第三讲克拉默法则与矩阵的概念
第3节 克拉默法则
2）特殊情形
对于n 个 n 维向量 i (a1i , a2i ,, ani )T ,, i 1,2,, n
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 0 1 , 2 ,, n 线性无关. 行列式 an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 0 1 , 2 ,, n 线性相关； 行列式 an1 an 2 ann
即有齐次方程组
x1 2 x2 2 x3 0, 2 x1 4 x2 x3 0, x 2 x x 0, 3 3 x 1 6 x 2 3 x 0. 2 3 1
§3 克拉默法则
（5）
齐次方程组的系数矩阵为 并对其进行初等行变换，可得
1 2 A 1 3 2 4 2 6 1 2 初等行变换 1 0 0 1 0 3 2 0 0 0 0 1 0 0
3 5 3 0 1 0 7 7 2
8 D1 9 5 0 81,
1 3 2 4
5 0 1 7
1 6 2 6 D2
2 1
8 9
5 0
1 6 2 6
0 5 1 1 0 7
108,
§3 克拉默法则
2
1
8
1
2
1
5
8
1 3 9 6 D3 0 2 5 2 1 4 0 6
因此，
R( A) 2
解： 错解 方程组的系数矩阵为
其行列式为
2 1 3 A 4 2 5 2 1 4
§3 克拉默法则
2 1 3 A 4 2 5 2 1 4
0
所以线性方程组有无限多个解.
克莱姆法则及矩阵2021精选PPT
(2)a11(1)a21 得
(a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 )x 2 b 2 a 1 1 b 1 a 2 1
当 a11a22a12a210 时
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
可见，在求解方程组的过程中，只有方程组 的系数和常数项进行运算，未知量只是进行同类 项的合并。
在日常生活中，我们也经常关心一些数表： 如价格表、股票行情表、财务报表等等，这些重 要的“矩形数表”，在数学学科中，则可用矩阵 来表示。
● 矩阵的概念
矩阵的定义（见书P233定义1） 矩阵的一般形式如下：
a11 a12 ......a1n
a
21
a 22 ......a 2n
......
a m 1 a m 2 . . . . . .a m n
1
2
0
11
1 2
1
0
1
11 1 2 1 0
0 0 0
1
2
0
1 2 0
AB与BA不同型
ABBA
1 2 0 1 2 1
（3）
1
21
0
2
1
0
（4）
1
1 1 0 1
2 1
2
1
2
2
（5）
1 0
1 2
1
0
3
2
2 0
5
2
（6）
2 0
31
2
0
1 1
mn
kA kaij
mn
注意：数乘矩阵时， 矩阵的每一元素都要乘以常数K。
线性代数PPT课件：第3节 克拉默法则
定理 1′如果线性方程组 (1) 无解或有无
穷个不同的解，则它的系数行列式必为零．
线性方程组
右端的常数项
b1，b2，… ，bn 不全为零时，线性方程组 (1) 叫做非齐次线性方
程组； 当
b1，b2，… ，bn
全为零时，线性方程组(1)叫做齐次线性方程组．
对于齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 , a x a x a x 0 , 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 ,
默法则求解．
但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的
重要地位．克拉默法则不仅给出了方程组有唯一
解的条件，并且给出了方程组的解与方程组的系
数和常数项的关系．
1.3.2 方程组有解的条件
克拉默法则可叙述为下面的重要定理．
定理 1 如果线性方程组
的系数行列
式 D 0 ，则 (1)一定有解，且解是唯一的． 定理 1 的逆否定理为：
解 Cramer法则
例 2 设曲线
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 通过四点 (1, 3) ， (2, 4) ， (3, 3) ， (4, -3)，求系数
a0 , a1 , a2 , a3 .
