 为正项级数,
n1
如果lim n
nun
l
0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
(4) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
设
n1
un
是正项级数,如果lim n
un1 un
(数或 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(5) 根值审敛法 (柯西判别法)
设 un 是正项级数,
n1
如果lim n n
un
(为数或 ),
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
lim ln n lim ln x lim 1 0,
n n
x x
x x
1
lim n n
1 ln n
lim
n
1
n ln n
0,
n
f ( x) x ln x ( x 0),
f ( x) 1 1 0 ( x 1), x
在 (1,) 上单增, 即 1 单减, x ln x
1 1, 2
n 收敛, 根据比较判别法， 原级数收敛．
2n
n1
(3)
ln(n 2) n1 (a 1 )n
(a 0).
n
解
lim n
n
un
n
lim
n
ln(n 2) a1
1 lim n
a n
ln( n 2),
n
n 2 时, n 2 en , 从而有
1 n ln(n 2) n n,