无理数练习题1上课讲义
1认识无理数精品导学案对应练习题附答案
第二章实数2.1认识无理数第一环节：质疑【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？第二环节：课题引入【算一算】一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方，问题：x是整数〔或分数〕吗？【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？第三环节：获取新知【议一议】：a2=2,请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？【释一释】：释1 .满足a2 =2的a为什么不是整数？释2.满足a2 =2的a为什么不是分数？【忆一忆】：回忆“有理数〞概念，既然a不是整数也不是分数，那么a 一定不是有理数，这说明：有理数不够用了，为“新数〞〔无理数〕的学习奠定了根底【找一找】：在下歹0正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段第四环节：应用与稳固2.长度不是有理数的线段〔右D【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段:1.长度是有理数的线段【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形2.三边长都是有理数 2.只有两边长是有理数3.只有一边长是有理数4.三边长都不是有理数二二二二「二二二【仿一仿】：例：在数轴上表示满足X23=2〔XA0〕的x rm n rCB 解： ------------- 一1——1——1A―-Ur-1——1——'〔右2〕仿：在数轴上表示满足X2=5〔X A0〕的X-- 1-- 1-- 1Q--- 8-- 1-- 1-- 1-- 1A【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把rFR它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！〔右3〕第五环节：课堂小结内容：1 .通过本课学习，感受有理数乂不够用了，请问你有什么收获与体会？2.客观世界中，确实存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3.除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？6.4 数据的离散程度【预习展示】1、完成课本149页引例2、一组数据中________ 与^差，称为极差，是刻画数据离散程度的一个统计量。
专题01 有理数无理数的概念及运算(解析版)
专题01 有理数无理数的概念及运算典例精选1．（新罗区校级自主招生）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）＝（c，d），当且仅当a＝c，b＝d；②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）＝（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）＝（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），则（1，2）θ（p，q）（ ）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【点拨】先根据（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解析】解：由规定②，得（1，2）⊗（p，q）＝（p+2q，2p﹣q），∵（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）＝（11，2），由规定①，得p+2q=112p―q=2，解得p=3q=4，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）＝（1，2）θ（3，4）＝（1﹣3，2﹣4）＝（﹣2，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算．关键是理解规定运算，依照规定运算的要求，依次计算．2．（瓯海区校级自主招生）设a=a是（ ）A．无理数B．正整数C．分数D．负整数【点拨】根据根号里面的形式，可将里面的式子配成立方公式，然后开立方后合并即可得出答案．【解析】解：―62―1＝3×22×3×2×2―1，令x＝2，y=3x2y﹣3xy2﹣1，又∵x3﹣y3＝8﹣7＝1，∴原式＝3x2y﹣3xy2﹣（x3﹣y3）＝y3﹣x3+3x2y﹣3xy2＝（y﹣x）32）3．∴a=―2―=―2．故选：D．【点睛】此题考查了有理数无理数的运算及立方公式的知识，技巧性较强，解答本题的关键是熟练立方公式的形式，将根号里面的式子配成立方公式，然后运算．3．（新编）若自然数n使得做竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，使称n为“连绵数”，例如12是“连绵数”，因12+13+14不产生进位现象；但13不是“连绵数”．则小于1000的“连绵数”共（ ）个．A．27B．47C．48D．60【点拨】首先根据题意求出个位数和十位数满足的条件，然后根据能构成“连绵数”的条件求出小于1000的“连绵数”的个数．【解析】解：根据题意个位数需要满足要求：∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴十位可以取0，1，2，3四个数，∵百位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴百位可以取0，1，2，3四个数，故小于1000的连绵数共有3×4×4＝48个．故选：C ．【点睛】本题主要考查整数的十进制表示法的知识点，解答本题需要从个位数和十位数需要满足的要求着手．4．（镇海区校级自主招生）有四个命题：①如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；②每一个角都等于179°的多边形是不存在的；③只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于12；④若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数．其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【点拨】根据整数的运算，多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识，分别判断各选项即可得出答案．【解析】解：①如果两个整数的和与积相等，那么这两个整数都等于0或2，故命题错误；②每一个角都等于179°的多边形是360边形，是存在的，故命题错误；③当三边长分别为1、1时，满足面积等于12，且只有一条边大于1，故命题正确；④只要令α＝1β＝﹣1+αβ+α﹣β为有理数，故命题错误．综上可得③正确，共1个．故选：A．【点睛】本题综合考查了有理数及无理数的运算，三角形的面积及多边形的内角与外角的知识，关键是熟练整数的四则运算，三角形的面积计算，多边形的内角和定理的理解和运用，有一点的难度．5．（南充自主招生）若a、b为非零实数，下列说法正确的是（ ）A．a2―ab+14b2是非负数B．|a+b|≥|a﹣b|C．若a＞b，则1a ＜1 bD．（a+1）x＞b的解集为x＞b a1【点拨】利用完全平方的非负性可得出A是正确的，对于B、C、D可用不等式的性质进行求解判定．【解析】解：A、a2―ab+14b2=（a―12b）2，为非负数，故本选项正确；B、若a、b同号，则|a+b|≥|a﹣b|，若a、b异号，则|a+b|≤|a﹣b|，故本选项错误；C、若a＞0，b＜0，此时1a ＞1b，故本选项错误；D、若a+1＜0，此时（a+1）x＞b的解集为：x＜ba1，故本选项错误；故选：A．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，涉及了不等式的性质完全平方的性质，解答本题注意“赋值法”的运用，难度一般．6．（瓯海区校级自主招生）如果78＜qp＜89，p，q是正整数，则p的最小值是（ ）A．15B．17C．72D．144【点拨】根据不等式先写出q的取值范围，根据q为正整数，结合选项判断p的最小值．【解析】解：由题意得，78p＜q＜89p，如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；综上可得p的最小值为17．故选：B．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是将原不等式进行转换，因为是选择题，我们可以将选项代入判断．7．（鹿城区校级自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k k＝ ．（结果用含p的代数式表示）【点拨】由条件可以知道k2﹣pk n，k2﹣pk﹣n2＝0，k而p2+4n2是平方数，设为m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2，p是奇质数，p≥3，则m―2n=1m+2n=p2，可以得到m=p212n=p214代入就可以求出k值．n，k2﹣pk﹣n2＝0，k从而p2+4n2是平方数，设为m2，p2+4n2＝m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2∵p是质数，p≥3，∴m―2n=1m+2n=p2，解得：m=p21 2n=p21 4∴k=p±m2=2p±(p21)4，∴k1k2=(p1)24（负值舍去）故答案为：(p1)24【点睛】本题考查了有理数和无理数的意义的运用，质数的性质，正整数的意义及对相关概念的理解．8．（梁子湖区校级自主招生）已知函数y=f(x)=1，则f（1）+f（2）+…+f（511）＝ 7 ．【点拨】把原函数关系中的无理式变形得到y=12，然后把分子分母都乘以―1，得到f（x）=―x＝1，2，…，511分别代入后求和可得到f（1）+f（2）+…+f（511）=+―+⋯+=―512与1的立方根，即可得到答案．【解析】解：∵y=f(x)=1=1231=∴f（1）=―f （2）=…f （511）=∴f （1）+f （2）+…+f （511）=+―+⋯+=8﹣1＝7．故答案为7．【点睛】本题考查了立方差公式：（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝a 3﹣b 3．也考查了无理式的变形能力．9．（鹿城区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点P 的坐标是+m +n)，m 、n 都是有理数，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，已知△OPH 的面积为1，其中O 为坐标原点，则有序数对（m ，n ）为 （﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2） （写出所有满足条件的有序数对（m ，n ））．【点拨】由△OPH ，根据三角形的面积公式可以得到：12×+m ）+n ）＝然后根据m ，n 是有理数就可以求出m ，n 的值，最后求出有序数对（m ，n ）．