例 3 (货物运输)队某物流公司有3辆汽车同
时运送一批货物，一天共运8800吨，如果第1辆汽 车运2天，第2辆汽车运3天，共运货物13200吨，如
(2)
x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解，这个解叫做齐
次线性方程组 (2) 的零解．
如果一组不全为零的数是
的解，则它叫做齐
高等代数2.7 克拉默(Cramer)法则
an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
b1 b2 bn
(1)
若常数项 b1,b2 ,,bn 不全为零，则称（1）为
非齐次线性方程组．
简记为
n
aij x j bi ,
j1
i 1,2,,n.
j1
二、克拉默法则
如果线性方程组（1）的系数矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n ann
的行列式 D | A | 0 ，则方程组(１)有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,,
xn
Dn D
其中 Dj ( j 1,2,, n) 是把行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组（1）的常数项 b1,b2 ,,bn 代换 所得的一个 n 阶行列式，即
若常数项 b1 b2 bn 0, 即
a11 x1 a21 x1 an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
0 0
0
(2)
则称（2）为齐次线性方程组．
n
简记为
aij x j 0, i 1, 2,, n.
4 5
142 0
3 1 2 11
5111
D1
2 2
2 3
1 1
范德蒙德矩阵和克拉默法则
范德蒙德矩阵和克拉默法则
范德蒙德矩阵和克拉默法则是数学中两个重要的概念，它们在代数和线性方程组等领域有着广泛的应用。
范德蒙德矩阵是一种特殊的矩阵，它的构造基于一组数的幂次。
给定一组不同的数a1, a2, ..., an，范德蒙德矩阵是由这些数的幂次构成的n×n矩阵，其中第i行第j列的元素是aj的i-1次方。
范德蒙德矩阵在插值多项式、数值分析等领域有着重要的作用。
例如，在多项式插值问题中，范德蒙德矩阵可以用于求解拉格朗日插值多项式的系数。
克拉默法则则是线性代数中一个基本的定理，它给出了解线性方程组的一种显式方法。
对于一个n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么方程组有唯一解，且这个解可以通过克拉默法则显式地表示出来。
克拉默法则的表达式中涉及到了系数矩阵和增广矩阵的行列式，因此在实际计算中可能会遇到计算量较大的问题。
尽管克拉默法则在理论上有着重要的意义，但在实际应用中，由于计算量的原因，它通常不是求解线性方程组的首选方法。
总的来说，范德蒙德矩阵和克拉默法则是数学中两个重要的概念，它们在各自的领域中有着广泛的应用。
范德蒙德矩阵在插值多项式、数值分析等领域有着重要的作用，而克拉默法则则是线性代数中一个基本的定理，用于求解线性方程组。
虽然克拉默法则在理论上有着重要的意义，但在实际应用中，由于计算量的原因，它通常不是首选的求解方法。
克拉默定理
克拉默定理简介克拉默定理是线性代数中的一个重要定理，它给出了解线性方程组的一个特殊方法。
克拉默定理适用于一类特殊的线性方程组，即方程组的系数矩阵是一个方阵。
克拉默定理是由瑞士数学家克拉默于18世纪末提出的，它为解决线性方程组提供了一种可行的方法，特别适用于小规模的方程组。
线性方程组与矩阵在介绍克拉默定理之前，我们先了解一下线性方程组和矩阵的概念。
线性方程组是由一组线性方程构成的方程组，其中每个方程都是变量的线性组合。
一般形式的线性方程组可以表示为：a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2…a m1x1+a m2x2+⋯+a mn x n=b m其中，a ij是方程组的系数矩阵，x i是变量，b i是右端常数。
矩阵是由数个数排成的矩形数组，它可以简洁地表示线性方程组。
系数矩阵A可以表示为：A=[a11a12 (1)a21a22 (2)…………a m1a m2…a mn]解线性方程组的目标就是找到一组满足所有方程的变量值。
