高一数学必修二各单元测试题

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高一数学必修2第一章单元测试题(二)

高一数学必修2第一章单元测试题命题人：刘学宝 2013.12.71．如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱2．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.12倍 B ．2倍 C.24倍 D.22倍 3．(2012·湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )4．已知某几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体是( )A ．长方体B ．圆柱C ．四棱锥D ．四棱台5．正方体的体积是64，则其表面积是( ) A ．64 B ．16 C ．96 D ．无法确定6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积( )A ．缩小到原来的一半B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的167．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A．1倍B．2倍C.95倍 D.74倍8．(2011～2012·浙江龙岩一模)有一个几何体的三视图及其尺寸如下图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．36πcm29．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6C．5 D．310．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.32，1 B.23，1C.32，32D.23，3211．(2011－2012·广东惠州一模)某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为( )A．24 B．80C．64 D．24012．如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是( )姓名：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．14．(2011－2012·北京东城区高三第一学期期末检测)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________。

高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案

高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

人教版高一数学必修二第四章圆与方程(单元测试,含答案).doc

与方程姓名：班级:一、选择题(共8小题；共40分)1Mx2 +尸一4x + 6y = 0的圆心坐标是()A (2,3)B (-2,3) C(-2,-3) D(2,-3)2OO的百径是3,百线1与OO相交，圆心0到百线1的距离是d,贝M应满足()Ad > 3 B 15 < d < 3 C 0 < d < 15 Dd < 0 3圆(x — 2)2 + (y- l)2 = 4与圆(x + l)2 + (y- 2)2 = 9的公切线有()条A1 B 2 C3 D4 4从原点向圆x2 + y2 一12y + 27 = 0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为()A nB 2nC 4TTD 6TT5过点(1,1)的直线与圆(x - 2)2 + (y - 3)2 = 9相交于A, B两点，贝lj| AB |的最小值为() A2V3 B4 C2V5 D5 6已知圆C的半径为2, |员|心在x轴的正半轴上，直线3x + 4y + 4 = 0与圆C相切，贝I」圆C的方程为()Ax2 4-y2 - 2x - 3 = 0 B x2 4- y2 + 4x = 0Cx2 +y2 + 2x - 3 = 0 D x2 + y2 - 4x = 07耍在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范閘都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是()A6 B 5 C4 D38 已知圆:C1:(x-2)2 + (y-3)3 = 1,圆：C2:(x-3)2 + (y-4)2 = 9, M、N分别是圆C〔、C?上的动点，P为x轴上的动点,贝OIPMI + IPNI的最小值为()A5V2-4 B V17- 1 C6-2V2 D V17二、填空题(共7小题；共35分)9过点A(3,—4)与闘x2 +y2 = 25相切的直线方程是_______ .10如果单位圆X? +y2 = 1与圆C: (x — a)2 + (y - a)2 = 4相交，则实数a的取值范围为 ________ 11在空间直角坐标系,已知点A(l,0,2), B(l,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则点M的坐标是 _____ ・12已知圆C: (x-2)2+y2 = l.若直线y二k(x+l)上存在点P,使得过P向圆C所作的州条切线所成的角为夕则实数k的取值范闌为 _______ .13如图，以棱长为a的止方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间百角坐标系，若点P为对角线AB的点，点Q在棱CD上运动，则PQ的最小值为 .14在圆C:(x-2)2 + (y-2)2 = 8内,过点P(l,0)的最长的弦为AB,最短的弦为DE,贝9以边形ADBE的面积为____ •15据气象台预报：在A城正东方300km的海而B处有一台风心，正以每小时40km的速度向術北方向移动，在距台风心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约__________ h,台风将影响A城, 持续时间约为_______ h.(结果精确到Olh)三、解答题(共5小题；共65分)16若关于x, y的方程X? + y? - 4x + 4y + m = 0表示圆C.(1)求实数m的取值范围；(2)若圆C与圆M:x2 4-y2 = 2相离，求m的取值范囤.17已知圆C:x? + y? + 4x + 4y + m = 0,直线l:x + y 4- 2 = 0.(1)若I员IC与直线1相离，求m的取值范围；(2)若I员1D过点P(l,l), H.与恻C关丁•直线1对称，求I処D的方程.18如图，在平面直角坐标系xOy,点A(0,3),直线l:y = 2x-4.设圆C的半径为1,圆心在1上.(1)若圆心C也在直线y = x-l上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA = 2M0,求圆心C的横坐标a的取值范|节|・19已知直线啲方程为2x+(l + m)y+2m = 0, m€R，点P的坐标为(-1,0).(1)求证：直线1恒过定点，并求出定点坐标；(2)求点P到直线1的距离的最大值；(3)设点P在直线1上的射影为点M, N的坐标为(2,1),求线段MN长的取值范闱.20 在平面直角坐标系xOy,已知圆Ci： (x + 3)2 + (y - I)2 = 4和圆C?： (x 一4)2 + (y — 5)2 = 4.(1)若直线1过点A(4,0), £L被圆C］截得的弦长为2孙，求直线啲方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂肖的肖线h和12,它们分别与圆C1 和圆C2相交，且直线h被圆C］截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标.答案第一部分I D 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A第二部分9 3x-4y = 2510 -—< a < H J C —< a < —」 2 22 2 II (0,-1,0) 12 ［一普，晋］13 yal4 4V615 20； 66第三部分 16 (1) |w|C 化简为(x- 2)2 4-(y + 2)2 = 8-m,所以8 — m > 0,即m V 8.(2)圆C 的圆心为(2,-2),半径为V8^ (m<8),圆M 的圆心为(0,0),半径为返,由题意，得圆心距大于两圆的半径和，则“22 + 22 + 解得6<m<8.17 (1)圆Ux?+y2+4x + 4y + m = 0即(x 4- 2)2 + (y + 2)2 = 8 - m.圆心C(-2,—2)到直线啲距离d =三|旦=V2,若圆C 与直线1相离，则d > r,所以 * = 8 — m < 2即 m > 6乂严=8 - m > 0即m V 8.故m 的取值范围是(6,8).(2)设圆D 的圆心D 的坐标为(xo ，y ())，由于圆C 的圆心C(_2,_2), 依题意知点D 和点C 关于直线1对称，解牡:0 所以圆D 的方程为x 2+y 2 = r 2,而r=|DP |=V2,因此，圆D 的方程为x 2+y 2 = 2.18 (1)由题设，I 员I 心C 是直线y = 2x- 4和y = x- 1的交点, 解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C 的切线方稈为y = kx + 3由题意，得解得：k=0或—孑 4故所求切线方程为{Xo-2 Yo+2Xo+2 + 竽+2 = 0x (-1) = -1I 3k + 1 |Vk 2 + 1y = 3 或3x + 4y — 12 = 0(2)因为圆心在直线y = 2x —4上，所以圆C的方程为(x — a)2 3 + ［y — 2 (a — 2)］2 = 1 设点M(x,y),因为MA = 2M0,所以Jx2 + (y — 3)2 = 2jx2 +y2, 化简得x? + y2 + 2y — 3 = 0,即x2 + (y + l)2 = 4, 所以点M在以D(0,-l)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M(x,y)在圆C上，所以圆(：与圆D有公共点，贝I」12-11 < CD <2 + 1, 即l<Va2 + (2a-3)2<3 整理，得—8 S 5a2— 12a S 0由5a2-12a + 8>0,得a G R;S5a2 - 12a < 0,得12所以点C的横坐标a的取值范闌为［0,y .19(1)由2x + (l + m)y+2m = 0得2x + y + m(y + 2) = 0,所以直线1恒过直线2x + y= 0与直线y + 2 = 0交点Q.解方程组炸暮律得Q(l，-2)，所以直线1恒过定点，且定点为Q(l,-2).2 设点P在直线1上的射影为点M,贝IJIPMI < |PQ|,当且仅当直线1与PQ垂直时,等号成立, 所以点P到直线1的距离的最大值即为线段PQ的长度为2逅.3因为直线1绕着点Q(l,-2)旋转，所以点M在以线段PQ为直径的I员1上，其I员I心为点C(O.-l)，半径为说，因为N的坐标为(2,1),所以|CN| = 2V2,从而V2 < |MN| < 3V2.20(1)由于直线x = 4与圆C］不相交，所以直线1的斜率存在.设直线1的方程为y = k(x - 4),圆C］的I员I心到直线1的距离为d, 乂因为直线1被I员©截得的弦长为2箱，所以|l-k(-3-4)| d = ------- , ----Vl + k 2 y = 0 或 7x + 24y - 28 = 0 (2)设点P(a,b)满足条件，不妨设直线h 的方程为y — b = k(x — a), k H 0, 则直线】2的方程为山点到直线的距离公式得 d = J22 - (V3)2 = 1从而即所以直线1的方程k(24k + 7) = 0, 7 241因为圆Ci和C2的半径相等，及宜线I】被圆C］截得的弦长与直线-被【员丄2截得的弦长相等，所以I 员IC］的|员］心到直线1］的距离和圆C2的國心到直线】2的距离相等,即|1 一k(-3 - a) - b| |5 + £ (4 — a) — b|整理得|1 + 3k + ak — bl = |5k + 4 — a — bk|,从而1 + 3k + ak — b = 5k + 4 — a - bk,(a + b — 2)k — b — a + 3, 因为k的取值有无穷多个，所以(a + b — 2 = 0,戒(a — b + 8 = 0, (b - a + 3 = 0 严ia + b-5 = 0 解得这样点P只可能是点P］ (I，-扌)或点卩2 (-!，¥)• 经检验点P］和P2满足题口条件.。

人教版高一数学必修第二册同步单元测试卷第07章复数(B卷提高篇)解析版

第七章复数B（提高卷）参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•西城区校级期中）复数,则在复平面内,z对应的点的坐标是（）A．（1,0）B．（0,1）C．D．【参考解答】解:由i;则在复平面内,z对应的点的坐标是:（0,1）．故选:B．2．（2019春•抚顺期末）若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数,则（）A．a≠2 B．a≠1 C．a＝1 D．a≠1且a≠2【参考解答】解:∵若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i是纯虚数,∴a2﹣3a+2＝0且|a﹣1|≠0∴a＝2,a＝1,且a≠1,a≠0,∴a＝2,∴复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数时,a≠2,故选:A．3．（2020•张家口二模）已知非零复数z满足i（其中是的z共轭复数,是虚数单位）,z在复平面内对应点P（x,y）,则点P的轨迹为（）A．x﹣y＝0（x2+y2≠0）B．x+y＝0（x2+y2≠0）C．x﹣y﹣2＝0（x2+y2≠0）D．x+y﹣2＝0（x2+y2≠0）【参考解答】解:由题意,z＝x+yi（x,y∈R）,由i,得（x2+y2≠0）,即x﹣yi＝i（x+yi）＝xi﹣y,则x＝﹣y,即x+y＝0（x2+y2≠0）．∴点P的轨迹为x+y＝0（x2+y2≠0）．故选:B．4．（2020春•桃城区校级月考）已知复数（a∈R,i为虚数单位）,若复数z的共轭复数的虚部为,则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【参考解答】解:∵,∴的虚部为,由,得a＝2．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（,）,位于第一象限．故选:A．5．（2020•浙江模拟）若复数z1＝2+i,z2＝cosα+i sinα（α∈R）,其中i是虚数单位,则|z1﹣z2|的最大值为（）A．B．C．D．【参考解答】解:∵z1＝2+i,z2＝cosα+i sinα（α∈R）,∴z2对应的点在以原点为圆心,以1为半径的圆上,z1＝2+i对应的点为Z1（2,1）．如图:则|z1﹣z2|的最大值为．故选:C．6．（2020•临川区校级模拟）已知i为虚数单位,若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为（2,1）,（1,﹣2）,则复数（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．﹣4﹣3i D．﹣3【参考解答】解:由题意,z1＝2+i,z2＝1﹣2i,则．故选:A．7．（2019春•辽宁期末）设i是虚数单位,则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【参考解答】解:设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．i2021+i,∴S．故选:B．8．（2019春•遂宁期末）设m∈R,复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上,又函数f（x）＝mlnx+x,若曲线y＝f（x）与直线l:y＝2kx﹣1有且只有一个公共点,则实数k的取值范围为（）A．B．（﹣∞,0]∪{1}C．（﹣∞,0]∪{2} D．（﹣∞,0）∪（2,+∞）【参考解答】解:∵z＝（1+i）（m﹣i）＝（m+1）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于实轴上,∴m﹣1＝0,即m＝1．则f（x）＝lnx+x,f′（x）,又当x→0时,f（x）→﹣∞,作出函数f（x）＝lnx+x的图象如图:直线l:y＝2kx﹣1过（0,﹣1）,设切点为（x0,lnx0+x0）,则在切点处的切线方程为y﹣lnx0﹣x0＝（）（x﹣x0）,把（0,﹣1）代入,可得﹣1﹣lnx0﹣x0＝﹣1﹣x0,即lnx0＝0,即x0＝1．则2k＝2,k＝1．而f′（x）1（x＞0）,由图可知,当2k∈（﹣∞,1],即k∈（﹣∞,]时,曲线y＝f（x）与直线l:y＝2kx﹣1有且只有一个公共点,综上可得,当k∈（﹣∞,]∪{1}时,曲线y＝f（x）与直线l:y＝2kx﹣1有且只有一个公共点．故选:A．二．多选题（共4小题）9．（2020春•东海县期中）下列关于复数的说法,其中正确的是（）A．复数z＝a+bi（a,b∈R）是实数的充要条件是b＝0B．复数z＝a+bi（a,b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0C．若z1,z2互为共轭复数,则z1z2是实数D．若z1,z2互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称【参考解答】解:对于选项A:复数z＝a+bi（a,b∈R）是实数的充要条件是b＝0,所以选项A正确;对于选项B:复数z＝a+bi（a,b∈R）是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0,所以选项B错误;对于选项C:若z1,z2互为共轭复数,不妨设z1＝a+bi（a∈R,b∈R）,则z2＝a﹣bi,所以,所以选项C正确;对于选项D:若z1,z2互为共轭复数,不妨设z1＝a+bi（a∈R,b∈R）,则z2＝a﹣bi,则它们在复平面内所对应的点分别为（a,b）和（a,﹣b）,关于x轴对称,所以选项D错误,故选:AC．10．（2020春•胶州市期中）若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位）,复数z的共轭复数为,则（）A．B．z的实部是2C．z的虚部是1D．复数在复平面内对应的点在第一象限【参考解答】解:由（1+i）z＝3+i,得z．∴|z|,故A正确;z的实部为2,故B正确;z的虚部是﹣1,故C错误;复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1）,在第一象限,故D正确．故选:ABD．11．（2020春•苏州期中）已知复数（i为虚数单位）,为z的共轭复数,若复数,则下列结论正确的有（）A．w在复平面内对应的点位于第二象限B．|w|＝1C．w的实数部分为D．w的虚部为【参考解答】解:因为复数（i为虚数单位）,为z的共轭复数,则复数i;故w对应的点为（,）;|w|1;且w的实部为:,虚部为:;故选:ABC．12．（2020春•滕州市校级月考）已知集合M＝{m|m＝i n,n∈N},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是（）A．（1﹣i）（1+i）B．C．D．（1﹣i）2【参考解答】解:根据题意,M＝{m|m＝i n,n∈N}中,n＝4k（k∈N）时,i n＝1;n＝4k+1（k∈N）时,i n＝i;n＝4k+2（k∈N）时,i n＝﹣1;n＝4k+3（k∈N）时,i n＝﹣i,∴M＝{﹣1,1,i,﹣i}．选项A中,（1﹣i）（1+i）＝2∉M;选项B中,;选项C中,;选项D中,（1﹣i）2＝﹣2i∉M．故选:BC．三．填空题（共4小题）13．（2019春•杨浦区校级期末）若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2,则|z|的最小值为1【参考解答】解:设z＝a+bi;|1﹣z|•|1+z|＝2,即:2•,令|z|＝t．（t＞0）,则t2＝a2+b2,所以2⇒4＝t4+2t2+1﹣4a2,因为a2≥0,所以4≤t4+2t2+1,所以t4+2t2﹣3≥0,解得:t2≥1或者t2≤﹣3（舍）,所以t≥1,故正确答案为:1．14．（2020春•浦东新区校级月考）关于x的实系数方程x2+4x+m＝0的两个复数根为a、β,且|a﹣β|＝2,则m ＝3或5．【参考解答】解:对于方程x2+4x+m＝0,∴α+β＝﹣4,αβ＝m,①当△＝16﹣4m＜0时,设两个复数根为a、β,且设α＝a+bi,β＝a﹣bi,a,b∈R,所以2a＝﹣4,|2bi|＝2,∴a＝﹣2,b＝±1故α＝﹣2+i,β＝﹣2﹣i,∴αβ＝（﹣2）2﹣i2＝5．②△＝16﹣4m≥0时,设两根为x1,x2．易知x1+x2＝﹣4,x1x2＝m,∴,解得m＝3．综上可知,m的值为3或5．故正确答案为:3或5．15．（2020春•开封期中）若|z1﹣z2|＝1,则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数与z2＝2+bi互为“邻位复数”,a,b∈R,则a2+b2的最大值为8．【参考解答】解:由题意,,故,∴点（a,b）在圆上,而表示点（a,b）到原点的距离,故a2+b2的最大值为．故正确答案为:．16．（2020春•浦东新区校级月考）定义复数的一种运算z1⊗z2（等式右边为普通运算）,若复数z ＝a+bi（a,b∈R）满足a+b＝3,则z⊗最小值为．【参考解答】解:由题意得z⊗．将b＝3﹣a代入得:,显然,当a时上式取得最小值．故正确答案为:．四．参考解答题（共5小题）17．（2020春•锡山区校级期中）（1）计算:（i为虚数单位）;（2）已知z是一个复数,求解关于z的方程z3i•1+3i．（i为虚数单位）．【参考解答】解:（1）;（2）设z＝a+bi（a,b∈R）,则,代入z3i•1+3i,得a2+b2﹣3i（a﹣bi）＝1+3i,即a2+b2﹣3b﹣3ai＝1+3i,则,解得或．则z＝﹣1或z＝1+3i．18．（2020春•兴庆区校级期中）实数m分别取什么数值时,复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i （1）与复数2﹣12i相等．（2）与复数12+16i互为共轭．（3）对应的点在x轴上方．【参考解答】解:（1）根据复数相等的充要条件得解之得m＝﹣1．（2）根据共轭复数的定义得解之得m＝1．（3）根据复数z对应点在x轴上方可得m2﹣2m﹣15＞0,解之得m＜﹣3或m＞5．19．（2019春•平遥县校级期中）设z1是虚数,z2＝z1是实数,且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．（2）若ω,求证:ω为纯虚数．【参考解答】解:（1）设z1＝a+bi（a,b∈R且b≠0）,则z2＝z1a+bi a+bi＝a+bi i＝a（b）i．∵z2是实数,b≠0,∴b0．b≠0,于是有a2+b2＝1,即|z1|＝1,还可得z2＝2a．由﹣1≤z2≤1,得﹣1≤2a≤1,解得a,即z1的实部的取值范围．（2）证明:ωi．∵a∈,b≠0,∴ω为纯虚数．20．（2020春•胶州市期中）在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C,对应复数分别为0,2+i,﹣1+3i．（1）求,及,;（2）设∠OCB＝θ,求cosθ．【参考解答】解:（1）∵,∴所对应的复数z1＝（2+i）+（﹣1+3i）＝1+4i,∴,．∵,∴所对应的复数z2＝（2+i）﹣（﹣1+3i）＝3﹣2i,∴,;（2）由题意,,∵,,∴,,．∴．21．（2019春•黄浦区校级月考）已知复数z1＝sin2x+λi,（λ,m,x∈R）,且z1＝z2．（1）若λ＝0且0＜x＜π,求x的值;（2）设λ＝f（x）;①求f（x）的最小正周期和单调递减区间;②已知当x＝α时,,试求的值．【参考解答】解:由z1＝sin2x+λi,（λ,m,x∈R）,且z1＝z2．得．（1）若λ＝0且0＜x＜π,则sin2x,即tan2x,∴x或;（2）①λ,则T＝π,由,得,k∈Z．∴f（x）的单调递减区间为,k∈Z;②由题意,,∴sin（）,即cos（）．∴．。

