2014北京东城高考一模数学理科带答案

北京市东城区2013—2014学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（理科）
2014．4
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1． 已知集合()(){|120}A x x x =+-≥，则R A =ð（ ）．
A ．{}|12x x x <->，
或
B ．{|1x x -≤或}2x ≥
C ．{}|12x x -<<
D ．{}|12x x -≤≤
2． 复数i
1i
=-（ ）． A ．11
i 22
+ B ．11i 22-
C ．11i 22-+
D ．11i 22--
3． 为了得到函数πsin 23y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）．
A ．向左平移π3个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向左平移π6个单位长度
D ．向右平移π
6
个单位长度
4． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（ ）．
A ．27
B ．36
C ．42
D ．63
5．
在极坐标系中，点π4⎫⎪⎭，到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（ ）．
A
B
C
D ．2
6． 如图，在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=（ ）
．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．不能确定
7． 若双曲线()2222100x y a b a b
-=>>，的渐近线与圆()2
221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．
A ．2 B
C
D
8． 已知符号函数()10sgn 0010x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，，，，，则函数()()2sgn ln ln f x x x =-的零点个数为（ ）．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第二部分（非选择题 共110分）
D C
B A
Q
O
D C P A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 4
12x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）
10． 如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2AB BC =，且2BC =，
CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD =________，DAB ∠=________．
11． 设不等式组02,
02x y <<⎧⎨<<⎩
表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个
点(),P x y ，则3x y +<的概率为________．
12． 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为______，
不等式()f x x <的解集为________．
13． 某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本
公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）
14． 如图，在三棱锥A BCD -
中，BC DC AB AD ====2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，
点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．
三、解答题共6小题，共80分． 15． （本小题共13分）
在ABC △
中，sin A a = （1）求角B 的值；
（2）如果2b =，求ABC △面积的最大值．
16． （本小题共13分）
某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[]2,4的有8人．
乙
甲
0 2 4 6 8 10 12 小时
（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
17． （本小题共14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AB PA ==
，AD =F 是PB
O C
B A
D
中点，E 为BC 上一点．
（1）求证：AF ⊥平面PBC ；
（2）当BE 为何值时，二面角C PE D --为45︒．
18． （本小题共13分）
已知函数()()2
4ln 1f x ax x =--，a ∈R ．
（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）已知点()1,1P 和函数()f x 图象上动点()(),M m f m ，对任意[]2,1m e ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围．
19． （本小题共13分）
已知椭圆()22
22:10x y G a b a b +=>>
过点1,A ⎛ ⎝⎭
和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；
（2）设过点30,2P ⎛
⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．
20． （本小题共14分）
已知集合{}1,2,3,4,
,n ()3n ≥，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且
每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为n a ． （1）当5n =时，写出所有T 子集； （2）求10a ；
（3）记3543452222n
n n
a a a a S =++++，求证：2n S <
北京市东城区2013-2014学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案（理科）
一、选择题
P
F
E
D
B
A
1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B
二、填空题
9．1
16
10
．；30︒
11．7
8
12．2()6=-+f x x ；(20)(2)-+∞，，
13．24
14
三、解答题 15．（共13分）
解：⑴ 因为sin sin =a b A B
，sin =A a ，
所以sin B B
，tan B 因为(0π)B ∈，．所以π
=3
B ．
⑵ 因为π=3B ，所以2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，因为2b =，所以22=42a c ac ac ++≥，
所以4ac ≤（当且仅当a c =时，等号成立），所以1
2
ABC S ac =△
，sin B
所以ABC △
16． （共13分）
解：⑴ 由直方图知，(0.1500.1250.1000.0875)21++++⨯=a ，
解得0.0375a =，
因为甲班学习时间在区间[24]，的有8人，
所以甲班的学生人数为8
400.2
=， 所以甲、乙两班人数均为40人．
所以甲班学习时间在区间(]1012，
的人数为 400.037523⨯⨯=（人）．
⑵ 乙班学习时间在区间(]1012，的人数为400.0524⨯⨯=（人）．
由⑴知甲班学习时间在区间(]1012，
的人数为3人， 在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．
04344
7C C 1
(0)C 35===P ξ， 1334
47C C 12(1)C 35
===P ξ，
223447C C 18(2)C 35===P ξ，3134
4
7C C 4(3)C 35
===P ξ． 所以随机变量ξ的分布列为：
10123353535357
=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ．
17．（共14分）
证明⑴ 因为⊥PA 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以⊥PA BC ，因为ABCD 是矩形，所以⊥BC AB ．
因为=PA AB A ，所以⊥BC 平面PAB ，因为⊂AF 平面PAB ，所以⊥BC AF ，
因为=AB PA ，F 是PB 中点，所以⊥AF PB ，因为=PB BC B 所以⊥AF 平面PBC ．
⑵ 解：因为⊥PA 平面ABCD ，⊥AB AD ，
所以以A 为坐标原点，AD 、AB 、AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设=BE a ，
则(001)P ，，
，)
00D ，，()10E a ，，，11022F ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，，．
所以()10=DE a ，，(
)
301=-PD ，．
设平面PDE 的法向量为()=m x y z ，，，则00.⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩m DE m
PD ， 所以(0
30.
