高一数学必修4：第二章综合检测题
高一数学必修4第二章综合检测题
A．5B．2C．2D.
7．如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E、F分别为AB、CD的中点，则()
A.＝(a＋b＋c＋d)
B.＝(a－b＋c－d)
C.＝(c＋d－a－b)
D.＝(a＋b－c－d)
8．在矩形ABCD中，＝，＝，设＝(a,0)，＝(0，b)，当⊥时，求得的值为()
13．与向量a＝(－5,12)共线的单位向量为________．
14．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是边BC的中点，则·＝________.
15．已知a＋b＝2e1－8e2，a－b＝－8e1＋16e2，其中|e1|＝|e2|＝1，e1⊥e2，则a·b＝________.
16．已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A、B、C共线，则实数k＝________.
第二章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()
A．3B．2C.D.
9．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上求一点P，使·取最小值，则P点的坐标是()
A．(3,0)B．(－3,0)C．(2,0)D．(4,0)
10．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()
A．1B．2C.D.
11．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()
高一数学必修4第二章测试卷
高一数学必修4第二章测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若向量a =(3,2)，b =(0,1)-，则向量2b a - 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(3,4)-C ．(3,4)D ．(3,4)--平行四边形ABCD 中，AB CD BD -+ 等于（ ）A ．DB B ．A DC ．A BD ．A C3. 已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =- ，且//a b ，则23a b + 等于 （ ）A ．(2,4)--B ．(3,6)--C ．(5,10)--D ．(4,8)--4. 对于非零向量a 、b ，下列命题正确的是 （ ） A.0 , 0a b a b ⋅=+= 若则 B.a b a b a 方向上的投影为在则若 , //C.2 , ()a b a b a b ⊥⋅=⋅ 若则 D. , a c b c a b ⋅=⋅=若则 5. 已知平面内三点的值为则若k AC BA k C B A ,, ) , 7(, )3 , 1(, )2 , 2(⊥（ ）A. 3B. 6C. 7D. 96．已知a b 与均为单位向量，它们的夹角为60°，|3|a b -= （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．47．已知||3,||5,12a b a b ==⋅= 且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ）A ．512B ．3C ．4D ．58.已知D 、E 分别是ABC ∆的边BC , AC 的中点，设 , A D a B E b == . 以a 、b 为基底，向量BC 可表示为 （ ） A. 2233a b + B. 2233a b - C. 2433a b + D. 2233a b -+ 9．已知A B =5a b + ，BC =28a b -+ ，CD =3()a b - ，则（ ）A. A 、B 、D 三点共线B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线 D. A 、C 、D 三点共线10．若平面向量b 与向量(1,2)a =- 的夹角是0180，且b = b =( )A ．(3,6)-B ．(3,6)-C ．(6,3)-D ．(6,3)-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高一数学必修四第二章综合能力检测
第二章综合能力检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．下列命题中正确的是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a ·b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |D ．若a ⊥b ，则a ·b ＝(a ·b )2 答案：D解析：若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a |或－|a |，平行时分夹角为0°和180°两种情况；a ⊥b ⇒a ·b ＝0，(a ·b )2＝0.2．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、D 三点共线 C ．B 、C 、D 三点共线 D ．A 、C 、D 三点共线答案：B解析：由题意，知AB →＝BC →＋CD →＝BD →，所以A 、B 、D 三点共线． 3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)答案：B解析：在平行四边形ABCD 中， AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴BD →＝(AC →－AB →)－AB → ＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案：B解析：a ＝(2,0)，∴|a |＝2. |a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×1＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.5．[2011·广东卷]若向量a 、b 、c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A. 4B. 3C. 2D. 0 答案：D解析：由a ∥b 且a ⊥c ， 得b ⊥c ，所以a ·c ＝0，b ·c ＝0. 所以，c ·(a ＋2b )＝a ·c ＋2b ·c ＝0.6．已知向量OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(－1，－3)，则OA →和OB →的夹角为( )A.π4B.5π12C.π3D.π12答案：A解析：由题意，得OA →＝OC →＋CA →＝(1，－1)， 则|OA →|＝2，|OB →|＝2，OA →·OB →＝2， ∴cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝22.又0≤〈OA →，OB →〉≤π，∴〈OA →，OB →〉＝π4.故选A.7．已知平面向量a 、b 、c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a 、b 、c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A. 3 B ．6或 2 C ．6 D ．6或 3答案：D解析：由题意，得a 、b 、c 两两所成的角均为120°或0°，当夹角为120°时，a ·b ＝－1，b ·c ＝－3，a ·c ＝－32，则|a ＋b ＋c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )＝3；当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝6.故选D.8．已知命题：“若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0”是真命题，则下面对a 、b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少有一个为0 答案：B解析：根据平行四边形法则及向量共线的条件可知，a 与b 一定不共线．9．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP ＝2PM ，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49 B ．－43 C.43 D.49答案：A解析：由题意可知，P 是△ABC 的重心， ∴P A →＋PB →＋PC →＝0， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝－P A →2 ＝－(23MA →)2＝－49.10．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( ) A ．(12，32)或(1，3) B ．(32，12) C ．(0,1) D ．(0,1)或(32，12) 答案：D解析：设单位向量为e ＝(x ，y )，则cos30°＝x ＋3y 2＝32，x 2＋y 2＝1，验证即得D.11．对向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)定义一种新的运算“*”的意义为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，仍是一个向量；则对任意的向量a ，b ，c 和任意实数λ，μ，下面命题中：①a *b ＝b *a②(a *b )*b ＝a *(b *b ) ③(λa )*(μb )＝(λμ)(a *b ) ④(a ＋b )*c ＝a *c ＋b *c 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0答案：B解析：可结合向量的运算性质加以验证知③④正确．12．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 点为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 答案：D解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )．设A (x A,0)，x A >0，B (0，y B )，y B >0，BP →＝(x ，y －y B )，P A →＝(x A －x ，－y )．∵BP →＝2P A →，∴x ＝2(x A －x )，y －y B ＝－2y ， ∴x A ＝32x ，y B ＝3y (x >0，y >0)．又∵OQ →·AB →＝1，(－x ，y )·(－x A ，y B )＝1， ∴(－x ，y )·(－32x,3y )＝1， 即32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．已知向量a ＝(4，－3)，b ＝(x,2)，且a ∥b ，则x ＝________. 答案：－83解析：由题意，得4×2＋3x ＝0，得x ＝－83.14．[2011·重庆卷]已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝________.答案： 3解析：|2e 1－e 2|＝(2e 1－e 2)2＝4e 21＋e 22－4e 1e 2＝4＋1－4×1×1 cos 60° ＝ 3.15．设向量OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,2)，向量OC →⊥OB →，且向量BC →∥OA →，当OD →＋OA →＝OC →时，OD →的坐标是______．答案：(11,6)解析：设OD →＝(x ，y )，则由OD →＋OA →＝OC →，可得OC →＝(3＋x ，y ＋1)，所以BC →＝OC →－OB →＝(4＋x ，y －1)，因为OC →⊥OB →及BC →∥OA →，可得⎩⎪⎨⎪⎧(3＋x )·(－1)＋(y ＋1)·2＝0(4＋x )－3(y －1)＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝6.16．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为____．答案：2x －3y －9＝0解析：设B (x ，y )为直线l 上的任意一点，则l 的方向向量为AB →＝(x －3，y ＋1)．又a ＋2b ＝(－2,3)，直线l 与向量a ＋2b 垂直，所以(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，展开化简得2x －3y －9＝0.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝3，|b |＝4，且(2a －b )·(a ＋2b )≤4，求a 与b 的夹角θ的范围．解：由条件(2a －b )·(a ＋2b )≤4，可以得含cos θ的不等关系式． ∵(2a －b )·(a ＋2b )≤4，即2×32－2×42＋3a·b ≤4， ∴a ·b ≤6，即|a ||b |cos θ＝3×4cos θ≤6. ∴－1≤cos θ≤12，∴π3≤θ≤π.18．(本小题满分12分)等腰△ABC 中，BD 和CE 是两腰上的中线，且BD ⊥CE ，求顶角A 的余弦值．解：建立如图所示的直角坐标系，设A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c,0)，BC →＝(2c,0)．因为BD 和CE 分别为AC ，AB 的中线，所以BD →＝12(BC →＋BA →)＝(3c 2，a2)，同理CE →＝(－3c 2，a 2)，又BD →⊥CE →，故BD →·CE →＝0，即－94c 2＋a 24＝0，故a 2＝9c 2.所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.19．(本小题满分12分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值及a 与c 夹角的余弦值．解：由c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，可得c ·d ＝(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2－3a ·b ＋5m a ·b －5b 2.因为|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝3×2×cos60°＝3，所以c ·d ＝27m －3×3＋15m －20＝0，即42m ＝29，所以m ＝2942.因为a ·c ＝a ·(3a ＋5b )＝3a 2＋5a ·b ＝3×9＋5×3＝42.|a |＝|3a ＋5b |＝(3a ＋5b )2＝9a 2＋30a ·b ＋b 2×25＝9×9＋30×3＋4×25＝271，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝423×271＝14271271. 