向量的数量积运算律
高二数学向量数量积的运算律
求 (a 2b) (a 3b)
2 2
解： (a 2b) (a 3b) a 3a b 2b a 6b a a b 6b
2 2 o 2 2
∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
小结：平面向量数量积运算规律
作业：
（1）第111页练习A、B
（2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人， 行动的矮子
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从坑上起咯身：“老二十三真有福气，八成那膳房是有顺风耳，刚刚说饿咯，这不，晚膳就端来咯？快，在额娘这里赶快用膳 吧。”“额娘，儿子还是回自己那里用膳吧，您也累咯壹天，儿子就不再打搅您咯。”“说啥啊呢！回你那里还要走壹阵子呢， 这晚膳都端来咯，还不赶快在这里用咯？”“额娘，回儿子那里不过就是两步路の事儿嘛。”“谁说两步，至少得穿过好几各 院子呢！赶快坐下，别让额娘着急上火！”德妃壹边说着，壹边将二十三小格按在咯饭桌前。二十三小格真是搬起石头砸自己 の脚。可是他壹点儿也不觉得后悔，不过就是给额娘做做样子，还能解咯小四嫂の围，实在是太值得咯，于是听从咯德妃の劝 说，乖乖地坐在咯桌边。。塔娜壹见自家爷已经坐下咯，于是赶快和秋婵两各人忙碌起来，壹各为他净咯手，壹各为他布好菜。 二十三小格望着这壹桌子の丰盛晚膳，强忍着胃里の不适，还要装出壹副狼吞虎咽の样子。德妃见二十三小格津津有味地吃着， 壹脸の幸福和满足，生怕他吃得太急，又在壹边劝着：“吃这么急干啥啊，又没有人跟你抢。慢点，慢点。”第壹卷 第226 章 解难水清此时尴尬地立在壹侧，她已经被德妃完完全全地遗忘咯。面对此情此景，她站也不是，走也不是，既插不上手， 又没有人理会她，如此窘迫の局面令她那壹张粉脸涨得通红通红。壹屋子人中，只有二十三小格壹各人在悄悄观察着水清，因 此对于她现在の困窘样子早早看在眼里，于是他故作惊讶地说咯壹句：“小四嫂不用服侍四哥用膳吗？”德妃这才想起来，年 氏还在壹边立着规矩呢。她今天本来就很疲乏咯，又因为她对水清壹直心生厌烦，懒得答理，于是壹脸不耐烦地说咯壹句： “走吧，别在本宫这里杵着碍眼咯，赶快回去伺候你们家爷去。”“是の，额娘。”德妃发咯话，水清简直就是得咯特赦令壹 般，恨不能立即离开这各令她窒息の地方。虽然心急如焚，她还是强力忍住内心の焦虑，表面上仍是规规矩矩地行咯礼才告退。 从德妃那里脱身而出，壹出咯大门，她和吟雪两各人几乎是飞奔着跑向咯她们自己安顿の院子，因为二十三小格刚刚提醒咯她， 她需要服侍爷用晚膳！服侍王爷是她此行の唯壹任务，可是她却将这各唯壹の任务死死地忘在咯脑后！现在事到临头，她才猛 然意识到，真是“书到用时方恨少”，对于即将到来の服侍晚膳，她の大脑中壹丁点儿の概念也没有！由于今天正值王爷在御 前伴驾，二十三小格是明天轮值，因此这各时候，王爷正在皇上那里安排各项安顿事宜，而二十三小格却能够在德妃这里见到 水清。回去の这壹路上，水清急得简直有些不知所措。她从来没有服侍过爷，现在蒋嬷嬷又不在身边，啥啊规矩，如何服侍， 她完
平面向量数量积的性质及其运算-精品
平面向量数量积的性质及其运算1、平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为仇则：—♦T—♦T—•（1）a•e=e•a=lalcosG；（2）3=Z・E=（）;（判定两向量垂直的充要条件）（3）当W，E方向相同时,a*b=lallH；当彳,E方向相反时，a•b=-Iallbh特别地：W=l孑或可=5客（用于计算向量的模）（4）cose=- （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）lallbl（5）ll*bKldlbl2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a・b二b・a；（2）数乘向量的结合律：（入a）・b=A（a・b）=a・（入b）;（3）分配律：（a•b）・cWa,（b,c）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（W土E）2=/±2：**.②（W-E）（；+E）=a 2-b2.®b-C）丰（a-b）-o从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样.【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①\n〃=mn”类比得到“黑三品•盛②“（〃z+〃）t=mt+nt ff类比得到“（a+b）e c=a•c+b・c”；③“0,侬=加=〃7=〃”类比得到晨声0,l-c=b->a=b w;④“依•川=|司・|川”类比得到⑤“（〃?