人教版必修一：函数的映射

[解析]
(1)依题意，(－2,3)→(－2＋3，－2×3)，所以 A
中元素(－2,3)的象是(1，－6)； (2)设 B 中元素(2，－3)的原象为(x、y)，由已知的对应
x＋y＝2， 法则有 xy＝－3； x＝3， 解得 y＝－1；
所以 x、 y 是方程 z2－2z－3＝0 的两个根，
下列从集合 A 到集合 B 的对应中为映射的是( A．A＝B＝N*，对应法则 f：x→y＝|x－3| B．A＝R，B＝{0,1}，对应法则
)
1，(x≥0) f：x→y＝ 0，(x＜0)
C．A＝B＝R，对应法则 f：x→y＝± x 1 D．A＝Z，B＝Q，对应法则 f：x→y＝ x
[答案] B [ 分析 ] 判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照 对应法则f判断，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中 是否有惟一的元素和它对应． [解析] 在A中，当x＝3时，|x－3|＝0，于是A中有一个元 素在B中没有元素和它对应，故不是映射；在C中，集合A 中的负数在B中没有元素和它对应，故也不是映射；(或者x ＞0时，B中对应元素不唯一)；在D中，集合A中元素为0时， 其倒数不存在，因而0在B中无对应元素，故同样不是映射； B符合定义，故选B.
[例2] 设f：M→N是集合M到集合N的映射，下列说法中正 确的是 ( ) A．M中每一个元素在N中必有元素与之对应 B．N中每一个元素在M中必有元素与之对应 C．M中的元素在N中可以有不同元素与之对应 D．N中的元素在M中若有原象，则原象必是惟一的 [分析] 根据映射的定义判断．
[解析] 在映射中允许集合N中的某些元素在集合M中没有 元素对应，所以B是错误的；又因为映射中允许集合M中 不同元素对应集合N中相同的元素，就是说可以“多对 一”，因此D也是错误的．M中元素的象是惟一的，故C错， ∴选A.
总结评述：在一个给定的映射f：A→B中，A中每一 个元素在B中都有唯一元素与之对应，但B中元素在A中未 必有元素对应，即A中元素对应B中元素的集合实际上是集 合B的一个子集．在涉及元素的对应问题中，常常需要建 立方程组求解．
(1)已知(x， y)在映射 f 下的象是(x＋y， x－y)， 则象(1,2) 在 f 下的原象为 (
例1 试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合 B的映射？ （1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应 关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集 合B={(x,y)|x∈R,y∈R}，对应关系f：平面直角 坐标系中的点与它的坐标对应； （3）集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}， 对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（1）求点（２，３）在映射f下的像；
（2）求点(4，6)在映射f下的原象.
知识应用
1. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，
（1）求点（２，３）在映射f下的像；
（2）求点(4，6)在映射f下的原象.
(1)点(2,3)在映射f下的像是(1,7); (2)点（4，6）在映射f下的原象是（5/2，1）
3 x＝2 x＋y＝1 [解析] (1)由条件知 ，∴ x－y＝2 y＝－1 2 (2)由条件知，3n＋2n＝89，n∈N＋， 当 n＝3 时，33＋2×3＝33. 当 n＝4 时，34＋2×4＝89.
.
[点评] (2)验证次数要尽可能的少，故先验证B，若n＝3时， 结果比89小，则排除A、B.若等于89，则知选B，若大于89， 则选A.