20．(本小题满分12分)(1)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，求a 与b 的夹角；(2)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)，在OC →上是否存在点M ，使MA →⊥MB →，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12，∴θ＝120°.(2)设存在点M ，且OM →＝λOC →＝(6λ，3λ)(0<λ≤1)，∴MA →＝(2－6λ，5－3λ)，MB →＝(3－6λ，1－3λ)．∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，∴45λ2－48λ＋11＝0，解得：λ＝13或λ＝1115，∴OM →＝(2,1)或OM →＝(225，115)．∴存在M (2,1)或M (225，115)满足题意．21．(本小题满分12分)已知向量OA →＝(1,5)，OB →＝(7,1)，OM →＝(1,2)，P 是直线OM 上的一个动点，当P A →·PB →取最小值时，求OP →的坐标，并求出cos ∠APB 的值．解：设OP →＝t ·OM →＝(t,2t )(t ≠0)，所以P A →＝OA →－OP →＝(1－t,5－2t )，PB →＝OB →－OP →＝(7－t,1－2t )，所以P A →·PB →＝(1－t,5－2t )·(7－t,1－2t )＝(1－t )·(7－t )＋(5－2t )·(1－2t )＝5t 2－20t ＋12.令f (t )＝5t 2－20t ＋12，则f (t )＝5(t －2)2－8，所以当t ＝2时，f (t )的最小值为－8，此时OP →＝(2,4)，P A →·PB →＝－8，|P A →|＝2，|PB →|＝34， 所以cos ∠APB ＝P A →·PB →|P A →|·|PB →|＝－82·34＝－41717.22．(本小题满分12分)用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为G ，两绳受到的拉力分别为F 1，F 2，夹角为θ，如图．(1)求其中一根绳受的拉力|F 1|与|G |的关系式，用数学观点分析|F 1|的大小与夹角θ的关系；(2)求|F 1|的最小值；(3)如果每根绳的最大承受拉力为|G |，求θ的取值范围． 解：(1)由力的平衡得F 1＋F 2＋G ＝0， 设F 1，F 2的合力为F ，则F ＝－G ， ∴F 1＋F 2＝F 且|F 1|＝|F 2|，|F |＝|G |，解直角三角形得cos θ2＝12|F ||F 1|＝|G |2|F 1|， ∴|F 1|＝|G |2cos θ2，θ∈[0°，180°]． 由于函数y ＝cos x 在x ∈[0°，180°]上为减函数，∴θ逐渐增大时，cos θ2逐渐减小，|G |2cos θ2逐渐增大，∴θ增大时，|F 1|也增大．(2)由上述可知，当θ＝0°时，|F 1|有最小值为|G |2.(3)依题意，|G |2≤|F 1|<|G |，∴12≤12cos θ2<1，即12<cos θ2≤1.∵y ＝cos x 在[0°，180°]上为减函数，∴0°≤θ2<60°，∴θ∈[0°，120°)．。
高一数学必修4第二章综合检测题
高一数学必修四第二章综合检测题一、选择题1．以下等式成立的是( ) A.MN →＝NM →B ．a ·0＝0[答案] D2．假如a ，b 是两个单位向量，那么以下四个结论中准确的是( ) A ．a ＝b B ．a ·b ＝1 [答案] D[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A ，C 不准确；因为两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不准确；|a |＝|b |＝1，则选项D 准确．3．已知A (1,2)，B (3，－1)，C (3,4)，则AB →·AC →等于( ) A ．11 B ．5 C ．－1 D ．－2 [答案] D4．在四边形ABCD 中，AB →·BC →＝0，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形 [答案] C[解析] AB →＝DC →表示AB →与DC →模相等，方向相同，AB 綊DC .故四边形ABCD 是平行四边形．又AB →·BC →＝0，∴AB →⊥BC →，∴四边形ABCD为矩形．5．在五边形ABCDE 中，(如图)，AB →＋BC →－DC →＝( )A.AC →B.AD →C.BD →D.BE →[答案] B[解析] AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →. 6．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于( ) A ．23 B ．34 C.23 D.34 [答案] D[解析] |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34.7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为矩形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0 [答案] B[解析] BA →＝OA →－OB →＝a －b ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ，又BA →＝CD →，故a －b ＝d －c .8．如以下图，M 、N 分别是AB 、AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →－AB →)成立，则λ＝( )A.12B.13C.23 D ．±13[答案] B[解析] MN →＝13BC →且BC →＝AC →－AB →. 9．与向量a ＝(1,1)平行的单位向量为( ) A ．(22，22) B ．(－22，－22) C ．(±22，±22)D ．(22，22)或(－22，－22) [答案] D[解析] 与a 平行的单位向量为±a|a |.10．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2[答案] C[解析] a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2. cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.11．(2012·全国高考浙江卷)设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b ＝|a |－|b |，则存有实数λ，使得a ＝λbD ．若存有实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 利用排除法可得选项C 是准确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存有实数λ，使得a ＝λb .如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．12．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°[答案] C[解析] 由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°.二、填空题13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是________．[答案] A ，B ，D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →.14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________．[答案] －1[解析] (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0，∴k ＝－1.15．如图，两块斜边长相等的直角三角形拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.[答案]2＋32 32[解析] 连接AE ，则AE ∥BD ，且BD ＝3AE ，∴BD →＝3AE →＝3×12(AB →＋AC →)＝32(AB →＋AC →)，则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋32(AB →＋AC →)＝2＋32AB →＋32AC →.16．关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) [答案] ②[解析] 当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．三、解答题17．(本题满分10分)已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，(1)用OA →、OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． [解析] (1)2AC →＋CB →＝0， 2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0. 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0. ∴OC →＝2OA →－OB →.(2)如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．18．(本题满分12分)已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →.求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)存在平行四边形OABP 吗？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )． 若点P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，即t ＝－23； 若点P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，即t ＝－13；若点P 在第二象限，则需⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2)假设存在平行四边形OABP ，则有OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ).OA →＝PB →，于是⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解，故不存在平行四边形OABP .[点拨] (1)中判断点P 的位置，即判断点P 的坐标的情况． (2)存在性探究问题一般先假设存在．19．(本题满分12分)已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向；(2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d . [解析] (1)c ∥d ，故c ＝λd ， 即k a ＋b ＝λ(a －b )． 又a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ， 故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b ) ＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2 ＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60° 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0. 解得k ＝1.20．(本题满分12分)向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．[解析] 由(a －b )⊥c 知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0.故|a |＝|b |＝1，又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2， ∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.21．(本题满分12分)已知|a |＝1，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，x ＝2a －b ，y ＝3b －a ，则x 与y 的夹角的余弦值是多少？[解析] 由|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°， 得a ·b ＝|a ||b |cos α＝12.∵|x |2＝x 2＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×12＋1＝3，|y |2＝y 2＝(3b －a )2＝9b 2－6a ·b ＋a 2＝9－6×12＋1＝7，x ·y ＝(2a －b )·(3b －a )＝7a ·b －2a 2－3b 2＝－32，又x ·y ＝|x ||y |cos θ， ∴cos θ＝x ·y |x ||y |＝－2114. 22．(12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)． (1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0， ∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．。
高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案
一、选择题:( 本大题共10 小题,每题 4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的 .)1．设点P 〔3，-6〕，Q 〔-5，2〕，R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，那么R 点的横坐标为〔 〕。
A 、-9B 、-6C 、9D 、6 2． =(2,3), =(-4,7) ，那么 在 b 上的投影为〔 〕。
b A 、B、C 、D 、3．设点A 〔1，2〕，B 〔3，5〕，将向量按向量 =〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。
A 、〔2，3〕B 、〔1，2〕C 、〔3，4〕D 、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c-a)=3bc ，且sinA=sinBcosC ，那么 ABC 是〔 〕。
A 、直角三角形 B 、等边三角形C 、等腰三角形 D 、等腰直角三角形5．| |=4,| b|=3, 与b 的夹角为60°，那么| +b|等于〔 〕。