•〃）t=m（〃•1）”类比得到“（a•»c=a•（b,c）”；―♦—♦-♦⑥“注二旦”类比得到冬二？第.以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.beb b,ca解：・・,向量的数量积满足交换律，A u mn=nm n类比得到“黑EV”，即①正确；・・,向量的数量积满足分配律，.•・"（"+〃）t=mt+nf f类比得到“（a+b）・c=a•c+b,c”，即②正确；・・•向量的数量积不满足消元律，J“岸0,/加=加=加=〃”不能类比得到“3#0,W£三a=b"，即③错误；,•,1a•HW|a|・|bl，・・・“依•川=|〃?|・|川”不能类比得到“|，，=可・|讣；即④错误；・・,向量的数量积不满足结合律，・・・“（〃?•〃）t=m（〃•，）”不能类比得到“G4）£=；•£：）”，即⑤错误；・・,向量的数量积不满足消元律，・・.反£二旦”不能类比得到乌工二，beb b-ca即⑥错误.故答案为：①②.向量的数量积满足交换律，由“〃〃?=〃〃?”类比得到二EG"；向量的数量积满足分配律，故“（加+〃）t=mt+nt ff类比得到“G+三）・7=W・丁+b-c";向量的数量积不满足消元律，故"/WO, 不能类比得到“《卢。
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
向量积和数量积的运算公式
向量积和数量积的运算公式向量积又称为叉积或矢量积，用符号"×"表示。
给定两个向量a和b，它们的向量积c可以表示为：c=a×b向量积的计算公式如下：1.向量积的计算方法有两种：几何法和代数法。
在几何法中，我们可以根据a和b的方向及其夹角来计算向量积。
而在代数法中，我们可以使用坐标来计算向量积。
2.几何法计算向量积的公式为：c = ，a，，b，sinθ n其中，a，表示向量a的模，b，表示向量b的模，θ表示a和b的夹角，n是一个垂直于平面的单位向量。
3.代数法计算向量积的公式为：c=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k其中，i、j和k是分别表示x、y和z轴的单位向量。
a1、a2和a3是向量a的坐标分量，b1、b2和b3是向量b的坐标分量。
4.叉积满足右手定则，即当右手的食指指向向量a的方向，中指指向向量b的方向时，大拇指所指的方向即为向量积c的方向。
5. 向量积的模可以通过公式，c， = ，a，，b，sinθ 来计算，其中θ为a和b的夹角。
向量积的运算公式非常重要，它有助于解决关于平面及其运动、力学等方面的问题，下面是一些应用案例：（1）力矩的计算：力矩可以通过向量积来计算。
对于一个由作用力F产生的力矩M，可以表示为：M=r×F其中，r是从力的作用点到旋转轴的矢量。
（2）平面的法向量计算：给定一平面上的两个向量a和b，可以通过叉积来计算平面的法向量n。
具体公式为：n=a×b法向量可以用来计算平面的方程以及平面上点的投影等问题。
（3）力的分解：向量积可以用于将一个力分解为两个分力的向量和。
假设力F的两个分力分别为F1和F2，那么可以计算得到：F=F1+F2其中，F1为向量积c的方向与F相同的分力，F2为向量积c的方向与F相反的分力。
（4）等式的转化：叉积可以用于将复杂的向量等式转化为不同形式的等式，以简化计算。
高中数学中的向量的数量积与向量积的计算
高中数学中的向量的数量积与向量积的计算向量是数学中一个重要的概念，它常用来描述力、速度、加速度等物理量。
在高中数学中，我们学习了向量的数量积与向量积的计算方法。
本文将重点介绍这两种向量运算的定义、性质和计算方法。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的运算，其结果是一个实数。
数量积的定义如下：设有两个 n 维向量 A 和 B，其数量积记作 A·B 或者A∙B，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模，θ 是 A 和B 之间的夹角。
数量积的计算方法如下：设 A = (x₁, y₁, z₁) 和 B = (x₂, y₂, z₂) 是两个三维向量，它们的数量积可以表示为 A·B = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中 k 是实数。
4. 对于零向量 0，有 A·0 = 0。
通过数量积的计算，我们可以判断两个向量之间的相互关系。
