第三讲克拉默法则与矩阵的概念

§1.6 克拉默法则

含有n 个未知数n x x x ,,,21 的n 个线性方程的方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, （1） 与二、三元线形方程组相类似，它的解可以用n 阶行列式表示，即有

1、克拉默法则：如果线形方程组（1）的系数行列式不等于零，即 ,01111≠=nn

n n

a a a a D

那么，方程组（1）有唯一解 ,,,,2211D

D x D D x D D x n n === （2） 其中),,2,1(n j D j =是把系数行列式D 中的j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即

.1,1,1,1,1111

111nn

n n n n n j a j a b j a a a j a b j a a D

+-+-= 例1 解线性方程组⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+0674,522,963,852432143

24214321x x x x x x x x x x x x x x 解

,2727332770103531277212135712

770212060311357067412120603115122321242122=---=-------==----=-----==-----=++--c c c c r r r r D

,1086

7012

15060911

582,81674021256039151821-=-----==------=D D ,270

7415

12090318

512,27604125206931181243=-----=-=---=D D 于是得 .1,1,4,34321=-=-==x x x x

2、定理1： 如果线形方程组（1）的系数的系数行列式0≠D ，则（1）一定有解，且解是唯一的.

3、定理2（定理1的逆否定理）：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零.

4、定义：线性方程组(1)右端的常数项n b b b 、、、 21不全为零时,线形方程组(1)

叫做非齐次线性方程组,当n b b b 、、、 21全为零时,线形方程组(1)叫做齐次线性

方程组.

5、定理3：如果齐次线形方程组的系数行列式0≠D ,则齐次线形方程组只有非零解.

推论：如果齐次线形方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

例2 问λ取何值时,齐次线形方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(2,0)6(2,022)5(z x y x z y x λλλ (1)

有非零解？

解：若齐次线形方程组（1）有非零解，则（1）的系数行列式0=D 而

),

8)(2)(5()6(4)4(4)4)(6)(5(40206222

5λλλλλλλλλ

λ

λ---=-------=---=D

由0=D ,得.852===λλλ或、

不难验证,当时或、

852=λ,齐次线形方程组(1)确有非零解. §2.1 矩阵的定义

6、定义： 由n m ⨯个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表

mn

m m n n a a a a a a a a a

2122221

11211

称为m 行n 列矩阵,简称n m ⨯矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个方括弧或圆括弧,并用大写黑体字母表示它,记作

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221

11211 只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.

只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n b b b B 21称为列矩阵,又称列向量. 矩阵的行数与列数相同的矩阵称为方阵

如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵(两个矩阵行数相同，列数相同),并且它的对应元素相等 ,即),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij ===那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =.

元素都是零的矩阵成为零矩阵,记作O .不同型的零矩阵是不同的.

矩阵)0(000000≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=a a a a A 称为数量矩阵(方阵) 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=100010001 n E 称为n 阶单位矩阵(方阵),简记作E .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0.

另外还有三角矩阵(包括上三角矩阵和下三角矩阵)和对角矩阵,它们都是方阵,与三角行列式和对角行列式类似

小结与提问:

小结:本讲介绍了克拉默法则及矩阵的定义

提问:有哪些不同类型的矩阵

课外作业: 27P 12. 13