实验十四水塔流量估计建模

H
二、问题分析
流量大体上可由两种方法计算: (1) 直接对表1中的用水量用数值插值方法算出各时段的流量, 用它们拟合其它时刻或连续时间的流量; (2)先用表中数据拟合水位--时间函数,求导数即可得到连续 时间的流量. 有了任何时刻的流量,就不难计算一天的总用水量.
H L
三、问题求解
为了表示方便， 将所给表1中的数据全部化为国际标准单位， 时间用小时(h),高度用米(m). 表2 一天内水塔水位记录
数据表3对应的时间--流速散点图如下： 图2 35 30 25 20 15 10 0 5 10 15 20 25 30
11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 0
5
10
15
20
25
30
数据表3对应的时间--流速散点图如下： 图2 35 30 25 20 15 0 5 10 15 20 25 30 (1) 数据插值法 采用拉格朗日、分段线性和三次样条三种数据插值方法。 根据表3的数据，对水泵不工作时段1,2通过采取数据插值 方法可以得到任意时刻的流速，从而知道任意时刻的流量. 对于水泵工作时段1，应用前后时期的流速进行插值。 由于最后水泵工作时段2的数据太少，我们将它与水泵不工 作时段2合并，一同进行数据插值处理（简称混合时段） 10
实验十四
水塔水流量的估计
实验十四
实验目的:
水塔水流量的估计
1. 掌握四种经典的插值方法：拉格朗日插值法、牛顿 插值法、分段插值法、三次样条插值法。 2. 学会用MATLAB软件进行数据插值计算. 3. 学会用数据插值、数据拟合方法建立数学模型并求解.
实验内容:
1. 数据插值、数据拟合理论方法． 2. 熟悉使用MATLAB软件进行数据插值，数据拟合． 3. 简单的数据建模实验：水塔水流量的估计．
MATLAB软件实现数据拟合
(1) lsqcurvefit命令 x=lsqcurvefit(@fun,x0,xdata,ydata) [x，resnorm]=lsqcurvefit(@fun,x0,xdata,ydata) (2) polyfit命令 p=polyfit(x,y,m) y0=polyval(p,x0)
v( x 0 ) = (3 y 0 − 4 y1 + y 2 ) /( x 2 − x 0 )
v ( x n ) = ( − 3 y n + 4 y n −1 − y n − 2 ) /( x n − x n − 2 )
经过计算，得到时间与流速之间的关系数据表3 表 3
时间(h) 0 0.46 1.38 2.395 3.41 4.425 5.44 6.45 7.465 8.45 8.97 9.98 10.93 10.95 11.49 流速(cm/h) 29.89 21.74 18.48 16.22 16.30 15.32 13.04 15.45 13.98 16.35 19.29 水泵开动 水泵开动 33.50 29.63 时间(h) 12.49 13.42 14.43 15.44 16.37 17.38 18.49 19.50 20.40 20.84 22.02 22.96 23.88 24.43 25.45 25.91 流速(cm/h) 31.52 29.03 26.36 26.09 24.73 23.64 23.42 25.00 23.86 22.17 水泵开动 水泵开动 27.09 21.62 18.48 13.30
以第 1 未供水时段数据为例分别用三种方法算出流量函数和用水 量（用水高度）。 t=[0,0.46,1.38,2.395,3.41,4.425,5.44,6.45,7.465,8.45,8.97]; v=[29.89,21.74,18.48,16.22,16.30,15.32,13.04,15.45,13.98,16.35,19.27]; t0=0:0.1:8.97; lglr=lglrcz(t,v,t0); lglrjf=0.1*trapz(lglr) fdxx=interp1(t,v,t0); fdxxjf=0.1*trapz(fdxx) scyt=interp1(t,v,t0,'spline'); sancytjf=0.1*trapz(scyt) plot(t,v,'*',t0,lglr,'r',t0,fdxx,'g',t0,scyt,'b') gtext('lglr') gtext('fdxx') gtext('scyt')
MATLAB软件实现数据插值
yb=interp1(x,y,xb,'method') zb=interp2(x,y,z,xb,yb,'method') vb=interp3(x,y,z,v,xb,yb,zb,'method') yb=spline(x,y,xb) yb=interp1(x,y,xb,'cubic')
一天内水塔水位记录
水位(m) 时间(h) 9.68 12.95 9.45 13.88 9.31 14.98 9.13 15.90 8.98 16.83 8.81 17.93 8.69 19.04 8.52 19.96 8.39 20.84 8.22 22.02 水泵开动 22.96 水泵开动 23.88 10.82 24.99 10.50 25.91 水位(m) 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 水泵开动 水泵开动 10.59 10.35 10.18
30 28 26 24 22 20 18 16 fdxx 14 scyt lglr 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
计算结果：lglrjf=145.6231，fdxxjf=147.1430 ，sancytjf=145.6870
表2
时间(h) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 9.98 10.93 10.95 12.03
H L
已知某一小镇的水塔是一高为40ft，直径为57ft的正圆柱，下 表记录的是某一天水塔水位的真实数据(1ft=0.3024米(m))。 试估计任何时刻(包括水泵正在输水时间)从水塔流出的水流量 和一天的用水总量 表1 已记录的水位高度