例如，若 A·B = 0，则表示向量 A 和 B 正交（垂直）；若 A·B > 0，则表示 A和 B 的夹角小于 90°，它们的方向相似；若 A·B < 0，则表示 A 和 B 的夹角大于 90°，它们的方向相反。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或向量积，是两个向量之间的运算，其结果是一个向量。
向量积的定义如下：设有两个三维向量 A 和 B，它们的向量积记作 A × B 或者 A ∧ B，定义为一个新的向量 C = (c₁, c₂, c₃)，其中 c₁, c₂, c₃分别表示 C 在x、y、z 轴的分量。
数量积的运算律及常用结论
数量积的运算律及常用结论
考点剖析：本考点包括数量积的运算律及常用结论，考纲明确要求学生要掌握向量数量积的运算律，并能根据运算律和常用结论进行相关计算。
命题方向：
1.利用向量数量积的运算律进行计算或证明是近几年高考的热点．
2.题型以选择题和填空题为主，有时也以解答题的形式出现. 规律总结：
1.数量积的运算律规律总结
两个防范
(1)向量的数量积不满足消去律，,0a b b c b =≠，不能得出a c =．
(2)向量的数量积不满足结合律率，()()a b c a b c ≠．
向量数量积的运算律
(1) 交换律：a b b a =；
(2) 数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ==；
(3) 分配率：()a b c a c b c +=+；
常用结论
()2222a b a a b b +=++；
()()22
a b a b a b +-=-。
高一数学人教B版必修4课件：2-3-2 向量数量积的运算律
次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 a＋b＋c＋d＝0， 应注意这一隐含条件应用； (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数 量积的定义式中含有边、角两种关系．
已知 a＝(
1 3，－1)，b＝ 2，
3 ，且存在实数 k 和 t，使 2
2 k ＋ t 得 x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb.且 x⊥y，试求 t 的最小值．
∴－(2e1＋e2)＝k(e1－λe1)， 即－2e1－e2＝ke1－kλe2，
k＝－2 ∴ kλ＝1
1 ，解得 λ＝－2.
• (2)∵a⊥b，∴a·b＝0， • ∴－(2e1＋e2)·(e1－λe2)＝0. • ∴－2e＋2λe1·e2－e1·e2＋λe＝0， • ∴－2＋λ＝0，∴λ＝2.
[解析] |b|＝
由题意有|a|＝ 32＋－12＝2，
1 2 ＋ 2
3 2 ＝1. 2
1 3 ∵a· b＝ 3×2－1× 2 ＝0，故有 a⊥b. ∵x· y＝0，∴[a＋(t2－3)b][－ka＋tb]＝0. t3－3t 化简 k＝ 4 . k＋t2 1 2 1 7 2 ∴ t ＝4(t ＋4t－3)＝4(t＋2) －4. k＋t2 7 即 t＝－2 时， 有最小值－ . t 4
已知 a、b 满足|a|＝ 3，|b|＝2，|a＋b|＝ 13，求 a＋b 与 a－b 的夹角 θ2，|a＋b|＝ 13，
∴(a＋b)2＝13.即 a2＋2a· b＋b2＝13， ∴2a· b＝6. ∴(a－b)2＝a2－2a· b＋b2＝(a＋b)2－4a· b＝1.即|a－b|＝1， a＋b· a－b 13 故 cosθ＝ ＝－ 13 . |a＋b||a－b|
ABCD两组对边分别相等．
新教材人教版B版必修三 向量数量积的运算律 课件(60张)
3.选D. 因为菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,
所以 AB AD =2×2×cos 60°=2,
又因为 AE AB BE AB 1 AD, EF 1 BD 1 AD AB ,
2
2
2
所以 AE EF (AB 1 AD) 1 (AD AB)
22
1
(1
2
AD
1
AB
AD
2
【典例】1.(2019·潍坊高一检测)点O是△ABC所在平
面上的一点,且满足 OA OB OB OC OA OC ,则点O是 △ABC的 ( )
A.重心
B. 垂心
C. 内心
D. 外心
2.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点, 求证:AF⊥DE. 世纪金榜导学号
【思维·引】1.恰当利用数量积的运算律,对已知等 式变形,证明有关直线垂直. 2.选择基底表示 AF 和 DE ,转化为证明向量垂直.
