圆周角定理
圆周角定理及其证明
圆周角定理及其证明圆周角定理是几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的圆周角与其对应的弧度之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值。
下面将对圆周角定理及其证明进行详细介绍。
我们需要明确什么是圆周角。
圆周角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为相切于圆的两条弦。
在圆周角中，我们可以观察到一个有趣的现象：无论弦的长度如何变化，圆周角的大小始终保持不变。
这个现象被称为圆周角的度量唯一性。
为了形式化地描述圆周角定理，我们引入以下定义：当圆周角的两条弦分别与圆的直径相交时，这个圆周角被称为直径角。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出结论：直径角恒等于180度或π弧度。
接下来，我们将证明圆周角定理。
证明：设圆的半径为r，圆周角对应的弧长为l，直径角对应的弧长为L。
根据圆的性质，我们知道圆的周长C等于2πr。
由于直径角等于半圆，所以L等于半圆的弧长，即L等于πr。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出以下等式：l / C = L / 2πr将C和L的值代入上述等式，我们得到：l / 2πr = πr / 2πr经过简化后，我们得到：l / 2r = r / 2r进一步简化，我们得到：l = r由此可见，圆周角对应的弧长等于圆的半径。
这个结论可以推广到任意圆周角，无论弦的长度如何变化，圆周角的度量始终等于圆的半径。
通过上述证明，我们可以得出圆周角定理的结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算圆周角的度量，从而解决各种几何问题。
总结起来，圆周角定理描述了圆周角与其对应的弧度之间的关系。
通过证明，我们可以得出结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
在实际应用中，我们可以根据圆周角定理来计算圆周角的度量，从而得到所需的几何信息。
圆周角6个定理
圆周角6个定理
圆周角定理是指在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
该定理也称为圆周角定理或圆心角定理。
除此之外，还有以下五个圆周角定理:
1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 相等的圆周角所对的弧也相等。
3. 半圆所对的圆周角是直角。
4. 90 度的圆周角所对的弦是直径。
5. 在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
这些圆周角定理对于解决几何问题非常有用，例如可以用同弧所对的圆周角相等来证明等腰三角形的判定定理。
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
初三数学圆周角知识点
初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点初三数学圆周角知识点11、定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。
(两条件缺一不可)2、定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、推论：1)在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
2)直径(半圆)所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的弦为直径。
(①常见辅助线：有直径可构成直角，有900圆周角可构成直径;②找圆心的方法：作两个900圆周角所对两弦交点)4、圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。
(任意一个外角等于它的内对角)补充：1、两条平行弦所夹的弧相等。
2、圆的两条弦1)在圆外相交时，所夹角等于它所对的两条弧度数差的一半。
2)在圆内相交时，所夹的角等于它所夹两条弧度数和的一半。
3、同弧所对的(在弧的同侧)圆内部角最大其次是圆周角，最小的是圆外角。
初三数学圆周角知识点2一、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆 )b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.二、圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形三、推论解释说明圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.。
圆周角定理及推论
4.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交 DC于F．求证：∠AMD=∠FMC．
3．提示：连接MB．因为AB是⊙O的直径，所以 提示： 提示 ∠AMB=∠
从而∠AMD=∠FMC．
5．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一 条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F， DB交AC于G．求证：AF=FG．
2.如图，在⊙O中，弦AB、CD垂直相交于点 如图， 中 、 垂直相交于点 如图 E，求证：∠BOC＋∠AOD＝ 180度 ，求证： ＋ ＝ 度
∠BOC＋∠AOD＝∠1+∠3 ＋ ＝ ∠ ＝2∠2+2∠ABD ∠ ∠ ＝2（∠2+∠ABD） （ ∠ ） ＝2 ×900 ＝1800
3.如图，在梯形 ABCD,AD∥BC,∠BAD=135°，以A为圆心 ，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点， 并交BA延长线与G，求弧BF的度数
练习
求圆中角X的度数
120° O A
.
B A
70° x
O X
.