解: （１）将x=
2 代入对应关系，可得其在Ｂ
中的对应元素为（ 2 1，2）
由题意得： （２）
x+1=2 ∴x=1 2 x =1
即
(2,1)在Ａ中的对应元素为１
一、下列图中所表示的对应是不是从A到B的映射？为什么？
b1 的原象
a1 a2 a3 a4
(1)
M
A
B
象
A
B
b1 b2 b3 b4
N
a1 a2 a3 a4
4 a ＝10， ∴ 2 3 k ＋ 1 ＝ a ＋3a 2 a ＋3a＝10， 或 4 3 k ＋ 1 ＝ a
a＝2 ∵a，k∈N，∴ k＝5
，这就是所求 a、k 的值．
x 1 6．若 f(x)＝ ，则 f( )等于 x 1＋x2 ( A．f(x) C．－f(x) 1 B. f(x) D．f(－x) )
5 3 A.2，2 3 1 C.－2，－2 3 1 B.－2，2 3 1 D.2，－2
)
(2)设集合A、B都是正整数集，映射f：A→B把集合A中的元 素n映射到集合B中的元素3n＋2n，则在映射f下，象89的原 象是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案] (1)D (2)C
A B
…
三角形 …
…
它的面 积
…
类比函数概念概括 映射的概念
一般地，设A、B是两个集合，如果按某一 个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个 元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对 应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B
的一个映射（mapping）。
思考：映射与函数有什么区别与联系？
（4）集合A={x|x是师大附中的班级}，集合 B={x|x是师大附中的学生}，对应关系f：每 一个班级都对应班里的学生;
（5）集合A={1,2,3,4}, B={3，4，5，6，7， 8，9}，对应关系f：x→2x+1
（1）是 一对一 （2）是 一对一 （3）是 多对一 （4）不是 （5）是 A不能有剩余，B可以剩余
[ 例 6] 设集合 A ＝ {1,2,3 ， k} ， B ＝ {4,7 ， a4 ， a2 ＋ 3a} ，其 中a，k∈N，映射f：A→B使B中的元素y与A中元素x对应且 y＝3x＋1，求a及k的值．
[错解] ∵B中元素y＝3x ＋1与A中元素x对应，∴A中元素 1,2分别对应B中元素4,7.
(2)
M a b c d N e f g h i
b1 b2 b3 b4
一个从A 到B的映射， 如果 a A, b B 且b与a对应， 我们就把元 素b叫做元素 a的象，元素 a叫做元素b 的原象。
a1 a2 a3 a4
(3)
b1 b2 b3 b4
(4)
知识应用
1. 点(x，y)在映射f下的象是(2x－y，2x＋y)，
(1)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集；值域 是各段函数值集合的并集；最大(小)值是各段上最大(小)值 中的最大(小)者．研究分段函数常借助图象进行． (2) 映射 f ：A→B 包含三个要素：原象集合 A ，象集合 B( 或 B 的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A、B可 以是数集，也可以是点集或其它集合．对应法则f可用文字 表述，也可以用符号表示．映射是一种特殊的对应，它具 有： ①方向性：映射是有次序的，一般地从 A到B的映射与从 B 到A的映射是不同的； ②任意性：集合A中的任意一个元素都有象，但不要求B中 的每一个元素都有原象； ③唯一性：集合A中元素的象是唯一的，即不允许“一对多” 但可以“多对一”．
•２.集合Ａ＝｛中国，美国，英国，日本｝， Ｂ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦｝，对应关 系是：对于集合Ａ中的每一个国家，在集合 Ｂ中都有一个首都与它对应.
•３.设集合Ａ＝｛１,－３,２,３,－１,－２｝， 集合Ｂ＝｛９，０，４，１，５｝,对应关系是： 集合Ａ中的每一个数，在集合Ｂ中都有一个其 对应的平方数.
