抛物线经典性质总结
抛物线经典性质总结
抛物线焦点弦长AB12()x x p ++12()x x p -++12()y y p ++12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切假设AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 假设AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：〔1〕当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； 〔2〕当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）假设直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?〔不一定〕 （4）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：ox ()22,B x y Fy ()11,A x y⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 a. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，假设直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕一、抛物线的定义及其应用例1、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)假设B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．例2、(2011·山东高考)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一 点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是 ( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3D ．8例4、过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l于点C ，假设|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝9x C ．y 2＝92x D ．y 2＝3x三、抛物线的综合问题例5、(2011·江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，假设OC＝OA＋λOB，求λ的值．例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P 到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)假设以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( )A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A．相离B．相交 C．相切D．不确定5．(2012·宜宾检测)已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于( ) A．4 2 B．8 C．8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 7．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( )A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 8．(2012·永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．10．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.11．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，假设x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________12．根据以下条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．13．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A 的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.假设向量OM与OP的夹角为π4，求△POM的面积．参考答案：一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设 OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.例7 、(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB |＝2r ＝564＋32b＝8，解得b ＝－85.所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485， 则圆心Q 的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x －245)2＋(y ＋4)2＝16. 练习题：1．C ．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．B ．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516. 3．C ．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.4．C ．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切．5．C ．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.6．B ．解析：如下图，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．B ．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x8．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.9．