中考数学全效复习：第4课时 因式分解
中考数学复习 第四讲 因式分解含详细参考答案
第四讲 因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （2013•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ． 思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（2013•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （2013•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （2013•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （2013•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2013•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（2013•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（2013•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （2013•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练 5．（2013•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】7．2(31)3x --8．（2013•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x-1C ．x 2-1D ．x 2-6x+91．D2．（2013•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1）2．C3．（2013•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（2013•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（2013•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（2013•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（2013•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（2013•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（2013•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（2013•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（2013•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（2013•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（2013•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（2013•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（2013•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（2013•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（2013•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
中考数学专题复习课件第4讲因式分解.ppt
【答案】D
5．(2010·眉山)把代数式 mx2－6mx＋9m 分解因式，下列结果中正确的是( ) A．m(x＋3)2 B．m(x＋3)(x－3) C．m(x－4)2 D．m(x－3)2
【解析】mx2－6mx＋9m＝m(x2－6x＋9)＝m(x－3)2.
三、解答题(共 40 分)
21．因式分解．(每小题 4 分，共 24 分) (1)(2010·杭州)m3－4m； (2)(2010·宜宾)2a2－4a＋2； (3)(2009 中考变式题)x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2； (4)(2011 中考预测题)(a＋1)(a－1)－8； (5)(2009 中考变式题)a3＋ab2－2a2b； (6)(2011 中考预测题)16x4－81.
19．(2009 中考变式题)9x2－6x＋________＝(3x－1)2. 【解析】9x2－6x＋1＝(3x－1)2. 【答案】1
20．(2011 中考预测题)分解因式：－x3－2x2－x＝______. 【解析】－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2. 【答案】－x(x＋1)2
3．因式分解的一般步骤 (1)一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； (2)二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解； (3)三查：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．
(2009·太原)(1)下列各式中，能用公式法分解因式的是( )
A．x2＋4y2
B．a2＋a＋12
【解析】ax2－ay2＝a(x2－y2)＝a式分解错误的是( ) A．x2－y2＝(x＋y)(x－y) B．x2＋6x＋9＝(x＋3)2 C．x2＋xy＝x(x＋y) D．x2＋y2＝(x＋y)2
广西中考数学总复习课件(第4课时因式分解)
7．若x2＋4x－4的值为0，则3x2＋12x－5的值是__7______．
8．若16(a－b)2＋M＋25是完全平方式，则M＝_±__4_0_(_a_-_b．)
9．若x＋y＝4，x2＋y2＝6，则xy＝__5______．
10．若x2－ax－15＝(x＋1)(x－15)，求a的值．
答案：a＝14
第4课时 因式分解
第4课时 因式分解
4．已知
x，y
15
是二元一次方程组x2－x＋2y4＝y＝3，5 的解，则代数式
x2－4y2 的值为__2______．
第4课时 因式分解
5．若x2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值等于 _7_或__－__1__．
6．已知1＋x＋x2＋…＋x2013＋x2014＝1，则x2015＝_0_或__－__1__.
第4课时 因式分解
4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是 (D )
A．x2－1 B．x(x－2)＋(2－x) C．x2－2x＋1 D．x2＋2x＋1 5．把代数式2x2－18分解因式，结果正确的是( C ) A．2(x2－9) B．2(x－3)2 C．2(x＋3)(x－3) D．2(x＋9)(x－9)
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
人教版九年级中考数学总复习课件第4课时 因式分解(共23张PPT)
【考点4】多步因式分解 ①如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提取这个
公因式； ②如果多项式各项没有公因式,那么第一步考虑用公式
分解因式； ③第一步分解因式以后,所含的多项式若还可以继续分
解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式因式都不 能分解为止.
12.[教材原题]分解因式:
(1) (a b)2 4ab a b)2
(6) p(a2 b2 ) q(a2 b2 ) ( p q)(a2 b2 ).
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 4:31:16 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
解:原式 (102 92)(102 92)
194 10
1 940 ；
(2) 39.82 2 39.8 49.8 49.82 .
