用样本的数字特征估计总体的特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征是统计学中的重要概念，它可以帮助我们从一个小样本中推断出整个总体的特征。
在实际应用中，这项技术被广泛用于市场调查、医学研究、商业决策等领域，帮助我们更好地了解和分析数据。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理、相关的统计学方法和实际应用。
让我们了解一下什么是样本的数字特征和总体的数字特征。
在统计学中，样本是从总体中随机抽取的一部分数据，总体是我们要研究的整体数据集。
样本的数字特征是指通过对抽样数据进行计算，得到的表示数据集特征的数字。
常见的样本数字特征包括均值、方差、标准差等。
而总体的数字特征则是指整个数据集的特征，通常我们是无法直接观测到总体的数字特征的，所以需要通过对样本的数字特征进行估计来推断总体的数字特征。
接下来，我们将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的基本原理和方法。
在统计学中，估计总体的数字特征通常使用点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个常见方法。
最常用的点估计方法是用样本的均值来估计总体的均值。
假设我们从总体中抽取了一个大小为n的样本，样本的均值记作x̄，总体的均值记作μ，那么通过样本的均值x̄来估计总体的均值μ的方法可以表示为：μ≈x̄。
除了均值，样本的方差和标准差也常用于估计总体的方差和标准差。
通过样本的数字特征来估计总体的数字特征的优点是简单直观，但缺点是可能会受到样本容量的影响，当样本容量较小时，估计结果可能不够准确和可信。
区间估计是通过样本的数字特征来构造总体数字特征的置信区间来估计总体的数字特征的方法。
置信区间是指用样本的数字特征构造一个区间，使得总体数字特征落在这个区间内的概率达到一定的置信水平。
常用的区间估计方法包括平均数的置信区间估计、比率的置信区间估计、方差的置信区间估计等。
区间估计的优点是较点估计来说更加全面和准确，但计算复杂度较高，需要考虑更多的因素。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，样本是对总体的一部分进行的观察和测量。
根据样本的数字特征可以估计总体的数字特征，这一过程称为参数估计。
参数估计在统计学中是一个非常重要的部分，它能够帮助我们了解总体的性质，从而做出更好的决策。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是通过样本的数字特征来估计总体的数字特征，例如样本均值可以被用来估计总体均值，样本方差可以被用来估计总体方差。
区间估计则是通过构造置信区间来估计总体的数字特征，区间估计能够提供总体数字特征的近似范围以及估计的可靠程度。
在进行参数估计之前，需要对样本数据进行描述性统计分析，包括计算样本均值、标准差、中位数等数字特征。
由于样本只代表了总体的一部分，因此为了得到准确的估计，需要考虑样本的大小、样本的选取方法以及样本所代表的总体的特点等因素。
在进行点估计时，我们通常选择样本的均值、中位数和众数等数字特征作为总体的估计值。
其中，样本的均值是最常用的估计方法，它是样本中所有观察值的算术平均数，通常被假定为总体均值的无偏估计量。
如果样本的大小很大，样本分布接近正态分布，则用样本均值进行总体均值的估计是相对可靠的。
但如果样本的大小很小或者样本分布不规则，则用样本均值进行总体均值的估计就可能存在偏移。
除了样本均值之外，样本方差是另一个常用的数字特征，用来估计总体方差。
样本方差是样本中所有观察值与其均值之差的平方和除以样本大小减一。
样本方差是总体方差的无偏估计量，但它通常会被低估。
因此，在进行区间估计时，我们通常使用标准误差计算置信区间，标准误差是样本标准差除以样本大小的平方根。
通常用95%或99%的置信度来建立置信区间，这个置信度表示有95%或99%的概率总体数字特征在置信区间内。
当我们对置信区间的长度感兴趣时，可以计算置信区间的中心值和半径，半径等于置信区间的两端点的距离除以2。
用样本的数字特征估计总体的数字特征 实用课件
甲的成绩 (甲) 分布比较
分散
环数
乙的成绩 (乙) 分布比较
集中
环数
因此,我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例 如:在作统计图,表时提到过的极差.
甲的环数极差=10-4=6
乙的环数极差=9-5=4.