【解析】解：∵S △OPH 1，∴12×m ）+n∴2m +n ）+mnm +n ﹣1）+mn +2＝0m +n +1）+mn +2＝0，∵m ，n 都是有理数，∴m +n ―1=0mn +2=0或m +n +1=0mn +2=0，解得：m =―1n =2，m =2n =―1，m =―2n =1，m =1n =―2；∴有序数对（m ，n ）为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．【点睛】此题考查了有理数的概念，点的坐标以及三角形的面积问题．此题难度较大，解此题的关键是利用了m，n是有理数来得到关于m，n的方程．10．（瓯海区校级自主招生）如果一个数能表示成x2+2xy+2y2（x，y是整数），我们称这个数为“好数”．（1）判断29是否为“好数”？（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”．（3）如果m，n都是“好数”，求证：mn是“好数”．【点拨】（1）根据x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”．（2）根据好数的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”．（3）设m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2，化简mn＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v ＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q），于是可以判断出mn为“好数”．【解析】解：（1）x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，特征：“好数”是“好数”就是两个整数的平方和，而29＝52+22，故29是“好数”，（2）1，2，3，…，20中的“好数”的有1、2、4、5、8、9，10，13，16，17，18，20，（3）m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2．则mn＝（x2+2xy+2y2）（p2+2pq+2q2）＝[（x+y）2+y2][（p+q）2+q2]＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q）．那么mn＝（u+v）2+v2＝u2+2uv+2v2，因为x，y，p，q均为整数，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）﹣y（p+q）也为整数，所以u+v，v为整数，所以u，v为整数．因此mn为“好数”．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是掌握“好数”的定义和完全平方式的知识，难度不大．精准预测1．定义新运算*为a*b＝a+b―a×b4，那么20*20*2005*5*5＝（ ）A．0B．25C．15625D．2005【点拨】根据新定义求出20*20＝﹣60，然后再求出﹣60*2005*5*5的值即可．【解析】解：∵a*b＝a+b―a×b 4，∴20*20＝40﹣100＝﹣60，∴﹣60*2005＝1945+30075＝32020，∴32020*5＝﹣8000，∴﹣8000*5＝﹣7995+10000＝2005．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是理解新运算，此题难度一般．2．已知|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4且|x﹣2y+z|＝9，则x2y2011z3的值是（ ）A．432B．576C．﹣432D．﹣576【点拨】由|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，可得﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，又由|x﹣2y+z|＝9，即可得①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，继而求得x2y2011z3的值．【解析】解：∵|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，∴﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，∵|x﹣2y+z|＝9，∴①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，∴x2y2011z3的值都是负的，∴x2y2011z3＝﹣9×1×64＝﹣576．故选：D．【点睛】此题属于有理数无理数的概念与运算的知识．此题难度适中，注意根据题意得到①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4是解此题的关键．3．如果a++b b是有理数，那么（ ）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数【点拨】先把等式变形为a+b1﹣ab），再根据等式一边出现无理数则a，b中必有一个数为无理数即可进行解答．【解析】解：∵a++b=∴a+b=1﹣ab）等式一边出现无理数，若a，b均为有理数，则等式恒不成立，又∵b为有理数，∴a必为无理数．故选：C．【点睛】本题考查的是有理数及无理数的概念及运算，能把原式化为a+b=1﹣ab）的形式是解答此题的关键．4．设A为n位正整数，n≥2，B为k位正整数，k≥1，则可有n﹣1种办法把B整个地插入A的相邻两位数字之间，得到n+k位正整数C．例如A＝1991，B＝35，则有三种插法：C为135991或193591或199351．如果对每一个能被B整除的A，把B任意插入A得到的C能被B整除，就称B为协调数．则1、2、3、4、5、6、7、9、10、11、12、15、66、90这14个数中，共有（ ）个是协调数．A．6B．8C．10D．11【点拨】根据协调数所满足的条件，给每一个数赋一个A值，然后插入后得出C的值，进而可判断出这个数B是否为协调数，综合起来即可得出协调数的个数．【解析】解：（1）令A＝22，此时B＝1，C＝212，C能被B整除，故正确．（2）令A＝12，B＝2，C＝122，C能被B整除，故正确；（3）令A＝12，B＝3，C＝132，C不能被B整除，故错误；（4）令A＝12，B＝4，C＝124，C能被B整除，故正确；（5）令A＝25，B＝5，C＝255，C能被B整除，故正确；（6）令A＝18，B＝6，C＝168，C不能被B整除，故错误；（7）令A＝14，B＝7，C＝174，C不能被B整除，故错误；（8）令A＝18，B＝9，C＝198，C能被B整除，故正确；（9）令A＝20，B＝10，C＝2100，C能被B整除，故正确；（10）令A＝22，B＝11，C＝2112，C能被B整除，故正确；（11）令A＝24，B＝12，C＝2124，C能被B整除，故正确；（12）令A＝30，B＝15，C＝3150，C能被B整除，故正确；（13）令A＝132，B＝66，C＝13662，C能被B整除，故正确；（14）令A＝180，B＝90，C＝18900，C能被B整除，故正确．综上可得共有11个协调数．故选：D．【点睛】本题涉及了协调数这个新概念，比较新颖，难度一般，关键是理解协调数所满足的条件，另外在进行每一个数的判断时要细心，数比较多，很容易出错．5．设a＝1996，b＝9619，c＝1996，d＝6199，则此四个数的大小关系为（ ）A．a＞b＞c＞d B．d＞a＞b＞c C．c＜d＜a＜b D．b＞c＞d＞a【点拨】由a＝1996＝36148，可判断出a和b的大小关系，将d变成2162161993，可判断出c和d的大小，进而结合选项利用排除法即可得出答案．【解析】解：a＝1996＝36148，b＝9619，∴a＞b，又∵c＝1996，d=216199 3，∴d＞c，结合选项可得只有B符合．故选：B．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念及计算，关键是将幂指数转化为底数使底数改变，从而达到比较大小的目的，有一定的技巧，难度较大．6．在分数1567，2567，3567，…，567567中把所有的最简分数相加，和为（ ）A．284B．283C．163D．162【点拨】567＝3×3×3×3×7，从而可得只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，求和时去掉这些数，然后利用分组法求解即可得出答案．【解析】解：∵567＝3×3×3×3×7，∴只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，故简分数分子的和为：（1+2+3+...+567）﹣（3+6+9+...+567）﹣（7+14+21+...+567）+（21+42+ (567)＝（1+567）×5672―3（1+2+...+189）﹣7（1+2+...+81）+21（1+2+ (27)＝284×567﹣3（1+189）×189/2﹣7（1+81）×81/2+21（1+27）×27/2＝284×567﹣95×567﹣41×567+14×567＝162×567．所以，所有的最简分数相加，和为162．故选：D．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是根据567的约数找出所有的最简分数，难点在于将剩余的分数利用分组法求和．7．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b，的形式，则a1992+b1993＝ 2 ．【点拨】根据三个有理数互不相等，又可以用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．【解析】解：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b的形式，也就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断定，a+b与a中有一个为0，ba与b中有一个为1，但若a＝0，会使ba没意义，所以a≠0，只能是a+b＝0，即a＝﹣b，又a≠0，则ba=―1，由于0，ba，b为两两不相等的有理数，在ba=―1的情况下，只能是b＝1．于是a＝﹣1．所以，a1992+b1993＝（﹣1）1992+（1）1993＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了有理数与无理数的概念与运算，利用互斥原理，逐步进行推理得出正确结果是解题的关键．8．设S=999999)(12110)(13110)⋯(17110)，则S的整数部分为 1 ．【点拨】将原式化为乘法，再约分计算即可解答．【解析】解：S=499599999(12110)(13110)⋯(17110)=103×104×105×106×107×10899×99×99×99×99×99×110×110×110×110×110×110 103×104×105×106×107×108=10696=（109）6＝1.8816…．故答案为1．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则及约分的方法是解答本题的关键．9．计算：(244444 (111111．【点拨】观察(244444(111111，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．【解析】解：x4+14=[（x2）2+x2+14]﹣x2＝（x2+12）2﹣x2＝（x2+12+x）（x2+12―x），原式=52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812×2212 12×52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812=221212=221．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）是解题关键．10．计算：1+2+22+23+ (21999)【点拨】根据后项比前项都等于2，每项都乘以2，可得新代数式的和，根据两式相减，可得所求和的相反数，根据等式的性质，可得答案．。
