实验十四水塔流量估计建模
数学建模——水塔流量问题
数学建模——⽔塔流量问题实验⼗四⽔塔流量问题【实验⽬的】1．了解有关数据处理的基本概念和原理。
2．初步了解处理数据插值与拟合的基本⽅法，如样条插值、分段插值等。
3．学习掌握⽤MATLAB 命令处理数据插值与拟合问题。
【实验内容】某居民区有⼀供居民⽤⽔的圆形⽔塔，⼀般可以通过测量其⽔位来估计⽔的流量。
但⾯临的困难是，当⽔塔⽔位下降到设定的最低⽔位时，⽔泵⾃动启动向⽔塔供⽔，到设定的最⾼⽔位时停⽌供⽔，这段时间是⽆法测量⽔塔的⽔位和⽔泵的供⽔量。
通常⽔泵每天供⽔⼀两次，每次约两⼩时。
⽔塔是⼀个⾼⽶、直径⽶的正圆柱。
按照设计，⽔塔⽔位降到约⽶时，⽔泵⾃动启动，⽔位升到约⽶时⽔泵停⽌⼯作。
某⼀天的⽔位测量记录如表1所⽰，试估计任何时刻（包括⽔泵正供⽔时）从⽔塔流出的⽔流量，及⼀天的总⽤⽔量。
表1 ⽔位测量启⽰录（0101001111012012)(2x L )(2ξL )(ξf y )(x f n 0x 1x n x 0y 1y n y n n )(x L n )(x L n m x a 011-m x a x a m 1-m a n )(k n x L k y k n )(ξn L )(ξf )(x L n )(x f n m n )(x L n )(x f x )(x L n )(x f a 0x 1x nx b )(x P 11----i i i i y x x x x i i i i y x x x x 11----1-i x x i x i n 0x 0y 1x 1y n x n y a b )(x S k )(x S k )(x S i i y )(x S a b k n i x i y i n i x y )(x f )(x f )(x f )(11x r a )(22x r a )(x r a m m )(x r k k a k m m n k a Q∑=-ni ix f 12i)y )((10t t t t t t t t t dt3;%% ⽤差分计算t（22）和t（23）的流量S 2.8/8.>> t3=[20 t(22) t(23)];% 取第2时段20，两点和第3时段，两点>> xx3=[abs(polyval(a2,t3(1:2))),dht3]; 取第2时段20，两点和第3时段，两点的流量>> c3=polyfit(t3,xx3,3)% 拟合出第2⽔泵供⽔时段的流量函数>> tp3=::24;>> x3=polyval(c3,tp3);% 输出第2供⽔时段（外推到t＝24）各时刻的流量求第1、2时段和第1、2供⽔时段流量的积分之和，就是⼀天总⽤⽔量。
估计水塔的水流量
估计水塔的水流量美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出当地水塔的水量的装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其精度不超过5%,更重要的是,当水塔中的水位下降最低水位L 时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H,但也不能测量水泵的供水量.因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和水泵工作时用水量之间的关系.水泵每两天输水一次或两次,每次约二小时.试估计任何时刻(包括水泵正在输水的017921 时间内)从水塔流出的流量f(t),并估计一天的总用水量.附表给出了某各小镇一天中真实的数据.附表给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻.以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水位测量值.例如,3316 秒后,水塔中水位达到31.10 英尺.水塔是一个高为40 英尺,直径为57 英尺的正圆柱.通常当水塔水位降至约27.00 英尺的水泵开始工作,当水位升到35.50 英尺时水泵停止工作.问题分析与数据处理由问题的要求,关键在于确定用水率函数,即单位时间内用水体积,记为f(t),又称水流速度.如果能够通过测量数据,产生若干个时刻的用水率,也就是f(t)在若干个点的函数值,则f(t)的计算问题就可以转化为插值或拟合问题一,问题假设1)水塔中水流量是时间的连续光滑函数,与水泵工作与否无关,并忽略水位高度对水流速度的影响.2)水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度,且每次加水的工作时间为2小时.3)水塔为标准圆柱体.4)水泵第一次供水时间为[32284, 39435],第二次供水时间段为[75021,85948].5)为了方便计算我们把表格中的秒转化成小时.6）我们规定以下符号：h:水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺；v:水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑； t:时间，单位为小时；f:模型估计的水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑/小时p:水泵工作时的充水水流量，也是时间的函数，单位为加仑/小时。