⎧+=⎪⎪-=⎩a x y x z ，
令1=x ，得y a ，=z ，
所以(1=m a ，．
平面PCE 的法向量为11022⎛
⎫== ⎪⎝
⎭n AF ，，．
所以1
cos 2
⋅=
=
=
a
m n
m n m n
，． 所以=a ．所以当=BE 时，二面角--P DE A 为45︒．
17． （共13分）
解：⑴ 当1=a 时，2
()4ln(1)=--f x x x ，定义域为(1)+∞，，2
42242(1)(2)()2
11
--+-'=-==
--x x x x f x x x 所以当1=a ． ⑵ 因为对任意[2e 1]∈+m ，，直线PM 的倾斜角都是钝角，
所以对任意[2e 1]∈+m ，，直线PM 的斜率小于0，即
()1
01
-<-f m m ，()1<f m ， 即()f x 在区间[21]+c ，上的最大值小于1，2
42(2)()211
--'=-=--ax ax f x ax x x ，(1)∈+∞x ，． 令2()2=--g x ax ax
①当0=a 时，()4ln(1)=--f x x 在[2e 1]+，上单调递减，max ()(2)01==<f x f ，显然成立，所以0=a ．
②当0<a 时，二次函数()g x 的图象开口向下， 且(0)2=-g ，(1)2=-g ，
(1)∀∈+∞x ，，()0<g x ， 故()0'<f x ，()f x 在(1)+∞，上单调递减，
故()f x 在[2e 1]+，上单调递减，max ()(2)41==<f x f a ，显然成立，所以0<a ．
⑶ 当0>a 时，二次函数()g x 的图象开口向上，且()02g =-，()12g =-．
所以()01x ∃∈+∞，
，当()01x x ∈，时，()0g x <．
当()0x x ∈+∞，
时，()0g x >． 所以()f x 在区间()1+∞，
内先递减再递增．故()f x 在区间[]2e 1+，上的最大值只能是()2f 或()e 1f
+． 所以()()21e 11f f .⎧<⎪⎨+<⎪⎩，即()2
41e 141a a .
<⎧⎪⎨+-<⎪⎩，
所以104a <<． 综上1
4
a <．
19．(共13分)
解：（Ⅰ）因为椭圆()22
22:10x y G a b a b +=>>
过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．
所以1b =
，由2
2
111
a ⎝⎭+=，得23a =．所以椭圆G 的方程为2
213x y +=．
（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠． 设直线l 的方程为3
2
y kx =+．
由2
2133.
2
x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2
512k >．
设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，，
得12229262x x k x k +=
=-+，12623
262
y y y k +==+．由BM BN =，知BQ MN ⊥， 所以6611y x k +=-，即22
3
116296
k k k ++=--．化简得223k =，满足0>△．所以k =． 因此直线l 的方程为32
y =+． （20）(共14分)
解：（Ⅰ）当5n =时，所以T 子集：{}13，
，{}14，，{}15，，{}24，，{}25，，{}35，，{}135，，． （Ⅱ）{}123412k k k ++，
，，，…，，，的T 子集可分为两类： 第一类子集中不含有2k +，这类子集有1k a +个；
第二类子集中含有2k +，这类子集成为{}1234k ，
，，，…，的T 子集与{}2k +的并，或为{}1234k ，，，，…，的单元素子集与{}2k +的并，共有k a k +个．所以21k k k a a a k ++=++． 因为31a =，43a =，所以57a =，614a =，726a =，846a =，979a =，10133a =．
（Ⅲ）因为343137
2222n n n
a S =++++…， ①
所以1431113
22222
n n n n n a a S -+=++++… ②
①-②得234361211247
2222222
n n n n n a n a S -++-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ (2243)
434121234
222222
n n n n a n a a a -++-++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ (22434234112121342222222)
n n n n a n a a a --++-++⎛⎫=
+++++- ⎪⎝⎭... 123411213422222222n n n n n n a n S ---⎛⎫++-+++- ⎪⎝⎭ (1)
2
111112444222
n n
n n n n a S --+-⎛⎫
=++--- ⎪⎝⎭
2111444n S -<++ 1124n S <+
所以2n S <．。