克拉默定理的表述克拉默定理给出了求解线性方程组的一种特殊方法。
当方程组的系数矩阵A是一个方阵（即m=n），且非奇异（可逆）时，克拉默定理成立。
根据克拉默定理，方程组的解可以通过计算系数矩阵的各个子矩阵的行列式来获得。
首先，计算系数矩阵的行列式|A|，如果|A|≠0，则存在唯一解。
然后，计算方程组的每个方程将右端常数替换为列向量b，得到新的矩阵A i（即将系数矩阵的第i列替换为列向量b），再计算矩阵A i的行列式|A i|，则方程组的第i个变量的解可以表示为：x i=|A i| |A|其中，|A i|是矩阵A i的行列式。
克拉默定理的应用克拉默定理虽然相对繁琐，但在一些特殊情况下，它仍然是一个有效且可行的求解线性方程组的方法。
相比于其他方法，克拉默定理的优点在于它直接给出了方程组的解的表达式，不需要通过矩阵的求逆运算或高斯消元等复杂的操作。
线性代数课件1-7克拉默法则
克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。
克拉默法则 对复矩阵
克拉默法则对复矩阵克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它通过行列式的性质来计算方程组的解。
在本文中，我们将介绍克拉默法则在求解复矩阵时的应用。
在复数域上，复矩阵是由复数构成的矩阵。
复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
复矩阵可以用于表示一些特殊的物理和工程问题，例如交流电路中的电阻、电容和电感等。
现在，我们考虑一个由n个线性方程组成的复矩阵方程组，可以表示为：A · X = B其中A是一个n×n的复矩阵，X是一个n×1的未知向量，B是一个n×1的已知向量。
我们的目标是求解未知向量X的值。
根据克拉默法则，我们可以通过计算A的行列式和B与A的每一列组成的新矩阵的行列式来求解未知向量X的值。
具体的步骤如下：1. 首先，计算A的行列式，记为|A|。
2. 然后，计算A的每一列与B组成的新矩阵的行列式。
将B替换掉A的第一列，记为|A1|；将B替换掉A的第二列，记为|A2|；依此类推，将B替换掉A的第n列，记为|An|。
3. 接下来，我们可以通过以下公式来计算未知向量X的值：X1 = |A1| / |A|X2 = |A2| / |A|...Xn = |An| / |A|通过这种方法，我们可以求解复矩阵方程组的解。
需要注意的是，当A的行列式为0时，克拉默法则将无法求解该方程组，即方程组可能没有唯一解或无解。
克拉默法则在求解复矩阵方程组时具有一定的优势。
它不需要对矩阵进行消元或求逆运算，避免了计算复杂的矩阵操作。
另外，克拉默法则的计算过程相对简单，容易理解和实现。
然而，克拉默法则也存在一些限制。
首先，它的计算量较大，特别是当方程组的规模较大时。
其次，克拉默法则要求矩阵的行列式不为零，否则无法使用该方法求解方程组。
除了克拉默法则，还有其他一些方法可以用于求解复矩阵方程组，例如LU分解、高斯消元法和雅可比迭代法等。
这些方法各有优劣，适用于不同的问题和情况。
6.克拉默法则
此时称方程组为齐次线性方程组。
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 齐次线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
利用矩阵的乘法，则线性方程组可以表 示为矩阵形式 ：
Ax b
其中， A 称为方程组的系数矩阵，
Ax b 称为矩阵方程．
解线性方程组，就可以通过对矩阵运算而得！
在初等代数里面，用消元法求解于二元线性方程 组（如果方程组有解）:
a11 x1 a12 x 2 b1 a 21 x1 a 22 x 2 b2
D4 D
72 72
72 72
1
144 72
1
思考题:
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉 默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
解答: 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 练习：教材44页，22(1)、23、24
2 1 0 1
1 3 2 4
5 0 1 7
8 9 5 0
27
所以 x1
A1 A
81 27
3, x2
4, x3 1, x4 1.