解:原式 (39.8 49.8)2
(10)2
100 .
点悟: 运用公式法分解因式的关键是要弄清两个公式的形式 和特点,两个公式中的字母可以表示任何数、单项式 或多项式.
【考点 3】公式法因式分解
2015年广西中考数学总复习课件第4课时 因式分解(共24张PPT)
1 4
1 － 2
4 4 ．若 xm － yn ＝ (x＋ y2)(x － y2)(x2 ＋ y4) ，则 m ＝ ________ ，n
＝________ ． 8
第4课时
因式分解
5．在多项式m2＋n2，－a2－b2，x4＋4y2，－4s2＋9t4中，可
第4课时
因式分解
变式题1
[2014·陇南] 分解因式：2a2－4a＋2＝
________ 2(a－1)2．
变式题2 分解因式：3x6－3x2＝_____________________ ． 3x2(x2＋1)(x＋1)(x－1)
第4课时
因式分解
┃聚焦广西中考┃ 1．[2014·玉林] 下面的多项式在实数范围内能因式分解的 是( D ) A．x2 ＋y B．x2 －y D．x2－2x＋1
B．a2－6a＋9
D．x2－5y
3．下列因式分解正确的是( C )
A．x2－y2＝(x－y)2 B．a2＋a＋1＝(a＋1)2
C．xy－x＝x(y－1)
D．2x＋y＝2(x＋y)
第4课时
因式分解
4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是
( D )
A．x2 －1 B．x(x－2)＋(2－x) D．x2＋2x＋1
第4课时
因式分解
┃考向互动探究┃
类型题展
► 例1 类型之一 提公因式法
分解因式：x2－3x＝________．
[答案] x(x－3)
[考点] 提取公因式． [分析] 公因式是x，直接提取x即可．
第4课时 因式分解
►
例2
类型之二
《中考数学复习》 课时4 因式分解
求长方形的面积．
解析 本题要由条件a2＋ab－2b2＝7确定整数a与b的值，可将等式左边进行因
式分解，等式右边进行因数分解，从而确定每一个因式的值．
解 因为 a2＋ab－2b2＝7， 所以(a＋2b)(a－b)＝1×7 或(a＋2b)(a－b)＝(－1)×(－7)． 由于 a 与 b 都是线段长，所以 a＋2b>0
解析 a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)，故选C.
1
2
3
10
中考大一轮复习讲义◆ 数学
点对点训练 5. (2012·泉州)因式分解：x2－5x＝___x_(x_－__5_)_____． 6. (2012·广州)分解因式：a2－8a＝____6_a_(_a_－__8_) __．
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
中考大一轮复习讲义◆ 数学 2
中考大一轮复习讲义◆ 数学 知识结构梳理
分解因式的概念 因式分解分解因式的方法一 二提 套
3
夯实基本 知已知彼
1 2 3
中考大一轮复习讲义◆ 数学
夯实基本 知已知彼
基础知识回顾
1. 把一个多项式化成________的形式，这种变形叫做把这个多项式因
1
解： (x－2)2
2
3
16
式分解，也叫做把这个多项式________．
注意：(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形．(2)因式分解是恒
等变形，因此可以用整式乘法来检验．
考核要求：(1)知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别．(2)会鉴
别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法．
2. 因式分解的方法
(1)________________ ． (2)________________ ． (3)______x4－4，发现其有平方差公式特点，所以可以使用平方差公 式进行因式分解．需要注意要将因式分解在实数范围内进行到底，不可半途而
中考数学复习《分解因式》教学课件
【预测5】 图(1)是边长为(a＋b)的正方形，将图(1)中的阴 影部分拼成图(2)的形状，由此能验证的式子是 ( )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
B．(a＋b)2－(a2＋b2)＝2ab
C．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
D．(a－b)2＋2ab＝a2＋b2 解析 图 1 中大正方形的面积为(a＋b)2，图 1 的中间空白部 分的正方形的边长为 a2＋b2，所以它的面积为 a2＋b2，所 以图 1 中阴影部分的面积可表示为：(a＋b)2－(a2＋b2)；图 2 是对角线长分别为 2a 和 2b 的菱形，面积为12×2a×2b＝2ab. 答案 B
【预测4】 已知实数a，b满足a＋b＝3，ab＝1.求代数式 a2b＋ab2的值． 解 a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝1×3＝3.
