数值分析--数值积分与数值微分详解

b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk ),
(1.3)
k 0
式中xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称伴随节点xk的权。
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖被积函数f (x)的具体形式。
《 数
通常称为机 械 求 积 公 式.
二、代数精度的概念
值分定义1 若一个求积公式对于所有次数不超过m的多项式
a
2
(1―1)
数 值
如图4.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线
分 析
公式(或辛普生公式)
》
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] (1―2)
a
b
2
《 数 值 分 析 》
图 4.2
第5章 数值微积分 图4.3
一般地, 求积公式
第5章 数值微积分
2 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简
单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于
《 是有
b
b
数 值
a f (x)dx a (x)dx
分 析
现用第2章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函
》 数f(x),即有
b
b
a
其中wk ablk (x)dx.
k 0
称为插值型求积公式.
(1.5)
第5章 数值微积分
它的余项为
b
b f (n1) ( ) n
R[ f ] a
f (x) Ln (x) dx a
(n 1)!
(x x j )dx.
j0
定理1
《 数
求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk至少具有n次代数精度
k 0
值
分
它是插值型求积公式.
析》四、求积公式的收敛性和稳定性
定义2 在求积公式(1.3)中, 若
lim
n
n
wk
k 0
f
( xk
)
ab
f
(x)dx,
h0
其中h max(xi xi1),则称求积公式(1.3)是收敛的.
1in
第5章 数值微积分
设f
(xk )有误差k ,
即f
(xk )
~ fk
k
析》都准确成立,而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成
立, 则称该求积公式具有m次代数精度. 一般方法？.
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第5章 数值微积分
f (x)dx a
Pn ( x)dx
取基点为等距,即
a=x0＜x1＜…＜xn=b
第5章 数值微积分
h
b
n
a
xk 1
xk , k
0,1, 2,
,n 1
xi x0 ih i 0,1, 2, , n
《
利用拉格朗日插值多项式
数
值 分
f (x) pn (x) Rn (x)
析
其中
》
n
n
Pn (x) (
(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式
《 相当复杂。例如定积分
数 值 分
b dx
a 1 x4
析 》
1 的被积函数 1 x4 的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第5章 数值微积分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左 矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (a)
《
数 同样可得到右矩形公式
值
分
析 》
b
a f (x)dx (b a) f (b)
第5章 数值微积分
《 数 值 分 析 》
图 4.1
第5章 数值微积分
如图4.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积,则得到计算定积分的梯形公式
《
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
分
k 0
析 则称求积公式(1.3)是稳定的.
》
定 理 2 若求积公式 (1.3)中系数Ak （0 0,1,, n), 则求积公式
是稳定的.
这是因为,
当 f (xk )
~ fk
(k
0,, n)时,有
| Rn |
n
Ak
f
( xk
)
~ f (xk
)
n
Ak (b a) .
k 0
k 0
第5章 数值微积分
第5章 数值微积分
第4章 数值积分和数值微分
§4.1 引 言
在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)
《
数 在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿
值 分
―莱布尼兹公式
析
》
b
a f (x) F (b) F (a)
第5章 数值微积分
来求定积分。前面公式虽然在理论上或在解决实际问
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1,, fn，就有拉格朗日插值多项式
n
《 数
Ln (x) lk (x) fk
k 0
值
分得到
析 》
ab f (x)dx abLn (x)dx
n
ablk (x)dx
fk ,
k 0
即得求积公式
ab f (x)dx
n
wk
fk ,
题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的
计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情
《
况:
数 值
(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简
分 析
单的函数,例如
》
sin x , 1 , ex2
x ln x
等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第5章 数值微积分
(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关 系由表格或图形表示,无法求出原函数。
i0 k0
x xi
xk xk
)
yi
k i
(2―1)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n
1
(
x
)
(a,b)
(2―2)
第5章 数值微积分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得
b
b
b
a
f (x)dx a
pn ( x)dx a
Rn (x)dx
《 数 值
n
bn
[
a
i0
k 0
x xi
xk xk
dx ] yi
k i
分
析 》
1
b
(n 1)! a
f (n1) ( )n1( x)dx
Hale Waihona Puke Baidu
n
ai yi Rn ( f )
i0
第5章 数值微积分
b n
ai a k 0
x xk dx xi xk
k i
(2―3)
《
Rn (
f
)
(n
1 1)!
b a
f (n1) ( )n1( x)dx
(k
0,1,, n),
则有
| In ( f ) In ( ~f ) |
n
Ak
[
f
(
xk
)
~ fk
]
.
k 0
定 义 3 若 0, 0,只要 f (xk ) ~fk (k 0,, n), 就有
《
数 值
| In ( f ) In ( ~f ) | n Ak [ f (xk ) ~f (xk )] ,