推论1
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆 周角相等，他们所对的弧一定 相等。
推论2
直径（半圆）所对的圆周角是 直角
推论3
如果三角形一条边上的中线等 于这条边的一半，那么这个三 角形是直角三角形
圆周角 定理及推论
圆周角定义
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相 交的角叫做圆周角。
如图所示：∠ACB 为圆周角
圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角的度 数是圆心角度数的一半。也可 以说成：一条弧所对的圆周角 等于圆心角的一半。
几何语言：
圆周角定理及推论证明
圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。
圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。
在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。
首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。
这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。
因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。
其次，我们需要了解乘法原理。
乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。
根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。
现在，我们开始证明圆周角定理。
为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。
我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。
首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。
连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。
根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。
那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。
接下来，我们观察△COD和△EOC。
由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。
同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。
再来看△AOD和△BOC。
由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。
圆周角定理——精选推荐
圆周⾓定理
圆周⾓定理指的是⼀条弧所对圆周⾓等于它所对圆⼼⾓的⼀半。
这⼀定理叫做圆周⾓定理。
该定理反映的是与的关系。
已知在⊙O中，∠BOC与圆周⾓∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆⼼O在∠BAC的⼀边上时，即A、O、B在同⼀直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（）
∵∠BOC是△AOC的
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆⼼O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等⾓）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外⾓
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三⾓形的外⾓等于两个不相邻两个的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三⾓形的外⾓等于两个不相邻两个内⾓的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC。
圆周角定理及其推论
1 圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．4．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ．例2 如图，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ．2 三、苏州市中考例举1、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是2、如图，已知A 、B两点的坐标分别为()、(0，2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P 的坐标为3、如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45° ②AC=AB ③AE BE = ④CE ·AB=2BD 2．4、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BM 平分∠ABC 交AC 于M ，以A 为圆心，AM 为半径作OA 交BM 于N ，AN 的延长线交BC 于D ，直线AB 交OA 于P 、K 两点．作MT ⊥BC 于T(1)求证AK=MT ；(2)求证：AD ⊥BC ；(3)当AK=BD 时，求证：BN AC BP BM=．。
圆周角定理课件
总结和回顾
圆周角定理是几何学中重要的概念，它帮助我们理解和解决与圆相关的各种问题。
2 计算问题
通过圆周角的公式，我 们可以解决各种与圆相 关的数学计算问题。
3 工程应用
圆周角的概念在建筑、 设计和工程领域有广泛 应用，帮助解决实际问 题。
圆周角定理的证明
1
步骤一
通过绘制辅助线和应用几何定理，建立圆周角定理的几何模型。
2
步骤二
利用圆周角的定义和性质，推导出圆周角定理的数学表达式。
圆周角的弦长
圆周角对应的弦长等于圆半径乘以2sin(圆周角的度数/2)。
圆周角的性质
相等的圆周角
当两个圆周角的圆心角度数相 等时，其圆周角相等。
互补的圆周角
两个互补的圆周角的度数和为 360度。
切线与圆周角
切线与相交弦所对的圆周角相 等。
圆周角的应用
1 几何证明
圆周角的性质在几何证 明中经常被本节课的演示文稿，让我们一起探索圆周角的定理以及其应用。
圆周角定义
圆周角指的是以圆心为顶点的角，其两条边分别是与圆相交的弧，通常用字 母表示，如∠ABC。
圆周角的公式
圆周角的度数
圆周角的度数等于其对应的弧所对的圆心角的度数。
圆周角的弧长
圆周角对应的弧长等于圆周长乘以圆周角的度数除以360。
3
步骤三
进行严格的逻辑推理和证明，验证圆周角定理的准确性。
圆周角定理的例题
例题一
在半径为5cm的圆中，∠ABC 对应的弧长为15cm，求∠ABC 的度数。
例题二
已知∠ABC的度数为60度，圆 半径为8cm，求∠ABC对应的 弦长。
例题三
若两个圆周角的圆心角相等， 一个圆周角的度数为110度， 求另一个圆周角的度数。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。
圆周角的特点:
(1)角的顶点在圆上;
(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.
圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:
解题规律:
解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。
圆周角定理及其推论的证明和应用
圆周角定理及其推论的证明和应用圆周角定理是数学中一个最重要的定理。
它解释了多边形与圆的关系，是众多大学数学课程中的重要内容之一。
圆周角定理的证明和应用在不同的领域都有广泛的使用。
本文将讨论圆周角定理本身的证明，以及它的推论在数学和物理领域的应用。
一、圆周角定理圆周角定理告诉我们，对于任意多边形，其顶点和圆心之间的夹角之和等于$360^{circ}$。
它用数学语言来表达就是：若多边形$ABC…N$的顶点在圆心O的同一侧，则有$A + B + C + + N =360^{circ}$。
也就是说，当多边形的顶点位于同一侧的O时，其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
二、证明圆周角定理圆周角定理通常用几何证明。
以正多边形为例，证明其顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
首先，画出多边形然后证明相邻边之间的夹角等于$180^{circ}$。
其次，当多边形向内折叠时，所有相邻边夹角之和等于其内角之和，因此折叠完成后，所有内角的和为$180^{circ} times n$，其中$n$是正多边形的边数。
此时，由于所有内角之和为$180^{circ} times n$，而多边形上的所有角之和为$360^{circ}$，因此所有顶点夹角之和等于$360^{circ}$。
三、圆周角定理的应用1、数学领域：圆周角定理在数学中的应用很广泛。
它可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径等。
此外，它还可以用来解决给定多边形的顶点或边，求其它顶点和边的问题。
2、物理领域：在物理领域，圆周角定理也有一些应用。
圆周角定理可以用来研究多体系统，如物体在圆周上运动时，其加速度可以根据圆周角定理求得。
圆周角定理也可以用来计算静电场，求出电荷的等值压力等。
四、总结本文讨论了圆周角定理的证明与应用。
圆周角定理表明正多边形的顶点到圆心O的角度之和等于$360^{circ}$。
圆周角定理在数学和物理领域都有广泛的应用，可以用来求正n边形的面积，平均线长，内接圆半径，外接圆半径，研究多体系统，求出电荷的等值压力等。
初中圆的十八个定理
初中圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分成n（n≥3），依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
18、(d是圆心距，R、r是半径)①两圆外离d>R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r<dr；④两圆内切d=R-r （R>r）；⑤两圆内含dr。
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论
观察：
•在圆A上点C、G固定，观察点B运动的同时弧CB圆周角大小与它的圆心角大小的关系。
结论：同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一
半。
观察：
•保持圆A的大小不变固定C点F点，点G在圆上任意移动，观察圆周角CGF的大小的变化？
结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
观察：
•在圆A中，点T沿圆运动，观察直径RS所对圆周角的大小。
结论：半圆或直径所对的圆周角是直角。
观察：
•任意改变圆内接四边形的形状，观察对角的和。
结论:圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都它的内对
角。
总结:
定理：同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推理2：半圆或直径所对的圆周角是直角。
推理3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都它的内对角。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角定理及推论
圆周角定理及推论圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
圆周角的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
②900的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角。
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角例1：如图，点A、B 、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=840，那么∠ACB的大小是例2：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=360，则∠ADC的度数是（）A．44°B．54°C．72°D．53°例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD，（1）证明：C B∥P D；（2）若B C＝3，，求⊙O的直径．1、（北京四中模拟）如图，弧BC与弧AD的度数相等，弦AB与弦CD交于点E，︒=∠80CEB,则CAB∠等于（）A．︒30B．︒40C．︒45D．︒602.（2011年北京四中中考全真模拟16）已知一弧长为L的弧所对的圆心角为120°那么它所对的弦长为( )A、3 34ΠL B、3 24ΠL C、3 32ΠL D、3 22ΠL（第3题图）3.（2011浙江杭州模拟7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=75o ，∠C=45o ，那么∠AEB 度数为（ ）A. 30o B . 45o C. 60o D. 75o4.(2011浙江省杭州市10模) 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．22C ．2D ．25.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ( )A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒C ABD （第5题） O（第4题图）。