无理数、平方根与立方根讲义
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根。
注：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
二、同步题型分析1、说说谁“有理”，谁“无理” 以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________. 答案：有理数：－1，23，3.14,3.3,0,2,27,24. 无理数：－π,－0.2020020002…… 分数：23，3.3,27整数：－1，0，2，242、在“()05，3.14 ，-π，()23，0.123334， 0.212212221…”这6个数中，无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3、下列语句正确的是（ ） A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4、在直角△ABC 中，△C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ）A.整数B.分数C.无理数D.不能确定答案：B5、面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 答案：不是，是）解：解：()28=±64±=即()2711=±）解：解：解：利用平方根来解下列方程．（2x-1）2-169=0变式训练：、下列计算正确的是（=±2 B ()0.02±0.0004±即()225=±11的平方根是（2）∵（x ﹣1）3=8， ∴x ﹣1=2， ∴x=3． 点评： 本题考查了学生开平方、立方的能力，也考查了解方程的方法，比较容易解答．变式训练1．求下列各式中的x ：（1）4x 2=9； （2）1﹣（x+1）3=1001． 解答：解：（1）∵x 2=， ∴；（2）∵1﹣（x+1）3=1001，∴（x+1）3=﹣1000，∴x+1=﹣10，∴=﹣11．1、判断题(1)－0.01是0.1的平方根.………………………………………………………… …( )(2)－52的平方根为－5.……………………………………………………………… （ ） (3)0和负数没有平方根.……………………………………………………………… （ ）（4）因为161的平方根是±41,所以161=±41.……………………………………… （ ）（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.…………………………………… （ ） 2、选择题（1）下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）(2)2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对（3）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m(4)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a3、填空题(1)若9x 2－49=0,则x =________.(2)若12 x 有意义，则x 范围是________.(3)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________.(4)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.4、已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2,点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形.(1)求这个正方形的边长.(2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米？（精确到0.1cm ）图1参考答案1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(1)D (2)D (3)D (4)B3.(1)±37 (2)x ≥－21(3)x =4,y =－8 (4)－a ,－a 4.(1)2a cm (2)2.8 cm【巩固练习】1、算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 2、2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 3、满足53<<-x 的整数x 是（ ） A 、3,2,1,0,1,2-- B 、3,2,1,0,1- C 、3,2,1,0,1,2-- D 、2,1,0,1-4、下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5、已知x ，y 是实数，且34x ++（y-3）2=0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．-4 C ．94 D ．-946、下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ．16的算术平方根是±2 C. 16的算术平方根是4 D. 16的平方根是±27、下列说法中，正确的是（ ）[来源:学&科&网Z&X&X&K]A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，18、已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 答案：7cm。
实数概念分类性质讲义(含答案)
实数知识点一：无理数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．二、知识点+例题+练习一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为02273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．【变式训练1-1】在，–2018，π这四个数中，无理数是A ．B ．–2018CD ．Π【答案】D1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类： （1）实数按定义分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数( 2 )按正负分类：227227例题精讲二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例1】在5π131401232，，，.，，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】01-；π5131401322，，；，，.，---- 【例2】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|负数集合｛ …｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛122-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；无理数集合｛0.01001001…，【变式训练2-1】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ）（5）若x =x =（ ）【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【答案】D【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【答案】A【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、12、7.0、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．【答案】（1）－1 3.14-、12、7.0、0（2-、（3）－10；（4、π、127.0 ；（5）－1、 3.14-、（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．一、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例1的相反数是A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ． 【例2】3-π的绝对值是 A ．3-π B ．π-3 C ．3 D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例3】 A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．【变式训练3-1的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【答案】【变式训练3-2】3.141π-＝______；=-|2332|______．【答案】-3.141π；【变式训练3-3】若||x =x ＝______；若||1x ，则x ＝______．【答案】1或11 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 2、两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例1】如图，数轴上点P 表示的数可能是AB ．C ．–3.2D ．【答案】B≈2.65 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为．故选B ．【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D ．【例3】已知实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A ．m <0B ．n ＞0C ．n ＞mD ．n <m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m <0<n ，所以m <0，n ＞0，n ＞m 都正确，即选项A ，B ，C 判断正确，选项D 判断错误．故选D ．【变式训练4-1】已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为–3A 、B 间的距离为__________． 