对接点四：拼图与因式分解
常考角度：通过图形的变化验证代数式的变化，培养数形
结合的思想．
甲图中阴影部分面积 【例题 4】 (2013·杭州)如图，设 k＝乙图中阴影部分面积(a＞
【即时应用1】 把a2－4a多项式分解因式，结果正确的是
()
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
答案 A
因式分解的基本方法 1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝_m_(_a_＋__b_＋__c_)； 2．运用公式法
(1)平方差公式：a2－b2＝_(_a_＋__b_)(_a_－__b_)； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝_(a_±__b_)_2．
解析 A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6右边不是整式积的形式， 故不是分解因式，故本选项错误； B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)是整式积的形式，且左右两 边相等，故是分解因式，故本选项正确； C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6是整式的乘法，故不是分解 因式，故本选项错误； D．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，故本选项错误． 答案 B
2020—2021学年人教版九年级中考数学总复习课件第4课时因式分解
2020/9/14
【考点1】因式分解的概念
把一个 多项式 化成几个整式的 积 的形 概念 式.这样的式子变形叫做这个多项式的因式
分解,也叫把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法都是多项式的恒等变形 关系 ,它们互为逆运算.
25
D
解:(1)△ABC是等腰三角形,理由如下: ∴△ABC是等腰三角形；
C
【考点2】提公因式法因式分解 因数或因式
【考点4】多步因式分解 ①如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提取这个
公因式； ②如果多项式各项没有公因式,那么第一步ห้องสมุดไป่ตู้虑用公式
分解因式； ③第一步分解因式以后,所含的多项式若还可以继续分
解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式因式都不 能分解为止.
第4课因式分解中考复习PPT课件
第4课 因式分解
知识点索引
要点梳理
基础知识·自主学习
4. 因式分解的应用 当实际问题中数值不够理想时，常利用因式分解的方 法转化为积的情势加强运算．如利用比差法进行大小 比较，可利用因式分解化成积的情势确定差的符号来 比较大小． 如：已知x、y为不相等的正数，比较x2(x－y)与y2(x －y)的大小．
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
【例 1】 (2013株洲)多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5) (x＋n)，则m＝____6____，n＝____1____． 解析 ∵(x＋5)(x＋n)＝x2＋(n＋5)x＋5n， ∴x2＋mx＋5＝x2＋(n＋5)x＋5n，
第4课 因式分解
知识点索引
题型三 运用公式法分解因式
题型分类·深度剖析
变式训练3 (1)(2015杭州)分解因式：m3n－4mn＝ _m_n_(_m_＋__2_)_(_m_－__2_)_． 解析 分解因式m3n－4mn，先提取公因式mn后继续应 用平方差公式分解即可：m3n－4mn＝mn(m2－4)＝ mn(m (＋2)2()2(0m1－4淄2)博．)分解因式：8(a2＋1)－16a＝__8_(_a_－__1_)_2 _． 解析 分解因式8(a2＋1)－16a，先提取公因式8后继续 应用完全平方公式分解即可：8(a2＋1)－16a＝8(a2－2a ＋1)＝8(a－1)2.