时间/s 水位/0.01ft 0 3175 3316 3110 6635 3054 10619 2994 13937 2947 17921 2892 21240 2850 25223 2795 28543 2752 32284 2697 35932 水泵开动 39332 水泵开动 39435 3550 43318 3445 时间/s 46636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270 水位/0.01ft 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 水泵开动 水泵开动 3475 3397 3340
水塔水流量的估计
一． 实验问题
某一地区的用水管理机构要求各社区提供每小时以加仑计的 用水量以及每天所用水的总量。由于许多社区没有测量流入或流 出水塔的水量装置，所以他们只能通过测量水塔每小时的水位高 度来代替每小时的用水量(误差不超过0.05)。当水塔中的水位下降 到最低水位L (27.00ft)时水泵就自动启动向水塔输水, 当水塔水位 达到限定最高水位H (35.00ft)时，水泵停止供水。水泵供水期间 无法测量水泵的供水量。水泵每天输水一次或两次,每次约二小时。
时间(h) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 9.98 10.93 10.95 12.03 水位(m) 时间(h) 9.68 12.95 9.45 13.88 9.31 14.98 9.13 15.90 8.98 16.83 8.81 17.93 8.69 19.04 8.52 19.96 8.39 20.84 8.22 22.02 水泵开动 22.96 水泵开动 23.88 10.82 24.99 10.50 25.91 水位(m) 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 水泵开动 水泵开动 10.59 10.35 10.18
ai , i = 1,2,..., n, 使得
ϕ1(x), ϕ2 (x), ...,ϕn (x), 做拟合函数
S ( a 1 , a 2 ,..., a n ) =
| f ( a 1 , a 2 ,..., a n , x k ) − y k | 2 ∑
k =0
m
方法：多项式拟合，三角函数拟合，指数函数拟合，……
具体方法如下：
设某段数据为{( x 0 , y 0 ), ( x1 , y1 ),..., ( x n , y n )}， 相邻数据中点的平 均流速用下面的公式计算： x i +1 + x i y i − y i +1 v( )= x i +1 − x i 2 中点流速=(左端点的水位-右端点的水位)/时间区间长度 每段数据首尾点的流速用下面的公式计算：
2 (4) 水塔截面面积为 (57 × 0.3048) × π = 237.8 平方米。 4
3.2 流量估计方法
由表2给出的数据，用MTALAB软件做出时间—水位散点图1：
11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 0 5 10 15 20 25 30
为了计算水箱水流量与时间的关系，最简单的方法就是： 根据给出的散点数据图，将数据分为三段，然后对每一 段数据用数据插值或者数据拟合的方法得到流量与时间的近 似函数关系。
数值实验： 下表给出的是21个数据点(x, y), 尝试用MATLAB数学 软件的相关命令进行数据拟合、数据插值实验．
x y x y x y 0 9.01 7 11.18 14 9.15 1 2 3 4 8.95 7.96 7.96 8.02 8 9 10 11 12.26 13.28 13.32 12.61 15 16 17 18 7.90 7.95 8.86 9.81 5 9.05 12 11.29 19 10.80 6 10.13 13 10.22 20 10.93
回顾:
数据插值方法：拉格朗日插值法、牛顿插值法 如何用MATLAB软件进行数据插值、数据拟合计算
讲解:wenku.baidu.com
简单的数据建模实验：水塔水流量的估计．
基本理论方法回顾：
x
x0
y0
x1
y1
x2
y2
L
L
xn
yn
y
多项式插值：满足条件 Pn ( x i ) = y i , i = 0 ,1, 2 , L , n
3.1 模型假设
(1) 流量只取决于水位差,与水位本身无关. (2) Torricelli定律：从小孔流出液体的流速正比于液面高度 的平方根。 在假设出口的水位为零的前提下，题目给出水塔的最低和最 高水位分别是8.1648m(27×0.3024) 和 10.7352m(35.50×0.3024). 因为： sqrt(10.7352/8.1648)=1.1467≈1 所以,可忽略水位对流速的影响。 (3) 流量可以看作是时间的连续函数。因此，为了计算简单， 不妨将流量定义成单位时间流出水的高度，即水位对时间变化率 的绝对值。
H L
二、问题分析
流量是单位时间内流出水的体积.由于水塔是正圆柱形,截面 面积是常数, 所以,流量很容易根据水位相对时间的变化率算出。 水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到: 由表1中 记录的水位下降高度乘以水塔的截面面积就是这一时段的用水量. 这个数值可以用来检验数据插值或拟合结果的准确性。 问题的难点在于:如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水 时段前后的流量经插值或拟合得到. 而作为用于插值或拟合的原始数据, 我们希望水泵不工作时段的流量数 据越准确越好. L
2 n
的n次多项式 Pn ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x + L + a n x 唯一存在。 方法： 拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式 数据拟合： 选定基函数 寻找待定参数 充分小。
f (a1, a2,...,an , x) = a1ϕ1(x) + a2ϕ2 (x) +...+ anϕn (x)