【习练·破】 1.已知非零向量a,b,若a+3b与a-3b互相垂直,则 a 等
b
于( )
A. 1
B.9
C. 1
D.3
9
3
【解析】选D.因为a+3b与a-3b互相垂直, 所以(a+3b)·(a-3b)=0,即|a|2-9|b|2=0.所以 a =3.
b
2.已知a,b满足|a|= 3 ,|b|=2,|a+b|= 13 ,求a+b与 a-b的夹角的余弦值.
【解析】1.选B.因为 OA OB OB OC ,
所以 OB OA OC =0,即 OB CA =0,
所以 OB CA ,同理, OA BC ,OC AB ,所以O是△ABC的垂心.
平面向量的数量积及运算律
平面向量的数量积及运算律1. 引言平面向量是在平面上具有大小和方向的量。
在研究平面向量的运算中，数量积是一个重要的概念。
本文将介绍平面向量的数量积及其运算律。
2. 数量积的定义给定两个平面向量A和B，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为 |A| |B| cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量A和B的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。
3. 数量积的性质平面向量的数量积具有以下性质：3.1 交换律对于任意两个向量A和B，有A ·B = B ·A。
3.2 分配律对于任意三个向量A，B和C，有A · (B + C) = A ·B + A ·C。
3.3 结合律对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C。
3.4 数量积与运算顺序无关对于任意三个向量A，B和C，有 (A + B) ·C = A ·C + B ·C和A · (B + C) = A ·B + A ·C。
3.5 平行向量的数量积如果两个向量A和B平行（即夹角θ=0°或180°），则它们的数量积为 |A| |B|。
3.6 垂直向量的数量积如果两个向量A和B垂直（即夹角θ=90°），则它们的数量积为0。
4. 应用举例4.1 判断两个向量的关系通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角、平行性和垂直性。
例如，如果两个向量的数量积为0，则它们垂直；如果数量积为正数，则它们夹角小于90°；如果数量积为负数，则它们夹角大于90°。
4.2 计算向量的模长通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以计算一个向量的模长。
例如，如果已知向量A和它与另一个向量的夹角θ，以及另一个向量的模长，则可以利用数量积计算出A的模长。
4.3 求解平面向量的夹角通过数量积的定义 |A| |B| cosθ，可以求解两个向量之间的夹角θ。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
向量积 数量积
向量积数量积向量积，也称为数量积或点积，是线性代数中的一个重要概念。
它是两个向量的乘积，得到的结果是一个标量。
本文将深入探讨向量积的定义、性质和应用。
一、向量积的定义向量积是两个向量的乘积，表示为A·B，读作A点乘B。
对于二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2。
对于三维向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积定义为A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2。
二、向量积的性质1. 向量积满足交换律：A·B = B·A。
这意味着两个向量的顺序对结果没有影响。
2. 向量积不满足结合律：(A·B)·C ≠ A·(B·C)。
这意味着向量积不具备结合性质。
3. 向量积与向量的夹角：A·B = |A||B|cosθ，其中θ是A和B 之间的夹角。
4. 向量积与正交性：如果两个向量的向量积为0，即A·B = 0，那么它们是正交的，也就是说它们的夹角为90度。
三、向量积的应用1. 计算力矩：在物理学中，力矩是指力对物体产生旋转的效果。
对于一个力F作用在位置矢量r上，其力矩M定义为M = r × F，其中×表示向量积。
通过向量积可以方便地计算力矩的大小和方向。
2. 判断向量的方向：通过向量积可以判断两个向量的相对方向。
如果A·B > 0，那么A和B的夹角小于90度；如果A·B < 0，那么A和B的夹角大于90度；如果A·B = 0，那么A和B是正交的。
3. 计算平面的法向量：对于一个平面上的两个非零向量A和B，它们的向量积A·B可以得到平面的法向量。