【解析】A 、B 两点表示的数分别为–3和A 、B 间的距离为3），故答案为：．【变式训练4-2】如图，点A 、B 、C 在数轴上，O 为原点，且BO ：OC ：CA =2：1：5． （1）如果点C 表示的数是x ，请直接写出点A 、B 表示的数； （2）如果点A 表示的数比点C 表示的数两倍还大4，求线段AB 的长．【解析】（1）∵BO ：OC ：CA =2：1：5，点C 表示的数是x ， ∴点A 、B 表示的数分别为：6x ，–2x ；（2）设点C 表示的数是y ，则点A 表示的数为6y ， 由题意得，6y =2y +4， 解得：y =1，∴点C 表示的数是1，点A 表示的数是6，点B 表示的数是–2， ∴AB =8． 二、比较大小【例4】 ） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间 C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【答案】C【例5】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【答案】B【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ） A ．4～5cm 之间 B ．5～6cm 之间 C ．6～7cm 之间 D ．7～8cm 之间【答案】A【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， ，34-，【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例1】计算下列各式：（1）221．【解析】（1=-．（2）原式21=1=．【变式训练5-1】计算题（1）32716949+- （2） 233)32(1000216-++【解析】（1）32716949+-71333=-+=-； （2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0BC ．3D ．2．在每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是 A ．5的绝对值是A ．3B ．6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；1313.140.231.131331333133331(3π-，，，，……3)B 3-．C -．D π-．3-1C 3．1D 3-．④不是分数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2|B ．-4与C ．与D ．8．如图，数轴上点P 表示的数可能是AB．C ． 3.4-D．92-的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：+-=__________．11__________． 12=__________（=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内：4230.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛…｝．14．已知：x 是|-3|的相反数，y 是-2的绝对值，求2x 2-y 2的值．515．已知ab的小数部分，|c，求a -b +c 的值．16．已知5的小数部分分别是a 、b，则（a +b ）（a–b ）=__________．17．6的整数部分是a ，小数部分是b ．（1）a =__________，b=__________．（2）求3a –b 的值．18．如图，点A ，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B 所表示的数为n ．（1）求n的值；（2）求|n +1|+（n –2）的值．答案：1．【答案】B【解析】0、3、是无理数．故选B ． 2．【答案】C【解析】，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C ． 3．【答案】B【解析】∵<2的值在：1和2之间．故选B ．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，3<π，∴＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D ． 13<<3--5．【答案】A．–3的绝对值是3．故选A．6．【答案】C【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；②无限不循环小数是无理数，错误；③任何实数都可以进行开立方运算，正确；不是分数，正确；故选C．8．【答案】B【解析】由图可知，P点表示的数在之间，故选B．9．【答案】22；--2-的相反数是2-，绝对值是2-，故答案为：22；--10．【答案】【解析】(35+-=+-，故答案为．11．【答案】【解析】它们互为相反数，分别是故答案为：121）3（1-13-1．3=-13．【解析】有理数集合：｛4，230.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； ④负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．【解析】∵x 是|−3|的相反数，∴x 是3的相反数−3，即x =−3．∵y 是−2的绝对值，∴y =2．∴22229414x y -=⨯-=．15．【解析】∵<3，∴a =2，b-2，∵|c，∴c当ca -b +c =4；当c =a -b +c =4-．16．【答案】5【解析】∵与5a 、b ，∴a =（–2，b=（5）–2=3，∴（a+b ）（a –b ）=–2+32–5．故答案为：5．17．【解析】（1）∵，∴<3．∴–23．∴6–2＞66–3，∴4＞63．∴a =3，b =3（2）3a –b =3×3–（3=9–1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=± （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A ′的坐标为 ．【答案】(2--四、课后作业4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）． 【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>5.计算:（1（2）2(2)-【解析】（111213333-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a =，求11a a -++的值．【解析】0a ，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：，且12<<的整数部分为1；23<2；=34<的整数部分为3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【解析】n2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+，1n n ∴<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【解析】（5（6【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-，b a ∴≥，2,4a b ∴==，．。
第2章实数2.1认识无理数第1课时课时训练题配套练习北师大版精品配套练习
第二章 实数2.1 认识无理数（一）基础导练1．边长为 4 的正方形的对角线长是（） A ．整数 B ．分数C ．有理数D ．不是有理数2．在以下各数－0.333 ，－ π ，1，， 2.0101001 （相邻两个1 之间挨次多1个 0）， 76.0123456 （小数部分由接踵的正整数构成）中， 是无理数的有（A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 3．以下说法正确的选项是（ ）A ．有理数不过有限小数B ．无理数是无穷小数）C ．无穷小数是无理数D ．是分数34．以下语句错误的选项是 _________（填序号）．（ 1）无穷小数都是无理数；（ 2）π 是无理数，故无理数也可能是有限小数．5．以下各数属于有理数的是____________ ，属于无理数的是 ____________ ．3.57 ， 2， 3.1415926 ，， 0， 1，π2 6．比较大小： 22 π ．77．已知直角三角形的两条直角边分别是 4 和 5，这个直角三角形的斜边的长度在两个相邻的整数之间，这两个整数是 _______和 ________． 8．如图，数轴上表示数3 的点是 ．A BC--101 2 3 429．边长为 1 的正方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？能力提高10．如图：（ 1）斜边所在的正方形面积是 ___________．（ 2）假如斜边用 b 表示， b 是有理数吗？11．如图，在△ABC中， AC＝b， CD＝5，高 AD可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗?AbC B5 D参照答案1． D 2 ． B 3 ．B 4 ．（ 1）（ 2） 5 ．有理数有 3. 57 ，，0.1 234，0，1 ；无理数有2，． 6 ．＞7 ．6、7 8 ．B 9 ．它的对角线的长不2 π10 ．（ 1）5；（ 2）b2＝ 5，b不是有理数．11可能是整数，也不行能是分数．．可能是整数，可能是分数，可能是有理数．聚沙成塔：不如设是有理数，由于有理数都能够表示成分数的形式，因此设3 n(m≠ 0) ，3n ，而 3n 3 m∴是分数，因此也是分数，这与为无理数矛盾．∴不是有理数而是无理m m 3数．3.1 确立地点基础导练1．以下图是把一个树干在方格纸上摆出的图案．假如用（0， 0）表示的地点，用（ 4，1）表示N的地点，那么M（1）图中A、B、C、D、E的地点分别为 ____________________．（2）在图 1 中分别找出M（ 4， 11）和N（ 8， 10）的地点．BCDANE M 炮帅相1题图 2 题图2．如图，是象棋盘的一部分，若“帅” 位于点（1，－2），“相”位于点（3，－2）上，则“炮”位于点上．3．如图是某市市里几个旅行景点表示图（图中每个小正方形的边长为 1 个单位长度），假如以O为原点成立两条相互垂直的数轴，假如用（2， 2.5 ）表示金凤广场的地点，用（11， 7）表示动物园的地点．依据此规定：（1）湖心岛、光岳楼、山陕会馆的地点怎样表示？（2）（ 11， 7）和（ 7， 11）是同一个地点吗？为何？比率尺 1：10000y12D北10动物园8C湖心岛6乙B光岳楼4 E山陕会馆2 A 甲金凤广场O0 2 4 6 8 10 12 14 x 动物园平面表示图3 题图4 题图5 题图4．张坚在某市动物园大门口看到这个动物园的平面表示图（如图），试借助刻度尺、量角器解决以下问题：（注：A代表驼鸟峰， B 代表猴山， C代表百鸟园， D代表熊猫馆， E 代表大门）（ 1）熊猫馆D位于园门E的北偏东度的方向上，到园门的图上距离为________ 厘米，实质距离为________千米．