A 、B、C、D 、6．O 、A 、B 为平面上三点，点C 分有向线段所成的比为 2，那么〔 〕。
A 、B、C 、D、7．O 是 ABC 所在平面上一点，且满足条件 ， 那么点O 是 ABC 的〔 〕。
A 、重心 B 、垂心 C 、内心D 、外心 8．设 、b 、 均为平面内任意非零向量且互不共线，那么以下4个命题： (1)( ·b)2= 2·b 2 (2)| +b |≥| -b|(3)| +b|2=(+b)2(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是〔〕。
A、1B、2C、3D、49．在ABC中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。
A、B、C、D、10．设、b不共线，那么关于x的方程x2+b x+=0的解的情况是〔〕。
A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，那么ABCA=_________12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
高中数学人教a版高一必修四章末综合测评2有答案
章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)【解析】 法一：设C (x ，y )， 则AC→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ． 法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A ． 【答案】 A2．(2015·福建高考)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C ．53D ．32 【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.【答案】 A3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2【解析】 由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D ． 【答案】 D4．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B5．(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3D ．5π6【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝23π. 【答案】 C6．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC→，故选D ． 【答案】 D7．(2016·锦州高一检测)已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( ) A ．0B ．2C ．5D ．25【解析】 因为a ＝(2，1)，则有|a|＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b|＝50， ∴|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50， 即5＋2×10＋|b|2＝50， 所以|b|＝5. 【答案】 C8.已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD→＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )图1【导学号：00680065】A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b【解析】 BC→＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD → ＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b . 【答案】 B9．(2016·景德镇期末)设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【解析】 设向量a 、b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ． 【答案】 B10．(2016·西城高一检测)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE→·AC →的值为( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．33【解析】 设AE→与AB →的夹角为θ，则AE →与AD →的夹角为π2－θ，又AD→∥BC →，故有AE →与BC →夹角为π2－θ，如图：∵AE→·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1， ∴|AE→|·cos θ＝33， ∴AE →·BC →＝|AE →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1， ∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2.【答案】 B11．(2016·济南高一检测)已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3，0)B ．(3，0)C ．(2，0)D ．(4，0)【解析】 设P (x ，0)，则有 AP →·BP →＝(x －2，0－2)·(x －4，0－1) ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，(AP →·BP →)min ＝1，此时P 点坐标为(3，0)． 【答案】 B12．(2014·天津高考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC ．若AE→·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A ．12 B ．23 C ．56D ．712【解析】 如图：∠BAD ＝120°，|AB→|＝|AD →|＝2.AF→·AE →＝(AD →＋DF →)(AB →＋BE →) ＝(AD→＋μDC →)(AB →＋λBC →) ＝(AD→＋μAB →)(AB →＋λAD →) ＝λAD→2＋μAB →2＋(λμ＋1)AD →·AB → ＝4(λ＋μ)＋(λμ＋1)×4×cos 120° ＝4(λ＋μ)－2(λμ＋1)＝1， 即2λμ－4(λ＋μ)＋3＝0，①由CE →·CF →＝(CB →＋BE →)(CD →＋DF →)＝(λ－1)·(μ－1)·BC →·DC → ＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23，所以有λμ＝λ＋μ－23，代入①得 2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ－23－4(λ＋μ)＋3＝0， 解得λ＋μ＝56. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．(2014·湖北高考)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.【解析】 因为OA →＝(1，－3)， 又|OA→|＝10＝|OB →|， 又OA→·OB →＝0， 所以∠AOB ＝90°，所以△AOB 为等腰直角三角形，且|AB →|＝2|OA →|＝2 5. 【答案】 2 514．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【解析】 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n ) ＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 【答案】 －315．(2015·湖北高考)已知向量OA→⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________．【解析】 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA 2→＝0，所以OA →·OB →＝OA2→＝|OA →|2＝9，即OA →·OB →＝9. 【答案】 916．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．【解析】 ∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN→＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)， ∴MN→＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC → ＝12AB →－16AC →.又MN→＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)． 因为0°<θ<120°， 所以－12<cos θ<1， 所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)(2016·无锡高一检测)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC→用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件． 【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴(8，3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3，0) ＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143， ∴OC→＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形， 则有AB→与AC →不共线， 又AB→＝OB →－OA →＝(3，0)－(2，－1)＝(1，1)， AC→＝OC →－OA →＝(m ，3)－(2，－1)＝(m －2，4)， 则有1×4－(m －2)×1≠0， ∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC→＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积． 【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0， 所以AB→⊥AD →，又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j＝AB→＋AD →， 所以四边形ABCD 为平行四边形， 又AB→⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形． 所以S 四边形ABCD ＝|AB→|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ， 则OA→＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC→＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)， 又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC→∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5. 21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6. 22．(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b|＝3|a －k b |(k >0，k ∈R )． (1)求a·b 关于k 的解析式f (k )； (2)若a ∥b ，求实数k 的值； (3)求向量a 与b 夹角的最大值． 【解】 (1)由已知|k a ＋b|＝3|a －k b |， 有|k a ＋b|2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 由|a|＝|b|＝1，得8k a·b ＝2k 2＋2， 所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k (k >0)．(2)因为a ∥b ，k >0，所以a·b ＝k 2＋14k >0，则a 与b 同向． 因为|a|＝|b|＝1，所以a·b ＝1， 即k 2＋14k ＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0， 所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a||b|＝a·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2.当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12，又0≤θ≤π， 所以θ＝π3，即向量a 与b 夹角的最大值为π3.。
人教B版数学必修四检测：第二章 学业水平达标检测 Word版含答案
又a·b＝0，a2＝4，b2＝1.
∴－4k＋t(t2－3)＝0，即k＝ (t3－3t)(t≠0)，
故存在非零实数k，t，使x⊥y成立，
其关系为k＝ (t3－3t)(t≠0)．
答案：A
10．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则 · ＝()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由已知得BC＝ ，∠BCD＝135°，
所以 · ＝( ＋ )·( ＋ )
＝ · ＋ · ＋ · ＋ ·
＝ × ×cos180°＋ ×1×cos135°＋2× ×cos45°＋2×1×cos0°＝2.
15．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则 · ＝__________.
解析：以A为原点，AB所在的直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．
则由A(0,0)、B(2,0)、E(2， )、D(1， )、可得 · ＝1.
答案：1
16．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为__________．
∴△ABC是以A为直角顶点的三角形，
又M是BC的中点，则| |＝ | |＝ ×4＝2.
答案：2
14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若 · ＝ · ＝1，那么· ＝2，即 · － · ＝ ·( ＋ )＝ 2＝2⇒c＝| |＝ .