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a 4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a 4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .10．解析：由⎩⎨⎧ y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝711．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.12．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)，则－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .13．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线，∴k AM ＝k PM ，即y 1y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224，即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4. ∴ OM · OP ＝y 214·y 224＋y 1y 2＝5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为π4， ∴| OM |·|OP |·cos π4＝5.∴S △POM ＝12| OM | ·| OP | ·sin π4＝52.。
抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结
一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。
则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。
)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
抛物线及其性质知识点大全
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
超详细抛物线知识点归纳总结
超详细抛物线知识点归纳总结抛物线是一个经典的二次曲线，它的形状类似于一个向上开口或向下开口的U 形曲线。
在数学和物理学中，抛物线具有许多重要的性质和应用。
下面是超详细的抛物线知识点总结：1. 基本定义：抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）之距离相等的点的轨迹。
准线与抛物线的交点被称为顶点，准线上两个焦点和顶点的中垂线被称为对称轴。
2. 标准方程：一般抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
通过变换可以将一般方程转化为其他形式，如顶点形式、焦点形式和准线形式。
3. 顶点形式：顶点形式的抛物线方程为 y = a(x-h)^2 + k，其中 (h,k) 是顶点的坐标。
通过平移和缩放可以将一般方程转化为顶点形式。
4. 焦点形式：焦点形式的抛物线方程为 (x-h)^2 = 4p(y-k)，其中 (h,k) 是顶点的坐标，p 是焦距的一半。
焦点形式可以直接得到焦点坐标。
5. 准线形式：准线形式的抛物线方程为 y = px^2，其中 p 是焦距的一半。
准线形式的焦点在原点，并且准线是 x 轴。
6. 直径和焦距：抛物线的直径是通过顶点且与曲线相切的直线段。
焦距是焦点到准线的垂直距离。
7. 对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
即曲线上任意一点关于对称轴对称的点，其到焦点和准线的距离相等。
8. 切线与法线：抛物线上任意一点处的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
切线的斜率等于该点处的导数。
法线是与切线垂直的直线，其斜率是切线斜率的负倒数。
9. 焦点与直角焦点：焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点。
直角焦点是到准线距离等于到抛物线上一点距离的点，并且该点与焦点、准线之间的连线与准线垂直。
10. 焦半径：焦半径是焦点与抛物线上任意一点的连线与准线的夹角的二倍。
11. 焦散性质：抛物线的焦点到抛物线上任意一点的距离可以通过反射性质来得到。
即经过抛物线上某点的光线经过反射后都通过焦点。
抛物线经典性质总结30条
抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0)，AB是抛物线的焦点弦，点C 是AB的中点。
AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K。
证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，即|AB|=2|CC’|。
2.证明：|BF|=x^2/(2p)。
3.证明：CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明：以AB为直径的圆与准线L相切。
5.证明：∠A’FB’=90°。
6.证明：AA’FK，∴∠A’FK=∠FA’A；|AF|=|AA’|，∴∠AA’F=∠AFA’；同理可证∠B’FK=∠XXX，得证。
7.证明：C’F= A’B’=C’A’=C’B’。
8.证明：AC’平分∠A’AF，BC’平分∠B’BF，A’F平分∠AFK，B’F平分∠XXX。
9.证明：C’F垂直AB，即C’F⋅AB=0.10.证明：AF=(y+y1)/2p(1-cosα)，BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。
11.证明：AF/BF=p/(1-cosα)。
12.证明：点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。
1.证明y = 2px的两种方法：方法一：代入y = kx^2求解k，得到k = 2p，证毕。
方法二：对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p，解出y' = p/x，证毕。
2.证明切线AC'和BC'交于焦点F：易证点A处的切线为y = px + py1，点B处的切线为y = px + py2，解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。
(y1+y2)/2)，证毕。
3.对于抛物线y^2 = 2px，过准线上任一点P(-2p。