（ 2）百鸟园在大门的北偏东度方向上，驼鸟峰在大门的南偏东度方向上，到大门的距离约为________厘米，实质距离为________千米．5．如图甲、乙两名同学玩跳格子游戏，假如甲此刻跳的地点是（2，3），那么乙此刻跳的地点是．能力提高6．小龙在一次象棋竞赛中，他的红兵开始在（2，4），路过（ 2，6），（ 4，6），最后到（ 4，8），则红兵共走（）．A．七步B．六步C．五步D．四步7．如图甲、乙两个人参加某体育项目训练，为了便于研究，把近来五次训练成绩分别用虚线和实线连结，以下图，下边结论错误的选项是（）A．乙的第二次成绩与第五次成绩同样B．第三次测试甲的成绩与乙的成绩同样C．第四次测试甲的成绩比乙的成绩多 2 分D．五次测试甲的成绩都比乙的成绩高得分16甲M15 乙1413N P1211100 1234 5 序次Q7 题图8 题图8．以下图，在正方形网格中，（1）设点M的地点记作（ 4， 7），试写出点N，Q，P的地点；（2）若正方形网格中的每个小正方形边长均为 1，试判断四边形MNQP的形状，并求出图形的面积．9．如图，草原上有三个蒙古包A、B、C，已知C点在A的正东 4 米处，B在C的正北 4 米处，那么B 位于 A 什么方向上？距离是多少米呢?BA C(13 题）10．如图，国家实行西部大开发，鼎力进行农网建设，某电厂M（8，4）决定给 A，B， C，D四个乡村架设输电线路，已知电厂及A， B， C，D四个村的地点分别是（0，3），（ 2，3），（ 2，4），（ 5，0），（ 6， 2）．（1）试在图上的方格中分别找出电厂及A，B， C， D四个村的地点．（2）试求从电厂架设电线到四个村所用电线的最短长度．（结果用带根号的式子表示）．参照答案1．（ 1）A（ 10， 8）、B（ 6， 11）、C（ 4，9）、D（ 2， 8）、E（8， 1）；（ 2）略2．（－2， 1）； 3．（ 1）湖心岛（ 2.5 ， 5）、光岳楼（4， 4）、山陕会馆（ 7， 3）；（ 2）不是，他们表示一对有序实数 4 ．略 5 ．（ 4，5） 6 ． D 7 ． D 8 ．（ 1）N（2，4）、P （6， 4）、Q（ 4， 1）；（ 2）菱形，面积为 12 9 ．北偏东450方向上， 4 2m 10. （ 1）略；（ 2） 3 17 5 ．别想一下造出海洋，一定先由小河川开始。
初二上册数学第二章实数无理数、平方根和算术平方根讲义
无理数概念与平方根知识点1 算术平方根概念及性质22=x ,32=y ,42=z ,52=w ,已知幂和指数,怎么求求底数呢？我们知道：19614,16913,14412,121112222==== 那么请按照要求填写下表 1．已知边长求面积正方形边长 正方形面积 2.已知面积求边长正方形边长 正方形面积 11 121 13 169 0.3 0.09 12一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为“a ”,读作“根号a ”．特别地,我们规定0的算术平方根是0,即00=．由算术平方根的定义我们可知：a 的算术平方根a 是一个非负数;我们知道0²=0,正数x =a ＞0,所以a ≥0.即算术平方根定义中：a 中的a 是一个非负数,a 的算术平方根a 也是一个非负数,负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．例1.求下列各数的算术平方根：(1) 900; (2) 1; (3) 6449; (4) 14．例2.自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间？例3. 01)22=++++y x y （则xy =知识点2 平方根的概念及性质平方根的概念我们知道1²=（-1）²=1, 2²=（-2）²=4, 3²=（-3）²=9,……,a ²=（-a ）²=a ², 如果一个数x 的平方等于a ,即x ²=a .那么x 就叫做a 的平方根.正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示,其中a 表示a 的正的平方根（又叫算术平方根）,读作“根号a ”; －a 表示a 的负的平方根,读作“负根号a ”. ①一个正数a 的平方根有两个,记为a ± ,它们互为相反数.②0的平方根是0. ③负数没有平方根.知识点3 开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方,a 叫做被开方数.（开平方与平方互为逆运算）平方和开平方是互逆运算：2()a a (0)a ≥；2(0)(0)a a a aa a例1.如果x ²=a ,那么下列说法错误是（ ）A ．若x 确定,则a 的值是唯一的B ．若a 确定,则x 的值是唯一的C ．a 是x 的平方D ．x 是a 的平方根例2. a ±的意义是（ ）A ．a 的平方根B ．a 的算术平方根C ．当a ≥0时,a ±是a 的平方根 D ．以上都不正确例3.若1-x +（y +2）²=0,则2018)(y x +等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．20183D ．20183-例4.一个正数的平方根是2a ﹣3与a ﹣12,则这个正数为（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．49例5.已知2-x 的平方根是2±,72++y x 的平方根是±3,求22y x +的平方根例6.已知2m +3和4m +9是一个正数的两个不同的平方根,求m 的值和这个正数的平方根.练习题：1.16的平方根是（ ）A ．±4B ．4C ．±2D ．22．4的平方根是 ;3的平方根是 16的平方根是 , 25）（-的平方根是________．3.下列运算正确的是（ ）A ．﹣213）（- =13 B ．26）（- =﹣6 C ．﹣25 =﹣5 D ．9 =±34.若正方形的边长为a ,面积为s ,则（ ）A ．s 的平方根是aB ．a 是s 的算术平方根C ．a =±D .s =5.如果将一个长方形ABCD 折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE ，已知正方形ABFE 的面积等于长方形CDEF 面积的2倍，求长方形ABCD 的长和宽．6.若（a －1）²＋|b －9|＝0,则a b 的平方根是 ．7..求下列各式的值：（1）44.1; （2）649; （3）25241 ． 8．在，3.1415926535，三个实数中，无理数的个数有（ ）A ．3B ．2C ．1D ．09．下列各数中，无理数是（ ） A ．2 B ．﹣C ．20%D ．π10．下列各数，3.14159265，，﹣8，，，中，无理数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．下列各数：﹣1，，0，，3.14，4.121121112……，其中无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，，0.1010010001…，（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个13．在，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．在实数﹣，0.21，，，，0.20202中，无理数的个数为（）A．1B．2C．3D．415．下列各数，，π，0.2020020002…，，，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个16．下列各数中一定有平方根的是（）A．m2﹣1B．﹣m C．m+1D．m2+117．一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1，则这个正数为（）A．4B．16C．3D．918．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（）A．25B．49C．64D．8119．16的平方根是（）A．16B．﹣4C．±4D．没有平方根20．若a，b（a≠b）是64的平方根，则+的值为（）A．8B．﹣8C．4D．021．若一个数的平方等于81，则这个数是（）A．9B．﹣9C．±9D．±8122．下列计算不正确的是（）A．B．2ab+3ba＝5abC．3x﹣2x＝1D．|﹣3|＝323．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．10024．有理数a2＝（﹣5）2，则a等于（）A．﹣5B．5C．25D．±525．求下列各式中的x：（）（1）9x2﹣25＝0；（2）4（2x﹣1）2＝36．A．x＝和x＝2B．x＝﹣和x＝2或x＝﹣1 C．x＝±和x＝﹣1D．x＝±和x＝2或x＝﹣1 26．平方根等于它自己的数是（）A．0B．1C．﹣1D．4 27．36的平方根是（）A．18B．6C．±6D．±18 28．下列说法正确的是（）A．0的平方根是0B．1的平方根是1C．1的平方根是﹣1D．﹣1的平方根是﹣129．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（）A．±（m+1）B．（m2+1）C．D．30．2a﹣1和a﹣5是某个正数的两个不等的平方根，则实数a的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2 31．一个正数的平方根是2m+3和m+1，则这个数为（）A．﹣B．C．D．1或32．一个正数m的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则m的值是（）A．2B．2或﹣2C．4D．4或36 33．（﹣10）2的平方根是（）A．﹣10B．10C．±10D．100 34．已知（x+1）2＝4，则x值为（）A．1B．±1C．1或﹣3D．3或﹣1 35．一个正数x的两个平方根分别是a﹣7和2a+1，则这个正数x＝（）A．2B．5C．16D．2536．下列说法：①0的平方根是0；②﹣1的平方根是﹣1；③（﹣4）2的平方根是﹣4；④0.01是0.1的平方根；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个37．已知一个正数的两个平方根分别为x+2和2x﹣5，则这个正数是（）A．1B．7C．9D．8138．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（）A．﹣3B．1C．﹣1D．﹣3或139．下列叙述中，不正确的是（）A．0的平方根是0B．﹣22的平方根是±2C．正数的平方根是互为相反数D．是一个无理数40．下面说法中错误的是（）A．6是36的平方根B．﹣6是36的平方根C．36的平方根是±6D．36的平方根是641．在（﹣）2，0.9，﹣23（﹣a2+2），0，17六个数中，一定有平方根的个数是（）A．2B．4C．3D．542．2.89的正的平方根是（）A．1.7B．﹣1.7C．±1.7D．±1743．a是有理数，在a2+2，3|a|+5，|a|﹣4，5a2+2a2中一定有平方根的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．下列各数中，没有平方根的数是（）A．﹣（﹣2）3B．﹣（﹣47）C．1﹣（﹣2）D．﹣|﹣3|45．下列说法正确的是（）A．9是3的算术平方根B．5是25的算术平方根C．0.1的平方根是0.01D．是的算术平方根46．﹣可以表示（）A．0.2的平方根B．﹣0.2的算术平方根C．0.2的负的平方根D．﹣0.2的平方根47．