它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与 平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显 然,极差对极端值非常敏感,
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t)
平均数等于频率分布图中每个小矩形的
面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
三 三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中 点，但它对其它数据信息的忽视使得无 法客观地反映总体特征.如上例中众数是 2.25t,它告诉我们,月均用水量为2.25t的 居民数比月均用水量为其它数值的居民 数多,但它并没有告诉我们多多少.
2200 1500 1100
2000 100 6900
（1）指出这个问题中周工资的众数、中
位数、平均数 （2）这个问题中，工资的平均数能客观
地反映该厂的工资水平吗？为什么？
分析：众数为200，中位数为220，
平均数为300。
因平均数为300，由表格中所列 出的数据可见，只有经理在平均数以 上，其余的人都在平均数以下，故用 平均数不能客观真实地反映该工厂的 工资水平。
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民 频率 的月均用水量的问题中，如图所示：
组距
从这些样本数据的频
率分布直方图可以看
出，月均用水量的众
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
学习课题：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征※学习目标1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差；2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
※课前准备（阅读课本P71-P78）※探索新知一、众数、中位数、平均数众数：_______________________________________________________________________中位数：_______________________________________________________________________平均数：_______________________________________________________________________ 思考探究：1、在频率分布直方图中如何求出众数、中位数、平均数。
2、分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？3、你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？二、标准差、方差标准差S=思考探究：1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？注：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
※例题精析例：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：甲：900，920，900，850，910，920乙：890，960，950，850，860，890那种水稻的产量比较稳定？※当堂检测（ABC班完成）1、求下列各组数据的众数、中位数、平均数（1）1 ，2，3，3，3，4，6，7，7，8，8，8（2）1 ，2，3，3，3，4，6，7，8，9，92、下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）A、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定※延伸拓展(AB班完成)某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下表：（2）若董事长、副董事长的工资分别从5500元、5000元提升到30000元、20000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么？你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，用样本的数字特征估计总体的数字特征是一种重要的实用技术。
这种方法可以通过收集一部分数据样本来推断整个总体的数字特征，从而用相对较小的代表性数据来建立总体的分布模型。
本文将从样本的概念开始，介绍如何利用样本的数字特征估计总体的数字特征。
一、样本概念样本是指总体中的一部分数据，可以用来作为总体特征的代表。
在进行研究或实验时，由于无法对整个总体进行调查或实验，因此需要从中抽取一部分数据进行观察和统计分析。
例如，一个人口普查局需要统计某一城市的人口数量，它是无法对整个城市的人口进行调查的，因此需要从中抽取一部分人口进行调查，这个部分人口就被称为样本。
样本的选择应该是具有代表性的，即包含总体的不同群体，并且样本数据应该尽可能多地反映总体数据的特征。
二、样本数字特征在对样本进行统计分析时，我们通常会关注以下几个数字特征：1. 样本均值 (Sample Mean)：指样本中所有数据的总和除以样本的数量。
其计算公式为：$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$其中，$\bar{x}$表示样本均值，$x_i$表示第$i$个样本数据，$n$表示样本数量。
2. 样本中位数 (Sample Median)：指将样本数据按升序排列后，中间位置的数值。
如果数据数量为偶数，则将中间两个数取平均值。
3. 样本众数 (Sample Mode)：指出现最频繁的数值。
有时样本可能出现多个众数，此时称为多峰分布。
5. 样本标准差 (Sample Standard Deviation)：是方差的平方根，用于度量样本数据的波动程度。
其计算公式为：当我们获得了样本数据的数字特征之后，可以通过适当的方法来估计总体的数字特征。
以下介绍几种常用的方法：1. 样本均值估计总体均值：如果样本是随机抽取的，并且代表性良好，那么样本均值可以很好地估计总体均值。
在这种情况下，总体均值的点估计为：$$\mu=\bar{x}$$$$\sigma=s$$其中，$\sigma$表示总体标准差，$s$表示样本标准差。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
在统计学中，样本是从总体中抽取的部分数据。
样本的数字特征是通过对样本数据的分析和计算得出的描述性统计量，可以用来估计总体的数字特征。
本文将介绍常用的样本数字特征，并讨论如何利用这些特征来估计总体的数字特征。
一、样本的数字特征
1. 平均数：样本的平均数是样本数据的总和除以样本的个数。
平均数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的平均数。
2. 中位数：样本的中位数是将样本数据按照大小排列后，位于中间位置的数字。
中位数是样本数据的中心位置的度量，可以用来估计总体的中位数。
3. 众数：样本的众数是样本数据中出现次数最多的数字。
众数可以表示样本数据的最常见的数值，可以用来估计总体的众数。
4. 方差：样本的方差是样本数据与样本均值之差的平方的平均值。
方差反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的方差。
5. 标准差：样本的标准差是样本方差的平方根。
标准差也反映了样本数据的离散程度，可以用来估计总体的标准差。
三、注意事项
1. 样本的数字特征只能提供对总体数字特征的估计，估计的准确程度取决于样本的大小和抽样方法的随机性。
样本越大，估计的准确性一般越高。
2. 在利用样本数字特征估计总体数字特征时，需要考虑样本的代表性。
抽样时要保证样本能够代表总体的各个特征和属性。
3. 样本数字特征只能给出对总体数字特征的一种估计，通过使用统计方法和推断技巧，可以给出估计结果的置信区间和可靠程度。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件人教新课标
三数的优缺点
样本的众数、中位数和平均数常用来表示 样本数据的“中心值”.