t)作切线，证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点，且PQ1⊥PQ2：设切点为Q(x。
y)，则有y' = p/x，代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p)，进而得到Q1、Q2的坐标。
抛物线经典性质总结30条
2124p x =;212y p =-;'90AC B ∠=; ''90A FB ∠=;6. 123222()2sin p pAB x x p x α=++=+=; 7.112AF BF P+=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、'A 三点共线；10. 22sin AOB P S α=；11. 23()2AOB S PAB =〔定值〕； 12. 1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB ==+； 18. AB 3P K =y ； 19. 2p 22ytan =x -α;20. 2A'B'4AF BF =⋅; 21. 1C'F A'B'2=. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00性质深究一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 在准线上． 证明: 从略结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．2、上述命题的逆命题是否成立？结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．3、AB 是抛物线px y 22=〔p ＞0〕焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有结论6PA ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ．结论9 PA 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ．结论2PF FB FA =结论11PAB S ∆2minp =二)非焦点弦与切线思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=，221y y y p += 结论13 PA 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ．结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ结论162PF =相关考题1、已知抛物线y x 42=的焦点为F ，A ，B 是抛物线上的两动点，且FB AF λ=〔λ＞0〕，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，〔1〕证明：AB FM ⋅的值；〔2〕设ABM ∆的面积为S ，写出()λf S =的表达式，并求S 的最小值．2、已知抛物线C 的方程为y x 42=，焦点为F ，准线为l ，直线m 交抛物线于两点A ，B ； 〔1〕过点A 的抛物线C 的切线与y 轴交于点D ，求证：DF AF =；〔2〕假设直线m 过焦点F ，分别过点A ，B 的两条切线相交于点M ，求证：AM ⊥BM ，且点M 在直线l 上．3、对每个正整数n ，()n n n y x A ,是抛物线y x 42=上的点，过焦点F 的直线FA n 交抛物线于另一点()n n n t s B ,， 〔1〕试证：4-=⋅n n s x 〔n ≥1〕〔2〕取nn x 2=，并C n 为抛物线上分别以A n 与B n 为切点的两条切线的交点，求证：122121+-=++++-n n n FC FC FC 〔n ≥1〕抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。
抛物线经典性质总结30条
抛物线性质30条已知抛物线22(0)y px p =>，AB 是抛物线的焦点弦，点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’， BB ’垂直准线于B ’， CC’垂直准线于C ’，CC ’交抛物线于点M ，准线交x 轴于点K. 求证：1.12||,||,22p pAF x BF x =+=+ 2.11()22CC AB AA BB '''==+；3.以AB 为直径的圆与准线L 相切；证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r '''=+=+==4.90AC B '∠=；(由1可证)5.90A FB ''∠=；,,||||,,1,2AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠证明：同理：1,2B FK BFK '∠=∠得证. 6.1C F A B 2'''=.证明：由90A FB ''∠=得证.7.AC '垂直平分A F '；BC '垂直平分B F '；证明：由1C F A B 2'''=可知，1||||||,2C F A B C A '''''==||||,.AF AA '=∴又得证 同理可证另一个.8.AC '平分A AF '∠，BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠，B ’F 平分BFK ∠. 证明：由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥；证明：122121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-⋅--22222212211221()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=10.1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；证明：作AH 垂直x 轴于点H ，则||||||||||c o s ,||1c o s pA F A A K F F H p A F A F αα'==+=+∴=-.同理可证另一个. 11.112AF BF P+=; 证明：由1cos P AF α=-；1cos PBF α=+；得证.12. 点A 处的切线为11()y y p x x =+;证明：（方法一）设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-，与22y px =联立，得21122()0,ky py p y kx -+-= 由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=解这个关于k 的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：111,2y pk x y ==得证. 