81的平方根是（）A．B．﹣9C．9D．±948．下列说法正确的是（）A．﹣7是49的算术平方根B．7是（﹣7）2的算术平方根C．±7是49的平方根，即＝±7D．7是49的平方根，即±＝749．根据以下程序，当输入时，输出结果为（）A．B．2C．6D．50．下列计算正确的是（）A．＝±3B．|﹣3|＝﹣3C．＝2D．﹣32＝9 51．实数9的算术平方根是（）A．3B．±3C．﹣3D．±952．下列说法错误的是（）A．4是16的算术平方根B．2是4的一个平方根C．0的平方根与算术平方根都是0D．（﹣3）2的平方根是﹣353．下列计算正确的是（）A．B．C．D．54．下列运算正确的是（）A．﹣2×（﹣3）＝﹣6B．（﹣4）2＝8C．﹣10﹣8＝﹣18D．＝±255．下列各式中，正确的个数是（）①＝4 ②＝③﹣32的平方根是﹣3 ④的算术平方根是﹣5 ⑤是的平方根A．1个B．2个C．3个D．4个56．＝（）A．﹣3B．3C．D．57．已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（）A．﹣485.8B．﹣48.58C．﹣153.6D．﹣1536 58．下列叙述中正确的是（）A．﹣2是4的平方根B．4的平方根是﹣2C．﹣2是（﹣2）2的算术平方根D．±2是（﹣2）2的算术平方根59．的平方根是（）A．9B．9或﹣9C．3D．3或﹣3 60．的平方根是（）A．16B．±16C．4D．±461．在1，，0，﹣四个实数中，最小数的是（）A．1B．C．0D．﹣62．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为16时，输出的y是（）A．B．C．4D．863．＝3，则a的值为（）A．±9B．9C．3D．。
初二无理数练习题
初二无理数练习题无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，包括无限不循环小数和无线不循环小数。
在数学中，无理数是和有理数相对的概念。
无理数的存在被证明是必要的，因为它们填补了有理数无法表示的空白。
本文将为初二学生提供一些无理数的练习题，帮助他们更好地理解无理数的概念和运算规则。
1. 将下列数按由小到大的顺序排列：√3，π，2.5，√5，3.14，5/2。
解析：首先，我们需要知道每个数的大小。
对于无理数，我们可以使用近似值进行比较。
将数值转化为小数形式，然后进行比较。
答案为：√3 < 2.5 < √5< 5/2 < π < 3.14。
2. 计算下列各式的值：a) 3√2 + 2√3b) (√5 + √3)²解析：a) 3√2 + 2√3 = 3 × 1.414 + 2 × 1.732 = 4.242 + 3.464 = 7.706b) (√5 + √3)² = (√5)² + 2√5√3 + (√3)² = 5 + 2√15 + 3 = 8 + 2√153. 判断下列各式的真假：a) √7 + √5 < √13b) √2 + √3 > √10c) (√3)² + 4√3 + 4 > 25解析：a) √7 + √5 < √13 => 2√35 < √13 => 4 × 35 < 13 => 140 < 13 （假）b) √2 + √3 > √10 => 2√6 > √10 => 4 × 6 > 10 => 24 > 10 （真）c) (√3)² + 4√3 + 4 > 25 => 3 + 4√3 + 4 > 25 => 8 + 4√3 > 25 => 4√3 >17 （假）4. 填写下表的空格：| 数字 | 近似值（保留两位小数） ||:-------:|:---------------------:|| √2 | 1.41 || √3 | 1.73 || √5 | 2.24 || 3√2 | 5.20 || 4√5 | 8.94 |5. 简化下列各式：a) 2√2 + 3√2b) 5√3 + 2√12c) 4√5 + 7√20解析：a) 2√2 + 3√2 = 5√2b) 5√3 + 2√12 = 5√3 + 2√(4 × 3) = 5√3 + 4√3 = 9√3c) 4√5 + 7√20 = 4√5 + 7√(4 × 5) = 4√5 + 14√5 = 18√5通过以上练习题，我们可以加深对无理数的理解和运算技巧。
无理数练习题
【知识要点】1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。
注意： ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； ③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a 、b 互为相反数。
②倒 数：若0a ≠，则1a称为a 的倒数，0没有倒数。
1ab a =⇔、b 互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩无理数练习题 姓名：_____________1、在实数3.14，25，3.3333，3，0.412⋅⋅，0.10110111011110…，π，256- 中，有（ ）个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2、下列说法中，正确的是（ ）A ．带根号的数是无理数B ．无理数都是开不尽方的数C ．无限小数都是无理数D ．无限不循环小数是无理数3．下列命题中，正确的个数是（ ）①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。
A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）①带根号的数是无理数；（ ） ②a -一定没有意义；（ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3的数为3；（ ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。
北师大版八年级(上)数学《认识无理数》课堂练习1
2.1 认识无理数
一.说说谁“有理”，谁“无理”
以下各数：－1,23,3.14,－π,3. 3,0,2,27,2
4,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)
其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.
在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________.
二.请你辨别：
如图1是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形
图1
边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个.
三、我国国旗旗面为长方形，长与宽之比为3∶2，国旗通用制作尺寸为长24dm ，宽16dm ，国旗对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？学学老师怎么分析的。
四.请你算一算：
在某项工程中，需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么，请你算一算：
（1）如果精确到十分位，正方形的边长是多少？
（2）如果精确到百分位呢？
参考答案
一.有理数：－1，23，3.14, 3.⋅3,0,2,27,2
4. 无理数：－π,－0.2020020002…… 分数：23，3.⋅3 ,2
7 整数：－1，0，2，2
4
二.边长为有理数的正方形有 3 个，边长为无理数的有 6 个
三、解：a 2=2402+1602=83200
故a 不可能是整数，也不可能是分数，更不可能是有理数.
四.(1)1.7米 (2)1.73米。
2.1 认识无理数-2020秋北师大版八年级数学上册习题课件(共15张PPT)
正确的是( C )
A.斜边长为25 B.周长为25
C.斜边长为5 D.面积为20
3.若x2=27,则|x|介于正整数 5 和 6 之间.
2.1 认识无理数
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-3-
4.如图,在3×3的方格中,有一个阴影正方形,设每一个小方格 的边长为1个单位,请解决下面的问题.
-8-
12.( 教材母题变式 )如图是16个边长为1的小正方形拼成的 大正方形,其中CA,CB,CD,CE的长度既不是整数,也不是分数 的有 3 条.
2.1 认识无理数
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-9-
13.( 改编 )把下列各数填入表示它所在的数集的大括号内:
-2,-12,3.020020002…(每两个 2 之间多 1 个 0),272,-π3,-(-3),0.333,0,-34,
-17,
··
3.15
,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数
组成),-1.202020202…(每两个2之间有1个0).
( 1 )整数集合:{-2,-(-3),0,-17…};
( 2 )分数集合:{-12 , 272,0.333,-34,3.1·5·,-1.202020202…(每两个 2 之间有 1 个 0)…}; ( 3 )负有理数集合:{-2,-12,-34,-17,-1.202020202…(每两个 2 之间有 1 个 0)…};
综合能力提升练
拓展探究突破练
-7-
10.如图所示,已知x2=7,那么在数轴上与实数x对应的点可能 是( D )
A.P6
B.P5
C.P1或P6 D.P2或P5 11.下列各数:①-2π;②
认识无理数(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.7 认识无理数（知识讲解）【学习目标】1. 掌握无理数的概念，能正确区别有理数和无理数,2. 掌握无理数的表现形式，并能确找出无理数. 【要点梳理】1、定义：无理数：无限不循环2、无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环3 、区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。