人教A版高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷含答案解析 (55)

高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷8（共22题）一、选择题（共10题）1. 某位教师 2018 年的家庭总收入为 80000 元，各种用途占比统计如下面的折线图．2019 年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知 2019 年的就医费用比 2018 年的就医费用增加了 4750 元，则该教师 2019 年的旅行费用为 ( )A ． 21250 元B ． 28000 元C ． 29750 元D ． 85000 元2. 总体由编号为 01，02，⋯，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 11 列和第 12 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 ( )4698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707A ． 11B ． 14C ． 16D ． 203. 设 x 1，x 2，⋯，x n 为样本数据，令 f (x )=∑(x i −x )2n i=1，则 f (x ) 的最小值点为 ( )A ．样本众数B ．样本中位数C ．样本标准差D ．样本平均数4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 ( ) A ． 134 石B ． 169 石C ． 338 石D ． 1365 石5. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为 ( )A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，76. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 ( )A ．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B ．该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间7. 为比较甲、乙两地某月 14 时的气温情况，随机选取该月中的 5 天，这 5 天中 14 时的气温数据（单位：∘C ）如下：甲:2628293131乙:2829303132以下结论：①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差．其中根据数据能得到的统计结论的编号为 ( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8. 某项测试成绩满分为 10 分，现随机抽取 30 名学生参加测试，得分情况如图所示，假设得分值的中位数为 m e ，平均数为 x ，众数为 m 0，则 ( )A ． m e =m 0=xB ． m e =m 0<xC ． m e <m 0<xD ． m 0<m e <x9. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数，众数，极差分别是 ( )125202333124489455577889500114796178A ． 46，45，56B ． 46，45，53C ． 47，45，56D ． 45，47，5310. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“联系 5 天的日平均温度均不低于 22∘C ”．现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）． ① 甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ② 乙地：5 个数据的中位数为 27，平均数为 24；③ 丙地：5 个数据中有一个数据是 32，平均数为 26，方差为 10.8．则肯定进入夏季的地区有 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个二、填空题（共6题）11. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取 8 件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12．三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲，乙，丙．12. 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中A 种型号产品有 16 件，那么此样本的容量 n = ．13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程 y ^=0.67x+54.9．零件数x/个1020304050加工时间y/min62■758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．14.下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：∘C）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5)．已知样本中平均气温低于22.5∘C的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5∘C的城市个数为．15.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a=（结果保留3位小数）．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的三组学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为．16.样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是，第75百分位数是．三、解答题（共6题）17.要做频率分布表，需要对原始数据做哪些工作？18.某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，58女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74分别求男生、女生得分的四分位数．19.某班40个学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如表所示：组别平均数标准差第一组904第二组806求该班学生这次考试成绩的平均数和标准差．20.一个频数分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)内的频率为0.6，试计算样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数之和．21.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40人．为了检测该大队的射击水平，从整个大队用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8环，8.5环，8.1环，试估计该武警大队队员的平均射击水平．22.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：第一档第二档第三档每户每月用电量(单位:度)[0,200](200,400](400,+∞)电价(单位:元/度)0.610.660.91例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费410×0.65=266.5元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元200×0.61+(400−200)×0.66+(410−400)×0.91=263.1元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：88，268，370，140，440，420，520，320，230，380．(1) 完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；(2) 根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3) 设某用户11月用电量为x度（x∈N），按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意可知，2018年的就医花费为80000×10%=8000（元），×35=则2019年的就医花费为8000+4750=12750（元），2019年的旅行费用为1275015 29750（元）．【知识点】频率分布直方图2. 【答案】D【解析】由随机数法的抽样过程及题意知，选出的5个个体的编号为：16，11，14，10，20，故第5个个体的编号是20．【知识点】简单随机抽样3. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征4. 【答案】B≈169石，故选：B．【解析】由题意，这批米内夹谷约为1534×28254【知识点】简单随机抽样5. 【答案】A【解析】由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y=5，则乙组数据的平均数为：66，故x=3．【知识点】茎叶图、样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值．该地农户家庭年收入低于4.5万元农户的比率估计值为0.02+0.04=0.06=6%，故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04+0.02×3=0.10=10%，故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%>50%，故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02+4×0.04+5×0.10+6×0.14+7×0.20+8×0.20+9×0.10+10×0.10+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02=7.68（万元），超过6.5万元，故C错误．综上，给出结论中不正确的是C ．故选：C ．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】B【解析】因为 x 甲=26+28+29+31+315=29，x 乙=28+29+30+31+325=30，所以 x 甲<x 乙．又 s 甲2=9+1+0+4+45=185，s 乙2=4+1+0+1+45=2，所以 s 甲>s 乙，故由样本估计总体可知结论①④正确．【知识点】样本数据的数字特征8. 【答案】D【解析】由图知 m 0=5．由中位数的定义知应该是第 15 个数与第 16 个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第 15 个数是 5，第 16 个数是 6，所以 m e =5+62=5.5，x =3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×230≈5.97>5.5,所以 m 0<m e <x ．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图9. 【答案】A【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即 45+472=46，众数是 45，极差为 68−12=56．所以选A ．【知识点】茎叶图、样本数据的数字特征10. 【答案】C【解析】甲地肯定进入，因为众数为 22，所以 22 至少出现两次，若有一天低于 22∘C ，则中位数不可能为 24；丙地肯定进入，令 x 为其中某天的日平均温度，则 10.8×5−(32−26)2=18>(x −26)2，若 x ≤21，上式显然不成立；乙地不一定进入，如 13，23，27，28，29．【知识点】样本数据的数字特征二、填空题（共6题）11. 【答案】众数；平均数；中位数【解析】甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数x=4+6×3+8+9+12+138=8；丙：该组数据的中位数是7+92=8．【知识点】样本数据的数字特征12. 【答案】80【知识点】分层抽样13. 【答案】68【解析】由表知x=30，设模糊不清的数据为m，则y=15×(62+y+75+81+89)=307+m5，因为y=0.67x+54.9，即307+m5=0.67×30+54.9，解得m=68．【知识点】样本数据的数字特征14. 【答案】9【解析】设样本容量为n，则(0.1+0.12)n=11，解得n=50，故气温不低于25.5∘C的城市个数为50×0.18=9．【知识点】频率分布直方图15. 【答案】0.030；3【解析】因为0.005×10+0.035×10+a×10+0.020×10+0.010×10=1，所以a=0.030．设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的三组学生分别有x，y，z人．则x100=0.030×10，解得x=30．同理，y=20，z=10．故从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为1030+20+10×18=3．【知识点】分层抽样、频率分布直方图16. 【答案】5；7【解析】样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，因为10×50%=5，所以该组数据的第50百分位数是4+62=5．因为10×75%=7.5，第75百分位数是7．【知识点】样本数据的数字特征三、解答题（共6题）17. 【答案】分组，频数累计，计算频数和频率．【知识点】频率分布直方图18. 【答案】对男生得分由小到大排序为35，38，44，46，46，54，55，56，57，58，58，58，63，66，70，73，75，85，90，94，共20个数据，所以20×25%=5，20×50%=10，20×75%=15，则25%分位数为46+542=50，50%分位数为58+582=58，75%分位数为70+732=71.5．对女生得分由小到大排序为51，52，55，58，63，63，65，69，69，70，74，76，77，77，83，83，89，100，共18个数据．所以18×25%=4.5，18×50%=9，18×75%=13.5，则25%分位数为63，50%分位数为69+702=69.5，75%分位数为77．【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】根据题意，全班平均成绩为x=90×2040+80×2040=85，第一组的平均数为x1=90，方差为s12=16．第二组的平均数为x2=80，方差为s22=36．则该班学生的方差为s2=2040[s12+(x1−x)2]+2040[s22+(x2−x)2]=12[16+(90−85)2]+12[36+(80−85)2]=51.所以s=√51．综上可得，该班学生这次考试成绩的平均数和标准差分别为85和√51．11 【知识点】样本数据的数字特征20. 【答案】根据题意，设分布在 [40,50)，[50,60) 内的数据个数分别为 x ，y ．因为样本中数据在 [20,60) 内的频率为 0.6，样本容量为 50，所以4+5+x+y 50=0.6，解得 x +y =21．即样本在 [40,50)，[50,60) 内的数据个数之和为 21．【知识点】频率与频数21. 【答案】该武警大队共有 30+30+40=100（人），按比例分配所以第一中队参加考核人数为30100×30=9（人），第二中队参加考核人数为 30100×30=9（人），第三中队参加考核人数为 40100×30=12（人）．所参加考核的 30 人的平均射击环数为 930×8.8+930×8.5+1230×8.1=8.43（环）．所以估计该武警大队的平均射击水平为 8.43 环．【知识点】分层抽样22. 【答案】(1) 频率分布表如下：频率分布直方图如下：(2) 该 100 户用户 11 月的平均用电量 x =50×0.04+150×0.12+250×0.24+350×0.3+450×0.26+550×0.04=324 度，所以估计全市住户 11 月的平均用电量为 324 度．(3) y 1=0.65x ，y 2={0.61x,0≤x ≤2000.66(x −200)+122=0.66x −10,200<x ≤4000.91(x −400)+254=0.91x −110,x >400．由 y 2≤y 1 得 {0.61x ≤0.65x,0≤x ≤200或 {200<x ≤400,0.66x −10≤0.65x 或 {0.91x −110≤0.65x,x >400, 解得 x ≤1100.26≈423.1，因 x ∈N ，故 x 的最大值为 423，根据频率分布直方图，x ≤423 时的频率为 0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.26=0.7598>0.75，故估计“阶梯电价”能给不低于 75% 的用户带来实惠．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征、函数模型的综合应用。

人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (45)