∴n5＋ n＝5＝ 5，m，∴nm＝ ＝16.，
第4课 因式分解
知识点索引
题型一 因式分解的意义
题型分类·深度剖析
探究提高 熟练地掌握因式分解的意义．因式分解是将 一个多项式化成几个整式积的情势的恒等变形．本题考 查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
初中数学中考复习教案《因式分解》
初中数学中考复习教案《因式分解》一、教学目标：1. 理解因式分解的概念和意义。
2. 掌握常用的因式分解方法，如提公因式法、公式法、分组分解法等。
3. 能够运用因式分解解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 因式分解的概念和意义。
2. 提公因式法：找出多项式中的公因式，将其提出来进行分解。
3. 公式法：运用已知的平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
4. 分组分解法：将多项式中的项进行合理分组，分别进行因式分解。
三、教学过程：1. 导入：通过简单的例子，引导学生回顾已学的整式乘法，激发学生的学习兴趣。
2. 新课导入：介绍因式分解的概念和意义，引导学生理解因式分解的目的和方法。
3. 讲解提公因式法：通过示例，讲解如何找出多项式中的公因式，并将其提出来进行分解。
4. 讲解公式法：介绍平方差公式和完全平方公式，讲解如何运用这些公式进行因式分解。
5. 讲解分组分解法：通过示例，讲解如何将多项式中的项进行合理分组，并分别进行因式分解。
四、巩固练习：1. 完成教材中的相关练习题，巩固因式分解的方法和技巧。
2. 进行小组讨论，互相交流解题心得和方法。
五、总结与反思：1. 总结因式分解的概念、方法和技巧。
2. 反思自己在解题过程中的优点和不足，提出改进措施。
3. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学评价：通过课后作业的完成情况和对学生的课堂表现进行评价，了解学生对因式分解的掌握程度，为下一步的教学提供依据。
六、教学案例分析：1. 分析具体的数学题目，运用因式分解的方法进行解答。
2. 引导学生思考如何选择合适的因式分解方法，提高解题效率。
七、拓展与应用：1. 引导学生运用因式分解解决实际问题，如分解代数式、解决最大公因数问题等。
2. 组织学生进行小组讨论，分享彼此在解决实际问题时的经验和方法。
八、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索因式分解的方法。
2. 运用多媒体教学辅助工具，直观展示因式分解的过程。
中考数学知识点专题分类复习：第4讲因式分解
中考数学知识点专题分类复习：第4讲因式分解【知识巩固】1、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法（1）提公因式法：（2）运用公式法：（3）分组分解法：（4）十字相乘法：3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【典例解析】典例一、提取公因式下列多项式：①a2﹣4b2；②a2+4ab+4b2；③a2b+2ab2；④a3+2a2b，它们的公因式是a+2b．考点：公因式．分析：根据完全平方公式，平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，然后即可确定公因式．解答：解：①a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）；②a2+4ab+4b2=（a+2b）2；③a2b+2ab2=ab（a+2b）；④a3+2a2b=a2（a+2b），它故多项式：①a2﹣4b2；②a2+4ab+4b2；③a2b+2ab2；④a3+2a2b的公因式是a+2b．故答案为：a+2b．点评：本题主要考查公因式的确定，先分解因式是确定公因式是解题的关键．【变式训练】分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：ax2﹣ay2，=a（x2﹣y2），=a（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x+y）（x﹣y）．典例二、平方差公式分解因式：x2﹣25=（x+5）（x﹣5）．【考点】：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣25=（x+5）（x﹣5）．故答案为：（x+5）（x﹣5）．【变式训练】化简：（x+1）（x2+1）（x4+1）…（x2015+1）（x﹣1）考点：平方差公式．分析：根据平方差公式，可得答案．解答：解：原式=（x2﹣1）（x2+1）（x4+1）…（x2015+1）=（x4﹣1）（x4+1）…（x2015+1）=（x2015﹣1）（x2015+1）=x4030﹣1．点评：本题考查了平方差公式，多次利用了平方差公式．典例三、完全平方式下列各式中，计算正确的是（）A．（a﹣b）2=a2﹣b2B．（2x﹣y）2=4x2﹣2xy+y2C．（﹣a﹣b）（a+b）=a2﹣b2D．﹣（x﹣y）2=2xy﹣x2﹣y2【考点】完全平方公式．【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．依此计算即可求解．【解答】解：A、应为（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；B、应为（2x﹣y）2=4x2﹣4xy+y2，故本选项错误；C、应为（﹣a﹣b）（a+b）=﹣a2﹣2ab﹣b2，故本选项错误；D、﹣（x﹣y）2=2xy﹣x2﹣y2，正确．