答案：
∴ ⊥ ，∴ · ＝0.
＝(x，y)， ＝(5－x,1－y)，
∴x(5－x)＋y(1－y)＝0.
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．32．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．16 3．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（ ）A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)4．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°5．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）A 2B ．1C ．2D ．226．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 7．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）．A 5B ．5C ．42D 31 8．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（ ）A ．18- B ．116- C ．316- D ．09．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ）A ．8B ．4C ．6D ．310．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 11．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题：①若1AB λ=，1AC μ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心；③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上；④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内．其中真命题为______14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.16．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 17．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________．18．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______. 19．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，动点P 满足||1AP =，设向量AP AB AD λμ=+，则λμ+的取值范围为____________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =，23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =.（1）若35c =，且//a c ，求c ；（2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值. 23．已知()()1,,3,2a m b ==-．(1)若()a b b +⊥，求m 的值；(2)若·1a b =-，求向量b 在向量a 方向上的投影．24．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值；（2）若2t =，求向量a ，b 的夹角.25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值；（2）若a b ⊥，求||a .26．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cos sin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥． （1）求角C ； （2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.【详解】设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b， 则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=， 记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为 P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上， ()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力. 2．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．C解析：C【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C -，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=，可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C -, 设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--， 当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=，当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-， 所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值.4．C【详解】 由题意可得22(2)15b =-+=,所以2cos ,52a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.5．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥， ABC ∴为直角三角形.故选：C .【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.7．B解析：B【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【详解】 由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B. 【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.8．C解析：C【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值.【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，(0,2C ，设()0,P t ，其中2t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-． 故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.9．D解析：D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF .【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．10．B解析：B【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C .【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.11．B解析：B【分析】 由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=， 故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题. 12．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③.【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λb c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断.【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.14．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【解析：3【分析】设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到CD ==⎭2OA OB AB -≤=，得到||OA OD ⎛= 范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+.【详解】设,,OA a OB b OC c ===， 如图所示：因为||2,||2||a b a b -==， 所以||2,||2||AB OA OB ==， 取AB 中点为D ，因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=， 解得228CB CA +=，所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭所以点C 是以D 3的圆上运动， 又因为2OA OB AB -≤=，所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号，所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪⎝⎭， ()222112104322OB OA AB OB =+-=-≤， 所以||||||||333c OC OD DC OD =≤+≤+≤. 【点睛】关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是22CB CA CD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解.15．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=， 故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2， 故可得224BC OA AC ===，则AB =，AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.16．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--， 因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--， 所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选 解析：48322-【详解】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B22M 02-，，，，，，，∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅-++⎣⎦，，()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，， 当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322-18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可. 【详解】因为0a b c d +++=， 所以++=-a b c d ，所以()()22++=-a b cd ，所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ，因为2a =，3b =，4c =，4d =， 所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由已知得应用向量的运算律求出关系利用三角换元结合正弦函数的有界性即可求解【详解】在矩形中令其中最小值最大值分别为的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算解题的关键解析：⎡⎢⎣⎦. 【分析】由已知得2||1AP =，应用向量的运算律，求出,λμ关系，利用三角换元结合正弦函数的有界性，即可求解. 【详解】在矩形ABCD 中，,0AB AD AB AD ⊥∴⋅=22222222||()41AP AB AD AB AD λμλμλμ=+=+=+=,令12cos ,sin ,cos sin sin()22λθμθλμθθθϕ==+=+=+，其中1tan 2ϕ=，λμ+最小值、最大值分别为22-,λμ+的取值范围为55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，解题的关键用换元法将问题转化为求三角函数的最值，属于中档题.20．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案； （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ， 求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点， ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭， 又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3a y =， 所以,2a AD a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．22．（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）10-. 【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x=⎧=即可得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a ba b a b⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）设(),c x y =，因为()1,2a =，//a c ，35c =，所以235y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b aa b ba b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以cos ,5a b a b a b⋅===⨯⋅【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 23．（1）8m =（2）【分析】（1）先得到()4,2a b m +=-，根据()a b b +⊥可得()0a b b +⋅=,即可求出m ；（2）根据·1a b =-求出m=2,再根据cos ,a b b a b b a b⋅=⋅求b 在向量a 方向上的投影.【详解】()()14,2a b m +=-；()a b b +⊥；()34220m ∴⋅--=；8m ∴=；()2321a b m ⋅=-=-；2m ∴=；()1,2a ∴=；b ∴在向量a 方向上的投影为cos ,55a b b a b b a b⋅=⋅==-．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题. 24．（1）1t =-；（2）23π. 【分析】（1）根据题意，设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，分析可得11ktk=-⎧⎨=⎩，解可得t 的值；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b ， 由cos a b a bθ⋅=计算可得答案．【详解】（1）∵根据题意，向量12a e e =+，21b e te =-，若//a b ，则设a kb =， 则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，则2221||(2)3b e e =-=，则||3b =， 又由12a e e =+，则2212||()3a e e =+=，则||3a =， 又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-，则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯，又由0θπ，则23πθ=； 故向量a ，b 的夹角为23π． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-， 所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.26．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果． 【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos2sin 02CC -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =， 因为0C π<<，所以60C =︒． （2）2222221122a b c a b c =+⇒-=，222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====． 【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．。