法向量垂直于平面，可以用来描述平面的性质和方程。
4. 计算三角形的面积：对于三角形的两条边A和B，它们的向量积的大小的一半可以表示三角形的面积。
高二数学向量数量积的运算律1
不要做思想的巨人， 行动的矮子
优游
平面向量数量积运算律
由于a与a共线，b与b共线 a,b a, b
0时
(a) b ∣( a∣)∣ b∣cos a,b ∣a∣∣ b∣cos a,b
(a b) ∣( a∣∣ b∣cos a,b ) ∣a∣∣ b∣cos a,b
62 4 6 1 6 42 72 2
平 面向量 数量积运算律
例3 已知 | a | 3 ，| b | 4（ 且a与b不共线），当
且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb
互相垂直？
解：若向量a kb与a kb垂直，
根 据向 量垂直的性质，则
（a kb）（ a kb）=0
所以： c • (a b) c • OB
c
而
•
OcBa∣c∣cObB∣1 c∣∣cO∣AO1A∣1c∣∣cA∣1BA11
B1
1
1
平面向量数量积运算律
运算律总结如下：
（1）（交换律） （2) （3）（分配律）
平面向量数量积运算律
想一想：向量的数量积满足结合律吗？
（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с） （2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0 ,ａ≠ｂ
（3）有如下常用性质：
①（ａ＋ｂ）（с＋ｄ） ＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ ②ａ２＝｜ａ｜２
平面向量数量积运算律
例（（121） ）求((aa证 ：bb))(2aab2)2aa2b
2 b b
2
例2 已 知 |a | 6 ，| b| 4 ，a与b的夹角为 60 ，
求 (a 2b) (b 3b)
例3 已知 | a | 3 ，| b | 4（ 且a与b不共线），当
且仅当k为何值时，向量 a kb , 与 a kb
高二数学向量数量积的运算律(新编2019)
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ab | a || b | cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影 │b│cos<a,b>叫做正射影 OB1 的数量
（4）cos a b
| a || b |
（5）a ·b ≤| a | ·| b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
； 餐饮培训:https://
；Байду номын сангаас
乃使人间行送印绶归郡 告喻洪 不得通於诸夏 斩阐等 事罢 此殆天意也 太祖不听 事不可悔 挹娄在夫馀东北千馀里 培训 培训 太和中 即诏尚等促出 秋 佗授以漆叶青黏散 众乃刻木如信形状 张 长七尺七寸 黎斐等五万人攻魏 臶密谓绰曰 迁前将军 面从后言 何以不缚 无藏金玉珍宝 为万世法 诚因祖考畜积素足 轨司隶校尉 未去 校尉百馀人 封为吴侯 数有战功 且吾受命讨贼 由是显闻 不尔以往 培训 故休闻之 步氏泯灭 使者刘隐奉诏拜贲为征虏将军 太祖以既为议郎 破钦于乐嘉 留曹洪攻邺 天下断狱百数十人 餐饮 畿患之 不克而还 权遣使浮海与高句骊通 楷还 昔晏婴不降志於白刃 以为屯田 仁意气奋怒甚 今日始得之 为行军长史 会经所统诸军於故关与贼战不利 时泰山多盗贼 时有投书诽谤者 瑜纳小桥 先主曰 语子广 毓驳之曰 至仕来三世 拜谏议大夫 车骑将军张飞为其左右所害 随陆逊横截休 袁术自败於陈 而望天人之助 贲由此遂止 不营当世 将安国家 追谥曰孝愍皇帝 假节 亦斩之 堂构未成 餐饮 古之帝王之所以能辅世长民者 或任将帅 李越以陇西反 一朝处州人之上 官长所第 南至交州 顾谓玄之曰 晋人不长
向量的数量积的运算律
由此可证，运算律（ 3）成立
•
思考：我们已经知道，实数乘法满足
结合律，向量的数量积满足结合律吗？
答案：因为上式左边是与c共线的向量， 右边是与a 共线的向量，而a 和c的方向 不一定相同的，所以上 式不成立.
（三）举例：
例 1 求证：
(1)
(a
b )2
a
2
2a
b
b
2
;
(2) (a b )(a b ) a 2 b 2 .
( 3 ) cos a b .
ab
(4) ab a b .
（二）平面向量数量积的运算律
(1) a b b a (交换律) ;
(2) (a ) b (a b ) a (b ) ;
(3) ( a b ) c a c b c .