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于 4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是( )A．0.62B．0.38C．0.7D．0.682.设集合A={1,2}，B={1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a,b)，记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件C(2≤n≤5,n∈N)，若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为( )A．3B．4C．2和5D．3和43.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色相同的概率为( )A．25B．35C．1225D．13254.从一批苹果中随机抽取50个，其质量（单位：克）的频数分布表如下：分组[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数5102015用分层随机抽样的方法从质量在[80,85)和[95,100]内的苹果中共抽取4个，再从抽取的4个苹果中任取2个，则有1个苹果的质量在[80,85)内的概率为( )A．14B．13C．12D．165.某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”，“e”，“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为( )A．16B．14C．13D．126.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为( )A．514B．314C．328D．5287.从1，2，⋯，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )A．59B．49C．1121D．11218.下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定9.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上，中，下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )A．13B．14C．15D．1610.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为 ( ) A ．1415B ．115C ． 29D ． 79二、填空题（共6题）11. 甲射击一次，中靶的概率是 P 1，乙射击一次，中靶的概率是 P 2，已知1P 1，1P 2是方程 x 2−5x +6=0 的根，且 P 1 满足方程 x 2−x +14=0．则甲射击一次，不中靶的概率为；乙射击一次，不中靶的概率为．12. 若事件 A ，B 满足 P (A )=12，P (B )=45，P (AB )=25，则 P(AB)−P(AB)= ．13. 从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为．14. 甲小组有 2 个男生和 4 个女生，乙小组有 5 个男生和 3 个女生，现随机从甲小组中抽出 1 人放入乙小组，然后从乙小组中随机抽出 1 人，则从乙小组中抽出女生的概率是．15. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别 13，12，p ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为 718，则 p 的值为．16. 已知随机事件 A 和 B 相互独立，若 P (AB )=0.36，P(A)=0.6（A 表示事件 A 的对立事件），则 P (B )= ．三、解答题（共6题）17. 为了促进学生的全面发展，某市某中学开始加强学生社团文化建设，现用分层随机抽样的方法从“话剧社”“创客社”“演讲社”三个金牌社团中抽取 6 人组成社团管理小组，有关数据如表：社团名称成员人数抽取人数话剧社50a 创客社150b 演讲社100c(1) 求 a ，b ，c 的值；(2) 若从“话剧社”“创客社”“演讲社”已抽取的 6 人中再任意抽取 2 人担任管理小组组长，求这 2人来自不同社团的概率．18.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取80人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(1) 估计男生成绩的平均分；(2) 若所得分数大于等于90分认定为优秀，在优秀的男生、女生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率，19.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：摸球次数105080100150200250300出现红球的频数220273650出现红球的频率30%26%24%(1) 请将表中数据补充完整；(2) 如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？(3) 试估计红球出现的概率．20.盒子中放有10个分别标有号码1，2，⋯⋯，10的小球，从中随机抽取3个球，试分别对“无放回抽取”和“有放回抽取”的方式求3个球的号码都不大于7的概率．21.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分，然后作了统计，结果如图：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1) 完成上面的表格；(2) 求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；(3) 分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．22.一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．(1) 从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率．(2) 从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】记“质量小于 4.8 g ”为事件 A ，“质量不小于 4.85 g ”为事件 B ，“质量不小于 4.8 g ，小于 4.85 g ”为事件 C ，易知三个事件彼此互斥，且三个事件的并事件为必然事件，所以 P (C )=1−0.3−0.32=0.38．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】D【解析】分别从 A 和B 中各取 1 个数，则有 6 种可能的取法，点 P (a,b ) 恰好落在直线 x +y =2 上的取法只有 1 种：(1,1)；恰好落在直线 x +y =3 上的取法共有 2 种：(1,2)，(2,1)；恰好落在直线 x +y =4 上的取法共有 2 种：(1,3)，(2,2)；恰好落在直线 x +y =5 上的取法只有 1 种：(2,3)，故事件 C n 的概率分别为 16，13，13，16(n =2,3,4,5)，故当 n =3,4 时概率最大．【知识点】古典概型3. 【答案】D【解析】从口袋中摸取一个白球的概率为 25，摸取一个黑球的概率为 35，则两次都是白球的概率是 25×25=425，两次都是黑球的概率是 35×35=925．则两次摸球颜色恰好相同的概率是 425+925=1325．【知识点】古典概型4. 【答案】C【解析】设从质量在 [80,85) 内的苹果中抽取 x 个，则从质量在 [95,100] 内的苹果中抽取 (4−x ) 个，因为频数分布表中 [80,85)，[95,100] 两组的频数分别为 5，15，所以 5:15=x:(4−x )，解得 x =1，即抽取的 4 个苹果中质量在 [80,85) 内的有 1 个，记为 a ，质量在 [95,100] 内的有 3 个，记为 b 1，b 2，b 3 任取 2 个有 ab 1，ab 2，ab 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3 共 6 个样本点，其中有 1 个苹果的质量在 [80,85) 内的样本点有 ab 1，ab 2，ab 3，共 3 个，所以所求概率为36=12．【知识点】古典概型5. 【答案】B【知识点】古典概型6. 【答案】B【解析】由题意可知，八卦中含1根与2根阴线的卦各有3种，含0根与3根阴线的卦各有1种，故从8种卦中取2卦的取法总数为C82种．因为2卦中恰含4根阴线的取法为C32+C31⋅1=6种，所以所求概率P=6C82=314．故选B．【知识点】古典概型7. 【答案】C【知识点】古典概型8. 【答案】C【解析】必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0,1]之间，故A错误，B、D混淆了频率与概率的概念，错误．【知识点】频率与概率9. 【答案】D【解析】设齐王的下等马，中等马，上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马，中等马，上等马分别记为b1，b2，b3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a1,b1)，(a2,b2)，(a3,b3)，齐王获胜；(a1,b1)，(a2,b3)，(a3,b2)，齐王获胜；(a2,b1)，(a1,b2)，(a3,b3)，齐王获胜；(a2,b1)，(a1,b3)，(a3,b2)，齐王获胜；(a3,b1)，(a1,b2)，(a2,b3)，田忌获胜；(a3,b1)，(a1,b3)，(a2,b2)，齐王获胜，共6种等可能结果，其中田忌获胜的只有一种(a3,b1)，(a1,b2)，(a2,b3)，则田忌获胜的概率为16，故选D．【知识点】古典概型10. 【答案】A【解析】从10部专著中选择2部的所有可能情况有C102=45（种）．设“所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，则A包含的基本事件个数为C71C31+C72=42．由古典概型概率公式可得P(A)=4245=1415．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】12；23【解析】由P1满足方程x2−x+14=0知，P12−P1+14=0，解得P1=12，因为1P1，1P2是方程x2−5x+6=0的根，所以1P1⋅1P2=6，所以P2=13，因此甲射击一次，不中靶的概率为1−12=12，乙射击一次，不中靶的概率为1−13=23．【知识点】事件的关系与运算12. 【答案】310【知识点】事件的关系与运算13. 【答案】13【解析】设2名男生记为A1，A2，2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，4种情况，则发生的概率为P=412=13．【知识点】古典概型14. 【答案】1127【解析】根据题意，记事件A1为从甲小组中抽出的1人为男生，事件A2为从甲小组中抽出的1人为女生，事件B为从乙小组中抽出的1人为女生，则 P (A 1)=13，P (A 2)=23，所以P (B )=P (A 1)P (B ∣A 1)+P (A 2)P (B ∣A 2)=13×39+23×49=1127.【知识点】事件的关系与运算15. 【答案】 23【解析】在甲、乙、丙处投中分别记为事件 A ，B ，C ，恰好投中两次为事件 ABC ，BC ，ABC 发生，故恰好投中两次的概率：p =13×12×(1−p )+13(1−12)×p +(1−13)×12×p =718，解得 p =23．【知识点】事件的相互独立性16. 【答案】 0.9【解析】 P(A)=0.6⇒P (A )=0.4，P (AB )=P (A )⋅P (B )=0.36⇒P (B )=0.9．【知识点】独立事件积的概率、事件的关系与运算三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由分层随机抽样得 a =650+150+100×50=1，b =650+150+100×150=3，c =650+150+100×100=2，所以 a ，b ，c 的值分别是 1，3，2．(2) 设从“话剧社”“创客社”“演讲社”抽取的 6 人分别为 A ，B 1，B 2，B 3，C 1，C 2，则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果有 (A,B 1)，(A,B 2)，(A,B 3)，(A,C 1)，(A,C 2)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 1,C 1)，(B 1,C 2)，(B 2,B 3)，(B 2,C 1)，(B 2,C 2)，(B 3,C 1)，(B 3,C 2)，(C 1,C 2)，共 15 个样本点．记事件 D 为“抽取的 2 人来自不同社团”则事件 D 包含的样本点有 (A,B 1)，(A,B 2)，(A,B 3)，(A,C 1)，(A,C 2)，(B 1,C 1)，(B 1,C 2)，(B 2,C 1)，(B 2,C 2)，(B 3,C 1)，(B 3,C 2)，共 11 个，所以这 2 人来自不同社团的概率为 1115 .【知识点】分层抽样、古典概型18. 【答案】(1) 男生平均成绩为：65×0.3+75×0.4+85×0.2+95×0.1=76． (2) 男生优秀人数：80×0.1=8，女生优秀人数：80×0.15=12，故男生抽取 2 人，女生抽取 3 人，至少一名男生的反面是抽出 2 人全部是女生，包含（女1女2，女1女3，女2女3）三种情况，总共有 10 种情况，所以 P =1−310=710．【知识点】频率分布直方图、古典概型、样本数据的数字特征19. 【答案】(1) 频数分别是 15，65，72；频率分别是 20%，25%，27%，24%，25%．(2) 可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化．(3) 频率集中在 25% 附近，所以可估计概率为 0.25．【知识点】频率与概率20. 【答案】724，3431000．【知识点】古典概型21. 【答案】(1) 因为1630=0.53，2750=0.54，52100=0.52，104200=0.52，256500=0.51，402800=0.50．所以第一张表格从左至右分别填写 0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；因为 1730=0.567，2950=0.580，56100=0.560，111200=0.555，276500=0.552，440800=0.550．第二张表格从左至右分别填写 0.567，0.580，0.560，0.555，0.552，0.550． (2) 概率分别为 0.5 与 0.55．(3) 经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外，经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别．【知识点】样本数据的数字特征、频率与频数、古典概型22. 【答案】(1) 一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数n=C42=6，取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有：(1,2)，(1,4)，共2个，所以取出的标签上的数字之和不大于5的概率p=26=13．(2) 从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件n=4×4=16，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(4,8)，共6个，所以第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率p=616=38．【知识点】古典概型11。

高一数学(必修二)第五章复数单元测试卷及答案

高一数学（必修二）第五章复数单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 3i z z -=+，则复数z 的实部为( )A.1B.3C.-1D.-32.在复平面内，复数11i 5z =，24i 25z =-，12z z z =+，则复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知复数z 满足4i 63i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当12m <<时，复数()()2i 4i m +-+在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知复数z 满足()()()293i z a a a =-++∈R ，若z 为纯虚数，则a =( )A.-3B.3±C.3D.06.若,a b ∈R ，i 是虚数单位，i 20212i a b +=-，则2i a b +等于( )A.20212i +B.20214i +C.22021i +D.42021i -7.已知纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( )A.1B.3C.1或3D.08.已知复数z 满足，则z =( )A.3i --B.3i -+C.D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

）9.若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则( ) A.||5z =B.复数z 的实部是2C.复数z 的虚部是1D.复数在复平面内对应的点位于第一象限10.设m ∈R ，复数，则z 在复平面内对应的点可能在( ) ()()21i 4i 3z m m =+-++(3i)10z -=3i -3i +z 2352(1)i z m m m =-++-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.对于复数(,)z a bi a b R =+∈,下列结论错误的是( )A.若,则a bi +为纯虚数B.若32a bi i -=+,则 3,2a b ==C.若0b =,则a bi +为实数D.纯虚数z 的共轭复数是z - 12.复数z 满足23i 3i 232iz -⋅-=+,则下列说法正确的是( ) A.z 的实部为3 B.z 的虚部为2 C.32i z =-+ D.13z =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=______.14.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________.15.复数1i -的虚部的平方是_________________. 16.已知3i 1ia ++(i 为虚数单位，∈R )为纯虚数，则a =____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知复数(3)(3)i z m m m =-+-，其中i 为虚数单位.若z 满足下列条件，求实数m 的值：（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上.18. （12分）已知复数13i 22z =-+，i 为虚数单位. （1）求3z 的值；（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值. 19. （12分）已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；20. （12分）复数名12334i,0,(26)i z z z c c =+==+-在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若BAC∠是钝角，求实数c 的取值范围.21. （12分）已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-⋂=，求实数a 的值.22. （12分）设实部为正数的复数z ，满足||10z =，且复数(12i)z +在复平面内对应的点在第0a =一、三象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若i ()1im z m -+∈+R 为纯虚数，求实数m 的值.参考答案及解析1.答案：A解析：解法一设复数i z x y =+，x ，y ∈R ，因为i 3i z z -=+，所以i (i)i 3i x y x y +-+=+，即()i 3i x y y x ++-=+，根据复数相等的充要条件，可得3,1,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=⎩故复数z 的实部为1，选A.解法二因为i 3i z z -=+，所以3i (3i)(1i)12i 1i (1i)(1i)z +++===+--+，复数z 的实部为1，故选A. 2.答案：B 解析：因为1214i i 22i 55z z z =+=+-=-+，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限，故选：B.3.答案：D解析：依题意得，6i z =-，对应复平面的点是(6,1)-，在第四象限. 故选：D.4.答案：B解析：()()2i 4i (24)(1)i z m m m +--+-=+=，若12m <<，则240m -<，10m ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.解析：因为()()()293i z a a a =-++∈R 为纯虚数，所以290a -=且30a +≠，所以3a =. 故选：C.6.答案：D解析：因为i 20212i a b +=-，所以2a =，2021b -=，即2a =，2021b =-，所以2i 42021i a b +=-.故选：D.7.答案：B解析：因为()()21i 4i 3z m m =+-++为纯虚数，故()224i 3m m m z m -++-=，则224300m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得3m =. 故选：B.8.答案：D 解析：1010(3i)3i 3i (3i)(3i)z +===+--+. 故选：D.9.答案：ABD解析：(1i)3i z +=+，3i (3i)(1i)42i 2i 1i (1i)(1i)2z ++--∴====-++-，||5z ∴=A 正确；复数z 的实部是2，故选项B 正确；复数z 的虚部是-1，故选项C 错误；复数2i z =+在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选项D 正确.故选ABD.10.答案：ABD解析：由题意得，复数z 在复平面内对应的点为()2352,1m m m -+-. 当10m ->，即1m <时，二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--的取值有正有负，故z 在复平面内对应的点可以在第一、二象限.当10m -<，即1m >时，二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->，故z 在复平面内对应的点可以在第四象限.故z 在复平面内对应的点一定不在第三象限.故选ABD.解析：解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ；故选：AB.12.答案：BD 解析：由23i 3i 232iz -⋅-=+得,(23i)(32i)13i 13i (23i)i(23i)32i 23i 23i (23i)(23i)z ++⋅+====+=-+---+ 所以z 的实部为-3,虚部为2,,13z =,故选BD.13.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.14.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.15.答案：1解析：复数1i -的虚部为-1，则其平方为1. 故答案为：1.16.答案：-3 解析：()()()()()()3i 1i 33i 33i 3i 1i 1i 1i 222a a a a a a +⋅-++--++===+++⋅- 因为复数为纯虚数，所以302a +=，3a =-. 故答案为：-3.17.答案：（1）（2）0m =（3）1m =或3m = 32i z =--3m =解析：（1）z 为实数，30m ∴-=，解得：3m =；（2）z 为纯虚数，(3)0030m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上， ∴()331m m m m -=-⇒=或3m =.18、（1）答案：31z = 解析：复数13i 22z =-+(i 为虚数单位)， 222113313()2()i (i)i 222222z ∴=-+⨯-⨯+=--， 322131313i)(i)i 12222(44z z z ∴=---+==-=⋅，（2）答案：1解析：202022013673911()111z z z z z z z z++++--⋅==-- 111z z-==- 19.答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得1 2212m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠≠⎩或且， 12m ∴=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数； 20.答案：49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且解析：在复平面内三点坐标为(3,4),(0,0),(,26)A B C c c -，由BAC ∠为钝角得cos 0BAC ∠<，且A ，B ，C 不共线.(3,4),(3,210),0AB AC c c AB AC =--=--⋅<，且不共线，得c 的取值范围是49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且. 21.答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=∈R ，所以22313,560,a a a a ⎧--=⎨--=⎩即所以1a =-.22.答案：（1）（2）5m =-解析：（1）设，a ，b ∈R ，0a >，由题意知，2210a b +=.①(12i)(12i)(i)2(2)i z a b a b a b +=++=-++，得22a b a b -=+.②①②联立，解得3a =，1b =-，得3i z =-.（2），所以1302m -+=且，解得5m =-. 4 1,6 1,a a a a ==-⎧⎨==-⎩或或3i z =-i z a b =+i (i)(1i)113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭1102m +-≠。

