初中数学-12345模型

学悟有别，你我自取，教学践行，适切至

数学解题五境界

第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．

第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它

的合理解释．

第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．

第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库．

第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个

错误，他也能够很快地纠正纠偏．

刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．

一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！

版块一引入问题

1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝

图1-1图1-2

2．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是BC 边上的高，BD ＝3，DC ＝2，则AD 的长为_________．版块二“123”+“45”的来源

一般化结论：若45αβ+=︒则有1tan 1a a α-=

+，1tan a β=（1a >），当32a =时，则得到21tan tan =3

5αβ=（了解）当a =2时，则得到1

1tan tan =23

αβ=（重要）当52a =时，则得到23tan tan =5

7αβ=（了解）;当4a =时，则得到1

3tan tan =45

αβ=（次重要）

【例1】（济南市中考题）如图2-1，AOB ∠是放置在正方形网络中的一个角，则cos AOB ∠的值是．

图2-1

【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE =53，

且∠ECF =45°，则CF 的长为（）

A ．102

B ．53

C D

图2-2倍角与半角构造

当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“⇔⇔顶角底角顶角”解题依据“1902

︒－顶角＝底角”．

如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ．

⑴若tan 2BCA ∠=，则tan BAC ∠=．⑵若4tan 3BAC ∠=，则tan ABC ∠=．

【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，

折痕为MN ．若3

1tan =

∠AEN ，DC ＋CE ＝10．⑴求△ANE 的面积；⑵求ENB ∠sin 的值．

图2-3

【例4】如图2-4，已知正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在BC 上，且CE=2BE ，

过B 点作BF ⊥AE 于点F ，连接OF ，则线段OF 的长度为。

图2-4

【例5】（2011•武汉）如图2-5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，

交⊙O 于点B ，延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E ．

⑴求证：PB 为⊙O 的切线；

⑵若tan ∠ABE =，求sin ∠E ．

图2-5

【例6】如图2-6，正方形ABCD 中，点P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到△PAE ,过C 作

CF ⊥DE 交DE 延长线于点F ，若CF =2，则DF =．

图2-6

（2002•盐城）已知：如图2-7，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连接DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE ＝45°．

⑴求证：BD •BC ＝BG •BE ；⑵求证：AG ⊥BE ；⑶若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．

【例7】（江苏省竞赛题）如图2-8，等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为BC 中点，将ABC △折叠，使

A 点与D 点重合，若EF 为折痕，则sin BED ∠的值为．

图2-8

【例8】（全国初中数学联赛试题）如图2-9，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的

点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ．

图2-9

【例9】（天津市竞赛试题）如图2-10，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD

上一点，∠ABE ＝450，则AEB ∠tan 的值等于（）

A ．23

B ．2

C ．25

D ．3

图2-10