(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．己知平面向量,a b 满足1a a b =-=，则32a b a b -++的最大值为（ ）A ．4B ．C ．3+D ．62．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（ ）A ．12B ．12C D ．13．已知非零向量a →，b →夹角为45︒，且2a =，2a b -=,则b →等于（ ）A ．B ．2C D4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为765．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦C ．1⎤⎦D ．)1,+∞6．在ABC 中，4A π=，3B π=，2BC =，AC 的垂直平分线交AB 于D ，则AC CD ⋅=（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．37．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==8．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）A ．13B ．3-C ．3D ．39．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +10．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．411．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（ ） A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-12．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 二、填空题13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______14．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.15．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,) OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于．16．已知ABC的三边长3AC=，4BC=，5AB=，P为AB边上任意一点，则()CP BA BC⋅-的最大值为______________.17．已知ABC∆中，3AB=，5AC=，7BC=，若点D满足1132AD AB AC=+，则DB DC⋅=__________．18．已知向量()()2,3,1,2==-a b，若ma b+与2a b-平行，则实数m等于______. 19．已知点O是ABC∆内部一点，并且满足230OA OB OC++=，BOC∆的面积为1S，ABC∆的面积为2S，则12SS=______.20．如图，在四边形ABCD中，60B∠=︒，2AB=，6BC=，1AD=，若M，N是线段BC上的动点，且||1MN=，则DM DN⋅的取值范围为_________．三、解答题21．在ABC中，3AB=，6AC=，23BACπ∠=，D为边BC的中点，M为中线AD 的中点.（1）求中线AD的长；（2）求BM与AD的夹角θ的余弦值.22．在直角坐标系xoy中，单位圆O的圆周上两动点A B、满足60AOB∠=︒（如图），C 坐标为()1,0，记COAα∠=（1）求点A与点B纵坐标差A By y-的取值范围；（2）求AO CB ⋅的取值范围；23．在OAB 的边OA ，OB 上分别有一点P ，Q ，已知:1:2OP PA =，:3:2OQ QB =，连接AQ ，BP ，设它们交于点R ，若OA a =，OB b =.（1）用a 与b 表示OR ；（2）过R 作RH AB ⊥，垂足为H ，若1a =，2b =，a 与b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求BHBA的范围.24．如图，在ABC 中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC 的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC →→→=+，其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.25．如图，四边形ABOC 是边长为1的菱形，120CAB ∠=︒，E 为OC 中点．（1）求BC 和BE ；（2）若点M 满足ME MB =，问BE BM ⋅的值是否为定值？若是定值请求出这个值；若不是定值，说明理由．26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用1a a b =-=得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1a a b =-=， 所以22222cos ,1a a ba ab a b b =-=-〈〉+=，则2cos ,b a b =〈〉， 令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-， 所以2b t =， 则()23232a b a b -=-22124a a b t b =-+== ()2222a b a b a a b t b +=+=++22418t t =+=+，所以29832a b a b t -+-=+，利用基本不等式知：2a b a b +≤+≤，≤=，=此时2t =±.则32a b a b -++的最大值为 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用已知条件得到2cos ,b a b =〈〉，令[]cos ,,1,1t a b t =〈〉∈-，则2b t =，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到29832a b a b t -+-=+，最后利用基本不等式即可解决.2．B解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得2214x y ⎛+= ⎝⎭，表示以2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求 【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为12⎫⎪⎪⎝⎭，21⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ， 因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,022x y x y ⎫⎫--⋅---=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆， 则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为2，所以圆上的点到原点的距离的最小值为122-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题3．A解析：A 【分析】根据数量积的运算，2a b →→-=两边平方即可求解. 【详解】2a b →→-=,=2a →,a →，b →夹角为45︒,2222()24a b a b a a b b →→→→→→→→∴-=-=-⋅+=, 2422||cos||44b b π→→∴-⨯+=,解得：||22b →= 故选：A 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用CE AB ⊥，判断出A 错误；由2AD DC =结合平面向量的基本定理，判断出选项B 错误；以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出OA OB OC ++的值，判断出选项C 错误；利用投影的定义计算出D 正确． 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；由平面向量线性运算得2133BD BC BA =+，所以选项B 错误； 以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，()0,0E ，1,0A ，()1,0B -，(3C ，1233D ⎛ ⎝⎭，设()0,O y ，(3y ∈，()1,BO y =，123,33DO y ⎛=-- ⎝⎭， //BO DO ，所以，3133y y -=-，解：32y =， 32OA OB OC OE OE OE ++=+==，所以选项C 错误； 123,33ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,3BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．5．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 取得最小值21-,O 在BM 的延长线上时,OB 取得最大值21+． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d -≤≤+．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.6．C解析：C 【分析】由AC 的垂直平分线交AB 于D ，且4A π=可得ACD △为等腰直角三角形，且4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=；进而由2BC =可求出,,DB CD AC 的长，从而求出AC CD ⋅的值. 【详解】解：因为AC 的垂直平分线交AB 于D 、4A π=，所以ACD △为等腰直角三角形，4A ACD π∠=∠=，2ADC BDC π∠=∠=，在BDC 中，3B π=，2BDC π∠=，2BC =，所以1,3BD CD ==，所以3AD CD ==，26AC CD ==，所以32cos63()342AC CD AC CD π⋅=⋅=⨯⨯-=-.故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题型.7．B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.8．C解析：C 【分析】由题意结合平面向量数量积的运算可得13a b ⋅=，进而可得()b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()()222a ba b +=-所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+，所以13a b ⋅=，则()2263a b a b+=+=，()243a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以a 在a b +上的投影为()4326a a b a b⋅+==+ 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零，所以当232cos622b b a b taaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以22233321222b b bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题11．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-； 当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.12．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.二、填空题13．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.14．【分析】延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切线与BD 的交点D 结合数量积的几何意义可得点A 运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC 作圆M 的切线设切点为A1切 解析：2-延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，结合数量积的几何意义可得点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小，设CP x =，将结果表示为关于x 的二次函数，求出最值即可. 【详解】 如图，延长BC ，作圆M 的切线，设切点为A 1，切线与BD 的交点D ，由数量积的几何意义，CA CB ⋅等于CA 在CB 上的投影与CB 之积，当点A 运动到A 1时，CA 在CB 上的投影最小； 设BC 中点P ，连MP ，MA 1，则四边形MPDA 1为矩形； 设CP =x ，则CD =2-x ，CB =2x ，CA CB ⋅=()()222224212x x x x x --⋅=-=--，[]02x ∈，， 所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-， 故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.15．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】 方法一：3cos 2OA OC AOC OA OC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内， 所以3mn=.以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,22OC λλλ⎛⎫=︒︒ ⎪ ⎪⎝⎭，又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=，得()31,=322m n λ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即 3=2132m nλλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得3mn=. 故答案为：3.16．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.17．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-，所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与然后利用向量共线的坐标表示列式求解【详解】解：由向量和所以由与平行所以解得故答案为：【点睛】本题考查了平行向量与共线向量考查了平面向量的坐标运算属于基础题解析：12-【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出ma b +与2a b -，然后利用向量共线的坐标表示列式求解． 【详解】解：由向量(2,3)a =和(1,2)b =-，所以()()()2,31,221,32m m m b m a ++=-=-+，()()()22,321,24,1a b -=--=-，由ma b +与2a b -平行，所以4(32)(21)0m m ++-=． 解得12m =-． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．19．【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分别取的中点则所以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在解析：16【分析】将230OA OB OC ++=化为()2OA OC OB OC +=-+，再构造向量()12OA OC +和()12OB OC +，得出比例关系，最后求解12.S S【详解】因为230OA OB OC ++=，所以()2OA OC OB OC +=-+，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则2OA OC OD +=，2OB OC OE +=. 所以2OD OE =-，即O ，D ，E 三点共线且2OD OE =.如图所示，则13OBC DBC S S ∆∆=，由于D 为AC 中点，所以12DBC ABC S S ∆∆=，所以16OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为：16【点睛】本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题.20．【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解解析：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先以点B 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示DM DN ⋅，再求取值范围. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，(3A ，(3D ，(),0M x ，()1,0N x +，(2,3DM x =--，(1,3DN x =--，[]0,5x ∈，()()212335DM DN x x x x ⋅=--+=-+231124x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当32x =时，取得最小值114，当5x =时，取得最大值15，所以DM DN ⋅的取值范围为11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,154⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问题.三、解答题21．（1）332；（257【分析】 （1）由于()12AD AB AC =+，进而根据向量的模的计算求解即可； （2）由于3144BM AB AC =-+，()12AD AB AC =+，进而根据向量数量积得278BM AD ⋅=，故57cos BM AD BM AD θ⋅==. 【详解】解:（1）由已知，236cos 93AB AC π⋅=⨯=-， 又()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+()1279183644=-+=， 所以33AD =. （2）由（1）知，()131444BM AM AB AB AC AB AB AC =-=+-=-+， 所以()293117199361681616BM=⨯-⨯-+⨯=，从而319BM =. ()311442BM AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅=-+⋅+= ⎪⎝⎭()3212799368888-⨯-⨯-+⨯=，所以2757cos 831933BM AD BM ADθ⋅=== 解法2：（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴建系，则()0,0A ，()3,0B ，(C -，因为D 为边BC 的中点，所以0,2D ⎛ ⎝⎭，0,2AD ⎛= ⎝⎭，所以332AD =.