初中圆周角定理
初中圆周角定理圆周角定理是中学数学中非常有重要的定理之一，它是由欧拉和塔利·布拉斯发现的，被广泛应用于日常生活中和许多学科中，特别是在数学和物理中。
下面我们来详细了解一下圆周角定理。
一、圆周角的定义在一个圆形中，圆心与圆上任意两个点所构成的角称为圆周角。
圆周角的大小是按照它所对应的圆弧长来计算的。
当圆周角的度数等于360°时，它就成为了一个完整的圆周。
1.圆周角等于半圆角：一个圆的直径所对应的半圆角是90 °。
因此，圆周角的度数显然是180°。
2.圆周角的大小只取决于圆弧的长度：在一个圆中，对于任意给定的圆弧，其所对应的圆周角的大小都是唯一确定的。
这就意味着，一旦我们知道了圆周角所对应的圆弧的长度，我们就能够准确地计算出圆周角的大小。
3.在同一条弦上的圆周角相等：当只考虑圆弧时，同一条弦上的圆周角大小是相等的。
4.在相等的圆弧所对应的圆周角也是相等的：如果两个圆弧的长度相等，那么所对应的圆周角大小也是相等的。
三、如何计算圆周角的大小在许多情况下需要计算圆周角的大小，下面我们来介绍一些实用的方法：1.使用弧度制：我们可以把圆周角大小表达成弧度制，其中1弧度对应的是圆弧的长度等于半径的弧长。
因此，我们可以利用圆弧长度和半径的关系简单地计算出弧度数。
2.使用角度制：如果需要在角度制下计算圆周角的大小，我们可以利用公式：圆周角的大小 = 圆弧的长度× 180°/πr。
其中，π是圆周率，r是圆的半径。
3.用正弦、余弦和正切函数来计算：如果我们知道圆周角的一个角度和半径的大小，我们可以使用三角函数来计算圆周角的大小。
我们可以使用下列公式来计算正弦、余弦和正切函数值：sinθ= a/r，cosθ=b/r，tanθ=a/b，其中，a和b是圆周角的两条边的长度，而r是圆的半径。
四、应用圆周角定理在许多应用中都有很大的作用，以下是一些典型的应用：1.在工程学中，圆周角定理有助于计算圆形结构中的挠曲和变形。
圆周角定理
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
例４． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
Ｂ Ｄ Ｃ 例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,
３．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法． (2)等弦所对的圆周角相等或互补；
一．圆周角定理
A
A
O●
●
C
O
B
C
B
A
C O●
B
一. 圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，B C
A
A
所对的圆周角和圆心角分别
是∠BAC, ∠BOC ．
O ●
●
求证：∠ BAC=
1
∠
BOC
B
O
C
C
2
B
分析２: 以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及 相应的圆心角，如下图（２），（３）所示．只要能将它们 化归为（１）的特殊情形，问题就能解决．
延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 已知：如图，在⊙O中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC ．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
小结： 圆周角／圆心角定理
• １．圆心角（central angle）：顶点在圆心上的角叫做圆 心角．(1)在同圆或等圆中，两圆心角相等⇔其所对的弦 （或弧）也相等；(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度 数．
第一章 §2 2.1 圆周角定理
2．1 圆周角定理对应学生用书P12]1．圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(2)符号语言：在⊙O BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC＝(3)图形语言：如图所示．2．圆周角定理的推论(1)推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系．2．推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．对应学生用书P13]利用圆周角定理解决计算问题[例1][思路点拨] 本题主要考查圆周角定理．顶点A的位置不确定，所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧．[精解详析] (1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图①所示．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BAC＝∠BOC＝55°.(2)当点A和圆心O在BC的异侧时，如图②所示．设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点，连接PB，PC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BPC＝∠BOC＝55°.∴∠BAC＝180°－∠BPC＝180°－55°＝125°.综上所得，∠A的度数是55°或125°.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件．1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )A．40° B．25°C．50° D．60°解析：选A 连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.[例2] 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4 cm.(1)试判断OD与AC的关系；(2)求OD的长；(3)若2sin A－1＝0，求⊙O的直径．[思路点拨] 本题主要考查圆周角定理推论2的应用．解题时，可判断∠ACB＝90°.利用OD∥BC可得OD⊥AC.用相似可得OD的长，由边角关系可求⊙O的直径．