注: 1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。
2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。
a12 a 22 an2 a1n a2n a nn
记
a11 a 21 A a n1
x1 x2 x x n
b1 b2 b b n
克拉默法则解析
克拉默法则解析克拉默法则，又称克莱姆法则，是线性代数中的一项重要定理，可用于解决线性方程组的求解问题。
在本篇文章中，我们将对克拉默法则进行详细解析，了解其原理和应用。
克拉默法则的基本原理是：对于一个n元线性方程组，如果其系数矩阵的行列式不等于零，那么该方程组存在唯一解，并且可以通过克拉默法则来求解。
具体而言，设线性方程组为：a11*x1 + a12*x2 + … + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + … + a2n*xn = b2…an1*x1 + an2*x2 + … + ann*xn = bn其中，aij为系数矩阵中的元素，bi为常数列中的元素。
如果系数矩阵的行列式不等于零，即|A| ≠ 0，其中A为系数矩阵，那么可以通过克拉默法则求解该线性方程组。
具体而言，为了求解第i个未知数xi，可以按照以下步骤进行：1. 将系数矩阵中第i列的元素替换为常数列中的元素，得到一个新的矩阵Ai；2. 计算新矩阵Ai的行列式，记为|Ai|；3. 则第i个未知数xi的解为xi = |Ai| / |A|。
通过以上步骤，可以依次求解出线性方程组的所有未知数，从而得到方程组的解。
克拉默法则的优点在于其几何直观性，对于小规模的线性方程组来说，可以方便地使用该方法求解。
然而，克拉默法则也存在一些缺点，主要体现在计算复杂度上。
由于需要多次计算行列式，对于规模较大的方程组，克拉默法则的计算量会变得非常庞大，导致效率较低。
此外，克拉默法则对于存在系数矩阵中某一列元素全为零的情况也无法处理，因为此时系数矩阵的行列式为零，无法使用克拉默法则求解。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决线性方程组问题。
总的来说，克拉默法则是一种重要的线性代数工具，可以用于求解小规模线性方程组的解，对于教学和理论研究具有一定的意义。
然而，在实际应用中，需要结合具体情况综合考虑，选择合适的算法来解决线性方程组求解问题。
线性代数1-3可逆
0 1 0
0 0 1 an
0 0 E 1
即
0 0 an
1
定义1.12 设n
a 11 a 21 阶矩阵 A a n1
a 12 a 22 an2
1
1 1
1
E
(B
1
A
1
) AB B
AB
1
(A
1
1
A ) B B 1 EB E
A
1
1
B
推广：( A 1 A 2 A m )
1
A m A m 1 A1
1
1
1
特别的， A k ) 1 ( A 1 ) k A k (
2a c 5a 3c
2b d 1 5b 3d 0
0 1
2a c 1 2b d 0 5a 3b 0 5b 3d 1
a 3 b 1 c 5 d 2
3 对于矩阵 A 0
1 有 AB 0
0 3
0 BA 1
1 ,B 3 0
0 1 3
B 是 A 的一个逆矩阵
注意： (1) 逆矩阵是对方阵而言的。 (2) 逆矩阵是相互的。 (3) 若A可逆，则逆矩阵唯一。 事实上， 若设B和C是A的可逆矩阵，则有
1
A E
1
A 可逆 ，且 ( A )
1
A
证
AA
1
E
AA
即
克拉默法则通俗解释
克拉默法则通俗解释克拉默法则（CramerRule）是一种解决线性方程组的有效方法，也称作“克拉默求解法”或“互补余子式法”。
#### 一、拉默法则的概念克拉默法则（Cramer Rule）是一种解决线性方程组的有效方法，它可以帮助我们快速解决线性方程组，而无需数值计算，从而节省计算时间。
其原理是：在任意一维线性方程组中，若方程系数矩阵的行列式为不零，则方程的解有一个唯一解，而克拉默法则即是根据此原理求出方程组的解。
#### 二、克拉默法则的具体步骤1.先，根据给定的线性方程组，将其表示为一个矩阵形式，即系数矩阵。
2.后，计算原方程组的行列式，若行列式值不等于0，则方程组有唯一解，否则无解。
3.下来，将原方程组中每个变量所在的列都用变量代替，求出每一个替换后方程组的行列式，即可得到该变量的值。
4.后，根据得到的变量值，即可得出当前方程组的解。