（2）因为M 为中线AD 的中点，由（1）知，0,4M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,4BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以9164BM ==，278BM AD ⋅=，所以27cos8BM AD BM AD θ⋅=== 【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量夹角的计算，考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于向量表示中线向量()12AD AB AC =+，进而根据向量模的计算公式计算.22．（1）[ 1.1]A B y y -∈-;（2）31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据三角函数的定义写出点A 与点B 纵坐标，从而将A B y y -表示成关于α的三角函数；（2）写出向量数量积的坐标运算，即AO CB OA BC ⋅=⋅，再利用三角函数的有界性，即可得答案；【详解】由题意得：()sin ,sin 60A B y y αα︒==-，∴A B y y -()1sin sin 60sin sin cos 22ααααα︒⎛⎫=--=-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭1sin sin 223πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 02απ<，∴1sin 13πα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴[ 1.1]A B y y -∈-.（2）()()() (cos ,sin )1cos 60,sin 60AO CB OA BC αααα︒︒⋅=⋅=⋅---- ()()cos cos cos 60sin sin 60ααααα︒︒=-⋅--⋅- ()22133cos sin cos sin cos sin cos 2ααααααα=-+-⋅+⋅ 1cos 2α=-， 02απ≤<，3111cos 1cos 222αα∴-≤≤⇒-≤-≤， ∴31,22AO CB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】根据三角函数的定义及三角恒等变换、三角函数的有界性是求解本题的关键.23．（1）1162OR a b =+；（2）171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用,,A R Q 三点共线和,,B R P 三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；（2）设BHt BA =，利用0BH AB ⋅=，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用,a b 表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到t 关于cos θ的函数形式，利用cos θ的范围即可求得结果.【详解】（1）设OR OA OQ λμ=+，,,A R Q 三点共线，1λμ∴+=，又:3:2OQ QB =，35OQ OB ∴=，35OR OA OB μλ∴=+；设OR mOP nOB =+，同理可得：1m n +=，3m OR OA nOB =+， ,OA OB 不共线，335m n λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，51331m n m n ⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1162OR OA OB ∴=+， 即1162OR a b =+. （2）设BH t BA =，则BH tBA =，()()1162RH BH BR tBA OR OB t OA OB OA OB ⎛⎫=-=--=--- ⎪⎝⎭ 11116262t OA t OB t a t b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又AB OB OA b a =-=-，BH AB ⊥，0BH AB ∴⋅=，()2211112262623t a t b b a t a t b t a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-=-+-+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14134244cos 54cos cos 06363t t t t t θθθ⎛⎫=-+-+-=-+-= ⎪⎝⎭， 整理可得：134cos 138cos 136354cos 3024cos 33024cos t θθθθθ--===+---， 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11cos ,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，171,422t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 即BHBA 的取值范围为171,422⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】思路点睛：本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用,a b 表示出,BH AB ，再结合数量积的运算律来进行求解. 24．（Ⅰ）32-；（Ⅱ）1. 【分析】(I ）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；(II ）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.【详解】（Ⅰ）()AB BC AB AC AB →→→→→⋅=⋅- 213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-. （Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，13(,)22C -. 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈，由AP x AB y AC →→→=+，得13(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以3cos ,sin 22y x y θθ=-=. 所以3cos sin 3x θθ=+，33y θ=， 2232311sin cos sin 2cos 233333xy θθθθθ=+=+- 2311(2cos 2)3223θθ=-+ 21sin(2)363πθ=-+， 因为2[0,]3πθ∈，72[,]666πππθ-∈-. 所以，当262ππθ-=，即3πθ=时，xy 的最大值为1. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．25．（1）3BC =；72BE =；（2）是定值，78. 【分析】 （1）由()22BC AC AB =-，()2212BE BO BC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，结合数量积公式得出BC 和BE ；（2）取BE 的中点N ，连接MN ，由ME MB =，得出MN BE ⊥，由BM BN NM =+，结合数量积公式计算BE BM ⋅，即可得出定值.【详解】（1）∵BC AC AB =-∴222211211cos1203BC AC AB AB AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯︒=∴3BC =又()12BE BO BC =+ ∴()22211372132134424BE BO BC BO BC ⎛⎫=++⋅=++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴7BE = （2）取BE 的中点N ，连接MN∵ME MB =，∴MN BE ⊥，且BM BN NM =+∴()BE BM BE BN NM BE BN BE NM ⋅=⋅+=⋅+⋅211177022248BE BE BE =⋅+==⨯= ∴78BE BM ⋅=（为定值）【点睛】本题主要考查了利用定义计算数量积以及模长，涉及了向量加减法的应用，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =. 因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=，故310 CGCB.【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。
高中数学必修4第二章测试题
必修4第二章测试题（二）一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分。
在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。
1．在平行四边形ABCD 中：+-等于 （ ）A ．B ．C ．D ．AC2．若向量a =（3：2）：b =（0：－1）：则向量2b －a 的坐标是 （ ） （A ）（3：-4）（B ）（-3：4） （C ）（3：4） （D ）（-3：- 4）3．已知与均为单位向量：它们的夹角为60°：|3|b a -= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．44．若|a |=2：|b |=5：|a +b |=4：则|a －b |的值为 （ ）A ．13B ．3C ．42D ．75．已知平面向量)2,1(= ：),2(m -= ：且b a //：则b a 32+等于 （ ）A ．)4,2(--B ．)6,3(--C ．)10,5(--D ．)8,4(--6．若向量a 与b 的夹角为60：||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-：则向量a 的模为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．127．已知12,5||,3||=⋅==且：则向量在向量上的投影为（ ）A ．512B ．3C ．4D ．58．已知AB =a +5b ：BC =－2a +8b ：CD =3（a －b ）：则（ ）A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线9．已知向量)2,3(-=： )0,1(-=：向量+λ与2-垂直：则实数λ的值为( ) A.71-B. 71C. 61D. 61- 10．若0||2=+⋅：则ABC ∆为( )11．若平面向量与向量)2,1(-=a 的夹角是o180：且53||=b ：则=( )A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-12．已知a =（1：2）：)3,2(-=．若向量c 满足)(+∥b ：c ⊥)(+：则=c（A ）（37,97） （B ）)97,37(--（C ）)97,37(（D ）（37,97--）二、填空题：本大题共4小题：每小题5分：共20分。
高一数学(人教B版)必修4：本册综合检测2
阶段性测试题八(本册综合检测(二)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．与610°角终边相同的角表示为( ) A ．k ·360°＋230°，k ∈Z B ．k ·360°＋250°，k ∈Z C ．k ·360°＋70°，k ∈Z D ．k ·360°＋270°，k ∈Z [答案] B[解析] 610°＝360°＋250°，故选B.2．(2010·温州市高一下学期期末测试)已知角α的终边上一点的坐标为(12，－32)，则角α的正弦值为( )A ．－32B.32C ．－12D.12[答案] A[解析] 由任意角的三角函数的定义知，sin α＝－321＝－32.3．如果函数y ＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a ＝( )A ．－1B ．－1＋ 2C ．－1－ 2 D. 2[答案] C[解析] 由题意，得sin0＋a cos0＝sin ⎝⎛－π4＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π4，∴a ＝－22＋22a ，∴a ＝－1－ 2. 4.tan105°－1tan105°＋1的值为( )A.33B ．－33C. 3D ．－ 3[解析]tan105°－1tan105°＋1＝tan105°－tan45°1＋tan105°tan45°＝tan(105°－45°)＝tan60°＝ 3.5．已知A ＝(1，－2)，若向量AB →与a ＝(2，－3)反向，|AB →|＝43，则点B 的坐标为( ) A ．(10,7)B ．(－10,7)C ．(7，－10)D ．(－7,10) [答案] D[解析] ∵向量AB →与a ＝(2，－3)反向，∴设AB →＝λa ＝(2λ，－3λ)(λ<0)． 又∵|AB →|＝413， ∴4λ2＋9λ2＝16×13， ∴λ2＝16，∴λ＝－4. ∵AB →＝(－8,12)，又∵A (1，－2)，∴B (－7,10)．6．为了得到函数y ＝2sin2x 的图象，可将函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象( ) A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位[答案] C[解析] y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，故选C.7．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π62k π＋7π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋3π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π6＋x 2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3＋x ， 令π2＋2k π≤π3＋x ≤3π22k π， ∴π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π，k ∈Z ，故选A. 8．已知α为第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2的值是( ) A.43B.34 C ．－34D ．－43[答案] D[解析] ∵α是第三象限角，sin α＝－2425，∴cos α＝－725，∴tan α2＝1－cos αsin α＝－43.9．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋5sin⎝⎛⎭⎫π3－2x 的最大值为( ) A ．6＋532B ．17C ．13D ．12[答案] C[解析] y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋5sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋5cos⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6＋2x ， 故函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋5sin⎝⎛⎭⎫π3－2x 的最大值为122＋52＝13. 10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°.设OC →＝mOA →＋nOB →(m 、n ∈R )，则m n等于( )A.13B ．3C.33D. 3[答案] B[解析] 如图OC →·OA →＝|OC →|·|OA →|·cos30°＝m |OA →|2＋nOA →·OB →＝m，①OC →·OB →＝|OC →|·|OB →|cos60°＝mOA →·OB →＋nOB →2＝3n .② 由①②，得m 3n ＝32|OA →|·|OC →|12|OB →|·|OC →|＝3232＝1，∴mn＝3. 11．如图，在四边形ABCD 中，|AB →|＋|BD →|＋|DC →|＝4，|AB →|·|BD →|＋|BD →|·|DC →|＝4，AB →·BD →＝BD →·DC →＝0，则(AB →＋DC →)·AC →的值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2[答案] C[解析] 由BD →＋(|AB →|＋|DC →|)＝4，以及|BD →|·(|AB →|＋|DC →|)＝4， 得|BD →|＝|AB →|＋|DC →|＝2.∴(AB →＋DC →)·AC →＝(AB →＋DC →)·(AB →＋BD →＋DC →)＝AB →2＋AB →·BD →＋AB →·DC →＋DC →·AB →＋DC →·BD →＋DC →2＝AB →2＋2AB →·DC →＋DC →2 ＝(|AB →|＋|DC →|)2＝22＝4.12．函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (b )＝M ，f (a )＝－M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在区间[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可取得最大值MD ．可取得最小值－M [答案] C[解析] 令M ＝1，ω＝1，φ＝0得f (x )＝sin x ，令区间[a ，b ]为区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 则g (x )＝cos x ，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上可取得最大值1，而取不到最小值－1，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．