人教版高一数学必修第二册同步单元测试卷第08章立体几何初步(B卷提高篇)原卷版

第八章立体几何初步B（提高卷）试卷副标题考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三四总分得分第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共8小题）1．（2019春•辽宁期中）直角三角形的三边满足a＜b＜c,分别以a,b,c三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为V a,V b,V c,则（）A．V c＜V b＜V a B．V a＜V b＜V c C．V c＜V a＜V b D．V b＜V a＜V c2．（2020•大连二模）已知三棱锥P﹣ABC,面P AB⊥面ABC,P A＝PB＝4,,∠ACB＝90°,则三棱锥P ﹣ABC外接球的表面积（）A．20πB．32πC．64πD．80π3．（2020•泰安模拟）我国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广．刍,草也．甍,屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示）,下底面是边长为2的正方形,上棱,EF ∥平面ABCD,EF与平面ABCD的距离为2,该刍甍的体积为（）A．6 B．C．D．124．（2020•全国Ⅰ卷模拟）已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点,以OP为旋转轴旋转一周得到几何体,CD 是底面圆O上的弦,△COD为等边三角形,则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（2020•合肥模拟）已知四棱锥S﹣ABCD中,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,∠BAD＝120°,△SAD是等边三角形,且SA＝AB＝2,若点P在四棱锥S﹣ABCD的外接球面上运动,记点P到平面ABCD的距离为d,若平面SAD⊥平面ABCD,则d的最大值为（）A． 1 B． 2 C． 1 D． 26．（2020•葫芦岛模拟）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,在A,B,C,D,C1,D1这六个顶点中,选择两个点与A1,B1构成正三棱锥P,在剩下的四个顶点中选择两个点与A1,B1构成正三棱锥Q,M表示P与Q的公共部分,则M的体积为（）A．B．C．D．17．（2020•广东二模）如图,在矩形ABCD中,已知AB＝2AD＝2a,E是AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE,连接A1C．若当三棱锥A1﹣CDE的体积取得最大值时,三棱锥A1﹣CDE外接球的体积为π,则a＝（）A．2 B．C．2D．48．（2020•新疆模拟）半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美．如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上,若该球的表面积为16π,则该二十四等边体的表面积为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．多选题（共4小题）9．（2020春•宝应县期中）如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,下列结论正确的是（）A．OM∥PD B．OM∥平面PCD C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA 10．（2020•山东模拟）已知α、β是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,下列说法中正确的是（）A．若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥βB．若α∥β,m⊥α,n⊥β,则m∥nC．若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nD．若α⊥β,m⊂α,α∩β＝n,m⊥n,则m⊥β11．（2020•市中区校级模拟）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中,AC⊥BC,且AA1＝AB＝2．下列说法正确的是（）A．四棱锥B﹣A1ACC1为“阳马”B．四面体A1C1CB为“鳖膈”C．四棱锥B﹣A1ACC1体积最大为D．过A点分别作AE⊥A1B于点E,AF⊥A1C于点F,则EF⊥A1B12．（2020•4月份模拟）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF a,以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到△BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE,BF所成的角为定值评卷人得分三．填空题（共4小题）13．（2020•昆山市模拟）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB＝4,AD＝4,AA1＝3,若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱,则此圆柱与原长方体的体积比为．14．（2020•珠海三模）在三棱锥P﹣ABC中,平面P AB⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,△P AB是以AB为斜边的直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为．15．（2020•中山区校级一模）如图是某机械零件的几何结构,该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的,且前后、左右、上下均对称,每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形,高为4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有个面,其体积为．16．（2020春•江西月考）在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面P AD⊥平面ABCD,且△P AD为等边三角形,若四棱锥P﹣ABCD的体积与四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积大小之比为,则正方形ABCD 的边长为．评卷人得分四．参考解答题（共5小题）17．（2020•新课标Ⅰ）如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC＝90°．（1）证明:平面P AB⊥平面P AC;（2）设DO,圆锥的侧面积为π,求三棱锥P﹣ABC的体积．18．（2020春•房山区期末）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,平面P AD⊥平面ABCD,P A＝PD ＝AD＝2,AB＝3．点M,N分别是AB,PC的中点．（Ⅰ）求证:MN∥平面P AD;（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积;（Ⅲ）在棱CD上是否存在一点T,使得直线BT⊥PC?请给出你的判断,并说明理由．19．（2020•宜昌模拟）已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC＝60°,对角线AC、BD交于点O,平面外一点P在平面ABCD内的射影为O,PB与平面ABCD所成角为30°．（1）求证:BD⊥P A;（2）点N在线段PB上,且,求的值．20．（2020春•东城区校级月考）如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊥BC,AA1＝AB＝BC＝2．（Ⅰ）求证:BC1⊥平面A1B1C;（Ⅱ）求异面直线B1C与A1B所成角的大小;（Ⅲ）点M在线段B1C上,且,点N在线段A1B上,若MN∥平面A1ACC1,求的值．21．（2020•重庆模拟）如图,四边形ABCD为平行四边形,点E在AB上,AE＝2EB＝2,且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点F的位置,且∠FEB＝60°．（Ⅰ）求证:平面BFC⊥平面BDC;（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为,求点C到平面DEF的距离．。

(人教版)高中数学必修二(全册)单元测试卷汇总

（人教版）高中数学必修二（全册）单元测试卷汇总、阶段通关训练（一）（60分钟 100分）一、选择题（每小题5分，共3。

分）1・已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是□ □便視囲A. 长方体 C.匹棱锥【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示» 入城商中目字必零二01 ：酚俭1王训停爺人椒版為中教学宕偌2!； &馈通关训号信，奴薮版快9E 必偌二好：阶段遑关训澤司：人馭艇苣中数猝偌二桂測：跻蜀■美训遂琼人板版毫中gtl 修二窗I ；樓埃蜃量怦估 S 人会版毎中數⑴ C 2） Word 版言眾忻 Word 版合解忻 W 。

招版含解忻（AS ） Word 板合樹ff （B 卷）WordB.圆性 D.四棱台正視图悟视图2.以钝角三角形旳较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（）A .两个圆锥拼桜而成的组合体B.一个圖台C.一个圆锥D . 一个圆锥挖去一个同底的小圆维【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.3.已知AAB攏边长为2a的正三角形，那么△ABCE勺平面直观图△ A'B‘ C'的面积为（）D.\Ga~【鮮析】选C.直观图面积S与原图面积S具有关系：S' Mfs.因为S 好芸12a）所以S …c 三•X\/3a'=^a .4- 4 4【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三信形的面积是【解析】根据宜观图和原图形的关系可知原图形的面积为X 2vl X 2二2卮答案：2^24. 某三梭锥的三视图如图所示，则该三検锥的体积是【解析】选B .由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三棱锥旳高为 2. RI V=x x 1 x 1 x 2=.^【补偿洲练】已知正三棱镣V-ABC 的正视图、侧视图和帽视图如图所示，则该正三枝锥侧视图的面积是A.B. C. D.1A.v39B.6\,r 3D.6俯视C.即3【解析】选D .如图，根据三视图间的关系可得BCM3,所以侧视图中VA 二\|铲一任X ? X 2妁七整，所以三橙锥侧视图面积S- 海=x 2V 3X 2\顶二6,故选 D.5.（2016 •蚌瑋高二检测）若一个回锥的侧面展开图是面积为 2工的半圆面,则该圆锥的体积为B.V3 X C .拓x【解析】选A.设园锥的母线长为I,底面半径为r,由题意|7苗2 = 211,vnl = 2TTT ,解得'所以圆锥的高为 h=\F —尸=寸3 , V= * r 2h= r x 12x r = L . 6.(2016 •雅安高二检测）设正方体的全面积为 24,邪么其内切球的体积是A .扼KB.兀32 D.—【解析】选B.正方体的全面积为24,所以，设正方体的棱长为a.6 宀 24, a 二2,正方体的内切球的直径就是正方体的校长，所以球的半径为1,内切球旳体积：V = 7t . ID RC乙第*已回刮寻詠回王曲＞=s '哥USS 甲'里蛔国皿【果到】&&価91实逐刘t ¥豈我到国丑屬T 風濕&一天喔宰邕€好日-6肝里N 二縛：毒虽•*+£，W=M*£Axl X >t=S rft凰峯4 Z^A^Ax^ x=A '風刘"坦 NN 八一醇E3HI 诳乙弟学段皿期一旧耳闻1/峯'皓也乎书屋絶三零净【爆蜴】醇車回1/溟【四'（国⑰）国隴三阳财回廿必日（脈玛二堆※困• 9L0S1-8LL :孝晶U=x 韧 N 刮’壽」三三）阜尚‘X 興覃毋号密祺［菓到】麹*辛矣廚留丄壬至藏乌去廖犯讪目丄竺羽诲同争宙【睾里區墙】^实些阳号屛醇斟濯施*09实邊回回淮即回通士互士 .乙屿％邊国基’9L 实雙団驚勢N（G&详‘&9鲤W 辱）谴乏帯 '二=M 媛苴'務nD所以AQ=\吃，A O=R^/6.所以S丼二4兀F<=24T.答案：24 x10•圖台的底面半径分别为1和2,母线长为3,则此圖台的体积为【解析】圆台的高h= 732 - （2 - I）2 =2 <1 ,所以体积71 2 aV=y(R+Rr4-r )h=^^i(. 答案：學三、解答题（共4小题，共50分）11.（12分）如區几何体上半部分是母线长为5,底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2,母线长为2的圆台，计算该几何体的表面枳和体枳【韻析】圖锥侧面积为S = X rl=15r ,圖台的侧面积为缶冗(r+r ' )1二10冗，圖台的底面宜积为订’』牝，所以表面积为:S=S+S+S s=15i +10兀+4H=29X;圆锥的体积V-xr2hi=12x ,圆台的体积V：= r h2（r ：+rr , +「’ 2）=^y^r ,所以体积为：V=V+U=12i------ X .312.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.(3)求出该几何体的体积.【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的側视图如图.其中AB=AC AD^BC,且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=v3a, AD是正六棱锥的高，即AD十3a,所以该平面图形的面积(3)没这个正六棱锥的底面积是S,体积为V,则S=6< —a=—a\4 2所以V=x三歯x JJa=a°.13.（13分）如图所示，在四边形ABC畔，Z DAB=90 , ZADCF35 ,AB二5 CD二不臣，AD二2求四边形ABC说AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.【鮮析】S 表面二S SOFB +S Bo ma +S 四部面=it x 5~+ i x (2+5) x 5+ r X 2X 2V2=(4 克+60) x .V=V H&-V B*=z (4-r if z+Fj )h- x h148=I (25+10+4) X 4- Jt X 4X 2. x .14.(13分)(2016 ,湖北实验中学高一检测 )如图，△ ABC中，ZACB=90 , Z ABC=30* , BC%3 在三角形内挖去一个半圆(圆心。

人教A版高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷含答案解析 (44)