水塔流量估计的数学建模
水塔流量估计的数学建模1. 引言水塔是现代城市供水系统中至关重要的组成部分，其作用是通过储存水源来保障城市居民日常用水，并且在有紧急情况时提供应急用水。
为了更好地保障全社会的用水需求，并降低供水系统建设和运营成本，对水塔的流量进行准确的估计和预测具有重要意义。
本文将探讨如何利用数学建模的方法对水塔流量进行估计和预测。
2. 水塔流量的影响因素水塔流量的大小受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：2.1 水塔容积水塔的容积越大，其流量也就越大。
因此，在进行水塔流量估计时，首先需要考虑其容积。
2.2 外部水压水塔的流量受到外部水压的影响。
如果外部水压较大，则水塔的流量也将较大。
2.3 水泵功率水泵功率的大小直接影响到水塔的流量大小。
水泵功率越大，水塔的流量也就越大。
2.4 关阀状态水塔流量还受到管道关阀状态的影响。
如果关阀状态较大，则水塔流量也将减小。
3. 水塔流量的数学建模方法水塔流量的数学建模方法主要包括以下几个步骤：3.1 收集数据收集水塔流量的相关数据，并对其进行初步的整理和分析。
3.2 设计建模方程根据已收集到的数据，设计合适的建模方程。
建模方程需要考虑到水塔容积、外部水压、水泵功率、关阀状态等多种因素。
3.3 参数估计利用已有的数据对建模方程中的参数进行估计。
参数估计是非常重要的一步，其准确性直接影响到模型的准确性和可靠性。
3.4 模型检验和优化使用已有的数据来对所建立的模型进行检验和优化。
检验过程中需要对模型的精度、准确性、鲁棒性等进行评估，如果出现问题，需要进行适当的调整。
4. 案例分析为了说明水塔流量估计的数学建模方法，我们以某市几座水塔为例进行分析。
4.1 收集数据在该市的几座水塔中，我们选取了其中一座水塔进行了数据的收集，主要包括该水塔的容积、水泵功率、外部水压等基本信息。
4.2 设计建模方程根据收集到的数据，我们设计了一个基础的建模方程，其中各项参数分别为：Q为流量，V为水塔容积，P为外部水压，H为水泵的扬程，K为关阀系数。
水塔水流量的估计
水塔水流量的估计一．实验问题某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一次，每次约2h。
水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
按照设计，水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升到约10.8m时水泵停止工作。
表1是某一天的水位测量纪录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1 水位测量纪录二．问题分析根据以上数据的形式和以往经验，适合采用线性拟合的方式进行数据处理。
对第1、2、3未供水时段可直接进行用五次多项式进行拟合。
对第1、2供水时段分别在两端各取两个点用前后时刻的流速拟合得到。
结果可以用分段函数表示分为5段，分别是第一未供水时段，第一供水时段，第二未供水时段，第二供水时段，第三未供水时段。
得出流速之后再乘以水塔横截面积即得任何时刻与水塔流出水流量的关系，即流速与时间的关系。
对流速进行分段积分并求和，即得一天的总水流量。
三．程序的设计与求解方法1.数据的单位转换水塔的横截面积为A=（17.4）^2*pi/4=237.0661(平方米)。
2.拟合水位——时间函数（1）对第1未供水时段的数据进行拟合。
t=[0 0.92 1.84 2.90 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 23.88 24.99 25.91]h=[ 9.68 9.48 9.31 9.13 8.98 8.81 8.69 8.52 8.39 8.22 10.82 10.50 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 10.59 10.35 10.18] f1=polyfit(t(1:10),h(1:10),5); tm1=0:0.1:9.0; y1=polyval(f1,tm1); plot(tm1,y1)01234567898.28.48.68.899.29.49.69.8（2）对第2未供水时段的数据进行拟合。
【精品】水塔水流量的估计建模问题
水塔水流量的估计
美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量.许多社区没有测量流入或流出水塔的水量装置,他们只能代之以每小时测量水塔中的水位,其误差不超过5％。
更重要的是,当水塔中的水位下降到最低水位L时水泵就启动向水塔输水直到最高水位H，期间不能测量水泵的供水量。
因此,当水泵正在输水时不容易建立水塔中水位和用水量之间的关系。
水泵每天输水一次或两次,每次约二小时.