故选：D．点评：本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．【变式训练】在单项式x2，﹣4xy，y2，2xy.4y2，4xy，﹣2xy，4x2中，可以组成不同完全平方式的个数是（）A．4 B．5C．6D．7【考点】完全平方式．【分析】根据完全平方公式的公式结构解答即可．【解答】解：x2+2xy+y2=（x+y）2，x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2，4x2+4xy+y2=（2x+y）2，x2+4xy+4y2=（x+2y）2，4x2﹣4xy+y2=（2x﹣y）2，x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2，所以，共可以组成6个不同的完全平方式．故选C．点评：本题考查了完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．典例四、提取公因式与公式法的综合应用分解因式：2x2﹣8xy+8y2=2（x﹣2y）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2x2﹣8xy+8y2=2（x2﹣4xy+4y2）=2（x﹣2y）2．故答案为：2（x﹣2y）2．【变式训练】分解因式：a2+a=a（a+1）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．【解答】解：a2+a=a（a+1）．故答案为：a（a+1）．典例五、因式分解的应用已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为3．【考点】59：因式分解的应用．【分析】根据x+y=，xy=，可以求得x2y+xy2的值．【解答】解：∵x+y=，xy=，∴x2y+xy2=xy（x+y）===3，故答案为：．【变式训练】因式分解a2b﹣b的正确结果是（）A．b（a+1）（a﹣1） B．a（b+1）（b﹣1） C．b（a2﹣1）D．b（a﹣1）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：a2b﹣b=b（a2﹣1）=b（a+1）（a﹣1）．故选：A．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【能力检测】把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是x（x﹣3）．【考点】53：因式分解﹣提公因式法．【分析】直接提公因式x即可．【解答】解：原式=x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）．分解因式：x3﹣9x=x（x+3）（x﹣3）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．【解答】解：原式=x（x2﹣9）=x（x+3）（x﹣3），故答案为：x（x+3）（x﹣3）．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则ab的值为（）A．B．C．D．考点：完全平方公式．分析：两个式子相减，根据完全平方公式展开，合并同类项，再系数化为1即可求解．解答：解：（a+b）2﹣（a﹣b）2=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab=7﹣4=3，ab=．故选：C．点评：本题考查了完全平方公式，关键是要灵活应用完全平方公式及其变形公式．已知=6．考点：完全平方公式．分析：把a﹣=2两边平方，然后整理即可得到a2+的值．解答：解：∵（a﹣）2=a2﹣2+=4，∴a2+=4+2=6．点评：本题主要考查了完全平方式的运用，利用好乘积二倍项不含字母是个常数，是解题的关键．若（﹣7m+A）（4n+B）=16n2﹣49m2，则A=4n，B=7m．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接利用平方差公式因式分解，进而得出A，B的值．解答：解：∵（﹣7m+A）（4n+B）=16n2﹣49m2，∴16n2﹣49m2=（4n+7m）（4n﹣7m），∴A=4n，B=7m，故答案为：4n，7m．点评：此题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的形式是解题关键．把多项式4ax2﹣9ay2分解因式的结果是a（2x+3y）（2x﹣3y）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=a（4x2﹣9y2）=a（2x+3y）（2x﹣3y），故答案为：a（2x+3y）（2x﹣3y）8.因式分解：x3﹣4xy2=x（x+2y）（x﹣2y）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．【解答】解：x3﹣4xy2，=x（x2﹣4y2），=x（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后继续进行二次因式分解是关键，注意分解因式要彻底．分解因式：2x3﹣4x2+2x=2x（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：2x3﹣4x2+2x，=2x（x2﹣2x+1），=2x（x﹣1）2．故答案为：2x（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．