高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法2.根据如图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速( )A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C．2008年我国实际利用外资同比增速最大D．2010年我国实际利用外资同比增速最大3.某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是( )A．45B．48C．50D．604.下列调查方式中，可用普查的是( )A．调查某品牌电视机的市场占有率B．调查某电视连续剧在全国的收视率C．调查某校七年级一班的男女同学的比例D．调查某型号炮弹的射程5.某县共有小学生4400名，初中生3600名，高中生2000名，为了解该县学生的视力情况，计划按学段采用分层抽样法，抽取一个容量为100的样本，则应在这三个学段抽取学生的人数分别为( )A．34，55，11B．56，34，10C．55，30，10D．44，36，206.从某中学抽取100名学生进行周课余锻炼时长（单位：min）的调查，发现他们的锻炼时长都在50∼350min之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则直方图中x的值为( )A．0.0040B．0.0044C．0.0048D．0.00527.为全面地了解学生对任课教师教学的满意程度，特在某班开展教学调查．采用简单随机抽样的办法，从该班抽取20名学生，根据他们对语文、数学教师教学的满意度评分（百分制），绘制茎叶图如图．设该班学生对语文、数学教师教学的满意度评分的中位数分别为a，b，则( )A．a<b B．a>b C．a=b D．无法确定8.已知一组数据1，2，3，4，5，那么这组数据的方差为( )A．√2B．2C．√3D．39.某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．分层抽样法D．不能确定10.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为( )A．s1>s2>s3B．s1>s3>s2C．s3>s1>s2D．s3>s2>s1二、填空题（共6题）11.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是．12.已知样本x1，x2，⋯，x2019的平均数和方差分别是1和4，若y i=ax i+b(i=1,2,⋯,2019)的平均数和方差也是1和4，则a b=．13.从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)则这堆苹果中质量频数1231031不小于120克的苹果数约占苹果总数的%．14. 一个单位共有职工 200 人，其中不超过 45 岁的有 120 人，超过 45 岁的有 80 人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工人．15. 常用的百分位数（1）四分位数： , , ．（2）其它常用的百分位数：第 1 百分位数，，第 95 百分位数，．16. 思考辨析，判断正误．在分层随机抽样时，每层可以不等可能抽样．( )三、解答题（共6题）17. 为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了 6 次测试，测得他们的最大速度（单位：m/s ）的数据如下：甲273830373531乙332938342836(1) 根据这两组数据你能获得哪些信息；(2) 估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．18. 试构造由 10 个正数组成的一组数据，使该组数据的平均数比中位数大 10．19. 某校从高二年级学生中随机抽取 60 名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，⋯，[90,100] 后得到如下频率分布直方图．(1) 根据频率分布直方图，分别求 a ，众数，中位数； (2) 估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均数；(3) 用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为 20 的样本，则在 [70,90) 分数段抽取的人数是多少？20. 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下（单位：岁）：甲群 13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群54，3，4，4，5，5，6，6，6，57．(1) 甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2) 乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？21.为了创建“和谐平安”校园，某校决定在开学前将学校的电灯电路使用情况进行检查，以便排除安全隐患，该校应该怎样进行调查？22.共享单车入驻某市一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5000份调查问卷，回收到有效问卷3125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26∼35岁使用者的使用频率、26∼35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表（一）使用者年龄段25岁以下26岁∼35岁36岁∼45岁45岁以上人数20401010表（二）使用频率0∼6次/月7∼14次/月15∼22次/月23∼31次/月人数510205表（三）满意度非常满意(9∼10)满意(8∼9)一般(7∼8)不满意(6∼7)人数1510105(1) 依据上述表格完成下列三个统计图：(2) 某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁∼35岁之间，每月使用共享单车在7∼14次的人数．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】总体（1000名学生）中的个体（男、女学生）有明显差异，应采用分层抽样法．【知识点】分层抽样2. 【答案】C【解析】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．【知识点】频率分布直方图3. 【答案】D【解析】低于60分的人数是18人，由频率分布直方图得低于60分的频率为：(0.005+0.010)×20＝5.3．所以参加体能测试的学生人数n=180.5=60．故选：D．【知识点】频率分布直方图4. 【答案】C【解析】选项A，调查市场占有率，要求时效性，而普查时间较长，不适合普查；选项B，调查对象较多，在人力、物力、财力上很难实现，且结果要保证时效性，不适合普查；选项C，调查对象较少，且容易实现，适合普查；选项D，调查过程具有破坏性，不适合普查．【知识点】简单随机抽样5. 【答案】D【解析】由题意得，应在这三个学段抽取学生的人数分别为440010000×100=44，360010000×100=36，200010000×100=20．【知识点】分层抽样6. 【答案】B【解析】依题意及频率分布直方图知，0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1，解得 x =0.0044．【知识点】频率分布直方图7. 【答案】A【解析】由茎叶图得 a =75+762=75.5，b =75+772=76，所以 a <b ．【知识点】样本数据的数字特征8. 【答案】B【解析】由题可得 x =1+2+3+4+55=3；所以这组数据的方差 s 2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=2．【知识点】样本数据的数字特征9. 【答案】C【解析】由于研究对象是三个年级学生的意见，故应按分层抽样法来抽取，故选C ．【知识点】分层抽样10. 【答案】B【解析】比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间．综上可知 s 1>s 3>s 2．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图二、填空题（共6题） 11. 【答案】6【知识点】分层抽样12. 【答案】 1【解析】因为 x 1，x 2，⋯，x 2019 的平均数为 1，所以 y i =ax i +b (i =1,2,⋯,2019) 的平均数为 a ×1+b =1．因为 x 1，x 2，⋯，x 2019 的方差为 4，所以 y i =ax i +b (i =1,2,⋯,2019) 的方差为 4a 2=4，所以 {a 2=1,a +b =1,解得 {a =1,b =0 或 {a =−1,b =2.所以 a b =1．【知识点】样本数据的数字特征13. 【答案】70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于 120 克的苹果数为 20−1−2−3=14，故约占苹果总数的 1420=0.70，即 70%．【知识点】频率分布直方图14. 【答案】 10【解析】因为超过 45 岁的职工为 80 人，占比例为 80200=25，所以抽取的 25 人中超过 45 岁的职工为 25×25=10 人．【知识点】分层抽样15. 【答案】第 25 百分位数；第 50 百分位数；第 75 百分位数；第 5 百分位数；第 99 百分位数【知识点】样本数据的数字特征16. 【答案】 ×【知识点】分层抽样三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 可以看出，甲、乙两人的最大速度都是均匀分布的，只是甲的最大速度的中位数是 33，乙的最大速度的中位数是 33.5，因此从中位数看乙的情况比甲好． (2) x 甲=16(27+38+30+37+35+31)=33，x 乙=16(33+29+38+34+28+36)=33，所以他们的最大速度的平均数相同，再看方差 s 甲2=16[(−6)2+⋯+(−2)2]=473，s 乙2=16(02+⋯+32)=383，则 s 甲2>s 乙2，故乙的最大速度比甲稳定，所以派乙参加比赛更合适．【知识点】样本数据的数字特征18. 【答案】不妨设平均数为 0，则中位数为 −10，为方便可取从小到大排列的 10 个数据的第 5个数和第 6 个数都是 −10．于是可构造 10 个数据如下（它们的和为 0）：−14，−13，−12，−11，−10，−10，11，12，13，34．现将上面的每个数都加15，就得满足条件的10个正数：1，2，3，4，5，5，26，27，28，49．（结果不唯一）【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】(1) 由题意可得，(0.01+0.015×2+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03．根据频率分布直方图可知[70,80)分数段的频率最高，因此众数为75．又由频率分布直方图可知[40,70)分数段的频率为0.1+0.15+0.15=0.4，因为[70,80)分数段的频率为0.3，所以，中位数为70+13×10=2203．(2) 估计该校高二年级学生政治成绩的平均数为(45×0.01+55×0.015+65×0.015+ 75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=71．(3) 因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为2060=13，又在[70,90)分数段共有60×(0.3+0.25)=33（人），因此，在[70,90)分数段抽取的人数是33×13=11．【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图、分层抽样20. 【答案】(1) 甲群市民年龄的平均数为13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710=15（岁），中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．(2) 乙群市民年龄的平均数为54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710=15（岁），中位数为5.5岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．【知识点】样本数据的数字特征21. 【答案】由于一个学校的电灯电路数目不算大，且对创建“和谐平安”校园来说，必须排除任一潜在或已存在的安全隐患，故必须用普查的方式．【知识点】数据的收集22. 【答案】(1)(2) 由表（一）可知：年龄在26岁∼35岁之间的有40人，占总抽取人数的一半，用样本估计总体的思想可知，某城区30万人口中年龄在26岁∼35岁之间的约有30×12=15（万人）；又年龄在26岁∼35岁之间每月使用共享单车在7∼14次之间的有10人，占总抽取人数的14，用样本估计总体的思想可知，城区年龄在26岁∼35岁之间每月使用共享单车在7∼14次之间的约有15×14=154（万人），所以年龄在26岁∼35岁之间，每月使用共享单车在7∼14次之间的人数约为154万人．【知识点】简单随机抽样、频率分布直方图。

高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(答案)

高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】－614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】－315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】－516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。

高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）

高一数学必修2立体几何初步单元测试题（修改）高一数学必修2立体几何初步单元测试题班级：姓名：学号：一、选择题：1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（）A 、AB α? B 、AB α?C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定（）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是（）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1BC成60角 5、若直线l ∥平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是（）A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行。

其中正确的个数有（）A 、1B 、2C 、3D 、47、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b íM ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为（）A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V二、填空题：9、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体(填”大于、小于或等于”).10、正方体1111ABCD A BC D -中，平面11AB D 和平面1BCD 的位置关系为QC'B'A'CBAB1C 1A 1D 1BAC D11、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是 .12、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)三、解答题：13、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.14、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .15、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．H G FE D B A CSDBA16、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点.,求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)面1BDC //面11AB D ．17、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且ADAFAC AE = 求证：平面BEF ⊥平面ABC .D 1ODB AC 1B 1A 1CFEDBAC高一数学必修2立体几何测试题参考答案一、选择题 ACDDD BBB 二、填空题11、小于 12、平行 13、菱形 14、对角线A 1C 1与B 1D 1互相垂直三、解答题15、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=?=上圆台的上底面面积为2525S ππ=?=下，所以圆台的底面面积为29S S S π=+=下上又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧于是725l ππ= 即297l =为所求. 16、证明：,EH FG EH ? 面BCD ，FG ?面BCD∴EH ∥面BCD又EH ? 面BCD ，面BCD 面ABD BD =，∴EH ∥BD17、证明：90ACB ∠=BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥=AD ∴⊥面SBC19、证明：（1）连结11AC ，设11111ACB D O = 连结1AO ， 1111ABCD A BCD -是正方体11A ACC ∴是平行四边形∴A 1C 1∥AC 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11OC AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴? 面11ABD ，1C O ?面11AB D∴C 1O ∥面11AB D（2）1CC ⊥ 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥又1111AC B D ⊥ ，1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即同理可证11AC AB ⊥，又1111D B AB B =∴1AC ⊥面11AB D 20、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又ADAFAC AE = ∴EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,∴平面BEF ⊥平面ABC.。

人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (14)

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若∣a−b∣≤1，就称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A．19B．29C．718D．492.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯⋯，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n−1+a n−2(n≥3,n∈N∗)，其中a1=1，a2=1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为( )A．13B．33100C．12D．671003.袋中装有外形相同的四个小球，四个球上分别标有2，3，4，6四个数，现从袋中随机取出两个球，则两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为( )A．13B．12C．23D．564.天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )A．0.2B．0.3C．0.38D．0.565.袋中共有7个球，其中3个红球，2个白球，2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是( )A．435B．3135C．1835D．22356.将1，2，⋯，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数（从小到大）都成等差数列的概率为( )A．156B．170C．1336D．14207.在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用．中医理论讲究食物相生相克，合理搭配饮食可以增强体质，提高免疫力，但不恰当的搭配也可能引起身体的不适．食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知猪肉与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克．现从猪肉、螃蟹、茄子、菊花、百合这五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为( )A．13B．23C．310D．7108.四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )A．14B．13C．12D．259.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为( )A．23B．35C．25D．31010.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为P1，点数之和大于5的概率记为P2，点数之和为偶数的概率记为P3，则( )A．P1<P2<P3B．P2<P1<P3C．P1<P3<P2D．P3<P1<P2二、填空题（共6题）11.已知P(X≤1)=0.25，则P(X>1)=．12.在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，则这三个点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．13.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率是0.35，则摸出白球的概率是．14.概率的几个性质．（1）范围．任何事件的概率P(A)∈．（2）必然事件的概率．必然事件的概率P(A)=．（3）不可能事件的概率．不可能事件的概率P(A)=．（4）概率加法公式．如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=．（5）对立事件的概率．若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，即有P(A∪B)=．15.一般地，随机试验中的都可以用这个试验的样本空间的来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为，简称，并把只包含的事件称为．当且仅当A中某个样本点出现时，称为．16.对概率的正确理解随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的．概率只是度量事件发生的可能性的，不能确定是否发生．三、解答题（共6题）17.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y，制成下图，其中“∗”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若0<x<0.6，则认定该户为“绝对贫困户”；若0.6≤x≤0.8，则认定该户为“相对贫困户”；若0.8<x≤1，则认定该户为“低收入户”；若y≥100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．(1) 从乙村的50户中随机选出一户，求该户为“绝对贫困户”的概率；(2) 从甲村所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中任选2户，求选出的2户均为“低收入户”的概率；(3) 试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）．18.袋中有大小和材质完全相同，只是颜色不同的小球7个，其中：白球4个，红球3个．从袋中任意取出3个球，求：(1) 3个都是红球的概率．(2) 3个都是白球的概率．(3) 2个白球和1个红球的概率．(4) 1个白球2个红球的概率．19.某初级中学七、八、九三个年级共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：七年级八年级九年级已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到八年级女生女生(人数)373x y男生(人数)377370z的概率是0.19．(1) 求x的值；(2) 现用分层抽样的方法在三个年级中抽取48名学生，应从九年级抽取多少名？20.先后掷两枚大小相同的骰子．(1) 求点数之和出现7点的概率；(2) 求出现两个4点的概率；(3) 求点数之和能被3整除的概率．21.在一个不透明的袋中有大小相同的4个小球，其中有2个白球，1个红球，1个蓝球，每次从袋中摸出一球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表格中部分数据：摸球次数105080100150200250300出现红球的频数220273650出现红球的频率30%26%24%(1) 请将表中数据补充完整；(2) 如果按照此方法再摸球300次，所得频率与表格中摸球300次对应的频率一定一样吗？为什么？(3) 试估计红球出现的概率．22.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个患者都没有治愈，第10个患者就一定能治愈吗？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是∣a−b∣≤1，由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得，样本点总数为36，因此他们“心有灵犀”的概率P=1636=49．【知识点】古典概型2. 【答案】B【知识点】古典概型、数列的递推公式3. 【答案】C【解析】袋中装有外形相同的四个小球，四个球上分别标有2，3，4，6四个数，现从袋中随机取出两个球，基本事件总数n=C42=6，两球上数字之差的绝对值不小于2包含的基本事件有：(2,4)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，共4个，所以两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为p=46=23．【知识点】古典概型4. 【答案】C【解析】设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB+AB，所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.【知识点】事件的相互独立性5. 【答案】D【知识点】古典概型6. 【答案】A【解析】由枚举知，每组三个数都成等差数列共有5种可能，故所求概率P=5C93C633!=156．【知识点】古典概型7. 【答案】C【解析】因为从猪肉、螃蟹、茄子、菊花、百合这五种食物中任意选取两种有C52=10种，相克的有3种，则相克的概率为P=310．【知识点】古典概型8. 【答案】A【解析】从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14．【知识点】古典概型9. 【答案】B【解析】设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c}，{a,b,A}，{a,b,B}，{a,c,A}，{a,c,B}，{a,A,B}，{b,C,A}，{b,c,B}，{b,A,B}，{c,A,B}，共10种，其中恰有2只做过测试的取法有：{a,b,A}，{a,b,B}，{a,c,A}，{a,c,B}，{b,c,A}，{b,c,B}，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为35．【知识点】古典概型10. 【答案】C【解析】由题意可知，P1=1036=518，P2=1−P1=1318，P3=1836=12．【知识点】古典概型二、填空题（共6题）11. 【答案】0.75【解析】P(X>1)=1−P(X≤1)=1−0.25=0.75．【知识点】事件的关系与运算12. 【答案】45【解析】从五个点中任取三个点，该试验的样本点的总数为10，而A，C，E三点共线，B，C，D三点共线，所以从这五个点中任取三个点能构成三角形的个数为10−2=8．故由古典概型的概率公式得所求概率为810=45．【知识点】古典概型13. 【答案】0.25【知识点】事件的关系与运算14. 【答案】[0,1]；1；0；P(A)+P(B)；P(A)+P(B)=1【知识点】频率与概率15. 【答案】每个随机事件；子集；随机事件；事件；一个样本点；基本事件；事件A发生【知识点】事件与基本事件空间16. 【答案】规律性；可能性；大小【知识点】频率与概率三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由图知，在乙村50户中，指标x<0.6的有15户，所以，从乙村50户中随机选出一户，该户为“绝对贫困户”的概率为P=1550=310．(2) 甲村“今年不能脱贫的非绝对贫困户”共有6户，其中“相对贫困户”有3户，分别记为A1，A2，A3．“低收入户”有3户，分别记为B1，B2，B3．所有可能的结果组成的基本事件有：{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,B1}，{A1,B2}，{A1,B3}，{A2,A3}，{A2,B1}，{A2,B2}，{A2,B3}，{A3,B1}，{A3,B2}，{A3,B3}，{B1,B2}，{B1,B3}，{B2,B3}，共15个，其中两户均为“低收入户”的共有3个．所以，所选2户均为“低收入户”的概率P=315=15．(3) 由图可知，这100户中，甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差．【知识点】样本数据的数字特征、古典概型18. 【答案】(1) P(A)=C33C73=135．(2) P(B)=C43C73=435．(3) P(C)=C42⋅C31C73=6×335=1835．(4) P(D)=C41⋅C32C73=4×335=1235．【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 因为x2000=0.19，所以x=380．(2) 九年级学生人数为y+z=2000−(373+377+380+370)=500(名)，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则应从九年级抽取5002000×48=12(名)．【知识点】分层抽样、频率与概率20. 【答案】(1) 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)=636=16．(2) 记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)=136．(3) 记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)=1236=13．【知识点】古典概型21. 【答案】(1) 频数分别是15，65，72；频率分别是20%，25%，27%，24%，25%．(2) 可能不一样，因为频率会随每次试验的变化而变化．(3) 频率集中在25%附近，所以可估计概率为0.25．【知识点】频率与概率22. 【答案】如果把治疗一个患者作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的患者能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个患者是这样，第10个患者仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%．【知识点】频率与概率。