证法二：（求导）22y px =两边对x 求导得1122,,|,x x p p yy p y y y y ='''==∴=得证. 13.AC’是切线，切点为A ；B C’是切线，切点为B ；证明：易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+，点B 处的切线为22()y y p x x =+，解得两切线的交点为12(,)22y y p C +'-,得证. 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线，则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥证明：设点(,)()2pP t t R -∈为准线上任一点，过点P 作抛物线的切线，切点为2(,)2y Q y p , 22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22PQ p p y tyy p y K y ty p y y y pp -''==∴==∴--=+ 显然22440,t p ∆=+>切点有两个，设为2221211221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p+==-则 1212122222221212222222FQ FQ y y py py k k y y y p y p pp p p ∴-=-=----- 1222121211221222220,py py p py y y y y y y y y y =-=-=++++ 所以Q 1Q 2过焦点. 22222222121212121212122(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t p p p+⋅=+-⋅+-=+++-++ 22222222222121212()2420,242424y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=12.PQ PQ ∴⊥15.A 、O 、B '三点共线；B 、O 、A '三点共线； 证明：A 、O 、B '三点共线2211212112.222OA OB y p pk k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-同理可证：B 、O 、A '三点共线.16.122y y p ⋅=-；1224p x x ⋅=证明：设AB 的方程为()2py k x =-，与22y px =联立，得2220,ky py kp --= 212122,,p y y y y p k∴+==- 224212122.2244y y p p x x p p p ∴=⋅== 17.1222sin pAB x x p α=++=证明：1212,2p pAB AFFB x x x x p =+=+++=++||2AB ===222.sin pα==得证.18.22sin AOB p S α∆=；证明：122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅=22sin p α===. 19.322AOB S p AB ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭（定值）；证明：由22sin pAB α=、22sin AOB p S α∆=得证. 20．22sin ABC p S α'∆= 证明：11||||222ABC S AB PF '∆=⋅=⋅ 22221(1)sin p p k α==+=21.2AB p ≥； 证明：由22sin pAB α=得证. 22.122AB pk y y =+； 证明：由点差法得证.23.121222tan P P y y x x α==--; 证明：作AA 2垂直x 轴于点A 2,在2AA F ∆中，2121tan ,2AA y FA p x α==-同理可证另一个.24.2A B 4AF BF ''=⋅;证明：2212124||4()()22p p A B AF BF y y x x ''=⋅⇔-=++ 2222121212121212242224y y y y x x px px p y y x x p ⇔+-=+++⇔-=+，由122y y p ⋅=-，1224p x x ⋅=得证.25. 设CC ’交抛物线于点M ，则点M 是CC ’的中点；证明：12121212(,),(,),CC ,22224x x y y y yx x p p C C ++++-''-∴中点横坐标为 把122y y y +=代入22y px =，得2221212121222222,2,.444y y y y px px p x x ppx px x +++-+-=∴==所以点M 的横坐标为12.4x x px +-=点M 是CC ’的中点.当弦AB 不过焦点时，设AB 交x 轴于点(,0)(0)D m m >,设分别以A 、B 为切点的切线相交于点P ，求证：26.点P 在直线x m =-上证明：设:,AB x ty m =+与22y px =联立，得21212220,2,2y pty pm y y pt y y pm --=∴+==-，又由221112121222:()(),,222:()PA y y p x x y y y yy y y y PB y y p x x =+⎧+-=-∴=⎨=+⎩，相减得 代入11()y y p x x =+得，22112112,2,,22y y y y px y y px x m +=+∴=∴=-得证.27. 设PC 交抛物线于点M ，则点M 是PC 的中点；证明：121212122(,),(,),,2224x x y y y y x x mC P m PC ++++--∴中点横坐标为 把122y y y +=代入22y px =，得221212121212222422,2,2,.444y y y y px px pm x x mpx y y pm px x +++-+-==-∴==所以点M 的横坐标为122.4x x mx +-=点M 是PC 的中点.28.设点A 、B 在准线上的射影分别是A 1，B 1，则PA 垂直平分A 1F ， PB 垂直平分B 1F ，从而PA 平分1A AF ∠，PB 平分1B BF ∠ 证明：1111110()1,,()22PA A F y y p p k k PA A F y p p y p-⋅=⋅=⋅-=-∴⊥-- 又1||||AF AA =，所以PA 垂直平分A 1F. 同理可证另一个. 