因式分解：2x2﹣32x4=2x2（1+4x）（1﹣4x）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．【解答】解：2x2﹣32x4=2x2（1﹣16x2）=2x2（1+4x）（1﹣4x）．故答案为：2x2（1+4x）（1﹣4x）．11.①一个多项式除以2m得1﹣m+m2，这个多项式为2m﹣2m2+2m3．②6x2+5x﹣6÷（2x+3）=（3x﹣2）．③小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报一个被除式，小丽报一个除式，要求商必须是3ab．若小玉报的是3a2b﹣ab2，则小丽报的是a﹣b；若小丽报的是9a2b，则小玉报的整式是27a3b2．④如图甲、乙两个农民共有4块地，今年他们决定共同投资搞饲养业，为此他们准备将这4块地换成宽为（a+b）cm的地，为了使所换到的面积与原来地的总面积相等，交换之后的地的长应为a+c m．考点：整式的混合运算．分析：①利用2m乘1﹣m+m2计算即可；②把除式和商相乘即可；③根据被除式÷商=除式，被除式=除式×商列式计算即可；④利用4块土地换成一块地后的面积与原来4块地的总面积相等，而原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，得到4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，又此块地的宽为（a+b）米，根据矩形的面积公式得到此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b），把被除式分解后再进行除法运算即可得到结论．解答：解：①2m（1﹣m+m2）=2m﹣2m2+2m3；②（2x+3）（3x﹣2）=6x2+5x﹣6；③（3a2b﹣ab2）÷3ab=a﹣b，3ab•9a2b=27a3b2；④∵原来4块地的总面积=a2+bc+ac+ab，∴将这4块土地换成一块地后面积为（a2+bc+ac+ab）米，而此块地的宽为（a+b）米，∴此块地的长=（a2+bc+ac+ab）÷（a+b）=（a2+ac+bc+ab）÷（a+b）=[a（a+c）+b（a+c）÷（a+b）]=（a+b）（a+c）÷（a+b）=a+c．故答案为：2m﹣2m2+2m3；6x2+5x﹣6；a﹣b，27a3b2；a+c．点评：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法是解决问题的关键．。
初中数学精品课件：初三总复习第4课时因式分解
考
完全平方公式拼图联想
限
点 管
【教材原型】【浙江教育版七下P117合作学习】
时
集
理
运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式：
训
(1)(a＋b)2；(2)(2＋x)2；(3)(2a＋x)2.
归
观察上述3题的计算结果，你能发现什么规律？
类
探
你能用图4－1中图形的面积直接地表示第(1)题的结
究 果吗？
解：(1)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
内没有变号的符号错误，提公因式后还能用平方差因式分
解，即－a＋a3＝－a(1－a2)＝－a(1＋a)(1－a)；B错在提
公因式时括号里掉了“＋1”项；C把平方差公式与完全平
方公式混淆．
【正解】 D
归
3．[2012·丽水]分解因式：2x2－8＝ ___2_(_x_＋__2_)·_(_x_－__2_) _．
类 4．[2012·六盘水]分解因式：2x2＋4x＋2＝ __2_(_x_＋__1_)2__．
探
究 5．[2012·苏州]若a＝2，a＋b＝3，则a2＋ab＝___6___．
归类探究
考
点
类型之一 因式分解
故选D.
考 点
【点悟】 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因
限 时
管 理
式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．
集 训
(2)提公因式时，若括号内合并的项有公因式应再次
归 提取；注意符号的变换y－x＝－(x－y)，(y－x)2＝(x－y)2.
类
(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完
探
归
类 到乘法公式．利用这种思想，可以进行更复杂，更一般的
全效学习(浙江专版)中考数学总复习第4课时因式分解课件
为止
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类型之一 因式分解(yīn shìfēn jiě)
[2015·宜宾]把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是
A．3x(x2－4x＋4)
()
D
B．3x(x－4)2C．3x Nhomakorabeax＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
【解析】 原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，原式＝
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三、必明2
易错点
1．提公因式法因式分解(fēnjiě)易错点
(1)提取公因式时，其公因式应满足：
①系数是各项系数的最大公约数；
②字母取各项相同字母的最低次幂．
(2)公因式可以是数字，字母或多项式．
(3)提取公因式时，若有一项全部提出，括号内的项应是“1”，而不
是0.