人教A版高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷含答案解析 (9)

7.【答案】A
【解析】总体中带有标记的比例是，则抽取的个个体中带有标记的个数估计为．
【知识点】简单随机抽样
8.【答案】A
【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【解析】解：由图1得样本容量为 % % ，
抽取的高中生人数为 % 人，
则近视人数为人，
故选：．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．
16.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为、．
三、解答题（共6题）
17.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
【知识点】样本数据的数字特征
2.【答案】C
【解析】四支足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），共比赛场．
每场比赛胜者得分，负者得分，平局双方各得分．
即每场比赛若不平局，则共产生分，每场比赛都平局，则共产生分．
比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，
则各队得分分别为：，，，；或，，，．
如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，应该选择参加比赛的同学为
A．甲B．乙C．丙D．丁
7.某总体容量为，其中带有标记的有个，现用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则抽取的个个体中带有标记的个数估计为

人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (16)

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷7（共22题）一、选择题（共10题）1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对2.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为A．(1−p)n B．1−p n C．p n D．1−(1−p)n3.抛掷一枚骰子，记“朝上的面的点数是1或2”为事件A，“朝上的面的点数是2或3”为事件B，则( )A．A⊆BB．A=BC．事件A+B表示朝上的面的点数是1或2或3D．事件AB表示朝上的面的点数是1或2或34.孪生素数猜想（素数是只有1和自身因数的正整数）是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为孪生素数．在不超过20的素数中随机选取两个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是( )A．445B．115C．328D．175.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为( )A．①B．②C．③D．④6.在如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，当开关合上时，电路畅通的概率是( )A．2936B．551720C．2972D．291447.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A．23B．35C．25D．158.口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是( )A．16B．13C．12D．239.2020年11月5日−11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区．现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是( )A．110B．310C．25D．3510.掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是( )A．11000B．1999C．12D．9991000二、填空题（共6题）11.对同一目标进行三次射击，第一次、第二次、第三次射击命中目标的概率分别为0.4，0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是．12.玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某歌星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：．13.思考辨析判断正误某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．( )14.有三张标号分别为1，2，3的蓝色卡片和两张标号分别为1，2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是．15.判断正误．用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率．16.某盒子中有若干白色的围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入了其中，充分搅拌后随机抽出了30颗数得其中有6颗黑色的围棋子，则根据这些信息估计白色围棋子的数目约为．三、解答题（共6题）17.5个同学任意站成一排，计算：(1) 甲站在正中的概率；(2) 甲、乙两个人站在两端的概率．18.两个盒内分别盛着写有0，1，2，3，4，5，六个数字的六张卡片，若从每盒中各取一张，求所取两数之和等于6的概率．现有甲乙两人分别给出一种解法：．甲的解法：因为两数之和可有0，1，2，⋯，10共包含11个基本事件，所以所求概率为111乙的解法：从每盒中取一张卡片，共有36种取法，其中和为6的情况共有5种：(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，因此所求概率为5．36试问哪一种解法正确？为什么？19.最新高考改革方案已在我省实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下．在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．(1) 现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2) 在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．20.在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：(1) 事件A={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}；(2) 事件B={(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}；(3) 事件C={(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,5)(5,3),(4,6),(6,4)}．21.莞草编织的莞席曾是东莞人的骄傲，早在《诗经》就有”上莞下箅，乃安斯寝“．近年来莞草生长环境恶劣，为保护东莞草编织这一非物质文化遗产，东莞市非遗保护中心在沙田镇设立莞草种植基地，以保障莞草的生长．某科研所为进一步改良莞草，对莞草的生长高度进行研究，在基地随机抽取了1000株莞草，测量其生长高度（单位：cm），并绘制成频率分布直方图．如图所示．(1) 求样本中生长高度在115cm以上（含115cm）的株数；(2) 由频率分布直方图估算该基地莞草株高的平均数和方差；(3) 现从该样本中某6株高度依次是：100cm，110cm，112cm，112cm，125cm，125cm的莞草中任取2株，求这两株高度和不少于225cm的概率．22.设人的某一特征（眼睛的大小）是由他的一对基因所决定，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：(1) 1个孩子由显性决定特征的概率是多少？(2) “该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】D【解析】每位同学不能通过测试的概率是(1−p)，"至少有一位同学能通过测试"的对立事件为"所有同学都没有通过测试"，故所求事件的概率为1−(1−p)n．【知识点】事件的关系与运算、事件的独立性与条件概率3. 【答案】C【解析】由已知得A={1,2}，B={2,3}，则A∩B={2}，A∪B={1,2,3}，所以事件A+B表示朝上的面的点数为1或2或3，故选C．【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】D【知识点】古典概型5. 【答案】A【解析】由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，故满足题意的只有①．【知识点】事件的关系与运算6. 【答案】A【解析】第一个并联支路的上部分畅通的概率为12×23=13，所以其不畅通的概率为1−13=23，则第一个并联支路畅通的概率为1−23×14=56，第二个并联支路畅通的概率为1−15×16=2930，所以当开关合上时，电路畅通的概率是2930×56=2936．【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】B【解析】方法一：生物实验室有5只兔子，3只测量过，则有2只未测量，从 5 只兔子中随机取 3 只有 C 53=10 种可能，恰有 2 只测量过有 C 32⋅C 21=6 种可能，所以恰有 2 只测量过的概率为 610=35．方法二：记 5 只兔子分别为 A ，B ，C ，D ，E ，其中测量过某项指标的 3 只兔子为 A ，B ，C ，则从这 5 只兔子中随机取出 3 只的基本事件有 ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共 10 种，其中恰有 2 只测量过该指标的基本事件有 ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共 6 种，所以所求事件的概率 P =610=35．【知识点】古典概型8. 【答案】D【解析】根据题意，口袋中有 6 个球，其中 3 个红球、 2 个黄球和 1 个白球，则红球和白球共有 4 个，故从中随机摸出 1 个球，那么摸到红球或白球的概率是 46=23．【知识点】古典概型9. 【答案】C【解析】设事件 A 为从五个专区中选择两个专区参观，且选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区，则 P (A )=C 11C 41C 52=410=25．【知识点】古典概型10. 【答案】C【解析】每一次出现正面向上的概率都是 12，故选C ．【知识点】古典概型二、填空题（共6题） 11. 【答案】 0.36【知识点】事件的相互独立性12. 【答案】公平【解析】两枚硬币落地的结果有正反，反正，正正，反反，因此上面两种情况各占 12，是公平的．【知识点】频率与概率13. 【答案】×【知识点】频率与概率14. 【答案】310【解析】因为从这五张卡片中任取两张共有10个基本事件，两张卡片颜色不同且标号之和小于4有2+1=3（个）基本事件，因此所求概率是310．【知识点】古典概型15. 【答案】×【知识点】古典概型16. 【答案】400【解析】白色围棋子的个数估计方法是x白=30×1006−100=400．【知识点】频率与概率三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 15．(2) P22P33P55=110．【知识点】古典概型18. 【答案】乙的解法正确．因为从每个盒子任取一张卡片，都有6种不同的取法，且取到的各张卡片的可能性均相等，所以“从两盒中各取一张卡片”的基本事件总数为36，其两数和为6的情况正是乙所列的5种情况．所以乙的解法正确．而甲的解法中，两数之和可能出现的11个基本事件，其发生的可能性并不均等，所以甲的解法错误．【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 由题意知x500=0.3，所以x=150，所以y+z=60．因为z=2y，所以y=20，z=40．则应抽取“不赞成改革”的教师人数为50500×20=2，应抽取“不赞成改革”的学生人数为50500×40=4．(2) 至少有1名教师被选出的概率P=C21C42+C22C41C63=12+420=45．【知识点】分层抽样、古典概型20. 【答案】(1) 事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3．(2) 事件B中所合的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6．(3) 事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数差的绝对值为2的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2．【知识点】事件与基本事件空间21. 【答案】(1) 由频率分布直方图可知，样本中生长高度在115cm以上（含115cm）的频率为(0.01+0.008+0.004)×10=0.22，所以样本中生长高度在115cm以上（含115cm）的株数为：0.22×1000=220．(2) 由频率分布直方图可估计：x=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，s2=1600×0.02+900×0.08+400×0.14+100×0.15+100×0.15+400×0.1+900×0.08+1600×0.04=366，所以该基地莞草株高的平均数为100cm，方差为366．(3) 设两株高度和不少于225cm的事件为A，记高度依次为100cm，110cm，112cm，112cm，125cm，125cm，分别为a，b，c，d，e，f，则两株高度和共有15种结果，如下：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)，其中A包含了(a,e)，(a,f)，(b,e)，(b,f)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)共9个结果，所以P(A)=915=35，故这两株高度和不少于225cm的概率为35．【知识点】古典概型22. 【答案】(1) 父母的基因分别为rd，rd．则孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性为rr，rd，rd，dd，共4种，故具有dd基因的可能性为14，具有rr基因的可能性也为14，具有rd基因的可能性为12，1个孩子由显性决定特征的概率是34．(2) 这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，均为34．【知识点】频率与概率。

人教A版高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷含答案解析 (36)

高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷11（共22题）一、选择题（共10题）1.天津市某中学组织高二年级学生参加普法知识考试（满分100分），考试成绩的频率分布直方图如图，数据（成绩）的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若成绩低于60分的人数是180，则考试成绩在区间[60,80)内的人数是( )A．180B．240C．280D．3202.关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )A．表示该组上的个体在样本中出现的频率B．表示取某数的频率C．表示该组上的个体数与组距的比值D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值3.下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是( )A．某学术厅有32排座位，每排有40个座位，座位号是1∼40，有一次报告会学术厅里坐满了观众，报告会结束以后听取观众的意见，要留下32名观众进行座谈B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检验C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解大家对学校机构改革的意见，要从中抽取容量为20的样本D．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量4.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数B．平均数C．方差D．极差5.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，⋯，[5.45,5.47]，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A．10B．18C．20D．366.10名工人生产某一零件，生产的件数分别是10，12，14，14，15，15，16，17，17，17．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则( )A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a7.某班由编号为01，02，03，⋯，50的50名学生组成，现在要选取8名学生参加合唱团，选取方法是从如下随机数表的第1行第11列开始由左到右依次选取两个数字，则该样本中选出的第8名学生的编号为( )495443548217379323783035209623842634916450258392120676572355068877044767217633502583921206764954A．20B．23C．26D．348.在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩（单位：分）分别为66，83，87，83，77，96．关于这组数据，下列说法错误的是( )A．众数是83B．中位数是83C．极差是30D．平均数是839.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是A．12,24,15,9B．9,12,12,7C．8,15,12,5D．8,16,10,610.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为( )A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6题）11.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为 1.68，1.71，1.73，1.63，1.81，1.74，1.66，1.78，则这组数据的中位数是（米）．12.为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是．13.校本课程的学分，统计如表．甲811141522乙67102324用s12，s22分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，计算两个班学分的方差，得s22=，并由此可判断成绩更稳定的班级是班．14.众数、中位数、平均数（1）众数、中位数、平均数的概念．①众数：在一组数据中，出现最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据）叫这组数据的众数．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数．③平均数：指样本数据的算术平均数．即：x=．（2）众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系．众数众数是最高矩形的所对应的数据,表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点15.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．16.一汽车厂生产甲，乙，丙三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车甲轿车乙轿车丙舒适型100120z标准型300480600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有甲类轿车10辆，则z的值为，抽取的50辆车中，乙类舒适型的数量为．三、解答题（共6题）17.一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3:2:5:2:3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．18.作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受啊目，2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长17.4%，下面给出的是通州区2011∼2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2%．(1) 在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；(2) 从2011∼2017这7年中随机选取续的2年份，求后一年份增长率高于前一年份增长率的概率；(3) 设2011∼2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为x0，平均数为x，比较x0与x的大小（写出结论即可）．19.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．(1) 求这次测试数学成绩的众数； (2) 求这次测试数学成绩的中位数．20. 某公交公司为了估计某线路公交公司发车的时间间隔，对乘客在这条线路上的某个公交车站等车的时间进行了调查，以下是在该站乘客候车时间的部分记录：等待时间(分钟)频数频率[0,3) 0.2[3,6) 0.4[6,9)5x [9,12)2y [12,15) 0.05合计z 1 (1) 求 x ，y ，z ；(2) 画出频率分布直方图及频率分布折线图； (3) 计算乘客平均等待时间的估计值．21. 某校从高一全体男生中用简单随机抽样抽取了 20 人测量出体重情况如下：（单位 kg ）6556708266725486706258726460767280685866试估计该校高一男生的平均体重，以及体重在 60∼75 kg 之间的人数所占比例．22. 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【知识点】频率分布直方图2. 【答案】D，面积表示频率．【解析】频率分布直方图中小长方形的高是频率组距【知识点】频率分布直方图3. 【答案】B【知识点】简单随机抽样4. 【答案】A【解析】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．【知识点】样本数据的数字特征5. 【答案】B【解析】根据直方图，直径落在区间[5.43,5.47)之间的零件频率为：(6.25+5.00)×0.02=0.225，则区间[5.43,5.47)内零件的个数为：80×0.225=18．【知识点】频率分布直方图6. 【答案】D=14.7，【解析】依题意，得a=10+12+14+14+15+15+16+17+17+1710中位数b=15，众数c=17，故c>b>a．【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】D【解析】从样本中选出来的8名学生的编号分别为17，37，23，30，35，20，26，34．故该样本中选出的第8名学生的编号为34．【知识点】简单随机抽样8. 【答案】D【知识点】样本数据的数字特征9. 【答案】D【解析】高级职称应抽取：160×40800=8（人），中级职称应抽取：320×40800=16（人），初级职称应抽取：200×40800=10（人），其余人员：120×40800=6（人）．【知识点】分层抽样10. 【答案】C【解析】由频率分布直方图可知：5×(0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06)=1，解得：a=0.03，即在[15,20)，[20,25)，[25,30)三组内的学生数之比为：4:3:1，则从每周使用时间在[15,20)，[20,25)，[25,30)三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20,25)内的学生中选取的人数为38×8=3．【知识点】分层抽样、频率分布直方图二、填空题（共6题）11. 【答案】1.72【知识点】样本数据的数字特征12. 【答案】33【解析】数学成绩在(80,100)之间的学生人数是(520+620)×60=33．【知识点】频率分布直方图13. 【答案】62；甲【知识点】样本数据的数字特征14. 【答案】次数；最中间；1n(x1+x2+⋯+x n)；中点；面积【知识点】样本数据的数字特征15. 【答案】15【解析】高二年级学生人数占总数的310，样本容量为50，则应从高二年级抽取的学生人数为50×310=15．【知识点】分层抽样16. 【答案】400；3【解析】由题意知抽样比为10100+300=140，则50100+300+120+480+z+600=140，解得z=400．可得甲，乙，丙三类车数量的比例为2:3:5，则乙类车抽到的数量为310×50=15，乙类车中，舒适型与标准型的数量比为1:4，所以舒适型的数量为15×15=3．【知识点】分层抽样三、解答题（共6题）17. 【答案】因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而应采用分层抽样的方法．具体过程如下：（1）将3万人分成5层，一个乡镇为一层．（2）按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本：300×315=60( 人)，300×215=40(人)，300×515=100( 人)，300×215=40( 人)，300×315=60( 人)．各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60．（3）将抽取的这300人组到一起，即得到一个样本．【知识点】分层抽样18. 【答案】(1) 由题意在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图，如图．(2) 从2011∼2017这7年里，随机选取连续的2个年份，共6组，分别为：(2011,2012)，(2012,2013)，(2013,2014)，(2014,2015)，(2015,2016)，(2016,2017)，设事件A表示“随机选取续的2年份，后一年份增长率高于前一年份增长率”，则事件A包含的基本事件有2个，分别为：(2011,2012)，(2015,2016)，所以随机选取续的2年份，后一年份增长率高于前一年份增长率的概率P(A)=26=13．(3) x0<x．【知识点】频率与频数、样本数据的数字特征、频率分布直方图19. 【答案】(1) 由题干图知众数为70+802=75．(2) 由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3+0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1=0.03(x−70)，所以x≈73.3，即中位数为73.3．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征20. 【答案】(1) 由上面表格得0.2+0.4+x+y+0.05=1即x+y=0.35，又52=xy，所以x=0.25，y=0.1．又5z=x=0.25，所以z=20(2) 根据上一问做出的数据画出频率分步直方图．(3) 由频率分步直方图可以知道x=1.5×0.2+4.5×0.4+7.5×0.25+10.5×0.1+13.5×0.05=5.7，即乘客平均等待时间的估计值是5.7．【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征、频率与频数21. 【答案】这20名男生的平均体重为65+56+70+⋯+68+58+6620=67.85(kg)．20名男生中体重在60∼75kg之间的人数为12，故这20名男生体重在60∼75kg之间的人数所占比例为1220=0.6．所以佔计该校高一男生的平均体重约为67.85kg，体重在60∼75kg之间的人数所占比例约为0.6．【知识点】样本数据的数字特征22. 【答案】平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．【知识点】样本数据的数字特征。