证法二：1112221112,,0,22AF AP AA y py pk k k y y y p p p ====-- 111tan tan 11AP AA AF APAF AP AP AA k k k k FAP PAA k k k k --∴∠-∠=-+⋅+⋅ 12222231111111222221111111122111202()022()101py p p p py y p y y p y y py p p p p ppy p y y y y p y p p y y p y y y p -----+=-=-=-=-=-+++⋅+⋅- 11tan tan ,.FAP PAA FAP PAA ∴∠=∠∴∠=∠ 同理可证另一个29.PFA PFB ∠=∠证明：11111,,,PAA PAF PFA PA A PFB PB B PA A PB B ∆≅∆⇒∠=∠∠=∠∴∠=∠同理：只需证 易证：111111||||||,,PA PF PB PA B PB A ==∴∠=∠11,PA A PB B ∴∠=∠30．2||||||FA FB PF ⋅=证明：22222212121212122||||()()(),2224444y y y y p p p p p AF BF x x x x x x p+⋅=++=+++=++ 1212(,),22y y y y P p +22222222121212122||,222444y y y y y y y y p p PF p p ++⎛⎫⎛⎫∴=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得证.例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C （0，c ）（c>0）作直线与抛物线y=x 2相交于A 、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、Q 。
抛物线性质和知识点总结
抛物线性质和知识点总结1. 抛物线的定义和基本形式抛物线是指平面上满足二次方程y=ax^2+bx+c（a≠0）的曲线。
其基本形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，称为抛物线的系数。
a决定抛物线的开口方向，当a>0时抛物线开口朝上，当a<0时抛物线开口朝下；b决定抛物线的位置，c决定抛物线与y轴的交点。
2. 抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或者最高点（开口向下），对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
抛物线的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的直线，对称轴方程为x=-b/2a。
3. 抛物线的焦点和直线方程抛物线的焦点是到抛物线上所有点的距离到抛物线的对称轴的距离相等的点，焦点的坐标为(-b/2a, 1-1/4a)。
抛物线的直线方程是y=mx+n，其中m和n是常数，直线与抛物线有两个交点。
当直线与抛物线相切时，两个交点重合。
当直线与抛物线没有交点时，这个抛物线不与这条直线相交。
4. 抛物线的焦距和离心率抛物线的焦距是抛物线的顶点到焦点的距离，焦距的大小是2|a|；抛物线的离心率是焦距与顶点到焦点的距离的比值，离心率的大小是1。
5. 抛物线的性质抛物线的性质是抛物线的特征，对于抛物线y=ax^2+bx+c，它的性质包括：a）抛物线的开口方向是由a的符号决定的，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b）抛物线的顶点在对称轴上；c）焦点在对称轴上的顶点的上方，离心率等于1；d）与y轴的交点是常数项c；e）抛物线的焦点到直线方程的距离等于抛物线到直线方程的对称轴的距离。
6. 抛物线的知识点抛物线的知识点是在解决抛物线问题时需要掌握的知识，包括：a）抛物线的标准形式、一般形式、顶点形式和焦点形式的相互转化；b）抛物线的顶点、对称轴、焦点和直线方程的求法；c）抛物线与直线的交点和相切点的求法；d）抛物线的焦距和离心率的求法；e）抛物线的方程的实际应用问题。
超详细抛物线知识点归纳总结
引言概述：抛物线是高中数学中的重要内容，具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等。
本文将对抛物线的相关知识进行归纳总结，从定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用等多个方面进行详细的阐述。
正文内容：一、定义和性质1.抛物线的定义：抛物线是平面内一点到固定点和固定直线的距离之比等于常数的轨迹。
2.焦点与准线的关系：焦点是抛物线上所有点到准线的距离相等的点。
3.对称性：抛物线具有关于准线对称和关于纵轴对称的性质。
4.切线方程：抛物线上任意一点的切线方程为y=mx+c，其中m 是斜率，c是截距。
5.切线与法线的关系：切线与法线互为垂线且交于抛物线上的点。
二、方程和焦点、准线1.标准方程：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，a≠0。
2.顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(b/2a,f(b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
3.焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(h,f(h+1/4a))，其中h=b/2a。
4.准线方程：抛物线的准线方程为y=f(h+1/4a)1/(4a)。
三、图形展示和性质分析1.抛物线的开口方向：a的正负决定抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.抛物线的焦点位置：焦点在抛物线的顶点上方，焦点的纵坐标为f(h+1/4a)+1/(4a)。
3.抛物线的对称轴：对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线。
4.抛物线的顶点与焦点距离：顶点与焦点的距离等于抛物线的准线长。
四、应用领域1.物理学应用：抛物线可以描述自由落体运动、抛射运动等。
2.工程学应用：抛物线常用于建筑物的设计、桥梁的设计等。
3.经济学应用：抛物线可以用来表示成本、收入和利润的函数关系。
4.生物学应用：抛物线可用于描述某些生物体运动的轨迹。
5.计算机图像处理应用：抛物线可以用于图像处理算法中的平滑处理。
五、总结本文对抛物线的定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用进行了详细的阐述。
抛物线知识点总结
抛物线知识点总结一、抛物线的定义抛物线是一种特殊的二次曲线，它的数学定义是平面上一点到定点和直线的距离相等，这个定点就是抛物线的焦点，直线就是抛物线的准线。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程为：y=ax2+bx+c，其中a≠0。