【典型例题】类型一、有理数与无理数的判断1．已知数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0．这个数是有理数还是无理数？为什么？【答案】无理数．因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数． 【分析】根据无理数的定义解答．解：∵数0.101001000100001…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0，∵这个数是无理数，因为这个数是无限不循环小数，所以它是无理数．【点拨】此题考查无理数的定义：无限不循环小数是无理数．熟记定义是解题的关键． 【变式1】指出下列各数中的有理数和无理数：222,,0,,10.1010010001 (7)3π-【答案】有理数有222,0,73-；无理数有,10.1010010001π……【分析】根据对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数．π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数．解：根据有理数和无理数的判断可得，有理数有222,0,,73-,10.1010010001π……【点拨】本题考查了实数中有理数和无理数的分类，解题的关键是掌握有限小数和无限循环小数都称为有理数．无限不循环小数叫无理数．常见的无理数有三种形式：∵含π类．∵看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…．∵带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，1【变式2】请将下列各数填入相应的集合内：74-，0，π，311，-1.010010001···（每两个1之间多一个0），0.5•有理数集 { ···}； 无理数集合 { ···}； 非负数集合：{ ···}．【答案】有理数集合：{74-，0，311，0.5•···}；无理数集合：{π，-1.010010001···（每两个1之间多一个0）···}；非负数集合：{0，π，311，0.5•···}． 【分析】根据有理数的概念、无理数及非负数的概念可直接进行求解．解：有理数集合：{74-，0，311，0.5•···}；无理数集合：{π，-1.010010001···（每两个1之间多一个0）···}； 非负数集合：{0，π，311，0.5•···}． 【点拨】本题主要考查有理数的概念、无理数及非负数，熟练掌握有理数的概念、无理数及非负数是解题的关键．类型二、网格上认识无理数2．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段．【分析】根据有理数常见的类别直接作出整数线段即可；无理数包括无限不循环小数和开方不能开尽的数，据此利用勾股定理即可确定无理数线段．解：图中线段AB，AD的长度能用有理数表示，线段AC，CE的长度不能用有理数表示，理由如下：AD=，均能用有理数表示；1AB=，3AC=CE∴线段AB，AD的长度能用有理数表示，线段AC，CE的长度不能用有理数表示（答案不唯一）．【点拨】题目主要考查有理数和无理数常见的类别，利用勾股定理确定无理数是解题关键．举一反三：【变式1】如图，正方形网格中每个正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．（1）其中一条边为无理数，两条边为有理数；（2）其中两条边为无理数，一条边为有理数；（3）三条边都能为无理数吗？若能在图（3）中画出，此三角形的面积是（填有理数或无理数），并计算出你所画三角形的面积．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）能，有理数，2．【分析】（1）按要求画出三角形；（2）按要求画出三角形；（3）按要求画出三角形，利用面积差求∵ABC的面积．解：（1）如图1，AC=1，AB=2，BC则∵ABC就是符合条件的三角形；（2）如图2，AF=3，∵DEF就是符合条件的三角形；（3）能，如图3，AB BC AC==∵∵ABC就是符合条件的三角形；S△ABC=S长方形DECF-S△ABD-S△AFC-S△BEC，=111 23111322222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，=2．故答案为：有理数．【点拨】本题是作图题，一方面考查了三角形的画法及有理数与无理数的判别，另一方面还考查了勾股定理及三角形面积的求法；本题要熟练掌握勾股定理的运用，用格点作边是有理数，用长方形对角线作边就是无理数．【变式2】在下列44⨯网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．【分析】（1=5，画出图形即可；（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为解：（1=5，∵ABC 即为所求， 如图1所示； （2）由勾股定理得：∵DEF 即为所求， 如图2所示．【点拨】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．类型三、与无理数有关的探究题3．阅读下列材料： 设：0.30.333x ==，∵则10 3.333x =.∵由∵-∵，得93x =，即13x =.所以10.30.3333==. 根据上述提供的方法.把0.7•和1.3•化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？【答案】70.70.7779•=⋯=，41.33•=.任何无限循环小数都可以化成分数.【分析】设0.70.777x ==⋯∵则107.777x =⋯，∵；由-②①，得97x =；由已知，得10.30.3333==，所以11.310.31.3=+=+任何无限循环小数都可以这样化成分数.解：设0.70.777x ==⋯∵则107.777x =⋯，∵由∵-∵，得97x =，即79x =.所以70.70,7779=⋯=. 由已知，得10.30.3333==， 所以141.310.3133=+=+=.任何无限循环小数都能化成分数.【点拨】考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键. 举一反三：【变式1.【分析】用反证法证明．nm（m 、n 为互质的整数），n m =22n m m n=-盾，即可得到结论．nm=（m 、n 为互质的整数），nm=两边平方得n m m n -22n m m n =-．（,22n m m n均为有理数）． 因为有理数对四则运算是封闭的，为无理数矛盾，【点拨】本题考查了用反证法证明数学命题，掌握有理数可表示为nm（m 、n 为互质的整数）是解题的关键．【变式2ab（,a b 均为整数且互质），从而可得222a b =，由此判断出a 是偶数，再设2a c =（c 为整数），从而可得222b c =，由此判断出b 是偶数，据此得出假设不成立，即可得证．ab（,a b 均为整数且互质），则222a b =， 因为22b 是偶数，所以2a 是偶数， 所以a 是偶数， 设2a c =（c 为整数）， 则22242c a b ==，即222b c =， 所以b 也是偶数，这和,a b 互质矛盾．【点拨】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键．类型四、无理数的应用4.面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢？（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由．（2）边长a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索．（3）小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？【答案】（1）12a <<，理由见分析；（2）1，4，1，4；（3）还可以继续算下去，a 不可能是有限小数．【分析】（1）根据正方形的面积越大边长也越大，可得答案； （2）根据计算器开平方运算，可得答案； （3）根据规律，可得答案． 解：（1）12a <<，理由如下：由题意可知，三个正方形的面积分别为1，2，4，∵正方形的面积为边长的平方， ∵面积大的正方形边长也大．（2）∵根据正方形的面积公式可得22a =，借助计算器可得 1.414a = ，∵边长a 的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4．（3）还可以继续算下去，a 不可能是有限小数，因为一个有限小数的平方一定是一个有限小数，不可能是整数,而22a =是正数，所以a 只有可能是无限小数．【点拨】考查了平方根，关键是熟练掌握逐步缩小数值的存在范围的过程． 举一反三：【变式1】如图所示，ABC ∆是直角三角形，四边形ABEF 是正方形.15AC =， 8BC =.(1)求正方形的面积；(2)求正方形对角线的长.（精确到1) 【答案】(1)161； (2)18 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，22222158161AB AC BC =-=-=；（2）连接FAE ，在Rt ABE ∆中.根据勾股定理，得2322AE =.再估计AE 大小.解：（1）在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，得222AB BC AC +=.所以22222158161AB AC BC =-=-=. 所以正方形ABEF 的面积为161.(2)如图，连接AE ，在Rt ABE ∆中.根据勾股定理，得222AB BE AE +=. 所以2322AE =.因为217.5306.25=，218324=，306.25<322<324. 所以17.518AE <<. 所以18AE ≈.所以正方形ABEF 的对角线长约为18.【点拨】此题考查了勾股定理的应用．要注意三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．【变式2】如图，已知OA=OB．（1）写出数轴上点A所表示的数；（2）比较点A所表示的数与-3.2的大小．【答案】（1）2） 3.2>-试题分析：（1）利用勾股定理，得到OB的值.（2 3.17最好，没记住就把2=2103.210.24=，比较平方数的大小.解：（1）由图可知，OB∵点A在原点左边，∵点A表示（2）解法1： 3.17 3.2<，<，3.2∵ 3.2>-．解法2：2=，=2103.210.24<，∵100.24>-，∴-100.24>-.∵ 3.2。
初二数学无理数练习题及答案
初二数学无理数练习题及答案无理数是指不能用两个整数的比来表示的实数。
无理数在数学中扮演着重要的角色，对于初二学生来说，掌握无理数的概念和运算方法是至关重要的。
下面是一些关于初二数学无理数的练习题及答案，帮助学生巩固和提高对无理数的理解和运用能力。
练习题一：1. 将下列无理数化为最简根式：a) √72b) √20c) √502. 将下列无理数化为小数表示，保留两位小数：a) √13b) √21c) √273. 比较下列无理数的大小：a) 2 + √5 和3 + √2b) 5 - √3 和4 + √84. 计算下列无理数的和或差，结果化为最简根式：a) √18 + √12b) 3√5 - 5√55. 用合适的符号填空（>、<、=）：a) √13 ____ 3b) 4 + √7 ____ 6c) 2 - √5 ____ 1练习题答案：1.a) √72 = √(36 × 2) = 6√2b) √20 = √(4 × 5) = 2√5c) √50 = √(25 × 2) = 5√22.a) √13 ≈ 3.61b) √21 ≈ 4.58c) √27 ≈ 5.203.a) 2 + √5 < 3 + √2b) 5 - √3 > 4 + √84.a) √18 + √12 = 3√2 + 2√3b) 3√5 - 5√5 = -2√55.a) √13 > 3b) 4 + √7 < 6c) 2 - √5 > 1通过以上练习题，学生可以巩固无理数的化简、比较和运算方法。
同时也能够培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
建议学生在完成练习题后，仔细阅读答案解析，找出自己在解题过程中的错误和不足之处，并加以改进。
总结：初二数学中的无理数是一个重要的概念，学生需要通过大量的练习来提高对无理数的理解和运用能力。
本文提供了一些针对初二数学无理数的练习题及答案，供学生使用。
七年级数学下册数轴上的无理数综合练习题