#### 三、克拉默法则的应用实例克拉默法则可以解决多维线性方程组，其中实际应用也很广泛，其中就包括了求未知的系数、求矩阵的逆等问题。
例如，有如下一个四元一次方程组：2x + 5y - 3z + 6w = 153x - 7y - 2z - 4w = -125x + 2y + 6z + 8w = 16-4x + 7y - 5z - 6w = -19要解决这个四元一次方程组，首先将其表示为系数矩阵：A = | 2 5 -3 6 || 3 -7 -2 -4 || 5 2 6 8 || -4 7 -5 -6 |此时，系数矩阵A的行列式为-40，为非0，因此该四元一次方程组有解。
接下来，我们可以将A中的每一列都用方程右侧的常数替换，求出每一替换后的方程的行列式，分别为40、40、40、40，即每一变量的值都为1，从而得出结论：x=1、y=1、z=1、w=1是该四元一次方程组的一组解。
通过上面的实例，我们可以看出，克拉默法则可以有效地解决多维线性方程组，并且不需要使用任何数值计算方法，从而节省计算时间。
矩阵求解问题及解题技巧
矩阵求解问题及解题技巧矩阵求解问题是线性代数中一个非常重要的研究内容，它在数学、物理、计算机科学等众多领域都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵求解问题的基本概念和解题技巧。
一、矩阵求解问题的基本概念：1. 线性方程组：矩阵求解问题通常涉及线性方程组。
线性方程组是一组形如：A*x = b的方程组，其中A是一个已知的矩阵，x是未知的变量向量，b是已知的常数向量。
2. 矩阵的行列式：行列式是一个与矩阵相关的标量值。
对于一个n×n的矩阵A，它的行列式记为det(A)或|A|。
3. 逆矩阵：对于一个n×n的方阵A，如果存在一个方阵B，使得A*B=B*A=I（I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，记为A的逆矩阵。
二、矩阵求解问题的解题技巧：1. 克拉默法则：克拉默法则是一种求解线性方程组的方法。
对于一个n 阶方程组，如果其系数矩阵A的行列式不为零，那么方程组有唯一解，并且这个解可以用克拉默法则求得。
克拉默法则的具体步骤是：- 计算矩阵A的行列式det(A)；- 将矩阵A的第i列替换为方程组的常数向量b，得到矩阵Ai；- 计算Ai的行列式det(Ai)；- 第i个未知量的解xi等于det(Ai)除以det(A)。
克拉默法则的优点是简单易懂，但计算量大，不适用于大规模的线性方程组求解。
2. LU分解法：LU分解法是一种将矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的方法。
具体步骤如下：- 首先将A分解为L+U，其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵；- 解得方程Ly=b，求得y；- 解得方程Ux=y，求得x。
LU分解法的优点是计算量小，适用于大规模的线性方程组求解。
3. 矩阵的逆：如果一个方阵A可逆，那么可以通过计算其逆矩阵A^{-1}来求解线性方程组。
具体步骤如下：- 计算A的逆矩阵A^{-1}；- 解得方程A*x=b，求得x，即x=A^{-1}*b。
矩阵的逆法求解线性方程组的优点是简单快速，但仅适用于A可逆的情况。
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组第三章主要介绍了矩阵的初等变换与线性方程组的关系，以及利用矩阵的初等变换来求解线性方程组的方法。
一、矩阵的初等变换1.矩阵的初等变换包括三种操作：互换两行、用一些非零标量乘以其中一行、将其中一行的若干倍加到另一行上。
2.初等变换的性质：初等变换保持矩阵的秩不变；有逆变换；多次初等变换的结果等于这些变换分别作用于单位矩阵的结果的乘积。
二、线性方程组的解1.线性方程组可用矩阵表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知向量，B为常数列。
2.系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A，B)的秩，即r(A)=r(A，B)。
3.齐次线性方程组与非齐次线性方程组：-齐次线性方程组为AX=0，其中0为零向量。
它总有零解，即使有非零解也有无穷多个。
-非齐次线性方程组为AX=B，其中B不为零向量。
它只有唯一解或无解两种可能。