1.众数和中位数容易计算，不受少数几个极端 值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.
2.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中 每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影 响也越大.
一天 10名工人生产的零件的中位数是( C )
A.14 B.16 C.15 D.17 【解析】选C.把件数从小到大排列为10，12，14， 14，15，15，16，17，17，19，可知中位数为15.
2.甲、乙两个班各随机选出 15名同学进行测验，所得成 绩的茎叶图如图.从图中看， _____班的平均成绩较高. 【解析】结合茎叶图中成绩的情况可知，
频率散布直方图中，你认为众数应在哪个
小矩形内？由此估计总体的众数是什么？
频率/组距
注意：哪段范围的数最多？
0.5
0
取最高矩形下端中点的
0.4
横坐标2.25作为众数.
0
0.3
0O 0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月均用水量/t
0
？由直方图看出众数是2.25，可
是抽样的数据中没有2.25，为什么 区间的中点值2.25是众数呢？
3.平均数的定义:一组数据的和除以数据的 个数所得到的数.
小练 习
求下列一组数的众数、中位数、平均数
（1）2,2,3,3,5,6,7
（2）2,3,5,5
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.(× ) (2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的.( × )
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征估计总体的数字特征是统计学中的一个重要问题，在实际应用中经常需要通过样本数据对总体数据的统计参数进行估计。
估计总体的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度、峰度等多个方面。
首先，对于总体的均值μ的估计，可以使用样本的平均值x_bar作为总体均值的近似值，即：μ ≈ x_bar这是因为样本的平均值是总体均值的无偏估计量。
在大样本条件下，由于中心极限定理的作用，样本的平均值的标准差会越来越小，从而使得x_bar更加接近总体均值μ。
其次，对于总体的方差σ^2的估计，可以使用样本方差s^2作为总体方差的无偏估计量，即：σ^2 ≈ s^2其中，样本方差的计算公式为：s^2 = ∑(x_i - x_bar)^2 / (n-1)其中，x_i表示第i个样本数据，x_bar表示样本的平均值，n表示样本容量。
在样本容量较大时，样本方差与总体方差之间的差别会越来越小，从而可以更加准确地估计总体方差。
然而，使用样本方差进行总体方差的估计存在一个问题，即样本方差的值通常比总体方差的值偏小。
因此，为了更加准确地估计总体方差，可以使用修正样本方差s_*^2，即将分母从n-1改为n，计算公式为：除了均值和方差的估计外，偏度和峰度等数字特征的估计也是非常重要的。
偏度是衡量数据分布对称性的数字特征，偏度为0表示数据分布对称。
正偏度表示数据分布向右倾斜，负偏度表示数据分布向左倾斜。
偏度的计算公式为：其中，s是样本标准差。
峰度是衡量数据分布尖峭程度的数字特征，峰度为0表示数据分布与正态分布相同。
正峰度表示数据分布比正态分布更加集中，负峰度表示数据分布较为平缓。
峰度的计算公式为：通过样本的数字特征估计总体的数字特征是数据分析的一个基本问题。
在实际应用中，要根据数据分析的目的选择合适的估计方法，并掌握估计方法的优缺点，以确保估计结果的准确性和可靠性。
用样本的数字特征估计总体的数字特征(IV)
VS
详细描述
样本中位数是总体中位数的无偏估计，但 当样本量较小时，由于受到异常值的影响 ，估计的精度较低。因此，在估计总体中 位数时，需要保证样本量足够大。
实例三：基于方差的总体数字特征估计
总结词
样本方差是总体方差的无偏估计，但当样本 量较小时，估计的精度较低。
详细描述
样本方差是总体方差的无偏估计，但在实际 应用中，由于受到抽样误差的影响，样本方 差可能会被低估或高估。因此，在估计总体 方差时，需要使用修正的样本方差公式，以 提高估计的精度。
例子
样本均值$overline{x}$ 是总体均值$μ$的无偏 估计。
有效估计
定义
如果一个估计量是某个无偏估计量的函数，则称 这个估计量为有效估计量。
意义
有效估计量在无偏估计的基础上，进一步减小了 估计误差，提高了估计的精度。
例子
样本方差$s^{2}$是总体方差$σ^{2}总体的数字特 征(iv)
目录
• 引言 • 样本数字特征的选取 • 总体数字特征的估计 • 样本数字特征的性质 • 实例分析 • 结论与展望
01
CATALOGUE
引言
研究背景
随着大数据时代的来临，大量数据被收集和存储，如 何从这些数据中提取有用的信息成为了一个重要的研
究课题。
3
此外，随着数据量的不断增加，快速、准确地估 计总体数字特征的需求也日益迫切，因此该研究 具有重要的现实意义。