例1 说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？
A 9 4 开平方 B 3 －3 2 －2 1 －1 B 1 4 9 A 30° 求正弦 B
1 2
2 2 3 2
45°
60° 90° A 乘以2 1 2 3
1
1
B 1 2 3 4 5 6
A 1 －1 2 －2 3 －3
求平方
பைடு நூலகம்2
说出下图所示的对应中，哪些是Ａ到Ｂ的映射？
x＝－1， 或 y＝3；
即 B 中元素(2，－3)的原象为
(3，－1)和(－1,3)两个；
(3)假设 A 中的元素(x， y)与 B 中元素(a， a2)对应， 则有
x＋y＝a， 2 xy＝a ；
∴x、y 应是方程 z2－az＋a2＝0 的两个实数根，
所以 Δ＝a2－4a2≥0，即－3a2≥0，注意到 a 为实数可知：当 且仅当 a＝0 时， B 中形如(a， a2)的元素在 A 中存在相对应的 元素为(0,0)；而当 a≠0 时，这样的元素不存在．
函数的映射
复习:函数的概念
一般地，设A、B是两个非空的数集， 如果按某种对应法则f，对于集合A中的每 一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和 它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的 一个函数． 函数的本质：
建立在两个非空数集上的特殊对应
复习:函数的概念
这种“特殊对应”有何特点： 1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多” 4.A中不能有剩余元素 5.B中可以有剩余元素
下面对应是否为函数？
Ａ={高一（5）班同学} ，Ｂ={正实数} ，f：让每位同学与 学号数对应．对应如下表所示：
A 张三 李四 每位同学与学 B 号数对应 １ ２
…
王五
… …
30
…
Ａ＝｛中国，日本，韩国 ｝，Ｂ＝｛北京，东京，首尔 ｝，
f:相应国家的首都．
A
中国 日本 韩国
B 北京
东京 首尔
任意一个三角形，都有唯一确定的面 积与此相对应
小结：
1、映射的概念 2、映射与函数的区别与联系
作业：看课本相关内容，做练习册相关题目
2.函数与映射有什么区别和联系？
1.函数是一种特殊的映射; 结论： ２.两个集合中的元素类型有区别; ３.对应的要求有区别.
• １.集合Ａ＝｛全班同学｝，集合Ｂ＝（全班同学的姓｝，对 应关系是：集合Ａ中的每一个同学在集合Ｂ中都有一个属于 自己的姓.
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数 映射 建立在两个非空数集上的特殊对应
扩 展
建立在两个任意集合上的特殊对应
（1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． （2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． （3）映射与函数都是特殊的对应
1.可以是“一对一” 2.可以是“多对一” 3.不能“一对多” 4.A中不能有剩余元素 5.B中可以有剩余元素
①“方向性”：映射是有方向的，A到B的映 射与B到A的映射往往不是同一个映射；
②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素， 集合B中都存在元素和它对应；
③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元 素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.
例3：已知集合Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛(x,y)|x,y∈Ｒ｝，f是
从Ａ到Ｂ的映射f:x→(x+1,x2) . （１）求 2 在B中的对应元素 （２）(2,1)在Ａ中的对应元素
∵a，k∈N，∴a不存在，∴k不存在． [辨析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定义．由 于集合元素的无序性，所以a4＝10或a2＋3a＝10都有可能， 因而要分类讨论．
[正解]
∵B 中元素 y＝3x＋1 与 A 中元素 x 对应，
∴A 中元素 1,2,3 对应 B 中的元素分别为 4,7,10.
A B A B
a
b c
（１） A
1
1
2
（２） A
a
b c
B
2 2
B
1
a
b
(3)
a
b c
（4）
1
2
2 3
说出下图所示的对应中，哪些是Ｂ到Ａ的映射？ 变式练习：
A B A B
a
b c
（１） A
1
1
2
（２） A
a
b c
B
2 2
B
1
a
b
(3)
a
b c
（4）
1
2
2 3
思考:有人说映射有“三性”，即“方向性”， “存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？
[ 例 3] 已知集合 A ＝ B ＝ {(x ， y)|x 、 y∈R} ，给定映射 f ： A→B，使得集合A中的元素(x，y)与集合B中的元素(x＋y， xy)对应． (1)求A中元素(－2,3)的象； (2)求B中元素(2，－3)的原象； *(3) 判断集合 A中是否存在元素与 B中形如(a， a2) 的元素对 应；若存在，求之；若不存在，说明理由． [分析 ] 由对应法则，可以根据 A中元素与 B中元素的对应 关系建立起关于x、y的方程组．其中第(3)问即是判断相应 的方程组是否有解，何时有解．