[答案]2π5，9π10，7π5，19π10[解析] θ＝2k π＋8π5，k ∈Z . ∴θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z ， 令k ＝0、1、2、3得在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是2π5，9π10，7π5，19π1014．(2010·济南一中高一下学期期末测试)若a ＝(4,5)，b ＝(－4,3)，则a·b ＝________. [答案] －1[解析] a·b ＝4×(－4)＋5×3＝－1.15．一钟表的分针长5 cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm [答案]20π3[解析] 经过40分钟，分针转过的角为α＝4×π3＝43π，则l ＝R |α|＝5×4π3＝203π(cm)．16．2002年在北京召工的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如右图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．[答案]725[解析] 设较短的直角边长为x ，则较长的直角边长为x ＋1，由勾股定理，得25＝(x ＋1)2＋x 2，∴x ＝3，∴cos θ＝45.∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×1625－1＝725.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos2α的值． [解析] 解法一：由sin α＋cos α＝33平方得sin α·cos α＝－13， 又∵0<α<π，∴cos α<0.由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝33sin α·cos α＝－13，得sin α、cos α为方程x 2－33x －13＝0的两根， 而方程两根分别为x 1＝36＋156，x 2＝36－156， ∴siu α＝36＋156，cos α＝36－156， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫36－1562－⎝⎛⎭⎫36＋1562＝－53. 解法二：由sin α＋cos α＝33平方得1＋2sin αcos α＝13， ∴2sin αcos α＝－23<0，∴π2<α<π， ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋23＝153， ∴(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝sin 2α－cos 2α ＝－cos2α＝33·153＝53， ∴cos2α＝－53. 18．(本小题满分12分)(2010·山东莱州市高一下学期期末测试)化简：sin (π－α)cos (3π－α)tan (－α－π)tan (4π－α)sin (5π＋α).[解析] 原式＝sin α(－cos α)(－tan α)(－tan α)(－sin α)＝cos α.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，直线x ＝t (t ∈R )与函数f (x )，g (x )的图象分别交于M 、N 两点．(1)当t ＝π4时，求|MN |的值．(2)求|MN |在t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时的最大值．[解析] (1)|MN |＝|sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π6| ＝|1－cos 2π3＝32.(2)|MN |＝⎪⎪⎪⎪sin2t －cos ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6 ＝⎪⎪⎪⎪32sin2t －32cos2t ＝3⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2t －π6. ∴t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，2t －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，56π，∴|MN |的最大值为 3.20．(本小题满分12分)(2008·福建理，17)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m ·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋4cos A sin x (x ∈R )的值域． [解析] (1)由题意得m ·n ＝3sin A －cos A ＝1， 2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 由A 为锐角得，A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－3，32. 21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值．[解析] (1)f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3＋32＋a .依题意得2ω·π6＋π3＝π2，解得ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋32＋a .又当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6时，x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤0，7π6， 故－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，从而f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，5π6上取得最小值－12＋32＋a .由题设知－12＋32＋a ＝3，故a ＝3＋12.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．[解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3.∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取最小值－2.当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取最大值2. (2)g (x )是偶函数．由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2＝2cos x2.∵g (－x )＝2cos ⎝⎛－x 2＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数．。
高中人教A版数学必修4：第二章 章末检测 Word版含解析
第二章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a －2b ，则m ∥nD ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案：A解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →.所以12(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形答案：B解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →)⊥AC →⇒AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形．7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D 解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重A ．300 3N,300 3NB ．150N,150NC ．300 3N,300ND ．300N,300N 答案：C解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3N.|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →等于( ) A ．－8 B ．9 C ．－10 D ．11 答案：D解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →＝11.11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →等于( )A ．－12B ．－23C ．－13D ．－16答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →，∴⎝⎛⎭⎫x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.∴CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32·⎝⎛⎭⎫－34，34＝16×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－32×34＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A.152B.152 C ．7 D ．8 答案：A解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )∴|AD →|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.∴|AD →|＝152.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3解析：a ·b ＝2×3×32＝3.14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案：[0,1]解析：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]．15．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.答案：31010解析：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝(－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)，cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310＝31010.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)答案：②解析：①a 与b 的夹角为θ1，a 与c 的夹角为θ2. a ·b ＝a ·c ，有|a ||b |cos θ1＝|a ||c |cos θ2，得不到b ＝c ，错误． ②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)， ∵a ∥b ，∴b ＝λa ，得k ＝－3.正确． ③设|a |＝|b |＝|a －b |＝m (m >0)， 且a 与a ＋b 的夹角为θ.则有(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝m 2， ∴2a ·b ＝m 2.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝m 2＋m 22＝3m 22，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝m 2＋m 2＋m 2＝3m 2， ∴cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝32m 2m ·3m ＝32.∴θ＝30°.∴③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )·(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2 ＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝2×42＋3×4×8×⎝⎛⎭⎫－32－2×82＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2 ＝16×42－16×4×8×(－32)＋4×82 ＝8(2＋6)18．(12分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t 的值．解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， ∴a ＋t b ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )，∴|a ＋t b |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.19．(12分)已知a ＝(1,1)、b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2) a ＋b ＝(1，－1)(1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －(k ＋2)＝0，即k ＝－1. (2)要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝2，∴cos120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b |·|a ＋b |＝k －k －22·k 2＋(k ＋2)2＝－12.即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：如图所示，设OD →＝OP 1→＋OP 2→，由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 3→＝－OD →，|OD →|＝1，∴|OD →|＝1＝|P 1D →|，∴∠OP 1P 2＝30°， 同理可得∠OP 1P 3＝30°，∴∠P 3P 1P 2＝60°. 同理可得∠P 2P 3P 1＝60°， ∴△P 1P 2P 3为正三角形．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，所以t ＝－115.22．(12分)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．(1)若|a |＝|b |，且a 、b 不共线，试证明：[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )；(2)若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，求f (AC →)·AB →. 解：(1)证明：∵f (a )－f (b )＝λa －λb ＝λ(a －b )， ∴[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝λ(|a |2－|b |2)＝0， ∴[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )．(2)由已知得AB →＝(2,4)，BC →＝(1,2)，AC →＝(3,6)．∵f (BC →)＝AB →，∴λBC →＝AB →. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.∴f (AC →)·AB →＝(2AC →)·AB →＝(6,12)·(2,4)＝60.。
高中数学必修4综合测试题及答案(2)(K12教育文档)
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必修4综合检测一、选择题(每小题5分，共60分） 1．下列命题中正确的是（ ）A ．第一象限角必是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同 2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A ．3πB ．－3πC ．6πD ．－6π3．已知角α的终边过点()m m P 34，-,()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是( ) A ．1或－1 B ．52或52- C ．1或52- D ．－1或52 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）A.35(,)(,)244ππππ B 。
5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 。
33(,)(,)244ππππ5. 若|2|=a ，2||=b 且(b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ）(A)6π (B ）4π （C ）3π （D ）π125 6.已知函数B x A y ++=)sin(ϕϖ的一部分图象如右图所示，如果2||,0,0πϕϖ<>>A ，则（ ）A 。
4=AB 。
1=ϖ C.6πϕ=D 。
4=B7。
设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ） A ．B A ⋂中有3个元素 B ．B A ⋂中有1个元素 C ．B A ⋂中有2个元素 D ．B A ⋃R = ８．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ） A ．247B ．247-C ．724D ．724-9。
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
5
5
∴ （ 2 5 ，－ 5 ）或（－ 2 5 ， 5 ）即为所求．
5
5
5
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19．由题设
, 设 b=
.