02
CATALOGUE
样本数字特征的选取
均值
总结词
均值是所有数值相加后除以数值的数量所得的结果，它反映了数据的平均水平 。
详细描述
在统计学中，均值是一种常用的数字特征，它能够概括一组数据的中心趋势。 通过计算样本的均值，可以估计总体均值的近似值，从而了解总体数据的平均 水平。
(完整版)用样本的数字特征估计总体的数字特征(教案)
2。
2。
2 用样本的数字特征估计总体的数字特征一、教学目标1．能从样本数据中提取基本的数字特征，并做出合理的解释． 2．会求样本的众数、中位数、平均数．3．能从频率分布直方图中，求得众数、中位数、平均数． 二、教学重难点重点:根据实际问题，对样本数据提取基本的数字特征并做出合理解释,估计总体的基本数字特征；体会样本数字特征具有随机性．难点:在频率分布直方图中分析众数、中位数、平均数. 三、众数、中位数、平均数的概念 1。
众数的概念一组数据中重复出现次数_____的数叫做这组数的众数 2。
中位数的定义把一组数据按大小顺序排列，把处于_____位置的那个数称为这组数据的中位数； 当数据个数为奇数时，中位数是按大小顺序排列的____的那个数；当数据个数为偶数时,中位数是按大小顺序排列的最中间两个数的_________。
3.平均数的概念 如果有n 个数12,,,n x x x ,那么这n 个数的算术平均数就是这组数平均数，即例1:在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下: 甲运动员：7,8，6,8,6，5，8，10,7,4 乙运动员：9，5，7,8，7，6，8,6，7,7观察上述样本数据，分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数？ 甲运动员命中环数:众数: 中位数：平均数:786865810746.910x +++++++++==乙运动员命中环数:众数： 中位数：平均数：9578768677710x +++++++++==例2、在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数 。
众数（最多的）： ；中位数（最中间的）: 平均数 ：四、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 思考1：如何从频率分布直方图中估计出众数的值？例3：在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，这些样本数据的频率分布直方图如下所示:观察图形，估计出众数的思考2：如何从频率分布直方图中估计出中位数的值？在样本中，有50％的个体小于或等于中位数,也有50％的个体大于或等于中位数反映到频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值. 所以，中位数在频率分布直方图中，就是使其左右小矩形面积和相等 思考3：如何从频率分布直方图中估计出平均数的值?例4：射击选手甲10次的射击情况，求其命中环数的平数2.54.5所以,平均数为:456272831010x ++⨯+⨯+⨯+=1122314567810101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯即：平均数等于每个命中环数乘以该数的频率之和例5：100位居民月均用水量的频率分布表，求其平均数的估计值0.250.040.750.08 1.250.15 1.750.22 2.250.252.750.14 3.250.06 3.750.04 4.250.022.02x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以，平均数的估计值=小矩形底边中点的横坐标乘以对应频率之和 思考4：怎么在样本的频率分布直方图中估计出平均数的值？平均数的估计值=每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 五、反思与感悟 :众数：最高矩形端点的横坐标;中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和。
用样本的数字特征估计总体的数字特征说课稿 教案 教学设计
本章节是学生在初中学过的简单的统计知识一个深化。学生通过本章的学习应体会统计思维与确定性思维的差异。在本章中学生应通过实习作业较为系统地经历数据收集与处理的全过程。学生在了解统计问题时，应该包括两个方面的信息，即问题所涉及的总体和变量，处理统计问题时，学生对于随机性的理解是困难的，为此在教学过程中要通过日常生活中大量的实例以助理解。
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
〖例2〗ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值。
考试说明：1.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差。2.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。3.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。4.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点。