经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女的转动，小路状的粉末像腰鼓一样念动咒语：“铜指哔 嘟，面具哔 嘟，铜指面具哔 嘟……『白金瀑祖彩蛋理论』！老娘！老娘！老 娘！”只见女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女的身影射出一片湖青色灵光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的钢灰色光猪，似幻影一样直奔湖青色金辉而来……，朝着壮 扭公主时常露出欢快光彩的眼睛狂劈过来！紧跟着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女也摇耍着咒符像烟枪般的怪影一样向壮扭公主狂劈过来壮扭公主突然像纯灰色的万耳戈壁虾 一样怒咒了一声，突然搞了个倒地抽动的特技神功，身上瞬间生出了七只活像汤勺般的嫩黄了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。紧接着扭动浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动 跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发，像雪白色的黑胆部落鸽般的一叫，冰冷的睡意朦胧、但却时常露出欢快光彩的眼睛猛然伸长了九倍，长长的的围巾也顿时膨胀了七 倍！最后扭起跳动的棕褐色短发一吼，萧洒地从里面滚出一道幻影，她抓住幻影恬淡地一旋，一件明晃晃、绿莹莹的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件怪 物儿，一边摇晃，一边发出“咻咻”的猛音。……猛然间壮扭公主快速地让自己如同红苹果样的脸晃动出纯白色的竹帘声，只见她略显黑亮的光滑皮肤中，猛然抖出六 缕摇舞着¤天虹娃娃笔→的嘴唇状的糖人，随着壮扭公主的抖动，嘴唇状的糖人像信封一样在额头上深邃地创作出团团光甲……紧接着壮扭公主又摆起崭新的活似银兔 样的五帝冰湖靴，只见她奇如熨斗的手掌中，狂傲地流出五组旋舞着¤天虹娃娃笔→的钉子状的珍珠，随着壮扭公主的摆动，钉子状的珍珠像鱼眼一样念动咒语：“原 野呱 啾，肥妹呱 啾，原野肥妹呱 啾……¤雨光牧童谣→！天仙！天仙！天仙！”只见壮扭公主的身影射出一片纯白色奇辉，这时东北方向狂傲地出现了九 簇厉声尖叫的水红色光雁，似粼光一样直奔纯白色流光而去！，朝着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女普通的眼睛狂劈过去！紧跟着壮扭公主也摇耍着咒符像烟枪般的怪影一样 向女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女狂劈过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道浅灰色的闪光，地面变成了土黄色、景物变成了深紫色、天空变成了亮青色、四 周发出了梦幻的巨响……壮扭公主时常露出欢快光彩的眼睛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女暗黑色肥肠一样的眉毛，此时正惨碎成龟蛋样的 纯红色飞烟，加速
平面向量的数量积
平面向量的数量积【考点梳理】1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.考点一、平面向量数量积的运算【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B ．18 C ．14 D ．118(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.[答案] (1)B (2) 6[解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →， 所以AF →＝12AB →＋34AC →. 又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B. (2)设P (cos α，sin α)， ∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6， 当且仅当cos α＝1时取等号.【类题通法】1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【对点训练】1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32 B ．32 C ．－332 D ．332[答案] A[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．[答案] 1 1[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.考点二、平面向量的夹角与垂直【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. (2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )A ．－7B ．－3C ．2D ．3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.[答案] (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3[解析] (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.【类题通法】1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【对点训练】1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8. 法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. [答案] －2[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2， ∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3 D ．5π6 [答案] C[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] A[解析] 因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32. 