向量的数量积运算律

即(a b) c 0 a c 0 b c 0 a 上式两边同时乘以 c |，得 |
b
B
(a b) c a c b c
O
C0
A1
c
B1 C
新课
平面向量的数量积及运算律
已知向量 a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足： （交换律） （1） a b b a （2） ( a ) b ( a b) a ( b) （数乘结合律） （3） (a b) c a c b c （分配律）
X
例题
例 1： 求证：
（ ） b | a | 2a b | b | 1 a
2

2
2
（2） b a b | a | | b | a
2

2
例 2：
已知 a 6, b 4,
a 与 b 的夹角为120°，
求
a b, (a b) , | a b |
结合律：
（a b c a (b c) ）
将结合律中的某一向量换成数
分配律：
？ ？ ( a ) b ( a b ) a ( b ) ？ ？ ( a b) c a c b c ？
a b (4) cos | a || b |
2.数量积的重要性质
(5) | a b || a || b |
回 忆
我们小学时学过数与数相乘，它们满足哪些运算律？
1.交换律
2.结合律 3.分配律
探 究
向量的数量积是否具有类似 于数量乘法那样的运算律？
交换律
a b b a
复习
1. 向量的数量积定义
a ·b=|a| |b|cos<a,b>
(1)e a a e | a | cos a, e
(2)a b a b 0 2 (3)a a | a | 或 | a | a a
X
作业
P 练习A 111
1. 2
已知向量 a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足： （交换律） （1） a b b a （2） ( a ) b ( a b) a ( b) （数乘结合律） （3） (a b) c a c b c （分配律）
X
讨论结果 探 究
交换律
数乘结合律 结合律：
（a b c a (b c) ）
将结合律中的某一向量换成数
？ ？ ( a ) b ( a b ) a ( b ) ？ ？ ( a b) c a c b c ？
2
·
例 3：
已知 a 6, b 4,
求（1） a 2b a 3b


a 与 b 的夹角为60°，

（2） 当且仅当 k 为何值时，a 2b 与 k a b 互相垂直？
思考题：
已知 | a || b || a b |, 求a与a b的夹角。
小结
X
小结
平面向量的数量积及运算律
B
a
O C0 A1
c
B1 C
分配律证明：
任取点O，作 OA a,AB b,OC c
设O,A,B在向量c上的射影为O,A1 ,B1 ,
根据数量积定义,有
OA1 a c 0
A 1B1 b c 0
又 OB1 OA1 A 1B1
OB1 (a b) c 0
A
分配律：
a b b a
X
分配律： (a b) c a c b c
解析： 只需证
(a b) c0 a c 0 b c0
a e | a | cos a, l
l
Baidu Nhomakorabea
a
A
e
b
即证OB1 OA1 A1 B1