试估计任何时刻（包括水泵正在输水时间)从水塔流出的水流量f(t）,并估计一天的总用水量。
已知该水塔是一个高为40英尺（ft）,直径为57英尺(ft)的正圆柱，表12。
1给出了某个小镇一天水塔水位的真实数据，水位降至约27.00ft水泵开始工作,水位升到35。
50ft停止工作。
（注：1英尺(ft）=0.3024米(m)）
表12-1某小镇某天水塔水位。
MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题Word版
估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸摘要：在估计某地区的用水速度和日总用水量的时候，在已知某时间t下的水位h，以及水塔直径，求出t时刻的水体积，由于没有具体函数，故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度，再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。
最终，通过数值积分方法求出日用水总量I。
符号及含义：t：时刻；h：水位高度；D：水塔直径；V：水体积；dV：水流速度；I：日用水总量。
一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）和日总用水量进行估计。
现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高12.2m，塔的直径为17.4m。
水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约8.2m时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约10.8m时，水泵停止工作。
表2给出的是某一天的测量数据，测量了28个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用—表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。
表2 水塔中水位原始数据二、求解问题1、水塔中的水体积计算求解的问题的关键是求解出用水的速度，即单位时间内的用水体积，由于水塔可以近似成圆柱体，所以水塔的体积V可近似成：V=π4D2ℎ式中D为水塔直径D=17.4m，h为水位高度。
其中，在三个无法得到水位的时刻，其水位高度用一个负数表示，即该时刻水位为负值，显然现实当中无法出现这样的情况，现在我们用-1表示其水位。
现在开始计算水塔的体积:输入t=[0 0.921 1.843 2.949 3.871 4.978 5.900 ...7.006 7.928 8.967 9.981 10.925 10.954 12.032 ...12.954 13.875 14.982 15.903 16.826 17.931 19.037 ...19.959 20.839 22.015 22.958 23.880 24.986 25.908];h=[9.677 9.479 9.308 9.125 8.982 8.814 8.686 ...8.525 8.388 8.220 -1 -1 10.820 10.500 ...10.210 9.936 9.653 9.409 9.180 8.921 8.662 ...8.433 8.220 -1 10.820 10.591 10.354 10.180];D=17.4；V=pi/4*D^2*h;最终求得V= [2.3011 2.2540 2.2133 2.16982.1358 2.0959 2.0654 2.0271 1.9946 1.9546-0.2378 -0.2378 2.5729 2.4968 2.42782.3627 2.2954 2.2373 2.1829 2.1213 2.0597 2.0053 1.9546 -0.2378 2.5729 2.5184 2.4620 2.4207]。
数学建模估计水塔的流量用数学软件求解拟合问题
算法设计与编程
1. 拟合第1、2时段的水位，并导出流量
2. 拟合供水时段的流量
3. 估计一天总用水量
4. 流量及总用水量的检验
1. 拟合第1时段的水位，并导出流量 设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各 时刻的流量可如下得： 1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数 2）a1=polyder（c1）； % a1输出多项式（系数为c1）导数的系数
m 3 103 L
MATLAB(llgjz)
4. 流量及总用水量的检验
计算出的各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验．用水量y1可用第1时段水位测 量记录中下降高度968-822=146来检验，类似地，y2用1082-822=260检验． 供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段的用水量加上水位上升值 260是该时段泵入 的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的 功率应大致相等．第1、2时段水泵的功率可计算如下： p1=(y12+260)/2； %第1供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2输出第2供水时段 各时刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） 计算结果：p1=154.5 ，p2=140.1
用非线性最小二乘拟合c(t)-用lsqcurvefit
1. 用M文件curvefun3.m定义函数