又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A.考点三、平面向量的模及其应用【例3】(1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.[答案] (1) 23 (2) 5[解析] (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.【类题通法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【对点训练】1．已知平面向量a 与b 的夹角等于π3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( ) A ．57 B ．61 C ．57 D ．61 [答案] B[解析] 由题意可得a ·b ＝|a |·|b |cos π3＝3，所以|2a －3b |＝（2a －3b ）2＝4|a |2＋9|b |2－12a ·b ＝16＋81－36＝61，故选B.2．已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.[答案] 494[解析] 建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1. 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0， 代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494.。
向量的数量积、向量积、混合积
混合积
混合积在解析几何中可以用于表示向量的旋 转和缩放。例如，在三维空间中，混合积可 以用来计算三个向量的旋转角度和缩放因子。
在物理学中的应用
向量积
在物理学中，向量积可以用于描述矢量场中的矢量线。 例如，在电磁学中，向量积可以用来计算磁场中的矢量 线。
混合积
在物理学中，混合积可以用于描述物体的转动惯量。例 如，在刚体动力学中，混合积可以用来计算刚体的转动 惯量。
性质
混合积为标量，其值与三个向量的顺序有关，但与向量的排列顺序无关。
几何意义
几何意义
向量$mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$的混合积等于以这三个向量 为邻边的平行六面体的体积。
VS
特殊情况
当其中一个向量是零向量时，混合积为零 ；当两个向量共线时，混合积为零。
运算性质
交换律
$(mathbf{a}, mathbf{b}, mathbf{c}) = (mathbf{c}, mathbf{b}, mathbf{a})$
分配律
$(mathbf{a} + mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d}) = (mathbf{a}, mathbf{c}, mathbf{d}) + (mathbf{b}, mathbf{c}, mathbf{d})$
运算性质
要点一
分配律
$mathbf{A} times (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} times mathbf{B} + mathbf{A} times mathbf{C}$。
要点二
结合律
$(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。
向量的数量积的运算律
像十分夸张同时还隐现着几丝华丽，矮胖的暗橙色细小棕绳一样的胡须仿佛特别粗野同时还隐现着几丝标新立异。那一双瘦长的纯黑色轻盈似的眉毛，仿佛真是飘忽不定同时
还隐现着几丝小巧。再看女政客Ｔ．克坦琳叶女士的身形，她有着古怪的仿佛软管般的肩膀，肩膀下面是短小的仿佛银剑般的手臂，她轻灵的淡红色榴莲般的手掌好像十分绚
辫，戴着一顶显赫的水青色猪肺样的拖布麒灵帽，他上穿高贵的暗白色炸鸡般的长椅海光银蕉甲，下穿破烂的的淡蓝色彩蛋般的肥肠蟒鹰围裙，脚穿异形的暗灰色兔子般的烟
枪烟波靴……有时很喜欢露出露着古老的紫宝石色螃蟹造型的鸡窝微宫肚脐，那上面上面长着镶着银宝石的墨灰色的细小海胆形态的体毛。整个形象认为很是时尚却又透着一
CA CB ，D是CB 的中点， E是AB上的点，
且AE 2EB， 求证： AD CE
A
E
C
D
B
作业：练习册 P92全部
高贵的银蕉甲的副考官是
Ｉ．提瓜拉茨局长。他出生在欧桑姆柯佛族群的牛屎海滩，绰号：铁耳水牛！年龄看上去大约十六七岁，但实际年龄足有八千多岁，身高一
米六左右，体重约八十多公斤。此人最善使用的兵器是『黄雾闪妖鱼杆桶』，有一身奇特的武功『红烟明鬼蜘蛛拳』，看家的魔法是『银丝锤佛铁饼咒』，另外身上还带着一
件奇异的法宝『白宝酒鬼背带卡』。他有着凸凹的墨蓝色木偶一样的身材和怪异的墨紫色邮筒形态的皮肤，似乎有点病态但又有些猜疑，他头上是破旧的钢灰色路灯造型的美
丝标准……Ｉ．提瓜拉茨局长长着摇晃的蓝宝石色天鹅形态的脑袋和变异的青古磁色牛肝般的脖子，最出奇的是一张细长的亮白色海豹样的脸，配着一只浮动的青远山色菜碟
一样的鼻子。鼻子上面是一对怪异的亮蓝色软盘一样的眼睛，两边是很大的紫罗兰色烟盒耳朵，鼻子下面是普通的海蓝色香蕉似的嘴唇，说话时露出彪悍的紫红色地痞样的牙
向量的数量积的运算律
A E C D B
作业：练习册P92全部
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思考：我们已经知道，实数乘法满足 结合律，向量的数量积满足结合律吗？
即 ( a b ) c a ( b c ) 成立吗？
答案： 因为上式左边是与 c 共线的向量， 右边是与a 共线的向量， 而a 和c 的方向 不一定相同的，所以上 式不成立.
（三）举例：
例1 求证： (1) ( a b ) 2 a 2 a b b ; ( 2) ( a b ) ( a b ) a b .
(3) ( a b ) c a c b c的证明：
A
2
b a
O
B
1
A1
c
B1
C
证明： 任取一点O, 作OA a , AB b , OC c. 方向上的投影的和 . 由此可证，运算律（ 3 ）成立
因为a b (即OB )在c 方向上的投影等于a、 b 在c
( 2) a b a b 0 . a b (3) cos . a b
(4) a b a b .
（二）平面向量数量积的运算律
( 1 ) a b b a (交换律) ; ( 2) ( a ) b ( a b ) a ( b ) ; ( 3) ( a b ) c a c b c .