∴
,
, 则由
,得
解得 sin α =1 或
当 sin α=1 时， cosα=0；当
时，
。
故所求的向量
或
。
20．解：（1） x y, x y 0.即[( a t 2 3)b] ( ka t b) 0.
D． OC－OA ＋CD；
3．已知 a =（3，4）， b =（5，12）， a 与 b 则夹角的余弦为（
）
A． 63 65
B． 65
C ． 13 5
D． 13
4． 已知 a、b 均为单位向量 , 它们的夹角为 60°, 那么 | a+ 3 b| = （ ）
A． 7
B． 10
C． 13
D．4
5．已知 ABCDEF是正六边形，且 AB ＝ a ， AE ＝ b ，则 BC ＝（ ）
它的长度 | ×b|=| ||b|sin θ，如果 | |=4, |b|=3,
·b=-2 ，则 | ×b|=____________。
三 . 解答题
18、设平面三点 A（1， 0），B（0，1），C（2，5）．（1）试求向量 2 AB ＋ AC 的模；（ 2）试求向量 AB 与 AC 的夹角；（ 3）试求与 BC 垂直的单位向量的坐标．
∈R)的模取最小值
|b|
（ 2）当 a、b 共线同向时，则
0 ，此时 t | a | |b |
∴ b ( a tb) b a tb 2 b a | a || b | | b || a | | a || b | 0
高一下学期数学(人教版必修4)第二章章末综合检测
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1.AB →＋AC →－BC →＋BA →化简后等于() A ．3AB→ B.AB →C.BA → D.CA→解析：选B.原式＝(AB →＋BA →)＋(AC →－BC →)＝(AB →－AB →)＋(AC →＋CB →)＝0＋AB →＝AB →，故选 B.2．已知i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则与2i ＋3j 垂直的向量是()A ．3i ＋2jB ．－2i ＋3jC ．－3i ＋2jD ．2i －3j解析：选C.2i ＋3j ＝(2，3)，C 中－3i ＋2j ＝(－3，2)．因为2×(－3)＋3×2＝0，所以2i ＋3j 与－3i ＋2j 垂直．3．下列说法正确的是()A ．两个单位向量的数量积为 1B ．若a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，则b ＝cC.AB →＝OA →－OB→D ．若b ⊥c ，则(a ＋c )·b ＝a ·b解析：选D.A 中，两向量的夹角不确定，故A 错；B 中，若a ⊥b ，a ⊥c ，b 与c 反方向，则不成立，故B 错；C 中，应为AB →＝OB →－OA →，故C 错；D 中，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，所以(a ＋c )·b ＝a ·b ＋c ·b ＝a ·b ，故D 正确．4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是()A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选D.因为a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.5．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是()A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b 解析：选B.因为|a ＋b |＝|a －b |?(a ＋b )2＝(a －b )2?a ·b ＝0，所以a ⊥b ，选B.6．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(－3，1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于() A.13B ．－13C ．3D ．－3解析：选D.由题意，得a ·b ＝3×(－3)＋4×1＝－5，|a |＝5，|b |＝10，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－5510＝－110. ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝310，∴tan θ＝sin θcos θ＝－3. 7．已知四边形ABCD 的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC→＝2AD →，则顶点D 的坐标为() A ．(2，72) B ．(2，－12)。
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第二章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列等式成立的是( ) A.MN →＝NM →B ．a ·0＝0C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．|a ＋b |≤|a |＋|b |[答案] D2．如果a 、b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( )A ．a ＝bB ．a ·b ＝1C ．a ＝－bD ．|a |＝|b | [答案] D[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A 、C 不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a ·b ＝1不成立，所以选项B 不正确；|a |＝|b |＝1，则选项D 正确．3．(山东师大附中2012－2013期中)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )A ．(－2，－1)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－1,0)[答案] B[解析] 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1) ＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)．4．(哈尔滨三中2012－2013高一期中)已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则向量AB →的模等于( )A ．5 B.17 C ．3 2 D.13[答案] A[解析] |AB →|＝(7－4)2＋(－3－1)2＝5.5．(2012北京海淀区期末)如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD [答案] D[解析] EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6．(2013诸城模拟)已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1[答案] C[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n ＝1. 7．如图，M 、N 分别是AB 、AC 的一个三等分点，且MN →＝λ(AC →－AB →)成立，则λ＝( )A.12B.13C.23 D ．±13 [答案] B[解析] MN →＝13BC →且BC →＝AC →－AB →.8．与向量a ＝(1,1)平行的所有单位向量为( ) A ．(22，22) B ．(－22，－22) C ．(±22，±22)D ．(22，22)或(－22，－22) [答案] D[解析] 与a 平行的单位向量为±a|a |.9．(2013·湖北文)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152[答案] A[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算． 由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为 |AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.10．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2[答案] C[解析] a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2. cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.11．(2012·全国高考浙江卷)设a 、b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 、b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb .如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a 、b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．12．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°[答案] C[解析] 由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．[答案] A ，B ，D[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →.14．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________．[答案] －1[解析] (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0，∴k ＝－1.15．(2013北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.16．(2013北京东城区模拟)正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.[答案] －2[解析] ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →， ∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(山东济南一中12－13期中)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)(1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．[解析] (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向． a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2 当x ＝12时，a 、b 同向． ∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，(2a －b )＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.18．(本题满分12分)(山东师大附中2012－2013期中)设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值．[解析] 以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎨⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.19．(本题满分12分)已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时．(1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直． [解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．∴当t ＝－|a ||b |cosθ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立．20．(本题满分12分)已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b ，d ＝a －b ， (1)若c ∥d ，求k 的值，并判断c 、d 是否同向； (2)若|a |＝|b |，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，c ⊥d . [解析] (1)c ∥d ，故c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )．又a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ，1＝－λ.得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.即c ＝－d ，故c 与d 反向． (2)c ·d ＝(k a ＋b )·(a －b ) ＝k a 2－k a ·b ＋a ·b －b 2 ＝(k －1)a 2＋(1－k )|a |2·cos60° 又c ⊥d ，故(k －1)a 2＋1－k 2a 2＝0.即(k －1)＋1－k2＝0. 解得k ＝1.21．(本题满分12分)向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，求|a |2＋|b |2＋|c |2的值．[解析] 由(a －b )⊥c 知(a －b )·c ＝0. 又c ＝－(a ＋b )，∴(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝0.故|a |＝|b |＝1，又c 2＝[－(a ＋b )]2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2＋b 2＝2，∴|a |2＋|b |2＋|c |2＝4.22．(本题满分12分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)． (1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)， 故存在非零实数k 、t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．。