二、抛物线的性质1. 焦点和准线：抛物线的焦点和准线是抛物线的两个重要属性。
焦点是定点，准线是直线，它们共同决定了抛物线的形状和特性。
2. 对称性：抛物线是关于x轴对称的。
3. 切线和法线：抛物线上的任意一点，它的切线和法线都是经过这个点，且与x轴垂直。
4. 定理一：抛物线的焦点到准线的距离等于焦点到抛物线上任意一点的距离。
5. 定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
6. 焦距：抛物线上所有点到焦点的距离的最小值称为抛物线的焦距。
7. 平行于准线的矩形，被含在抛物线内部并且对称。
8. 定理三：抛物线的离心率等于1。
三、抛物线的方程1. 标准方程：y=ax2+bx+c，其中a≠0。
2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, c-b2/4a）。
3. 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a, c-b2/4a+1/4a）。
4. 焦距：抛物线的焦距为1/|4a|。
四、抛物线的应用抛物线作为一种重要的数学曲线，在各种应用中都有着广泛的应用，如物理、工程、建筑等领域。
1. 物理：在物理学中，抛物线曲线被广泛应用于描述抛体运动的轨迹。
比如，抛体在空中的飞行轨迹、抛物线发射器等都涉及到抛物线的运动规律。
2. 工程：在建筑工程和土木工程中，抛物线曲线常常被用于设计拱形结构或者桥梁的曲线轨迹。
抛物线的弧形轨迹具有良好的支撑性能和稳定性，因此在工程设计中得到了广泛应用。
3. 航天航空：在航天航空技术中，抛物线曲线也被用于设计火箭轨迹和飞行器的运动路径。
比如，抛物线曲线可以描述卫星的发射和轨道运行规律。
4. 光学：在光学中，抛物线曲线也被应用于设计反射镜和折射镜的形状。
抛物线反射镜可以将平行光线汇聚到一个焦点上，因此在光学仪器和望远镜中得到了广泛应用。
抛物线方程知识点总结
抛物线方程知识点总结1.抛物线的定义和性质：抛物线可以由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定。
抛物线上的点到焦点和准线的距离相等。
抛物线对称于准线，焦点位于抛物线的对称轴上。
2.抛物线的标准方程：抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。
这个方程表示了抛物线的形状和位置。
a 决定了抛物线的开口方向和形状，b 决定了对称轴的位置，c 决定了抛物线的纵轴截距。
3.抛物线的顶点和焦点：抛物线的顶点是抛物线的最高（或最低）点，它位于抛物线的对称轴上。
顶点的坐标可以通过将抛物线方程转换成顶点形式来简化计算。
焦点是抛物线的焦点，它位于抛物线的对称轴上，并且与顶点的距离称为焦距。
4.抛物线的焦距和准线：抛物线的焦距是焦点到抛物线的最高（或最低）点的距离，它等于抛物线参数a的倒数的绝对值。
准线是抛物线上的一条直线，与对称轴平行且与焦点和顶点的距离相等。
准线的公式可以通过将焦点的坐标与焦距相加或相减得到。
5.抛物线的对称性：抛物线是关于对称轴对称的。
这意味着如果(x,y)是抛物线上的一个点，那么对称轴上的点(-x,y)也是抛物线上的一个点。
6.抛物线的与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点称为横轴截距，可以通过令y=0解方程得到。
抛物线与y轴的交点称为纵轴截距，它等于常数项c。
7.抛物线的方程转化和变形：8.二次函数和抛物线的关系：以上是抛物线方程的关键知识点总结。
掌握了这些知识，我们就能够理解和计算抛物线上的点的坐标，进一步应用到实际问题中。
抛物线知识点归纳总结
抛物线知识点归纳总结一、抛物线的定义抛物线是平面上的一个几何图形，它的形状像一个弯曲的弧线，其数学定义为：所有到定点的距离等于到直线的距离的点构成的集合。
这个定点称为焦点，直线称为准线，通常用符号来表示抛物线，可以用二次方程来表示：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，a≠0。
二、抛物线的性质1. 焦点和准线：抛物线的焦点位于开口向上或者向下的一端，准线则位于抛物线的中轴线上。
焦点和准线的位置可以通过二次方程的系数a、b、c来确定。
2. 对称性：抛物线具有轴对称性，即抛物线的焦点和准线关于中轴线对称。
3. 焦点的坐标：抛物线的焦点的坐标可以通过二次方程的系数a、b、c来计算得出。
4. 定点的坐标：抛物线上最低点或者最高点称为定点，定点的坐标可以通过二次方程的顶点公式来计算得出。
5. 法线和切线：抛物线的切线是与抛物线相切的直线，而法线是与切线垂直的直线，它们具有一些特殊的性质和公式。
6. 焦距和焦半径：焦距是焦点到准线的距离，焦半径是焦点到抛物线顶点的距离，它们与抛物线的方程之间存在一些重要的关系。
7. 焦直和准直：焦直是焦点在准线上的投影轴，准直是准线在焦点上的投影轴，它们的位置和形状也与抛物线的方程有关。
8. 定义域和值域：抛物线的定义域和值域是指抛物线上的点的集合，它们与抛物线的方程形式、系数和图像的形态有关。
9. 开口方向：抛物线的开口方向是指向上或者向下，它与抛物线的二次方程的系数a的正负有关。
10. 直线与抛物线的位置关系：抛物线与直线的位置关系有相交、切线和相离三种情况，这与抛物线的方程和直线的方程有关。
三、抛物线的应用抛物线在日常生活和工程技术中有着广泛的应用，如抛物面反射天线、汽车大灯光束设计等。
同时，它也在物理学、天文学、工程学等领域有着重要的作用。
1. 抛物线的运动学应用：抛物线是物体在一个力场中运动的轨迹，它在各种自然和人造的运动中都有着广泛的应用，如抛物线轨道的运动、人造卫星的轨迹等。
抛物线性质总结
抛物线性质总结一、抛物线的定义和基本性质抛物线，是数学中一种经典的曲线。
它具有许多令人着迷的性质，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将总结抛物线的一些基本性质。
抛物线可由以下二次方程表示：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为实数，且a不等于0。
根据该方程，我们可以得出以下基本性质。
1. 对称性：抛物线是关于y轴对称的。
也就是说，对于任意点(x, y)在抛物线上，横坐标为-x的点(-x, y)同样也在抛物线上。
2. 顶点和焦点：抛物线的图像上存在一个顶点，其横坐标为-x₁ = -b / (2a)，纵坐标为y₁ =c - b² / (4a)。
顶点是抛物线的最低点（对于a>0）或最高点（对于a<0）。
此外，抛物线还有一个重要的性质，就是焦点。
焦点是一个点，它到抛物线上任意一点的距离与该点到抛物线的直线称为“准线”的距离相等。