function f=curvefun3(x,tdata) d=300 f=(x(1)\d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k
水塔流量估计的数学建模
水塔流量估计的数学建模水塔是城市供水系统中的重要组成部分，它们储存着大量的水资源，为城市居民提供生活用水。
在城市供水系统中，水塔的流量是一个非常重要的参数，它直接影响着供水系统的运行效率和水资源的利用率。
因此，如何准确地估计水塔的流量是一个非常重要的问题。
水塔的流量估计可以通过数学建模来实现。
首先，我们需要了解水塔的基本结构和工作原理。
水塔通常由水箱、进水管、出水管、溢流管等组成。
当水箱内的水位下降时，进水管会自动打开，将外部的水源引入水箱中，同时出水管会自动关闭，防止水箱内的水流失。
当水箱内的水位上升到一定高度时，溢流管会自动打开，将多余的水流出水箱，以保持水箱内的水位稳定。
在水塔的运行过程中，我们可以通过测量进水管和出水管的水流速度来估计水塔的流量。
根据流量的定义，流量等于单位时间内通过某一截面的液体体积。
因此，我们可以通过测量进水管和出水管的截面积和水流速度来计算水塔的流量。
具体地，假设进水管的截面积为A1，出水管的截面积为A2，进水管的水流速度为v1，出水管的水流速度为v2，则水塔的流量Q可以表示为：Q = A1v1 - A2v2其中，A1v1表示进水管的流量，A2v2表示出水管的流量。
由于进水管和出水管的截面积和水流速度可能会随着时间的变化而发生变化，因此我们需要不断地对它们进行测量和调整，以保证水塔的流量估计的准确性。
除了测量进水管和出水管的水流速度外，我们还可以通过其他的方法来估计水塔的流量。
例如，我们可以通过测量水塔内部的水位变化来估计水塔的流量。
具体地，我们可以安装水位传感器在水塔内部，通过测量水位的变化来计算水塔的流量。
这种方法的优点是不需要对进水管和出水管进行测量，但是需要安装水位传感器，成本较高。
水塔流量估计的数学建模是一个非常重要的问题。
通过测量进水管和出水管的水流速度或者测量水塔内部的水位变化，我们可以准确地估计水塔的流量，从而保证城市供水系统的正常运行。
MATLAB数学建模估计水塔的水流量问题
估计水塔的水流量自动化12K2 许杨旸摘要:在估计某地区的用水速度与日总用水量的时候,在已知某时间t下的水位h,以及水塔直径,求出t时刻的水体积,由于没有具体函数,故用差商方法近似求出水体积对时间t的导数即用水速度,再利用三样条插值方法求出不同时刻的用水速度。
最终,通过数值积分方法求出日用水总量I。
符号及含义:t:时刻;h:水位高度;D:水塔直径;V:水体积;dV:水流速度;I:日用水总量。
一、提出问题某地区用水管理机构需要对居民的用水速度(单位时间的用水量) 与日总用水量进行估计。
现有一居民区,其自来水就是由一个圆柱形水塔提供,水塔高12、2m,塔的直径为17、4m。
水塔就是由水泵根据水塔中的水位自动加水,一般水泵每天工作两次,按照设计,当水塔中的水位降至最低水位,约8、2m时,水泵自动启动加水;当水位升高到最高水位,约10、8m时,水泵停止工作。
表2给出的就是某一天的测量数据,测量了28个时刻的数据,但由于水泵正向水塔供水,有三个时刻无法测到水位(表中用—表示),试建立数学模型,来估计居民的用水速度与日用水量。
时刻19、959 20、839 22、015 22、958 23、880 24、986 25、908(t)/h水位8、433 8、220 ——10、820 10、591 10、354 10、180(t)/m二、求解问题1、水塔中的水体积计算求解的问题的关键就是求解出用水的速度,即单位时间内的用水体积,由于水塔可以近似成圆柱体,所以水塔的体积V可近似成:式中D为水塔直径D=17、4m,h为水位高度。
其中,在三个无法得到水位的时刻,其水位高度用一个负数表示,即该时刻水位为负值,显然现实当中无法出现这样的情况,现在我们用-1表示其水位。
现在开始计算水塔的体积:输入t=[0 0、921 1、843 2、949 3、871 4、978 5、900 、、、7、006 7、928 8、967 9、981 10、925 10、954 12、032 、、、12、954 13、875 14、982 15、903 16、826 17、931 19、037 、、、19、959 20、839 22、015 22、958 23、880 24、986 25、908];h=[9、677 9、479 9、308 9、125 8、982 8、814 8、686 、、、8、525 8、388 8、220 -1 -1 10、820 10、500 、、、10、210 9、936 9、653 9、409 9、180 8、921 8、662 、、、8、433 8、220 -1 10、820 10、591 10、354 10、180];D=17、4;V=pi/4*D^2*h;最终求得V= [2、3011 2、2540 2、2133 2、1698 2、1358 2、0959 2、0654 2、0271 1、9946 1、9546 -0、2378 -0、2378 2、5729 2、4968 2、4278 2、3627 2、2954 2、2373 2、1829 2、1213 2、0597 2、0053 1、9546 -0、2378 2、5729 2、5184 2、4620 2、4207]。
水塔流量问题(专业教学)
本科生课程设计报告
实习课程数值分析
学院名称管理科学学院
专业名称
学生姓名
学生学号
指导教师
实验地点
实验成绩
二〇一六年六月二〇一六年六月
估计水塔的水流量
摘要
水塔流量的估计是一个较为经典的数学建模问题，本问题最大的困难在于不知泵启动时水位的变化和向外水流的速度.解决该问题，先确定近似流速，利用中点数值求导公式计算出每个时间点出的流速，再利用插值与拟合计算出流速与时间的函数，对0到24小时积分可得总用水量，这是第一种方法.第二种方法，水泵没有开动时利用高度差计算用水量，水泵开动时利用积分，这样计算出的结果较为准确，2种方法比较，可得出误差.