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５
(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７
(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征在统计学中，我们经常需要对总体的数字特征进行估计。
由于总体往往很大或者难以获得全部数据，我们通常只能通过抽样得到部分数据。
这时，我们可以利用样本的数字特征来估计总体的数字特征，从而对总体进行推断。
本文将介绍用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法和相关概念。
一、样本与总体的概念在统计学中，总体是指研究对象的全部个体或观察值的集合。
总体通常是我们想要了解的全部群体，比如全国人口总数、某一批产品的质量总体等。
样本是从总体中选取的、具有代表性的一部分个体或观察值的集合。
样本的选择要求有代表性，即能够反映总体的一般情况。
在实际应用中，由于种种原因往往难以获得全部总体数据，因此我们通常只能依靠样本数据来进行统计推断。
二、样本的数字特征样本的数字特征是用来表示样本数据的数字指标，通常包括中心位置的指标（均值、中位数）、离散程度的指标（标准差、方差）和形状的指标（偏度、峰度）等。
这些数字特征可以帮助我们了解样本数据的集中趋势、变异程度和分布形状，从而为估计总体的数字特征提供依据。
1. 中心位置的指标中心位置的指标用来表示样本数据的集中趋势，反映了样本数据的平均水平。
常用的中心位置指标包括均值和中位数。
均值是样本数据的平均值，可用于表示样本数据的平均水平。
中位数是将样本数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，能较好地反映样本数据的中心位置。
2. 离散程度的指标离散程度的指标用来表示样本数据的分散程度，反映了样本数据的离散程度。
常用的离散程度指标包括标准差和方差。
标准差是样本数据偏离均值的平均距离的平方根，是对样本数据的分散程度的度量。
方差是标准差的平方，是样本数据离均值的平均偏差的度量。
3. 形状的指标1. 点估计点估计是利用样本的数字特征估计总体的数字特征的一种方法。
点估计通常是利用样本的数字特征来估计总体的数字特征的一个数值。
比较常用的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本标准差估计总体标准差等。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征是描述样本数据分布情况的统计量，可以通过样本的数字特征来估计总体的数字特征。
在统计学中，常用的样本数字特征包括均值、中位数、方差、标准差和偏度等。
这些数字特征可以帮助我们了解数据的集中趋势、离散程度和偏斜程度，从而对总体的情况进行估计。
均值是样本数据的平均值，可以用来估计总体的平均值。
通过样本均值来估计总体均值的过程称为点估计。
如果样本均值是来自一个大样本，并且满足一些假设条件，那么根据中心极限定理，样本均值的抽样分布将服从正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行总体均值的估计。
中位数是样本数据的中间值，可以用来估计总体的中位数。
中位数能够较好地反映数据的中间位置，不受极端值的影响。
对于偏斜的数据分布，中位数通常比均值更能够代表数据的中心位置。
方差和标准差是样本数据的离散程度的度量，可以用来估计总体的离散程度。
方差是各数据与均值之差的平方和的平均数，而标准差则是方差的平方根。
通过样本的方差和标准差，我们可以对总体的离散程度进行估计。
偏度是样本数据分布偏斜程度的度量，可以用来估计总体的偏斜程度。
偏度为0表示数据分布不存在偏斜，大于0表示右偏，小于0表示左偏。
通过样本的偏度，我们可以了解数据分布的偏斜情况，从而对总体的偏斜程度进行估计。
样本的数字特征可以帮助我们对总体的数字特征进行估计。
在进行估计时需要注意样本的代表性、样本容量以及样本的分布情况等因素，以确保估计的准确性和可靠性。
在进行估计时还可以利用区间估计的方法，即通过样本数字特征来估计总体数字特征的置信区间，以提高估计的精度和置信度。
222用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)方差标准差讲解
性质归纳：kan b的平均数和方差：
已知a1，a2，，an的平均数是3，方差是2． 则a1 b，a2 b，，an b的平均数是3 b， 方差是2． ka1，ka2，，kan的平均数是3k，方差是2k 2．
标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本数据是x1,x2,...xn ,x 表示这组数据的平均数，xi到 x
的距离是
-
xi - x (i = 1,2,… ,n).