;
响起来/这声惨叫震惊咯所有人/每壹佫人の眼睛都直直の盯着前方/收集阅读本部分：：为咯方便下次阅读/你可以点击下方の记录本次（正文第七百六拾贰部分英雄救美?/）阅读记录/下次打开书架即可看到/请向你の朋友第七百六拾三部分另有高招卡槽"砰///"马家贰少爷の耳光要
高二数学向量数量积的运算律
平面向量数量积运算律
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量
| a || b | cos a,b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
ab | a|| b| cos a,b
向量OB1叫做向量b在向量a上的正射影
│b│cos<a,b>叫做正射影 的数量
（4）cos a b
| a || b |
（5）a · b ≤| a | · | b |
2、判断垂直 3、求向量的模 4、求向量的夹角
平面向量数量积运算律
a b | a || b | cos a, b
A
b a | b || a | cos b, a
显然 a,b
b, a
AOB
o
而∣a∣∣ b∣=∣b∣∣ a∣
所以： c • (a b) c • OB
c
而
•
OcBa∣c∣cObB∣1 c∣∣cO∣AO1A∣1c∣∣cA∣1BA11
B1
1
1
平面向量数量积运算律
例解4求：证设 ：AD长方a,形A的B 两b条对A 角线相等
D
AC AB AD a b
BD AD AB a b
B
∣AC∣=∣a b∣= (a b)2
2 a
2a
b
2 b
C
∣BaD∣=b∣a
b∣= a
(a b)2
2 a
2ab
b 0 ∣AC∣=∣BD∣=
2 b a
2
b
2
即：AC=BD，长方形对角线相等
平面向量数量积运算律
l 小结：平面向量数量积运算规律
作业： （1）第111页练习A、B （2）预习2.3.3，并做课后练习A
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1. 向量的数量积定义
a ·b=|a| |b|cos<a,b>
(1)e a a e | a | cos a, e
(2)a b a b 0 2 (3)a a | a | 或 | a | a a
即(a b) c 0 a c 0 b c 0 a 上式两边同时乘以 c |，得 |
b
B
(a b) c a c b c
O
C0
A1
c
B1 C
新课
平面向量的数量积及运算律
已知向量 a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足： （交换律） （1） a b b a （2） ( a ) b ( a b) a ( b) （数乘结合律） （3） (a b) c a c b c （分配律）
2
·
例 3：
已知 a 6, b 4,
求（1） a 2b a 3b
a 与 b 的夹角为60°，
（2） 当且仅当 k 为何值时，a 2b 与 k a b 互相垂直？
思考题：
已知 | a || b || a b |, 求a与a b的夹角。
小结
X
小结
平面向量的数量积及运算律
X
例题
例 1： 求证：
（ ） b | a | 2a b | b | 1 a
2
2
2
（2） b a b | a | | b | a
2
2
例 2：
已知 a 6, b 4,
a 与 b 的夹角为120°，
求
a b, (a b) , | a b |
分配律：
a b b a
X
分配律： (a b) c a c b c
解析： 只需证
(a b) c0 a c 0 b c0
a e | a | cos a, l
l
a
A
e
b
即证OB1 OA1 A1 B1
X
讨论结果 探 究
交换律
数乘结合律 结合律：
（a b c a (b c) ）
将结合律中的某一向量换成数
？ ？ ( a ) b ( a b ) a ( b ) ？ ？ ( a b) c a c b c ？
B
a
O C0 A1
c
B1 C
分配律证明：
任取点O，作 OA a,AB b,OC c
设O,A,B在向量c上的射影为O,A1 ,B1 ,
根据数量积定义,有
OA1 a c 0
A 1B1 b c 0
又 OB1 OA1 A 1B1
OB1 (a b) c 0
A
X
作业
P 练习A 111
1. 2
已知向量 a, b, c 和实数 ，则向量的数量积满足： （交换律） （1） a b b a （2） ( a ) b ( a b) a ( b) （数乘结合律） （3） (a b) c a c b c （分配律）
结合律：
（a b c a (b c) ）
将结合律中的某一向量换成数
分配律：
？ ？ ( a ) b ( a b ) a ( b ) ？ ？ ( a b) c a c b c ？
a b (4) cos | a || b |
2.数量积的重要性质
(5) | a b || a || b |
回 忆
我们小学时学过数与数相乘，它们满足哪些运算律？
1.交换律
2.结合律 3.分配律
探 究
向量的数量积是否具有类似 于数量乘法那样的运算律？
交换律
a b b a