焦点的横坐标为-x₂ = -b / (2a)，纵坐标为y₂ = c - (b² - 1) /(4a)。
3. 对称轴：抛物线的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程为x = -b / (2a)。
对于对称轴上任意一点(x, y)，其与顶点的距离等于该点到抛物线的任意一点的距离。
二、抛物线的拓展性质除了上述基本性质外，抛物线还有一些拓展性质，值得进一步探讨。
1. 切线与法线：沿着抛物线上的任意一点(x₀, y₀)绘制一条直线，使其与抛物线相切。
这条直线称为该点的切线。
切线的斜率等于抛物线在该点的导数。
类似地，通过抛物线上一点(x₀, y₀)作一个垂直于切线的直线，该直线称为该点的法线。
法线的斜率等于切线的负倒数。
2. 点到抛物线的距离：给定一个点(x, y)和一个抛物线，我们可以求出该点到抛物线的最短距离。
这个最短距离等于点到抛物线的准线的距离。
要计算点(x, y)到抛物线的最短距离，我们可以使用以下公式：d = |y - (ax² + bx + c)| / √(a² + 1)。
抛物线性质总结一
抛物线性质总结(一)一、抛物线定义:平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。
首先，建立坐标系，过定点FI做垂直于准线的直线，以此为X轴，以定点与准线的之间线段的中垂线为y轴，设点P (x,y) ,Fl(p∕2,0),准线方程x=p∕2 根据定义,J(xg)2 + y2 = x + E(x-^)2 + y2=(x+∣)22-px + y = pxy2 = 2px (p > 0)这就是焦点在X轴，开口向右的抛物线的标准式，其它类型的同理二、抛物线性质：1、过定点C (2小0)的直线与抛物线交于A 、B 两点，则OALoB 证明： 设抛物线方程为y? = 2px,点A 坐标为(x∣ ,y∣ ),点B 坐标为(X2,y2) 因点A 、B 都在抛物线上，因此Yi 2 = 2px∣ y 22 = 2P x 2 同时，直线AB 又过定点C(2p,0) 因此，％ —0 = y2 ~°V 2 y 2以∙⅛f∙⅛ = 2p(yf) ¾z ^(y 2-yι) = 2p(y 1-y 2) 2pYiY 2 =-4P 2于是 (yιy 2)2=i6p 4即 (2px 1 2px 2)=16p 44p 2x 1x 2 = 16p 4x 1x 2 = 4p 2≠M X 1X 2 + y 1y 2=4p 2 + ( - 4p 2>=0又OA ∙ OB=X 1X 2 + y l y 2因止匕OA ∙ OB=O即 OA ± OB证毕X 1 — 2p X 2 — 2p -2py 1 =y 2x 1 -2py 2 -y 2χι =2p(y∣ -y 2)Yi x y∣χ的圆与准线相切。
证明:设抛物线方程为V=2px,点A 坐标为(x ∣,y)点B 坐标为(Xι,yJ 因点A 、B 都在抛物线上 因此，y l 1 2=2px 1, y 22=2px 2设以线段AB 为直径的圆的圆心为C (x 3,y 3)π,l X 1 + X, V 1 + V,则X,~^∙,y 3 =力力 2 2因此，圆心到准线的距离为d = χ3 +片=产同时，以线段AB 为直径的圆的半径为r= '”一,2' +(x∣ — J),,即应互KΞ迂ΞΞ瓦i^2px 1 -2y 1y 2 +2px 2 +x 12 -2x 1x 2 +x 2:=y2×1-yy 2y ∣χ2-yιχ1 =^(y1-y 2)y ⅜^y ⅛ = 2cyι^y ^¾^-(y 2-y 1)=⅞(yι-y 2) 2p 2Yiy 2=-P 2于是，χ∕2=*⅛=邑代入r 的表达式，得^2px 1+2p j +2px 2+x 12-∙^- + J2px,+p 2 +2px 2 + x l 2+^- + X 22 r =-2 _ √(x 1 +X 2+p)2 Γ T2r=x I +x 1+p =d 2因此，准线与圆相切 证毕2因线段AB 过抛物线的焦点吗,。
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结抛物线是二次方程的图像，其常见形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是实数常数且a不等于零。
抛物线有许多重要的性质和特点，以下是一些常用的总结和解释。
1. 对称性：抛物线具有轴对称性。
如果抛物线的方程是y = ax^2 + bx + c，轴对称线的方程将是x = -b/2a。
这意味着抛物线关于垂直于x 轴、通过x = -b/2a的直线对称。
2.最高点或最低点：如果a大于零，则抛物线开口向上，且没有最大值。
如果a小于零，则抛物线开口向下，且没有最小值。
抛物线的顶点或底点即为其最高或最低点。
3. 判别式：抛物线的判别式可以帮助我们确定它的性质。
判别式D = b^2 - 4ac表示了二次方程的解的性质。
如果D大于零，则抛物线与x 轴有两个交点，说明它有两个实根。
如果D等于零，则抛物线与x轴有一个交点，说明它有一个实根。
如果D小于零，则抛物线与x轴没有交点，说明它没有实根。
4.对于抛物线的每一个点(x,y)，其关于轴对称线的对称点为(2p-x,y)，其中p为抛物线上任意一点的横坐标。
这一性质可以用来确定抛物线上其他点的坐标。
5.零点：抛物线与x轴的交点称为零点或根。
零点可以通过解二次方程来求得。
如果判别式D大于零，那么二次方程有两个不同的实根；如果判别式D等于零，那么二次方程有一个实根；如果判别式D小于零，那么二次方程没有实根。
6.方向：抛物线的方向由二次项的系数a决定。
如果a大于零，抛物线开口向上；如果a小于零，抛物线开口向下。
7.垂直于x轴的焦点与准线：焦点与准线是抛物线的另外两个重要点。
焦点的坐标为(p,q+1/4a)，其中p=-b/2a为抛物线的对称轴上任意一点的横坐标，q=c-b^2/4a为抛物线的对称轴上任意一点的纵坐标。
准线的方程为y=c-1/4a。
8.对称性性质的应用：由于抛物线的对称性，我们可以通过求解对称点的坐标来简化计算。
例如，如果我们已经求得抛物线上一个点(x,y)的坐标，那么我们也可以直接求解它关于对称轴的对称点(2p-x,y)。
最全抛物线曲线性质总结
最全抛物线曲线性质总结抛物线是一种常见的二次曲线，具有很多特性和性质。
本文将总结抛物线的最全性质。
1. 定义抛物线是平面上所有到定点的距离与到定直线的距离相等的点所组成的曲线。
2. 方程抛物线的一般方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
3. 性质以下是抛物线的一些重要性质：对称性- 抛物线关于纵轴对称；- 如果a为正数，则抛物线开口朝上；如果a为负数，则抛物线开口朝下。
零点- 抛物线与x轴交点称为抛物线的零点；- 若抛物线有1个零点，则其为切线，即抛物线与x轴相切；- 若抛物线有2个零点，则其开口朝上；- 若抛物线无零点，则其不与x轴相交。