， ：
-
于是
样本数据x1,
x2,
x
到
n
x
的“平均距离”是
x1 x x2 x xn x
2.2.2用样本的数字特征估计总体 的数字特征（2） 方差、标准差
学习目标 1.明确标准差、方差等数字特征的意义，深刻 体会它们所反映的样本特征。 2.会用样本的数字特征估计总体的的数字特征， 初步体会样本的数字特征的随机性
复习回顾
一.什么是一组数据的众数、中位数及平均数？
众数：一组数据中出现次数最多的数据。
[解析] (1)甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为
70 分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)s
2
甲
＝
1 2＋5＋10＋13＋14＋6
×[2×(50
－
80)2
＋
5×(60
－ 80)2 ＋ 10×(70 － 80)2 ＋ 13×(80 － 80)2 ＋ 14×(90 － 80)2 ＋
A．众数 B．平均数
用样本的数字特征估算总体的数字特征
（1）多高株苗在这两种玉米中最常见？
（2）哪种玉米要长得高一些？
（3）哪种玉米要长得齐一些？
例1：某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名 学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
标准差越小，表示数据越稳定，离散程度越 小；标准差越大，则说明数据差异很大，离 散程度大，不稳定。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中的10 次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 你能说说谁的成绩更稳定吗？
随堂练习：下面是甲乙两个品种玉米的株高情况，各抽10 柱，情况为：（单位：cm）
5、平均数：将样本中所有数据求和之后，除以样本中 个体的个数，得到的结果。它是最常用的表现数据平均 水平的量。
随堂练习：下面是甲乙两位运动员在一次射击测试中 的10次成绩。 甲：8 7 9 5 4 9 10 7 4 9 乙：9 5 7 8 6 8 9 7 9 7 1、计算甲乙二人的平均成绩，说说谁的更好。 2、甲乙二人的射击成绩中，中位数是多少？众数呢？ 对于选手来说，稳定性也很重要，有没有什 么数据能够说明样本的稳定性的？
变式题:为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图， 则 (2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数、众数和平均 数分别为多少？
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在数；
(2)求这次测试数学成绩的平均数；
（1）利用直方图估算众数， (3)求这次测试数学成绩的中位数。 即频数最高区域两端点的平 均值。 （2）利用直方图估算平均数，将各组 的两端点的平均值作为各组的平均数。 （3）利用直方图估算中 位数，利用中位数左边右 边各占一半，故直方图面 积也应该各占50%。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 ks5u精品课件 较高？
x 甲 » 25.401 s甲 » 0.037
x 乙 » 25.406
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差. 2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
ks5u精品课件
例5 有20种不同的零食，它们的热量 含量如下： 110 120 123 165 432 190 174 235 428 318 249 280 162 146 210 120 123 120 150 140 （1）以上20个数据组成总体，求总体平 均数与总体标准差； （2）设计一个适当的随机抽样方法，从 总体中抽取一个容量为7的样本，计算样 本的平均数和标准差.