关键词：中点数值求导；插值与拟合；积分
目录
第1章前言 (1)
1.1 内容及要求 (1)
1.2 研究思路及结构安排 (2)
第2章模型建立与求解 (3)
2.1模型假设 (3)
2.2确定近似流速 (3)
2.3 确定水泵启动时的流量及总流量曲线 (4)
2.4确定总用水量 (4)
第3章算法步骤 (6)
3.1 中点数值求导函数步骤及流程图 (6)
3.2 三次样条插值函数步骤及流程图 (7)
第4章算法实现 (7)
4.1 程序总体结构 (7)
4.2 源程序清单 (8)
4.3 程序运行 (12)
第5章误差分析 (15)
第6章模型的评价和改进 (16)
6.1 优点 (16)
6.2 缺点 (16)
6.3 模型的改进方向 (16)
参考文献 (16)。
估计水塔水流量的求解模型要点
估计水塔水流量的求解模型摘要由所给的题目可知，本问题是一个关于如何计算居民用水的问题，由题目给出的表格，可知不同时刻的水位，根据所要求的不同时刻水位的不同入手，此计算问题就可以转化为插值或拟合问题。
这里主要考虑采用插值的方法，可以利用MATLAB软件进行插值和曲线拟合计算并解决一些具体的实际问题。
根据题目建立模型并采用插值的方法进行求解，推算出任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
关键词：用水规律与水泵的工作功率原始数据用水规律与水泵的工作功率一、问题重述1.1基本情况某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。
面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。
通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 已知水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。
1.2 所要解决的问题现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率。
按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8.2米时，水泵自动启动加水；当水位升高到一个最高水位，约10.8米时，水泵停止工作。
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率。
表1是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有4个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位记录(表中用符号//表示)。
所要解决的问题就是，要估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。
表1水位测量记录（符号//表示水泵启动）二、问题背景1991年的美国大学生数学建模竞赛A题(AMCM1991A),由于它是水库调度、自来水管理、公共场所的人流量估计等问题的代表,因此有许多文献对其进行了研究,但一般都是采用差分与拟合的方法。
而由于居民何时用水是无法准确的预报的,可能引起的水位的变化是随机事件,因此,可以以水容量作为随机变量,建立一个随机数学模型,不仅可以给出了水塔流量函数,同时还可以讨论水容量函数的数学期望。
估计水塔的水流量(AMCM91
估计水塔的水流量(AMCM911.实验问题某地的用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。
更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。
因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。
水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。
试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量。
水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。
下表给出了某个小镇某一天的真实数据。
表：某小镇某天的水塔水位（1m=3.281英尺）2.实验分析2.1 计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度乘以水塔横截面积。
2.2 把时间分成5段：第1未供水段、水泵开启第1段、第2未供水段、水泵开启第2段、第3未供水段。
2.3 先直接对第1、2、3未供水段进行5次曲线拟合。
2.4 再对得到的曲线分别求导，取得流速（即单位时间内流出的水的高度）。
2.5 水泵开启第1、2段，分别在两端各取两个点，用时刻流速进行拟合得到这两段的流速。
2.6 流速乘以水塔横截面积就得到任何时刻的水流量。
2.7 对其进行分段积分，求和得到一天的总水流量。
3.程序设计与求解方法3.1 对表中数据进行处理数据的单位转换：46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,85968,89953,932 70];y=[31.75,31.10,30.54,29.94,29.55,28.92,28.50,27.87,27.52,26.97,35.50, 34.45,33.50,32.67,31.56,30.81,30.12,29.27,28.42,27.67,26.97,34.75,33. 