[精解详析] (1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC.(2)∵△AOD∽△ABC，∴＝＝，∴OD＝BC＝×4＝2(cm)．(3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝.∵sin A＝，∴＝，∴AB＝2BC＝2×4＝8(cm)．“半圆(直径)所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解题时注意直角三角形中有关定理的应用．本例的条件变为：“弦AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D”，求CD.解：由勾股定理知AB＝5，∵S△ACB＝AC·BC＝AB·CD，∴3×4＝5×CD，∴CD＝.利用圆周角定理解决证明问题[例3]E，求证：AE ＝BE.[思路点拨] 本题主要考查利用圆周角定理证明问题．解题时只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB.而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．[精解详析] ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角，又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠BCA.FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化．即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等．要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等．这是证明圆中线段相等的常用方法．2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC＝30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证：(1)∠CAB＝∠BOD.(2)△ABC≌△ODB.证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°，所以∠CAB＝60°.又OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝30°，所以∠BOD＝60°，所以∠CAB＝∠BOD.(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，得AC＝AB，又OB＝AB，所以AC＝OB.由BD切⊙O于点B，得∠OBD＝90°.在△ABC和△ODB中，所以△ABC≌△ODB.本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档．[考题印证]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.[命题立意]本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质．[自主尝试] 连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.对应学生用书P14]一、选择题1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )A．AE＝BE B．OE＝DEC．∠AOD＝50° D．D解析：选B 因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE＝BE，因为∠BCD＝25°，所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，故A，C，D正确，B不能得证．2．如图所示，AB是⊙O的直径，C AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径r等于( )A． B．5C．10 D．不确定解析：选B 由已知得∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，即2r＝10，r＝5.3.如图，直径为10的⊙C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙C弧上一点，则cos∠ABO的值为( )A． B．C． D．解析：选B 法一：设⊙C与x轴另一个交点为D，连接AD，如图所示：因为∠AOD＝90°，所以AD为⊙C的直径，又因为∠ABO与∠ADO为圆弧AO所对的圆周角，所以∠ABO＝∠ADO，又因为A(0,5)，所以OA＝5，在Rt△ADO中，AD＝10，AO＝5，根据勾股定理得：OD＝＝5.所以cos∠ABO＝cos∠ADO＝＝＝，故选B.法二：连接CO，因为OA＝5，AC＝CO＝5，所以△ACO为等边三角形，∠ACO＝60°，∠ABO＝∠ACO＝30°，所以cos∠ABO＝cos 30°＝.4．已知P R都在弦AB的同侧，且点P Q的圆内，点R(如图)，则( )A．∠AQB<∠APB<∠ARBB．∠AQB<∠ARB<∠APBC．∠APB<∠AQB<∠ARBD．∠ARB<∠APB<∠AQB解析：选D 如图所示，延长AQ交圆O于点C，设AR与圆O相交于点D，连接BC，BD，则有∠AQB>∠ACB，∠ADB>∠ARB.因为∠ACB＝∠APB＝∠ADB，所以∠AQB>∠APB>∠ARB.二、填空题5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是．解析：因为∠AOC＝60°，所以弧ABC的度数为60°，AC对的优弧的度数为360°－60°＝300°，所以∠ABC＝150°.答案：150°6.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为．解析：因为∠BOD＝100°，所以∠A＝∠BOD＝50°.因为∠B＝60°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝70°.答案：70°7.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O 上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝ .解析：因为AB是圆O的直径，所以弧ACB的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.答案：22°8.如图，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为．解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，在Rt△BOC中，∵OC＝＝＝1(cm)，∴＝，∴sin∠B＝，∠B＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°.答案：120°三、解答题9.如图，在⊙O中，弦AB＝16，点C在⊙O上，且sin C＝.求⊙O的半径长．解：作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∠D＝∠C.因为sin C＝，所以sin D＝.在Rt△ABD中，sin D＝＝，又因为AB＝16，所以AD＝16×＝20，所以OA＝AD＝10，即⊙O的半径长为10.10．如图，已知在⊙O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．解：因为AB为直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝＝＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，所以△ADB为等腰三角形．所以AD＝BD＝AB＝×10＝5(cm)．11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥MD.(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，所以∠C＝∠M.又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．(2)由sin M＝知，sin C＝，所以＝，BN＝×4＝.由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.所以⊙O的直径为6.。
圆周角定理及其推论的证明
圆周角定理及其推论的证明1. 引言说到数学，大家的第一反应可能就是那些看起来复杂的公式，脑袋一团浆糊。
但其实，数学有时候就像一杯清爽的柠檬水，喝下去后让你清新无比！今天我们来聊聊一个非常经典而又简单易懂的知识点——圆周角定理。
想象一下，如果把数学比作一场派对，那么圆周角定理就是那位人人都想要和他搭讪的明星！那么，什么是圆周角定理呢？简单来说，就是在一个圆里，任何一个圆周角的度数等于它所对的弦所夹的中心角的一半。
这个定理可谓是数学界的小明星，闪耀着自己的光芒，吸引着无数人的目光。
2. 圆周角定理的证明2.1 先来个简单的图示好了，咱们先准备好纸和笔，来画个图。
想象一个圆，圆心叫 O，任意选两个点 A 和 B，连接起来形成一条弦。
然后，随便找个点 C，在圆的边上，形成一个圆周角∠ACB。
接下来，我们再从圆心O 向A 和B 连线，这样就形成了两个中心角：∠AOB。
接下来，我们就要通过一些小技巧来证明这个定理。
这里面可有趣了！2.2 把复杂变简单首先，我们知道，中心角∠AOB 的度数是与弦 AB 所对应的圆周角∠ACB 的两倍。
那为什么会这样呢？我们来试试从几何的角度分析一下。
当我们把 OA 和 OB 这两条线延长，就能把圆周角的顶点 C 和中心 O 连接起来。
这样，我们就能看到，∠ACB 是一个小角，而∠AOB 是个大角。
简单来说，∠AOB 就像是∠ACB 的“老大”，他可得分配个更大的份额，毕竟他是两条线夹起来的嘛！于是，大家就明白了：∠ACB = 1/2 ×∠AOB，这就是我们所说的圆周角定理啦！3. 推论与应用3.1 推论一：相等的圆周角现在我们说说这个定理的一个有趣推论。
你们知道吗？如果在同一个圆内，任意两条弦所对的圆周角相等，那么这两条弦必定相等。
这就像是“只要你有我有，大家都是好朋友”的道理！试想一下，假如你和朋友都穿着同样的衣服出门，别人会不会觉得你们很像？其实，圆周角也有这样的“搭档”，它们总是能通过弦的长度互相呼应。
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第二十四章圆
24.1.4圆周角
阜康市二中鲁斌
一、教材内容：人教版九年级上册第二十四章圆第四课时垂直于圆周角教学设计
二、教材分析：
《圆周角》是人教版九年级上册数学教材《圆》这一章中的重要一节，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，圆周角及圆周角定理是这一章的基本概念和定理，学生掌握的熟练程度直接影响着学生后续知识的学习。
因此让学生多角度、多层次地理解并三、教学目标：
1. 理解圆周角的概念.探索并证明圆周角定理并能应用圆周角定理，解决简单问题。
2. 在探索圆周角的过程中，培养动手操作、自主探索与合作交流的能力，体会分情况逐一证明的必要性。
3. 在互相交流的过程中，培养解决数学问题的能力，激发学习数学的兴趣.
四、教学重点难点
重点：探索同弧所对的圆周角与圆心角度数的关系.
难点：应用圆周角定理解决简单问题
五、学情分析：
在此之前，学生已经掌握了圆心角的定义，对圆心角、弧、弦的关系有了认识，因此在学习圆周角的定义时，学生会对圆内的又一类角很有兴致，同时圆周角的定义是类比圆心角得到的，让学生体会类比思想的重要性，而圆周角定理的证明用到了完全归纳法，分为三种情况证明，对于学生有些难度。
六、教学过程：
（一）、创设情境引入新知出示多媒体课件：
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行
无人防守的射门训练，甲、乙两名运动员分别在C、
D两处，他们都说在自己所在位置对球门AB的张
角大，你认为他们谁说的对？
（甲对球门AB的张角为∠C乙对球门AB的张角为∠D）
问题∠C、∠D两个角还是我们学过的圆心角吗？(像∠C、∠D这样的角我们叫它圆周角。
) 他们有什么共同特点？
(①角的顶点在圆上②角的两边都与圆相交).
设计意图:联系生活中的实际创设具有一定挑战性的问题情境，导入新课.激发学生的探索激情和求知欲望,把学生的注意力尽快地集中到本节课的学习中
问题你能类比圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫圆周角
特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交
设计意图：让学生给圆周角下定义，提高学生的概括能力.