（3）
O
1Байду номын сангаас2 3 4 5 6 7 8
（4）
ks5u精品课件
例2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一种 零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们 生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺寸 如下（单位：mm）：
甲 ： 25.46 25.45 25.44 乙： 25.40 25.49 25.47 25.32 25.38 25.40 25.43 26.36 25.31 25.45 25.42 25.42 25.44 25.34 25.32 25.39 25.39 25.35 25.48 25.33 25.32 25.36 25.43 25.41 25.48 25.43 25.32 25.34 25.39 25.39 25.47 25.43 25.48 25.42 25.40
样本数字特征估计总体数字特征
1、众数、中位数、平均数； （1）众数的定义: 在一组数据中，出现次数
最多的数据叫做这一组数据的众数。 众数的特点: (1)众数容易计算;
(2)众数只能表示样本数 据的很少一部分信息;: 将一组数据按大小依次
排列，把处在最中间位置的一个数据（或
两个数据的平均数）叫做这组数据的中位 数。
标准差为0的样本数据都等于样本平均数.
标准差表现为：标准差越大，表明数据的离散程 度就越大；反之，标准差越小，表明各数据的离 散程度就越小。
标准差的作用:
它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中，
标准差常被理解为稳定性。
8
1.农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中 连续6年的年平均产量如下（单位：500g）：
中位数的特点: (1)中位数易计算,能较好地表
现数据信息;
(2)中位数不受少数极端数据 的影响;
(3)中位数常用于数据质量较
差(即存在一些数据错误)时.
2
复习：
（3）平均数的定义:一组数据的和除以数据 的个数所得到的数.
平均数的特点:(1)平均数能反映出更多的关于
样本数据全体的信息;
(2)任何一个样本数据的改变都 会影响到平均数的变化;
(3)平均数受极端值的影响较大;
(4)平均数主要用数据质量较好 的前提下.
3
2.用样本频率分布直方图估计样本的 众数,中位数和平均数
(1)众数规定为频率分直方图中最高矩形上端的 中点.
(2)中位数两边的直方图的面积相等
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形 的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
4
练习1、某班12名学生体育考试跳高成绩如下 （单位：米）： 1.58 1.59 1.57 1.61 1.58 1.65 1.60 1.64 1.58 1.66 1.64 1.56 求这些学生跳高成绩的中位数、众数、平均数.
用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：（1）样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比较容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一部分信息．（2）中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．（3）样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．（4）如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．（5）使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．（最高矩形的中点）估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道（或不可求）的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．。
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的两根，则这组数据的方差为( )
(A)10
(B)
(C)2
(D)
【解析】选C.方程x2-4x+3=0的两根为x=1或3,而n=
(m+2+3+4+5),可知m=1,1n0=3,故s2= (22+12+02+12+22)=2. 2
1
1
5
5
3.(2010·晋城高一检测)一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数据都
乘以2，所得到的一组数据的方差是( )
(A)
(B)2s2
(C)4s2
(D)s2
【(x解n-s析2 )】2］选得C.每由个方数差据的都计乘算以公2式后s，2=所得［到(x的1-一组)2+数(x据2-的方)2差+…是+4s2.
2
1
x
x
n
x
二、填空题（每题5分，共10分） 4.(2010·山东高考改编)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该 样本的平均值为1，则样本方差为 ______.
147,由此估计这车苹果单个重量的平均值为( )
(A)150.2克
(B)149.8克
(C)149.4克
(D)147.8克
【解析】选B.这车苹果单个重量的平均值为
=149.8(克).
X= 150+152+…+147 10
2.已知一组数据m,2,3,4,5的平均数为n,且m,n是方程x2-4x+3=0
s2乙= (72+1321+32+72+22)=56. ∵s2甲＞1 s2乙，5∴乙的各门功课发展较平衡.
5
1.（5分）一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31.
其中位数为22,则x的值为( )
(A)21
(B)22
(C)20
(D)23
【解析】选A.该题考查中位数的定义和求法,给出的8个数按从小到大顺序排
1.样本的方差、标准差描述了样本数据的什么特征？ 提示：样本的方差与标准差是刻画数据离散程度的量，方差（标准差）越大， 离散程度越大，波动越大，稳定性越差，方差（标准差）越小，波动越小， 稳定性越好. 2.你能想到哪些措施，可使用样本的数字特征估计总体的数字特征更合理？ 提示：（1）改进抽样方法，使样本更具代表性. （2）适当增加样本容量. （3）剔除最大、最小值，减少个别值对总体的影响. （4）多种数字特征综合应用.