89,33.40];t=x/3600; %时间单位为小时h=y/3.281; %水位高度单位为米水塔横截面积为a=pi*(57/2)^2;3.2 对第1段未供水段进行5次拟合x1=t(1:10);y1=h(1:10);f1=polyfit(x1,y1,5);t1=0:0.01:t(10);h1=polyval(f1,t1);plot(x1,y1,'o',t1,h1,'k');xlabel('时间（h）');ylabel('水位(m)');title('第一未供水时段的时间水位图')3.3 对第2段未供水段进行5次拟合x2=t(11:21);y2=h(11:21);f2=polyfit(x2,y2,5);t2=t(11):0.01:t(21);h2=polyval(f2,t2);plot(x2,y2,'o',t2,h2,'r');xlabel('时间(h)');ylabel('水位(m)');title('第二未供水时段的时间水位图 ')3.4 对第3段未供水段进行5次拟合x3=t(22:24);y3=h(22:24);f3=polyfit(x3,y3,5);t3=t(22):0.01:t(24);h3=polyval(f3,t3);plot(x3,y3,'o',t3,h3,'r');xlabel('时间(h)');ylabel('水位(m)');title('第三未供水时段的时间水位图 '3.5 对1、2、3未供水段进行求导，得到流速，再乘以水塔横截面积得流量b1=polyder(f1);%求导b2=polyder(f2);%求导b3=polyder(f3);%求导g1=-polyval(b1,t1)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g11=-polyval(b1,x1)*a;g2=-polyval(b2,t2)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g22=-polyval(b2,x2)*a;g3=-polyval(b3,t3)*a;%流速值再乘以水塔横截面积得流量g33=-polyval(b3,x3)*a;plot(x1,g11,'*',t1,g1,'c') %第一未供水段时间流量图plot(t2,g2) %第二未供水段时间流量图plot(t3,g3) %第三未供水段时间流量图3.6 求水泵开启第一段的时间流量图，取那段的前后两端各两个点的流速进行拟合，再乘以水塔横截面积得流量。
水塔水流量估计模型与数据插值总结
一
数据插值
给定n个数据点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),, ( xn , yn ),
试求一个较为简单的函 数P ( x )，使得P ( x )满足 yi P ( xi ), i 1,2,, n
称P(x)为插值函数。也即求解一条严格通过各数 据点的曲线，用它来进行分析研究和预测，这种 方法常称为数据插值法。
称为牛顿插值公式，最后一项称为牛顿插值余项， 记为Rn(x)，余项前的多式称为插值多项式，记 为Pn(x)。
牛顿插值多项式具有以下特点：
（1）在插值结点处与拉格朗日插值一样，误差 为零； （2）多项式k次项的系数是f(x)的k阶差商； （3）增加插值节点时，只增加最后一项，不必 像拉格朗日插值公式那样需要重新计算系数。 在做牛顿插值时，一般先做出差商表，然后套 用公式。
n 1 1
解为X A1Y .
可以证明，对于n+1个不同结点，必存在唯一的次 数不超过n的满足条件的多项式，这个多项式称为 插值多项式，这种方法称为n次多项式插值（或代 数插值。
为了以后使用方便，先编制一个Lagrange插值函数程序： function p=lagrange(x,y) L=length(x); A=ones(L); for j=2:L A(:,j)=A(:,j-1).*x'; end X=inv(A)*y'; for i=1:L p(i)=X(L-i+1); end
5
4
3
2
1
0
-1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
从结果可以看到，所插值的4次多项式曲线较好地连接了5个 数据点，从而可以用此多项式曲线作为这5个数据的一个近 似变化。
水塔流量问题
本科生课程设计报告实习课程数值分析学院名称管理科学学院专业名称学生姓名学生学号指导教师实验地点实验成绩二〇一六年六月二〇一六年六月估计水塔的水流量摘要水塔流量的估计是一个较为经典的数学建模问题，本问题最大的困难在于不知泵启动时水位的变化和向外水流的速度.解决该问题，先确定近似流速，利用中点数值求导公式计算出每个时间点出的流速，再利用插值与拟合计算出流速与时间的函数，对0到24小时积分可得总用水量，这是第一种方法.第二种方法，水泵没有开动时利用高度差计算用水量，水泵开动时利用积分，这样计算出的结果较为准确，2种方法比较，可得出误差.关键词：中点数值求导；插值与拟合；积分目录第1章前言..................................................................................................... 错误！未指定书签。
1.1内容及要求...................................................................................... 错误！未指定书签。
1.2研究思路及结构安排...................................................................... 错误！未指定书签。
第2章模型建立与求解................................................................................. 错误！未指定书签。
2.1模型假设.......................................................................................... 错误！未指定书签。
2.2确定近似流速.................................................................................. 错误！未指定书签。
水塔用水量的估计—插值
t=0:0.1:20;
v=interp1(t0,v0,t,'spline');
plot(t0,v0,'k+',t,v,'r')
Grid
trapz(t,v)
四、实验结果及分析
ans =
310.4260
结果显示：从静止开始20分钟内走过的路程为310.4260。
[2]了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想；