练习1：如图，判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角并说明理由。
小结：
判断要点：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交
问题如图，任取一段，那么它所对的圆心角有几个？那弧AB
所对的圆周角有多少个呢？
一条弧所对的圆心角只有一个，一条弧所对的圆周角有无数个。
（任取优弧上一点，连接的两个端点即为所对的一个圆周角）
（二）那么今天我们就来研究一下，所对的圆周角与它所对的圆心角
之间的关系.
量一量： 测量下面图中
所对的圆心角和一个圆周角的度数。
所对的圆周角∠ =______°
所对的圆心角∠ =______°
图（1） 设计意图:学生亲手度量，进行实验、探究、得出结论,激发学生求知欲望。
问题：
1.观察测量结果你有什么发现？
2.你得出了什么猜想？
猜想：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.怎样验证你的猜想呢？
方法1：几何画板直观演示
在验证过程中，
首先，拖动C 点的位置，圆周角与圆心角的度数不变.
然后，拖动A 点的位置，改变圆心角的大小，圆周角的度数也随之改变，并且是比值永远是0.5得到猜想的正确性
方法2 你能不能利用几何推理来证明你的猜想呢？
在证明之前，先要将我们所要证明的命题转化为数学语言。
分析出猜想的已知和求证 已知：所对的圆周角为∠ACB ， 所对的圆心角为∠AOB
求证：∠ACB=∠AOB. 分析图形：
再次利用几何画板，移动C 点的位置，提醒学生观察圆心与圆周角的位置关系，得到以下
三种图形.
圆周角与圆心的位置关系有如图的三种情况：
①圆心在圆周角一条边上
②圆心在圆周角内
③圆心在圆周角外
2
1
(1)证明圆心在圆周角边上的情况：
证明：∵OC=OB,
∴∠C=∠B.
又 ∵∠AOB=∠C+∠B,
∴∠C=∠AOB. 分析证明过程中所用的到条件： ①直径（过圆周角顶点的直径） ②等腰三角形 ③三角形外角定理 引导学生用以上三点知识证明下面的两种情况。
给学生时间讨论以下两种情况的证明，教师巡视，提醒学生构造条件
(2)证明圆心在圆周角内部的情况：
学生一时难以找到证明的途径，引导学生将图形②通过添加过圆周角顶点C 的直径转化为图形①解决.
证明： 过圆心角顶点C 作圆O 的直径CD ，利用（1）的结论
∠1=
∠2.∠3=∠4.
∴∠1+∠3=∠2+∠4, 即：∠ACB=
∠AOB.
（3）证明圆心在圆周角外部的情况：
证明：过圆心角顶点C 作圆O 的直径CD.
利用（1）的结论
∠1=∠2.∠BCD=∠BOD. ∴∠BCD-∠1=
∠BOD-∠2, 即：∠ABC=
∠AOB. 2
12121212
121212
121212
1
O A B C 小结：指出这种将一般转换为特殊的思维是转化思想，是今后学习常用到的方法.
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
符号：
所对的圆周角为∠ACB ， 所对的圆心角为∠AOB
∴∠ACB=
∠AOB. 练习2.填空 (1)已知：如图，若圆心角∠BOC 的度数为100°，则圆周角∠BAC 的度数为____________.
(2) 已知：如图，点A 、P 、B 是⊙O 上的三点，若∠APB=25°，则∠AOB 的度数为___________.
（3） 已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=25°，则∠A 的度数为__________.
（4）已知：如图，在⊙O 中，∠B=90°，则∠COB 的度数为________.
（5）若的度数为80°，则所对的圆心角是_________度，所对的圆周角是_______度。
设计意图：利用本节课所学的内容解决问题，同时巩固本节课所学的内容。
练习3：回到课前的问题。
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈射门训练，甲、乙两名运动员分别在C 、 D 两处，他们都说在自己所在位置对球门AB 的张角大，你认为他们谁说的对？
解：由圆周角定理可知：
总结：一般情况下，圆周角的问题可以转化为它同弧所对的圆心角的问题
来解决。
小结：
①圆周角的定义②圆周角定理数学思想：①类比思想②分类思想③转化思想
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1AOB C ∠=∠21AOB D ∠=∠2
1D C ∠=∠∴。