4.矩阵的秩和线性方程组解的关系：r(A)=n，即系数矩阵A的秩等于未知数的个数，则线性方程组只有唯一解；r(A)<n，则线性方程组有无穷多解或无解。
三、求解线性方程组的方法1.初等变换法：-将线性方程组的系数矩阵A和常数列B增广为(A，B)的增广矩阵。
-利用初等变换将增广矩阵化为行简化形式。
-根据化简后的增广矩阵，确定线性方程组的解。
2.矩阵的逆法：-若系数矩阵A可逆，则可将AX=B两边同时左乘A的逆矩阵A-1，得到X=A-1B。
-利用矩阵的逆可以直接求解线性方程组的解。
3.克拉默法则：-若系数矩阵A可逆，则线性方程组AX=B的解可以表示为Xi=，Ai，/，A，其中Ai是将系数矩阵A的第i列替换为常数列B后所得到的矩阵，A，是系数矩阵A的行列式。
-克拉默法则可以用来求解二元线性方程组和三元线性方程组的解。
综上所述，矩阵的初等变换与线性方程组有着密切的关系。
利用矩阵的初等变换可以简化线性方程组的求解过程，而线性方程组的解与系数矩阵的秩有关。
在求解线性方程组时，可以通过初等变换法、矩阵的逆法或克拉默法则来得到方程组的解。
范德蒙德矩阵和克拉默法则
范德蒙德矩阵和克拉默法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：范德蒙德矩阵和克拉默法则是线性代数中非常重要的概念，它们在矩阵论、方程组解法、行列式计算等方面都有着重要的应用。
范德蒙德矩阵是一个特殊的矩阵，它可以用来表示多项式的系数，而克拉默法则则是一种解线性方程组的方法，通过克拉默法则可以求解任意的线性方程组，从而得到方程组的解。
本文将介绍范德蒙德矩阵和克拉默法则的定义、性质及应用。
一、范德蒙德矩阵范德蒙德矩阵是一个很特殊的矩阵，它可以用来表示多项式的系数。
一个n次多项式可以表示为：f(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n其中a0, a1, a2, ..., an是多项式的系数。
我们可以将多项式的系数表示为一个n+1阶的矩阵，这个矩阵就是范德蒙德矩阵。
对于一个3次多项式：它的系数矩阵为：V = |1 x x^2 x^3|;|1 x1 x2 x3|;|1 x2 x4 x8|;|1 x3 x9 x27|;其中x1, x2, x3, ..., xn是多项式的变量值。
范德蒙德矩阵具有一些特殊的性质，例如范德蒙德矩阵的行列式等于多项式的导数值，这使得范德蒙德矩阵在计算多项式的导数值时非常有用。
范德蒙德矩阵还有一些其他的性质，例如它是一个Vandermonde矩阵，它的行列式不为零等。
范德蒙德矩阵在数学中有非常广泛的应用，例如在插值多项式、数值积分、插值多项式等方面都有着重要的作用。
二、克拉默法则一个n元线性方程组可以表示为：a11*x1 + a12*x2 + ... + a1n*xn = b1a21*x1 + a22*x2 + ... + a2n*xn = b2...an1*x1 + an2*x2 + ... + ann*xn = bn其中a11, a12, ..., ann是系数矩阵的元素，b1, b2, ..., bn是常数矩阵的元素。
利用克拉默法则，可以得到线性方程组的解的表达式为：x1 = D1/Dx2 = D2/D...xn = Dn/D其中D是系数矩阵的行列式，Di是将系数矩阵的第i列替换为常数矩阵得到的矩阵的行列式。
3.3 Cramer(克拉默)法则
2011年秋季四川大学邓传现 2011年秋季四川大学邓传现
关于Cramer 关于Cramer 法则的注记
1. Cramer 法则仅适用于方程个数与未知量 个数相等的情形. 个数相等的情形 2. 理论意义：给出了解与系数的明显关系. 理论意义：给出了解与系数的明显关系 但用此法解线性方程组计算量大，不现实. 但用此法解线性方程组计算量大，不现实 3. Cramer 法则可叙述为下面定理： 法则可叙述为下面定理： 定理A 定理A 若线性方程组 则 的系数矩阵可逆， 的系数矩阵可逆，
例题 解线性方程组
解答 因
法则知方程组有唯一解. 由Cramer 法则知方程组有唯一解
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2011年秋季四川大学邓传现 2011年秋季四川大学邓传现
经计算有
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于是方程组的解为