[3]了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；
[4]掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法；
[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
基础实验
一、实验内容
1.一维插值利用以下函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
插值点：t=1:0.1:31
在matlab命令窗口输入程序：
t0=[18 20 22 24 26 28 30];
d0=[9.9617724 9.9543645 9.9468069 9.9390950 9.9312245 9.9231915 9.9149925];
t=1:0.1:31;
d=interp1(t0,d0,t,'spline');
确定地球与金星之间的距离
天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表7.3。
表7.3
日期（号）
18
20
22
24
26
28
30
距离对数
9.96177
9.9390950
水塔水流量估计
答卷编号（参赛学校填写）：答卷编号（竞赛组委会填写）：论文题目： 98年A组别：本科参赛队员信息(必填)：参赛学校：承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：估计水塔的流量一、问题重述某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时.水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正圆柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作．表1 是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量．二、模型假设1、假设该水塔为标准的圆柱形。
2、水塔的流量只取决水塔内水位的差值，与其水位的高低无关且该流量应看做连续光滑的变量。
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H L
二、问题分析
流量是单位时间内流出水的体积.由于水塔是正圆柱形,截面 面积是常数, 所以,流量很容易根据水位相对时间的变化率算出。 水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到: 由表1中 记录的水位下降高度乘以水塔的截面面积就是这一时段的用水量. 这个数值可以用来检验数据插值或拟合结果的准确性。 问题的难点在于:如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水 时段前后的流量经插值或拟合得到. 而作为用于插值或拟合的原始数据, 我们希望水泵不工作时段的流量数 据越准确越好. L
数值实验： 下表给出的是21个数据点(x, y), 尝试用MATLAB数学 软件的相关命令进行数据拟合、数据插值实验．
x y x y x y 0 9.01 7 11.18 14 9.15 1 2 3 4 8.95 7.96 7.96 8.02 8 9 10 11 12.26 13.28 13.32 12.61 15 16 17 18 7.90 7.95 8.86 9.81 5 9.05 12 11.29 19 10.80 6 10.13 13 10.22 20 10.93
v( x 0 ) = (3 y 0 − 4 y1 + y 2 ) /( x 2 − x 0 )
v ( x n ) = ( − 3 y n + 4 y n −1 − y n − 2 ) /( x n − x n − 2 )
经过计算，得到时间与流速之间的关系数据表3 表 3
时间(h) 0 0.46 1.38 2.395 3.41 4.425 5.44 6.45 7.465 8.45 8.97 9.98 10.93 10.95 11.49 流速(cm/h) 29.89 21.74 18.48 16.22 16.30 15.32 13.04 15.45 13.98 16.35 19.29 水泵开动 水泵开动 33.50 29.63 时间(h) 12.49 13.42 14.43 15.44 16.37 17.38 18.49 19.50 20.40 20.84 22.02 22.96 23.88 24.43 25.45 25.91 流速(cm/h) 31.52 29.03 26.36 26.09 24.73 23.64 23.42 25.00 23.86 22.17 水泵开动 水泵开动 27.09 21.62 18.48 13.30
2 (4) 水塔截面面积为 (57 × 0.3048) × π = 237.8 平方米。 4
3.2 流量估计方法
由表2给出的数据，用MTALAB软件做出时间—水位散点图1：
11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 0 5 10 15 20 25 30
为了计算水箱水流量与时间的关系，最简单的方法就是： 根据给出的散点数据图，将数据分为三段，然后对每一 段数据用数据插值或者数据拟合的方法得到流量与时间的近 似函数关系。
实验十四
水塔水流量的估计
实验十四
实验目的:
水塔水流量的估计
1. 掌握四种经典的插值方法：拉格朗日插值法、牛顿 插值法、分段插值法、三次样条插值法。 2. 学会用MATLAB软件进行数据插值计算. 3. 学会用数据插值、数据拟合方法建立数学模型并求解.
实验内容:
1. 数据插值、数据拟合理论方法． 2. 熟悉使用MATLAB软件进行数据插值，数据拟合． 3. 简单的数据建模实验：水塔水流量的估计．
H
二、问题分析
流量大体上可由两种方法计算: (1) 直接对表1中的用水量用数值插值方法算出各时段的流量, 用它们拟合其它时刻或连续时间的流量; (2)先用表中数据拟合水位--时间函数,求导数即可得到连续 时间的流量. 有了任何时刻的流量,就不难计算一天的总用水量.