2．因式分解(fēnjiě)的结果一定要彻底，分解(fēnjiě)到再不能分解(fēnjiě)
(1)在上面三个单项式中任选(rèn xuǎn)两个相减，并进行因式 分解； (2)当a＝2 016，b＝2 017时，求代数式a2＋b2－2ab的值． 【解析】 用乘法公式或提公因式法进行分解．
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解：(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)； b2－a2＝(b＋a)(b－a)； a2－2ab＝a(a－2b)； 2ab－a2＝a(2b－a)； b2－2ab＝b(b－2a)； 2ab－b2＝b(2a－b)． (2)a2＋b2－2ab＝(a－b)2， 把a＝2 016，b＝2 017代入，得 a2＋b2－2ab＝(2 016－2 017)2＝1.
第4课时(kèshí) 因式分解
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[小题热身] 1．[2015·广州]分解因式：2mx－6my＝______2_m__(_x_－_．3y)
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第4课时 因式分解
分)
一、选择题(每题5分,共20分)
1．[2019·无锡]分解因式4x 2－y 2的结果是( )
A ．(4x ＋y)(4x －y)
B ．4(x ＋y)(x －y)
C ．(2x ＋y)(2x －y)
D ．2(x ＋y)(x －y)
2．[2019·泸州]把2a 2－8分解因式,结果正确的是( )
A ．2(a 2－4)
B ．2(a －2)2
C ．2(a ＋2)(a －2)
D ．2(a ＋2)2
3．[2019·原创]把多项式x 2＋ax ＋b 分解因式,得(x ＋1)(x －3),则a,b 的值分别是(
) A ．2,3 B ．－2,－3
C ．－2,3
D ．2,－3
4．已知14m 2＋14n 2＝n －m －2,则1m －1n 的值等于 ( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－14
二、填空题(每题5分,共25分)
5．[2019·黄冈]分解因式：3x 2－27y 2＝________________.
6．[2018·株洲]分解因式：a 2(a －b)－4(a －b)＝________________.
7．[2019·广州]分解因式：x 2y ＋2xy ＋y ＝________________.
8．[2019·金华]当x ＝1,y ＝－13时,代数式x 2＋2xy ＋y 2的值是____________．
9．[2019·徐州]若a ＝b ＋2,则代数式a 2－2ab ＋b 2的值为________．
三、解答题(共25分)
10．(10分)[2018·大庆]已知：x 2－y 2＝12,x ＋y ＝3,求2x 2－2xy 的值．
11．(15分)[2018·临安区]阅读下列题目的解题过程：
已知a,b,c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,试判断△ABC 的形状．
解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,(A)
∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)．(B)
∴c 2＝a 2＋b 2.(C)
∴△ABC 是直角三角形．
问：(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________；
(2)错误的原因：_______________________________；
(3)本题正确的结论为：___________________________.
分)
12．(5分)[2018·黄冈]若a －1a ＝6,则a 2＋1a 2的值为________． 13．(10分)[2017·大庆]已知非零实数a,b 满足a ＋b ＝3,1a ＋1b ＝32
,求代数式a 2b ＋ab 2的值．
分)
14．(15分)[2017·河北]【发现】 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
【验证】 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32
的结果是5的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个数为n,写出这五个连续整数的平方和,并说明其是5的倍数．
【延伸】 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
参考答案
1．C 2.C 3.B 4.C 5.3(x ＋3y)(x －3y)
6．(a －b)(a ＋2)(a －2) 7.y(x ＋1)2 8.49
9．4
10．28 11.(1)C (2)没有考虑a ＝b 的情况
(3)△ABC 是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
12．8 13.6
14．【验证】(1)3倍 (2)略 【延伸】任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2,理由略
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