人教A版高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷含答案解析 (5)

高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷10（共22题）一、选择题（共10题）1. 若 P (A )=0.1，P (B )=0.2，则 P (A ∪B )=( ) A ． 0.3 B ． 0.2 C ． 0.1 D ．不确定2. 在一段时间内，甲去某地的概率是 14，乙去此地的概率是 15 ;假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有 1 人去此地的概率是 ( ) A ．320B ．15C ．25D ．9203. 箱子里有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的概率为 ( ) A ．C 53C 41C 54B ． (59)3×49 C ． 35×14D ．C 41×(59)3×494. 从一批电视机中随机抽出 10 台进行检验，其中有 1 台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是 ( ) A ．次品率小于 10% B ．次品率大于 10% C ．次品率等于 10%D ．次品率接近 10%5. 从分别标有 1，2，⋯，9 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ( ) A ． 518B ． 49C ． 59D ． 796. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 56和 34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( ) A ． 12B ． 13C ．512D ． 167. 一只小虫从原点出发沿数轴爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行 1 个单位，设爬行 n 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 ξ，则下列说法错误的是 ( )A ． Eξn =0B ． Dξn =nC ． P (ξ2020=0)<P (ξ2020=2)D ． P (ξ2020=0)<P (ξ2018=0)8. 3 名男生和 3 名女生共 6 名同学站成一排，则 3 名男生中有且只有 2 名男生相邻的概率为 ( ) A ． 15B ． 25C ． 35D ． 3109. 某商场举行”五一购物抽奖”活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为150，二等奖为125，三等奖为 110，四等奖为 15，其余均为纪念奖．某顾客获得 2 次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为 ( ) A ． 21125B ． 3100C ． 19100D ． 12010. 一箱产品中有 8 件正品和 2 件次品．每次从中随机抽取 1 件进行检测，抽出的产品不再放回．已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为 ( ) A ．64125B ．715C ． 34D ． 14二、填空题（共6题）11. 一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为 a ，b ，c ，当且仅当 a >b ，b <c 时称为“凹数”（如 213，312 等）．若 a,b,c ∈{1,2,3,4}，且 a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是．12. 已知 Y =3+2X ，若 P (Y >7)=0.3，则 P (X ≤2)= ．13. 若随机事件 A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于 0，且分别为 P (A )=2−a ，P (B )=3a −4，则实数 a 的取值范围为．14. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150，150，400，300 名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为．15. 一个袋中装有同样大小、质量的 10 个球，其中 2 个红色、 3 个蓝色、 5 个黑色．经过充分混合后，若从此袋中任意取出 4 个球，则三种颜色的球均取到的概率为．16.某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为．三、解答题（共6题）17.某班几位同学组成研究性学习小组，从[25,55]岁人群中随机抽取n人进行了一次日常生活是否具有环保意识的调查．若生活习惯具有较强的环保意识的称为“环保族”，否则称为“非环保组”．得到如下统计表：组数分组环保族人数占本组的频率本组占样本的频率第一组[25,30)1200.60.2第二组[30,35)195p q第二组[35,40)1000.50.2第四组[40,45)a0.40.15第五组[45,50)300.30.1第六组[50,55)150.30.05(1) 求q，n，p，a的值；(2) 从年龄段在[40,50)的“环保族”中采用分层抽样抽取6人参加户外环保活动，其中选取两人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)的概率．18.某中学在一次校园开放日活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自高一、高二、高三年级，其中高一年级5人，高二年级3人，高三年级2人．现从这10人中任意选取3人参加一个宣传片的录制．(1) 求3个人来自两个不同年级的概率；(2) 求3个人来自三个不同年级，且高一年级的甲和高二年级的乙不能同时参加的概率．19.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．经统计，成绩均在2米到12米之间，把获得的所有数据平均分成[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]五组，得到频率分布直方图如图所示．(1) 如果有4名学生的成绩在10米到12米之间，求参加“掷实心球”项目测试的人数；(2) 若测试数据与成绩之间的关系如下表：测试数据(单位:米)(0,6)[6,8)[8,12]成绩不合格及格优秀根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；(3) 在（2）的条件下，从该市初二年级男生中任意选取两人，假定两人的成绩是否优秀之间没有影响，求两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率．20.为缓解交通运行压力，某市公交系统实施疏堵工程．现调取某路公交车早高峰时段全程运输时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组：从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组:128100*********B组:10010297101100(1) 该路公交车全程运输时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；(2) 试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．21.甲，乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a,b∈{0,1,2,3,…,9}，若∣a−b∣≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏，求他们“心有灵犀”的概率．22.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．(1) 求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；(2) 求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】由于不能确定事件 A 与 B 是否互斥，所以 P (A ∪B ) 不能确定．【知识点】事件的关系与运算2. 【答案】C【知识点】事件的相互独立性3. 【答案】B【解析】由题意知，第四次取球后停止当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为 (59)3×49．【知识点】事件的相互独立性4. 【答案】D【解析】抽出的样本中次品的频率为 110，即 10%，所以样本中次品率大约为 10%，所以总体中次品率大约为 10%．【知识点】频率与概率5. 【答案】C【解析】每次抽取 1 张，抽取 2 次，共有 C 91C 81=72（种）情况，其中满足题意的情况有 2×C 51C 41=40（种），所以所求概率 P =4072=59．【知识点】古典概型6. 【答案】B【知识点】事件的相互独立性7. 【答案】C【解析】由题意知 −n ≤ξn ≤n ，且 ξn ∈Z ，且小虫向前或向后爬行 1 个单位的概率均为 12，设爬行 n 次后小虫一共向前爬行了 r (r ≤n,r ∈N ) 次，则向后爬行了 (n −r ) 次，有 ξn =r +[−(n −r )]=2r −n ，故 P (ξn =2r −n )=C n r (12)n，则 Eξn =∑C n r (2r−n )2nn r=0=0，Dξn =E (ξn 2)−(Eξn )2=E (ξn 2)=∑C n r (2r−n )22nn r=0=n ，故A ，B 正确；P (ξ2020=0)=C 20201010(12)2020，P (ξ2020=2)=C 20201011(12)2020，即 P (ξ2020=0)P (ξ2020=2)=10111010>1，所以 P (ξ2020=0)>P (ξ2020=2)，故C 错误；P (ξ2018=0)=C 20181009(12)2018，即 P (ξ2020=0)P (ξ2018=0)=20192020<1，所以 P (ξ2020=0)<P (ξ2018=0)，故D 正确．【知识点】事件的相互独立性8. 【答案】C【解析】从 3 名男生中任取 2 名男生“捆”在一起记作 A ，A 共有 C 32A 22=6（种）不同排法，剩下一名男生记作 B ，将 A ，B 插入到 3 名女生全排列后所形成的 4 个空中的 2 个空，共有C 32A 22A 42A 33=432（种）不同排法；而 3 名男生和 3 名女生共 6 名同学站成一排，有 A 66=720（种）不同排法，所以 3 名男生中有且只有 2 名男生相邻的概率为 P =432720=35．【知识点】古典概型9. 【答案】C【解析】由题意，一等奖为 150，二等奖为 125，三等奖为 110，四等奖为 15，其余均为纪念奖，2 次抽奖中，至少抽得一次三等奖，有两种情况： ①两次中有一次抽到三等奖； ②两次均抽到三等奖，故该顾客至少抽得一次三等奖的概率为 P =C 21×110×(1−110)+C 22×110×110=19100．故选：C ．【知识点】事件的相互独立性10. 【答案】C【解析】已知有 8 件正品和 2 件次品，每次从中随机抽取 1 件进行检测，抽出的产品不再放回，因为前两次检测的产品均是正品，说明剩下的 8 件中有 6 件正品，所以第三次检测的产品是正品的概率为 68=34．故选：C ．【知识点】古典概型二、填空题（共6题） 11. 【答案】13【解析】由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；由1，3，4组成的三位自然数也是6个；由2，3，4组成的三位自然数也是6个．所以共有6+6+6+6=24个．当b=1时，“凹数”有214，213，314，412，312，413，共6个．当b=2时，“凹数”有324，423，共2个．所以三位数为“凹数”的概率P=6+224=13．【知识点】古典概型12. 【答案】0.7【解析】因为P(Y>7)=P(3+2X>7)=P(X>2)=0.3，所以P(X≤2)=1−0.3=0.7．【知识点】事件的关系与运算13. 【答案】(43,3 2 ]【解析】因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)=2−a，P(B)=3a−4，所以{0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A)+P(B)≤1,即{0<2−a<1,0<3a−4<1,2a−2≤1.解得43<a≤32．【知识点】事件的关系与运算14. 【答案】16【解析】因为高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生，所以本校共有学生150+150+400+300=1000，因为用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是401000=125，因为丙专业有400人，所以要抽取400×125=16．【知识点】古典概型15. 【答案】12【知识点】古典概型16. 【答案】16【解析】设选考物理的学生为集合A，选考地理的同学为集合B，由题意得：Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)−Card(A∩B)，即28=21+14−Card(A∩B)，解得：Card(A∩B)=7，所以该班有7人既选考物理又选考地理，所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为742=16，故答案为：16．【知识点】古典概型三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) q=0.3，n=1000，p=0.65，a=60．(2) 815．【知识点】频率分布直方图、古典概型18. 【答案】(1) 79120．(2) 1415．【知识点】古典概型19. 【答案】(1) 由题意可知(0.200+0.150+0.075+a+0.025)×2=1，解得a=0.050．所以参加测试的总人数为40.050×2=40．(2) 由题图可知，参加此次“掷实心球”项目测试的初二男生成绩优秀的频率为(0.150+0.050)×2=0.4，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．(3) 记事件A i：第i名男生成绩优秀，其中i=1,2．两人中恰有一人成绩优秀可以表示为A1A2+A2A1，因为A1，A2相互独立，A2，A1相互独立，所以P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.24，P(A2A1)=P(A2)P(A1)=0.24．又因为A1A2，A2A1互斥，所以P(A1A2+A2A1)=P(A1A2)+P(A2A1)=0.48．所以两人中恰有一人“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.48．【知识点】频率分布直方图、事件的相互独立性、频率与频数20. 【答案】(1) 从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，所有不同的取法共有5×5=25种．从A组中取到128，151，125，120时，B组中符合题意的取法为100，97，100，共4×3=12种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100，102，97，101，100，共1×5=5种；因此符合题意的取法共有12+5=17种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率P=1725．(2) B组数据的方差小于A组数据的方差．说明疏堵工程完成后，该路公交车全程运输时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．【知识点】样本数据的数字特征、古典概型21. 【答案】根据题意，甲，乙两个猜想符合“心有灵犀”的情况有两种，一种是两人猜数相同，共有10种；另一种是两人猜想相差1，共有9×2种，所以他们“心有灵犀”的概率是10+9×210×10=725．【知识点】古典概型22. 【答案】(1) 法一：画树形图表示(a,b,c)所有可能的结果：由树形图可知，共有27种等可能的结果．设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)=327=19．因此“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为19．法二：(a,b,c)所有可能的结果有3×3×3=27（种），而满足a+b=c的有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为P=327=19．(2) 设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)=1−P(B)=1−327=89．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89．【知识点】事件的关系与运算、古典概型。

人教A版高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷含答案解析 (10)