七年级数学下册数轴上的无理数综合练习题一、简答题1. 请简要解释什么是无理数？2. 无理数与有理数有什么区别？3. 请列举出至少三个无理数的例子。
4. 如果将无理数表示在数轴上，你认为它们会在数轴上的哪些位置？二、计算题1. 计算：√5 × √52. 计算：√8 + √23. 计算：√27 - √124. 计算：√16 ÷ √45. 计算：√(3 + √5) × √(3 - √5)6. 计算：(√7 + √2) × (√7 - √2)7. 计算：√3 + 2√3 - √38. 下面的哪个数是无理数？请将其简化为最简形式。
a) √16b) √25c) √68d) √819. 计算：(√7 + √6)²10. 计算：(5 + √12)(5 - √12)三、应用题1. 在数轴上，标记出下列无理数的位置：a) √2b) √5c) √7d) √102. 数轴上的点A的坐标为√6，点B的坐标为√11，请判断点A与点B的位置关系，并解释你的答案。
3. 一个地下室里装有一个水槽，该水槽的长度是√13米。
现在需要在水槽的一端铺设一块长为2√3米的木板，与另一端铺设一块长为√7米的木板，是否能够正好铺满整个水槽的长度？如果不行，请解释原因。
4. 请列举出至少三种现实生活中应用无理数的例子，并解释其中的原理。
四、证明题1. 请证明：无理数的平方仍然是无理数。
2. 请证明：√3 + √7 是无理数。
以上为七年级数学下册数轴上的无理数综合练习题，希望能帮助到你。
如有任何问题，请随时向我提问。
八年级数学上册 2.1 认识无理数习题课件 (新版)北师大版
2．1 认识无理数
知识点 1：无理数的概念 1．下列说法正确的是( B ) A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限小数 π C. 是分数 2 D．无限小数是无理数 2．下列各数中是无理数的是( C ) A．0.123 B．0.323 223 C．π D. 5 3
3．半径为 10 的圆的面积是( D ) A．整数 C．有理数 B．分数 D．无理数
无理数：{ 2π，0.121 221 222 1…
}．
知识点2：无理数的认识 6．边长为1的正方形的对角线长是( D ) A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 7．一个长方形的长与宽分别是6 ( D ) A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 cm，3 cm，它的对角线的长是
8．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸上有一个△ABC，下列说 法中正确的是( D ) A．△ABC的三边长都是有理数 B．△ABC的三边长都是无理数 C．△ABC中，AB，AC的长是有理数，BC的长不是有理数 D．△ABC中，AB，AC的长不是有理数，BC的长是有理数
17．面积为15的正方形的边长的整数部分为a，面积为56的正方形的 边长的整数部分为b，求a＋b的值． 解：设面积为15的正方形的边长为x，则x2＝15，∴x在3和4之间，故
a＝3，设面积为56的正方形的边长为y，则y2＝56，∴y在7和8之间，故
b＝7，∴a＋b＝10
18．小明家新买了一张边长是1.3 m的正方形桌子，原有的边长是1 m 的两块台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按下列方法(如 图)，将两块台布拼成一块正方形大台布，你帮小明的姥姥算一算，这 块大台布能盖住现在的新桌子吗？(不考虑损耗)
解：能，理由：设新台布的边长为a，则a2＝2 1.5，∵1.4＞1.3，∴能盖住
秋八年级数学上册北师大版习题课件：第2章 1.认识无理数(共16张PPT)
10．下列正方形的边长不是有理数的是( D ) A．面积为 2.56 的正方形 B．面积为 36 的正方形 C．面积为245的正方形 D．面积为 10 的正方形
11．如图所示，以数轴的 1 个单位长为边作一个正方形，以数轴的原点为圆 心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，点 A 表示的数是一 个( D ) A．在 1 至 2 之间的有限小数 B．在 1～2 之间的分数 C．在 1 至 2 之间的有理数 D．在 1～2 之间的无理数
解：a2＝22＋32＝13.当 3＜a＜4 时，9＜a2＜16；当 3.6＜a＜3.7 时，12.96＜ a2＜13.69；当 3.605＜a＜3.61 时，12.9960＜a2＜13.0321，则精确到百分位时， a 约为 3.61 米．
20．乔迁新居，小明家新买了一张边长是 1.3 m 的正方形桌子，原有的边长 是 1 m 的两块台布都不适用了，丢掉又太可惜了，如图，小明的姥姥按下列 方法，将两块台布拼成一块正方形大台布，你帮小明的姥姥算一算，这块大 台布能盖住现在的新桌子吗(不考虑损耗)?
0．1010010001…(每两个 1 之间的 0 的个数逐次加 1 个)
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 11:27:49 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
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无理数练习题1
【实数知识要点】
1．无理数：
定义：无限不循环小数叫做无理数。
如π=3.1415926
1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；
②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；
③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩
正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：
①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a 、b 互为相反数。
②倒 数：若0a ≠，则1a
称为a 的倒数，0没有倒数。
1ab a =⇔、b 互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()
0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
无理数练习题
1、在实数3.14，25， 3.333330.412⋅⋅
，0.10110111011110
…，π，中，有（ ）个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
2、下列说法中，正确的是（ ）
A ．带根号的数是无理数
B ．无理数都是开不尽方的数
C ．无限小数都是无理数
D ．无限不循环小数是无理数
3．下列命题中，正确的个数是（ ）
①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数；
④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。
A ．0个
B ．2个
C ．4个
D ．6个
4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
①带根号的数是无理数；（ ） 一定没有意义；（ ）
③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 ）
⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。
（ ）
5．a ）
A ．有理数
B ．正无理数
C ．正实数
D ．正有理数
6．下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．倒数等于本身的数只有1
B ．绝对值等于本身的数只有0
C ．相反数等于本身的数只有0
D ．算术平方根等于本身的数只有1
7．下列说法不正确的是（ ）
A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数
B ．整数可以看成是分母为1的分数
C ．有理数都可以化为分数
D ．无理数是开方开不尽的数
8．代数式21a +，，y ，()2
1a -中一定是正数的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9． ）
A ．m 是完全平方数
B ．m 是负有理数
C ．m 是一个完全平方数的相反数
D ．m 是一个负整数
10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ）
A ．整数
B ．分数
C ．有理数
D ．无理数
11．215
的大小关系是（ ）
A ．215<
B ．215<<215<<215
<<
12、 。
13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭
的结果是 。
14、大于
15、试比较下列各组数的大小；
①②
， 1π-， 310-
16、若
210x -+=，求20012002x y +的值为_________
17．已知10b -=，则33a b -+= 。
18．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的 。
19．若a π-=a π-，则4a -= 。
20．若a=5，b=-a -= 。
21．已知4y =，求y x ÷y=________
22．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数。
求：22
22
a b a b -+的值为___________。
23．已知y x -()1
xy -的值为_____________。
24．化简12=____________
认识无理数2
一、 基础闯关训练
1、正三角形的边长为4，高h （ ）
A ．是整数
B ．是分数
C ．是有理数
D ．不是有理数
2、如果一个圆的半径是2，那么该圆的周长是( )
A ．一个有理数
B ．一个无理数
C ．一个分数
D ．一个整数
3、下列说法：①有理数是有限小数；②有限小数都是有理数
③无理数都是无限小数；④无限小数是无理数，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
4、下列说法正确的是（ ）
A ．无限小数是无理数
B ．分数不是有理数
C ．有理数是有限小数
D ．3.1415是有理数
5、下列说法正确的是（ ）
A ．分数是无理数
B ．无限小数是无理数
C ．不能写成分数形式的数是无理数
D ．不能在数轴上表示的数是无理数
6、在下列数3
1； 0； 3.14•； -0.2•； 6.751755175551…(7和1之间5的个数逐次加1)； -2
π中，无理数有 个。
7、下列各数中，无理数有 。
3.14，-31，3
，0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），（π-3）0，0，-2, 0.2•。
8、写出一个比-4大的负无理数 。
9、如下图所示，已知点C ，请你按要求设计△ABC ，使∠C=90°，AC=BC 。
①AB 边为无理数，AC 、BC 均为有理数
②AB 边为有理数，AC 、BC 均为无理数
③三边均为无理数。