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一定有解，且解是唯一的 一定有解，且解是唯一的. 无解或有两个以上的 的系数行列式必为零. 的系数行列式必为零
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定理B 定理B 若方程组 不同解， 不同解，则
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取何值时，如下方程组有非零解？ 例题 问 取何值时，如下方程组有非零解？
解答 由定理
则线性方程组 其中
存在唯一解
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由矩阵乘法， 证明 由矩阵乘法，方程组
可写为矩阵方程
其中 因 唯一解 对任意的 将 列展开， 按第 列展开，则 故 可逆，从而 可逆学邓传现
从而有
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克拉默法则
克拉默法则的优点及其适用范围
克拉默法则的优点
• 理论严谨，基于行列式和伴随矩阵的概念
• 适用范围广泛，适用于n个方程和n个未知数的线性方程组
• 计算过程简单，只需计算行列式和伴随矩阵的值
克拉默法则的适用范围
• 线性方程组求解
• 矩阵性质分析
• 数值方法分析
克拉默法则的缺点及其局限性
克拉默法则的缺点
• 拓展应用领域
• 开发高效的数值算法
克拉默法则面临的主要挑战及其解决方案
克拉默法则在其他数学问题中的应用挑战
• 拓展克拉默法则的应用领域
• 研究克拉默法则在其他数学问题中的性质和定理
• 开发高效的数值算法
克拉默法则计算复杂度高的挑战
• 研究降低计算复杂度的方法
• 开发高效的数值算法
• 利用并行计算和分布式计算技术提高计算效率
克拉默法则（Cramer's Rule）是一种求解线性方程组的数值方法
• 1750年，瑞士数学家克拉默（Gabriel Cramer）提出
• 适用于求解线性方程组中的未知数
• 基于行列式和伴随矩阵的概念
克拉默法则在数学中的应用领域
线性代数
• 求解线性方程组
• 计算矩阵的行列式
• 分析矩阵的性质
求解2x2矩阵的特征值
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解特征值
• 分析特征值的性质
• 计算特征值的具体数值
求解3x3矩阵的特征值
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解特征值
• 分析特征值的性质
• 计算特征值的具体数值
克拉默法则在其他数学问题中的应用实例
求解概率分布函数的矩
• 通过计算行列式和伴随矩阵的值来求解概率分布函数的矩
第3讲克拉默法则精品PPT课件
四、 齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1a22x2a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
1. 齐次线性方程组的零解与非零解 注： 齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。
引例： 用消元法解二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
当 a11a22 a12a21 0 时，
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
b1 a12
b2 a22 D1 a11 a12 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
More You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
x 1 0
00 0
0 x 1
an an1 an2
a3 a2 a1
an an1x an2 x2 a3xn3 a2xn2 a1xn1
8 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 11
x1 Dn x12
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
1-3克拉默法则
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.