高一数学必修第二册第九章《统计》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1. 某地区有网购行为的居民约 10 万人．为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比例情况，现从中随机抽取 168 人进行调查，其数据如表所示．由此估计，该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在 20% 及以下的人数大约是 ( )网购消费金额占日常消费总额的比例人数10%及以下4010%∼20%(含20%)5420%∼30%(含30%)3230%∼40%(含40%)740%∼50%(含50%)850%∼60%(含60%)1460%以上13合计168A ．1.68 万B ．3.21 万C ．4.41 万D ．5.59 万2. 将一组以 1 开头的连续的正整数写在黑板上，擦去其中一个数，余下的数的算术平均数为 493，则擦去的那个数是 ( ) A ． 5B ． 6C ． 7D ． 83. 随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市 1 月至 8 月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是 ( )① 1 月至 8 月空气合格天数超过 20 天的月份有 5 个； ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了； ③ 8 月是空气质量最好的一个月； ④ 6 月的空气质量最差．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，⋯，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ( )A．x1，x2，⋯，x n的平均数B．x1，x2，⋯，x n的标准差C．x1，x2，⋯，x n的最大值D．x1，x2，⋯，x n的中位数5.下列说法不正确的是( )A．普查是要对所有的对象进行调查B．样本不一定是从总体中抽取的，没抽取的个体也是样本C．当调查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当调查的对象很多时，要耗费大量的人力、物力和财力D．普查不是在任何情况下都能实现的6.使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．随机抽样法D．以上都不对7.某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．分层抽样法D．系统抽样法8.某校老年、中年和青年教师的人数见下表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )类别人数/人老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300 A．90B．100C．180D．3009.已知数据x1，x2，x3，⋯，x n是某市普通职工n（n≥3，n∈N+）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，那么关于这(n+1)个数据的说法正确的是( )A．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变10.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多( )A．5个B．8个C．10个D．12个二、填空题（共6题）11.思考辨析判断正误50%分位数就是中位数．( )12.某校高二年级化生史组合只有2个班，且每班50人，在一次数学测试中，从两个班抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各拍取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为分．13.2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n的值为．14.已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是．15.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图：0791335672124588据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在301474112[15,25)内的人数为．16.中位数：把一组数据按的顺序排列，处在位置的数（或中间两个数的）叫做这组数据的中位数．三、解答题（共6题）17.在下列问题中，各采取怎样的抽样方法抽取样本较为合适？(1) 从20台手提电脑中抽取4台进行质量检查；(2) 某大剧院共有80排座位，每排共有120个座位，座位号为1∼120，有一次音乐会坐满了观众，音乐会结束后为听取观众意见需留下80名观众进行座谈；(3) 某学校共有七个年级1600名学生，其中，六年级学生160名，七年级学生160名，八年级学生240名，九年级学生240名，高中一年级学生200名，高中二年级学生280名，高中三年级学生320名，从中抽取一个容量为160的样本．18.某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：用水量/t22384041445095天数1112212(1) 在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？(2) 你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？19.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810310.010.29.99.810.010.110.29.7旧设备和新设备生产产品新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为s12和s22．(1) 求x，y，s12，s22；(2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y−x≥2√s12+s22，则10认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．20.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18)2合计100(1) 从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2) 求频率分布直方图中的a,b的值；(3) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．（只需写出结论）21.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表．学历35岁以下35∼50岁50岁以上本科803020研究生x20y(1) 用分层抽样的方法在35∼50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，求在35∼50岁年龄段学历为研究生和本科各多少人？(2) 在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x，y的值．22.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1) 游泳组中，青年人、中年人、老年人分别占的比例；(2) 游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【知识点】频率分布直方图2. 【答案】B【解析】设共有n个数，去掉的数为x．由已知，n个连续的自然数的和为S n=n(n+1)2，若x=n，剩下的数的平均数是S n−nn−1=n2；若x=1，剩下的数的平均数是S n−1n−1=n2+1．由n2≤493≤n2+1，解得3023≤n≤3223，因为n为正整数，所以n=31或32．当n=32时，31×493=32(32+1)2−x，解得x=2123（不符合题意）；当n=31时，30×493=31(31+1)2−x，解得x=6．所以去掉的数是6．【知识点】样本数据的数字特征3. 【答案】A【解析】在A中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，故A正确；在B中，第一季度合格天数的比重为22+26+1931+29+31≈0.8462；第二季度合格天气的比重为19+13+2530+31+30≈0.6263，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B是正确的；在C中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的；在D中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的，综上，故选A．【知识点】频率分布直方图4. 【答案】B【解析】表示一组数据x1，x2，⋯，x n的稳定程度是方差或标准差．【知识点】样本数据的数字特征5. 【答案】B【解析】样本必须是从总体中抽取的，没抽取的个体不是样本．【知识点】简单随机抽样6. 【答案】B【解析】由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适．【知识点】系统抽样7. 【答案】C【解析】某学校为了了解高一年级、高二年级、高三年级这三个年级的学生对学校有关课外活动内容与时间安排的意见，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是分层抽样．【知识点】分层抽样8. 【答案】C【解析】设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得x900=3201600，故x=180．【知识点】分层抽样9. 【答案】B【解析】插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．【知识点】样本数据的数字特征10. 【答案】C【解析】由题意：乙地区抽取120600×100=20（个），丙地区抽取180600×100=30（个），30−20=10（个），丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多10个．【知识点】分层抽样二、填空题（共6题）11. 【答案】√【知识点】样本数据的数字特征12. 【答案】108【知识点】样本数据的数字特征13. 【答案】50【解析】由频率分布直方图的性质可得：2×(0.05+0.15+x+0.05)=1，解得：x=0.25，，解得：n=50．所以学习时长在[9,11)的频率为：2x=0.5=25n故答案为：50．【知识点】频率分布直方图14. 【答案】2【解析】因为数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，所以4+2a+3−a+5+6=20，即a=2．【知识点】样本数据的数字特征15. 【答案】60【知识点】简单随机抽样、茎叶图16. 【答案】从小到大（或从大到小）；中间；平均数【知识点】样本数据的数字特征三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 随机简单抽样．(2) 系统抽样法．(3) 分层抽样法．【知识点】系统抽样、简单随机抽样、分层抽样18. 【答案】×(22+38+40+2×41+2×44+50+(1) 在这10天中，该公司用水量的平均数是x=1102×95)=51（t）．=42.5（t）．每天用水量的中位数是41+442(2) 平均数受数据中的极端值（2个95）影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．【知识点】样本数据的数字特征19. 【答案】=10．(1) x=9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.710=10.3，y=10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+19.4+10.510=0.036，s12=0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.3210s22=0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.2210=0.04．(2) 依题意，y−x=0.3=2×0.15=2√0.152=2√0.0225，2√0.036+0.0410=2√0.0076，y−x≥2√s12+s2210，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．【知识点】样本数据的数字特征20. 【答案】(1) 根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1−10100=0.9.从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．(2) 课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a=频率组距=0.172=0.085,课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b=频率组距=0.252=0.125.(3) 估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．【知识点】频率分布直方图21. 【答案】(1) 用分层抽样的方法在35∼50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，所以3050=m5，解得m=3，所以抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人．(2) 依题意得10N =539，解得N=78，所以35∼50岁中被抽取的人数为78−48−10=20，所以4880+x =2050=1020+y，解得x=40，y=5，所以x=40，y=5．【知识点】分层抽样22. 【答案】(1) 设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则有x⋅40%+3xb4x=47.5%，x⋅10%+3xc4x=10%，解得b=50%，c=10%，故a=100%−50%−10%=40%，即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例为40%，50%，10%．×40%=60（人）；(2) 游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×50%=75（人）；抽取的中年人人数为200×34×10%=15（人）；抽取的老年人人数为200×34即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人．【知识点】分层抽样11。

高中数学单元综合测试1(含解析)北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题

单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列几何体是柱体的是(B)解析：A中的侧棱不平行，所以A不是柱体，C是圆锥，D是球体，B是棱柱．2．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(C)A．120°B．150°C．180°D．240°解析：设圆锥底面半径为r，母线为l，则πrl＋πr2＝3πr2，得l＝2r，所以展开图扇形半径为2r，弧长为2πr，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为180°，故选C.3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体(D) A．由一个圆台、两个圆锥构成B．由两个圆台、一个圆锥构成C．由一个圆柱、一个圆锥构成D．由一个圆柱、两个圆锥构成解析：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可确定所得的几何体．等腰梯形绕着不同的边所在直线旋转一周后，得到的几何体不同，要加以细致地分析．若绕着它的较短的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体应是圆柱两端各挖去一个圆锥；而绕着较长底边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱外加两个圆锥．4．若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形(如图)，则该正四棱锥的体积是(C)A ．1 B. 3 C.433D ．2 3 解析：如图，据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，斜高为2，棱锥是高为22－12的正四棱锥，故其体积V ＝13×4×22－12＝433.故选C.5．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⃘α，a ⃘β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则b 和c 的位置关系是( D )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面解析：由题意，若a ∥l ，则利用线面平行的判定，可知a ∥α，a ∥β，从而a 在α，β内的射影直线b 和c 平行；若a ∩l ＝A ，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交于点A ；若a ∩α＝A ，a ∩β＝B ，且直线a 和l 垂直，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交，否则直线b 和c 异面．综上所述，b 和c 的位置关系是相交、平行或异面，故选D.6．在四面体ABCD 中，下列条件不能得出AB ⊥CD 的是( D ) A ．AB ⊥BC 且AB ⊥BD B ．AD ⊥BC 且AC ⊥BD C ．AC ＝AD 且BC ＝BD D ．AC ⊥BC 且AD ⊥BD解析：①∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，∵CD 平面BCD ，∴AB ⊥CD ，②设A 在平面BCD 射影为O ，AO ⊥平面BCD ，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心．连接BO，则BO⊥CD，AO⊥CD，∴CD⊥平面ABO.∵AB平面ABO.∴AB⊥CD，③取CD中点G，连接BG，AG，∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，∵AB平面ABG，∴AB⊥CD，综上选项A，B，C能够得出AB⊥CD，故选D.7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为(B)A．4πB．3πC．2πD．π解析：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，如图．底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，可将此四棱锥放到一个棱长为1的正方体内，可知，此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球，∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径是AC，根据直角三角形的勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，∴外接球的表面积是4×π×(32)2＝3π，故选B.8．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2πcm ，高为2cm ，AB ，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是( C )A.233 cm B ．2 3 cmC ．2 2 cmD ．4 cm解析：如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC 1的长度即为所求．在Rt △AB 1C 1中，AB 1＝π·2π＝2 cm ，B 1C 1＝2 cm ，∴AC 1＝22cm ，故选C.9．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为( D )A ．2732B ．38C ．3316 D ．932解析：设球的半径为R ，圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，则圆锥的母线长为2r ，结合图形(图略)可得2r ＝2R cos30°＝3R ，所以，r ＝32R ，圆锥的高为h ＝(2r )2－r 2＝3r ＝3×32R ＝32R ，所以，圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×⎝⎛⎭⎫32R 2×32R ＝3πR 38，因此，圆锥的体积与球的体积之比为3πR 384πR 33＝38×34＝932. 10．如图，三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，故①正确；再根据SB ⊥AC 、SB ⊥AB ，可得SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离为12a ，④正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共100分) 二、填空题(每小题5分，共25分)11．若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为223π.解析：根据题意，圆锥的底面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又12×2πl ＝3π，∴圆锥的母线为3，则圆锥的高32－12＝22，所以圆锥的体积13π×12×22＝223π.故答案为：223π.12．如图，正方形DABC 的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为8 2.解析：根据题意，画出图形，如图所示：把该平面图形的直观图还原为原来的图形，如图所示：∴四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，且A ′D ′＝AD ＝2，B ′D ′＝2BD ＝42，∴平行四边形A ′B ′C ′D ′的面积是A ′D ′·B ′D ′＝2×42＝8 2.13．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的余弦值为33. 解析：取AC 的中点E ，取CD 的中点F (图略)，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，结合图形知二面角A －CD －B 的余弦值cos θ＝EF BF ＝33.14．半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为4R 2.解析：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为a ，则a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝R 2，所以a 2＝23R 2，所以S ＝6×a 2＝4R 2.15．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为32，32.解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3， V 球＝43πR 3，所以V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，所以S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32. 三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．解：依题意得侧面的高 h ′＝(2－1)2＋32＝10，S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧面＝22＋42＋4×12×(2＋4)×10＝20＋1210，所以几何体的表面积为20＋1210. 体积V ＝13(42＋22＋2×4)×3＝28.17．(本题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是梯形，AD ⊥平面DEFG ，EF ∥DG ，∠EDG ＝120°.AB ＝AC ＝FE ＝1，DG ＝2.(1)求证：AE ∥平面BFGC ； (2)求证：FG ⊥平面ADF .证明：(1)如图，连接CF，AE.∵AC∥DG，EF∥DG，∴AC∥EF，又AC＝EF，∴四边形AEFC是平行四边形，∴AE∥FC，又A E⃘平面BFGC，FC平面BFGC，∴AE∥平面BFGC；(2)如图，连接DF，AF，作DG的中点为H，连接EH，∵EF∥DH，EF＝DH＝ED＝1，∴四边形DEFH为菱形，∵EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG∥EH，∴FG⊥DF，∵AD⊥平面DEFG，∴AD⊥FG，∵FG⊥DF，AD∩DF＝D，∴FG⊥平面ADF.18．(本题满分12分)一个圆台的母线长为12，两底面面积分别为4π，25π.(1)求这个圆台的高及截得此圆台的圆锥的母线长；(2)求这个圆台的侧面积与体积．解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．由已知可得上底半径O 1A ＝2，下底半径OB ＝5.又∵腰长为12，∴高AM ＝122－(5－2)2＝315，∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x ，则由△SAO 1∽△SBO 可得 25＝x －12x，解得x ＝20. 所以截得此圆台的圆锥的母线长为20；(2)大圆锥的底面周长为2×5π＝10π，小圆锥的底面周长为2×2π＝4π，这个圆台的侧面积＝大圆锥侧面积－小圆锥的侧面积＝12×10π×20－12×4π×(20－12)＝84π.所求圆台的体积为13×(4π＋4π×25π＋25π)×315＝3915π.19．(本题满分12分)某机器零件是如图所示的几何体(实心)，零件下面是边长为10 cm 的正方体，上面是底面直径为4 cm ，高为10 cm 的圆柱．(1)求该零件的表面积；(2)若电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11 kg，问制造1 000个这样的零件，需要锌多少千克？(注：π取3.14)解：(1)零件的表面积S＝6×10×10＋4×3.14×10＝725.6(cm2)＝0.072 56m2.该零件的表面积为0.072 56m2.(2)电镀1 000个这种零件需要用的锌为0.072 56×0.11×1 000＝7.981 6(kg)．所以制造1 000个这样的零件，需要锌7.981 6千克．20．(本题满分13分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC .因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE 平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)如图，设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD .因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22. 故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 21．(本题满分14分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，BC ＝a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD .(1)当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ？试证明你的结论；(2)当a ＝4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ；(3)若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝2时，ABCD 为正方形，则BD ⊥AC ，证明如下：又因为P A ⊥底面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥P A ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .故当a ＝2时，BD ⊥平面P AC .(2)证明：当a ＝4时，取BC 边的中点M ，AD 边的中点N ，连接AM ，DM ，MN ，如图所示．因为四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，所以∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°，即DM⊥AM，又因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥DM，又AM∩P A＝A，所以DM⊥平面P AM，得PM⊥DM，故当a＝4时，BC边的中点M使得PM⊥DM.(3)假设BC边上存在点M，使得PM⊥DM，因为P A⊥底面ABCD，所以，M点应是以AD 为直径的圆和BC边的交点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．。