H L
三、问题求解
为了表示方便， 将所给表1中的数据全部化为国际标准单位， 时间用小时(h),高度用米(m). 表2 一天内水塔水位记录
数据表3对应的时间--流速散点图如下： 图2 35 30 25 20 15 10 0 5 10 15 20 25 30
11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 0
5
10
15点图如下： 图2 35 30 25 20 15 0 5 10 15 20 25 30 (1) 数据插值法 采用拉格朗日、分段线性和三次样条三种数据插值方法。 根据表3的数据，对水泵不工作时段1,2通过采取数据插值 方法可以得到任意时刻的流速，从而知道任意时刻的流量. 对于水泵工作时段1，应用前后时期的流速进行插值。 由于最后水泵工作时段2的数据太少，我们将它与水泵不工 作时段2合并，一同进行数据插值处理（简称混合时段） 10
3.1 模型假设
(1) 流量只取决于水位差,与水位本身无关. (2) Torricelli定律：从小孔流出液体的流速正比于液面高度 的平方根。 在假设出口的水位为零的前提下，题目给出水塔的最低和最 高水位分别是8.1648m(27×0.3024) 和 10.7352m(35.50×0.3024). 因为： sqrt(10.7352/8.1648)=1.1467≈1 所以,可忽略水位对流速的影响。 (3) 流量可以看作是时间的连续函数。因此，为了计算简单， 不妨将流量定义成单位时间流出水的高度，即水位对时间变化率 的绝对值。
以第 1 未供水时段数据为例分别用三种方法算出流量函数和用水 量（用水高度）。 t=[0,0.46,1.38,2.395,3.41,4.425,5.44,6.45,7.465,8.45,8.97]; v=[29.89,21.74,18.48,16.22,16.30,15.32,13.04,15.45,13.98,16.35,19.27]; t0=0:0.1:8.97; lglr=lglrcz(t,v,t0); lglrjf=0.1*trapz(lglr) fdxx=interp1(t,v,t0); fdxxjf=0.1*trapz(fdxx) scyt=interp1(t,v,t0,'spline'); sancytjf=0.1*trapz(scyt) plot(t,v,'*',t0,lglr,'r',t0,fdxx,'g',t0,scyt,'b') gtext('lglr') gtext('fdxx') gtext('scyt')
水塔水流量的估计
一． 实验问题
某一地区的用水管理机构要求各社区提供每小时以加仑计的 用水量以及每天所用水的总量。由于许多社区没有测量流入或流 出水塔的水量装置，所以他们只能通过测量水塔每小时的水位高 度来代替每小时的用水量(误差不超过0.05)。当水塔中的水位下降 到最低水位L (27.00ft)时水泵就自动启动向水塔输水, 当水塔水位 达到限定最高水位H (35.00ft)时，水泵停止供水。水泵供水期间 无法测量水泵的供水量。水泵每天输水一次或两次,每次约二小时。
时间(h) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 9.98 10.93 10.95 12.03 水位(m) 时间(h) 9.68 12.95 9.45 13.88 9.31 14.98 9.13 15.90 8.98 16.83 8.81 17.93 8.69 19.04 8.52 19.96 8.39 20.84 8.22 22.02 水泵开动 22.96 水泵开动 23.88 10.82 24.99 10.50 25.91 水位(m) 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 水泵开动 水泵开动 10.59 10.35 10.18
H L
已知某一小镇的水塔是一高为40ft，直径为57ft的正圆柱，下 表记录的是某一天水塔水位的真实数据(1ft=0.3024米(m))。 试估计任何时刻(包括水泵正在输水时间)从水塔流出的水流量 和一天的用水总量 表1 已记录的水位高度
时间/s 水位/0.01ft 0 3175 3316 3110 6635 3054 10619 2994 13937 2947 17921 2892 21240 2850 25223 2795 28543 2752 32284 2697 35932 水泵开动 39332 水泵开动 39435 3550 43318 3445 时间/s 46636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270 水位/0.01ft 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 水泵开动 水泵开动 3475 3397 3340
回顾:
数据插值方法：拉格朗日插值法、牛顿插值法 如何用MATLAB软件进行数据插值、数据拟合计算
讲解:
简单的数据建模实验：水塔水流量的估计．
基本理论方法回顾：
x
x0
y0
x1
y1
x2
y2
L
L
xn
yn
y
多项式插值：满足条件 Pn ( x i ) = y i , i = 0 ,1, 2 , L , n
MATLAB软件实现数据插值
yb=interp1(x,y,xb,'method') zb=interp2(x,y,z,xb,yb,'method') vb=interp3(x,y,z,v,xb,yb,zb,'method') yb=spline(x,y,xb) yb=interp1(x,y,xb,'cubic')
2 n
的n次多项式 Pn ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x + L + a n x 唯一存在。 方法： 拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式 数据拟合： 选定基函数 寻找待定参数 充分小。