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1
2. 齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a x a x a x 0 n1 1 n2 2 nn n
(1)
a12 a1n a 22 a 2 n
的系数行列式不等于零，即D
a11 a 21
a n1 a n 2 a nn
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0
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那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
x1 D1 D D D , x2 2 , x3 2 , , xn n . D D D D
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注：
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 一些实际求解方法将在第四章中详讲。
二、重要定理
1. 非齐次与齐次线性方程组的概念
定理 定理
2
例2 问 , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ取何值时，齐次方程组 x1 x 2 x 3 0 , x1 x 2 x 3 0 , x 2x x 0, 2 3 1 有非零解？ 解
D 1 1 1 1 1 1 r3 r2 1 1 1 2 1 0 0 1 3 2 ( 1) ( 1) 0 1 1
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§1.6 克拉默法则
含有n 个未知数n x x x ,,,21 的n 个线性方程的方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, （1） 与二、三元线形方程组相类似，它的解可以用n 阶行列式表示，即有
1、克拉默法则：如果线形方程组（1）的系数行列式不等于零，即 ,01111≠=nn
n n
a a a a D
那么，方程组（1）有唯一解 ,,,,2211D
D x D D x D D x n n === （2） 其中),,2,1(n j D j =是把系数行列式D 中的j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即
.1,1,1,1,1111
111nn
n n n n n j a j a b j a a a j a b j a a D
+-+-= 例1 解线性方程组⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+0674,522,963,852432143
24214321x x x x x x x x x x x x x x 解
,2727332770103531277212135712
770212060311357067412120603115122321242122=---=-------==----=-----==-----=++--c c c c r r r r D
,1086
7012
15060911
582,81674021256039151821-=-----==------=D D ,270
7415
12090318
512,27604125206931181243=-----=-=---=D D 于是得 .1,1,4,34321=-=-==x x x x
2、定理1： 如果线形方程组（1）的系数的系数行列式0≠D ，则（1）一定有解，且解是唯一的.
3、定理2（定理1的逆否定理）：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.
4、定义：线性方程组(1)右端的常数项n b b b 、、、 21不全为零时,线形方程组(1)
叫做非齐次线性方程组,当n b b b 、、、 21全为零时,线形方程组(1)叫做齐次线性
方程组.
5、定理3：如果齐次线形方程组的系数行列式0≠D ,则齐次线形方程组只有非零解.
推论：如果齐次线形方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.
例2 问λ取何值时,齐次线形方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(2,0)6(2,022)5(z x y x z y x λλλ (1)
有非零解？
解：若齐次线形方程组（1）有非零解，则（1）的系数行列式0=D 而
),
8)(2)(5()6(4)4(4)4)(6)(5(40206222
5λλλλλλλλλ
λ
λ---=-------=---=D
由0=D ,得.852===λλλ或、
不难验证,当时或、
852=λ,齐次线形方程组(1)确有非零解. §2.1 矩阵的定义
6、定义： 由n m ⨯个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表
mn
m m n n a a a a a a a a a
2122221
11211
称为m 行n 列矩阵,简称n m ⨯矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个方括弧或圆括弧,并用大写黑体字母表示它,记作
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221
11211 只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.
只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n b b b B 21称为列矩阵,又称列向量. 矩阵的行数与列数相同的矩阵称为方阵
如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵(两个矩阵行数相同，列数相同),并且它的对应元素相等 ,即),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij ===那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =.
元素都是零的矩阵成为零矩阵,记作O .不同型的零矩阵是不同的.
矩阵)0(000000≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a a a a A 称为数量矩阵(方阵) 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100010001 n E 称为n 阶单位矩阵(方阵),简记作E .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0.
另外还有三角矩阵(包括上三角矩阵和下三角矩阵)和对角矩阵,它们都是方阵,与三角行列式和对角行列式类似
小结与提问:
小结:本讲介绍了克拉默法则及矩阵的定义
提问:有哪些不同类型的矩阵
课外作业: 27P 12. 13。