=91.5,
平均数为
91+92 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
87+89+90+91+92+93+94+96 =91.5. 8
3.（5分）甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成 绩和方差如表所示：
则参加奥运会的最佳人选应为 ______.
【解题提示】乙，丙的平均成绩较好，丙的方差较小，稳定.综合作出 判断. 【解析】成绩最好的为乙,丙,而表现最为稳定的为丙. 答案：丙
【解析】(1)由中位数可知:85分排在25位之后,从位次上讲,85分不能算是上 游,但也不能单纯以位次来判定学习的好坏,小刚得了85分,说明他对这阶段 的学习内容掌握较好,从学习内容掌握上讲也可以说位于上游. (2)高一(1)班成绩的中位数是87分,说明高于87分的人占一半,而平均分则为 79分,标准差又很大,说明低分也很多,两极分化严重,建议加强对学习困难者 的帮助. 高一(2)班成绩的中位数和平均分都是79分,标准差又小,说明学生之间差别 较小,学习很差的学生少,但学习优异的学生也很少,建议采取措施提高优秀 率.
思路点拨：解答本题先由频数分别求出各组的频率,列出分布表,画出直方图, 然后利用运算公式求出众数,中位数和平均数.
一、选择题（每题5分，共15分）
1.某商场买来一车苹果,从中随机抽取了10个苹果,其重量
(单位:克)分别150,152,153,149,148,146,151,150,152,
4.（15分）某校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测试中 的成绩统计如下表：
(1)请你对下面的一段话给予简要分析： 高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79 分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”. (2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议.
【解题提示】本题用样本的平均数、方差，考查了考生的运算能力.先 由平均值求出a,再利用方差的计算公式求方差.
【解析】由题意知 （a+0+1+2+3）=1,解得a=-1, 所以样本方差为
s2= ［(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2］
=2
1
答案：2
5
1 5
5.在一组数据:7、8、2、9、13、6、11中抽去一个，所得新的一组数据的平 均数与原数据的平均数相同，则被抽去的数是 ______. 【解析】抽去一个数后平均数没有变,说明被抽去的数应是平均数,从而有
列后,中间两个数为x,23.由题意得22= ,故x=21.
x+23 2
2.(5分)(2010·福建高考)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶 图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是
()
(A)91.5和91.5 (C)91和91.5
(B)91.5和92 (D)92和92
【解题提示】把数据从小到大排列后可得中位数，平均数是把所有的数 据加起来除以数据的个数. 【解析】选A.数据从小到大排列后可得中位数为
感谢下 载
(7+8+2+9+13+6+11)=8. 答案：8
1 7
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.某企业人员周工资(单位:元)构成如下表:
(1)指出这个问题中周工资的众数,中位数,平均数; (2)这个问题中,平均数能客观地反映该企业的工资水平吗?
【解析】(1)由表格可知:众数为200元/周,中位数为220元/周,平均数为6 900÷23=300元/周. (2)虽然平均数为300元/周,但由表格中所列出的数据可知,只有1名经理的周 工资在平均数以上,其余人的周工资都在平均数以下,故用平均数不能客观地 反映该企业的工资水平. 由此可见:平均数受数据中的极端值的影响较大,妨碍了对总体的估计,这时 平均数反而不如众数、中位数客观.
7.对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，了解到的观测值如下：
（1）甲、乙的平均成绩谁较好？ （2）谁的各门功课发展较平衡？
【解析】(1)
甲=X
(601+80+70+90+70)=74, 5
乙= （1 80+60+70+80+75）=73，
X甲＞ 5 乙,∴甲的平均成绩较好.
（X 2）sX2甲= (142+62+42+162+42)=104,
1.众数、中位数、平均数各反映了样本数据 的什么特征？ 提示：众数体现了样本数据的最大集中点，中位数是样本数据的“中心”， 平均数则描述了数据的平均水平. 2.如何通过频率分布直方图确定众数、中位数、平均数？ 提示：（1）众数是最高矩形底边的中点. （2）中位数左边和右边的直方图面积应相等，由此来估计中位数的值. （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘以 小矩形底边中点的横坐标之和.