顶点- 抛物线的顶点即为最高点或最低点；- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)为抛物线在顶点横坐标处对应的纵坐标。
平行于坐标轴- 若b等于0，则抛物线与y轴平行；- 若a等于0，则抛物线与x轴平行。
开口方向- 由抛物线的系数a来决定；- 若a大于0，则抛物线开口朝上；- 若a小于0，则抛物线开口朝下。
最值- 若a大于0，则抛物线的最小值为顶点的纵坐标；- 若a小于0，则抛物线的最大值为顶点的纵坐标。
弧长- 抛物线弧长可由积分求解，公式为：L = ∫(1 + (dy/dx)^2)^(1/2) dx，其中dy/dx为抛物线方程的导数。
以上是抛物线的一些常见性质和特点。
对于理解和应用抛物线非常有帮助。
希望本文对您有所启发和帮助。
抛物线常用性质总结
抛物线常用性质总结抛物线是数学中的一种曲线形状，其方程一般为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
抛物线在几何学、物理学、工程学等领域中都具有广泛的应用。
下面将总结抛物线的一些常用性质。
1.抛物线的形状：抛物线是一种开口向上或向下的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2.对称性：抛物线与y轴对称，其顶点坐标为（-b/2a,c-b^2/4a)。
抛物线也可以与x轴对称，其对称轴与x轴垂直，并通过顶点。
3.焦点和准线：抛物线的焦点F的坐标为（-b/2a,c-b^2/4a+1/4a)，准线的方程为y=(c-b^2/4a)-1/4a。
4.抛物线的平移：抛物线的平移是通过调整方程中的常数b和c来实现的。
平移后的抛物线与原抛物线具有相同的形状，但位置有所变化。
5. 零点：抛物线的零点即为方程的解，可以通过求解ax^2+bx+c=0来得到。
根据一元二次方程的解的性质，当b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b^2-4ac<0时，抛物线与x轴无交点。
6.最值：抛物线的最值即为顶点的纵坐标。
当a>0时，抛物线的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，抛物线的最大值为c-b^2/4a。
7.切线和法线：在抛物线上的任意一点，其切线的斜率为抛物线在该点的导数值。
切线与抛物线的切点的坐标可以通过求解方程组来得到。
在抛物线上的任意一点，其法线与切线垂直。
8.弧长：抛物线的弧长表示为y=x^2的积分。
计算抛物线上两点间的弧长可以通过积分计算得到。
9.面积：抛物线与y轴之间的面积可以通过求解抛物线和y轴之间的定积分来计算得到。
抛物线的其中一段与x轴之间的面积可以通过求解抛物线和x轴之间的定积分来计算得到。
10.抛物线的应用：抛物线在现实生活中有很多应用。
例如，在物理学中，抛物线可以描述物体的弹道；在工程学中，抛物线可以描述桥梁、拱门等结构的外形；在经济学中，抛物线可以描述成本、产量等指标的关系。
最全抛物线曲线知识点总结
最全抛物线曲线知识点总结抛物线是高中数学中经常讨论的曲线之一，具有很多重要的性质和应用。
本文将总结抛物线曲线的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用抛物线。
1. 抛物线的定义抛物线是由平面上到定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点构成的曲线。
它的数学表达式通常为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 抛物线的性质- 抛物线的对称轴：对称轴是准线的垂直平分线，方程为：x = -b/(2a)。
- 抛物线的焦点：焦点是到定点最短距离的点，焦点的横坐标为：x = -b/(2a)，纵坐标为：y = c - (b^2 - 1)/(4a)。
- 抛物线的顶点：顶点是抛物线的最高（或最低）点，顶点的横坐标为：x = -b/(2a)，纵坐标为：y = c - (b^2 - 1)/(4a)。
- 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的单调性：当a > 0时，抛物线在对称轴的左侧单调递增，在对称轴的右侧单调递减；当a < 0时，抛物线在对称轴的左侧单调递减，在对称轴的右侧单调递增。
3. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有很多应用，例如：- 物体的自由落体运动：自由落体的运动轨迹是一个抛物线。
- 抛射运动：抛掷物体的运动轨迹也是一个抛物线。
- 抛物面反射：光线在抛物面上反射的规律。
4. 抛物线的变形抛物线有一些常见的变形形式，例如：- 平移：在原抛物线的基础上沿 x 轴或 y 轴方向进行平移。
- 缩放：改变抛物线的 a、b、c 的值，实现抛物线的扁平化或拉长。
以上是抛物线曲线的一些基本知识点总结，希望本文能够帮助读者更好地理解和应用抛物线。
如需深入研究，建议参考相关的数学教材和参考资料。
参考文献：。
抛物线性质总结
抛物线性质总结
抛物线是广泛应用在数学中的一条函数曲线，其涉及到诸多的基本性质，常用的有抛物线的根性，关系式，定积分，交点，端点，极值等等。
抛物线的根性：抛物线的轴对称，一般方程通常有两个不同的根，或是称之为把抛物线绳子或扳手弯曲两次；
抛物线的关系式：当方程是幂函数抛物线式时，可以表示成y=ax²+bx+c，a>0，其中a是抛物线下凹，b和c是顶点x和y的坐标，b和c也是抛物线的转折点；
抛物线的定积分：抛物线的定积分可以表示成f(x)=ɑx+1/2∫g(u) du,其中g(u)为定义域内的函数。
抛物线的定积分就是做抛物线上每两个任意点间的积分；
抛物线的交点：抛物线与其他函数交点，只要求解其他函数与抛物线方程的解、公共解得到；
抛物线的端点：抛物线的端点可以通过关系式求出，为左端点x=-b/2a,y=f(-b/2a)，右端点x=b/2a,y=f(b/2a)。
抛物线的极值：抛物线的极值可以通过求解关系式x=-b/2a，得出结论，抛物线的极值为y=f(-b/2a)。
以上就是抛物线的总体性质，由此可见抛物线在数学和几何中起着重要作用，由此也可以解决许多学术问题，正如此抛物线总结中所述，受到学术界的广泛认可。
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抛物线焦点弦性质总结30条基础回顾1.以AB为直径的圆与准线L相切;2.3.4.5.6.7.8.9.11.12.2“ o Px1gx2—;2y1gy2p ；AC'B 90°；A'FB' 90°;AB % x2 p 2(x3#)丄_L 1AF||BF| P;A、O B'三点共线；B、O A'三点共线；P22sin '(P)3(定值)；2S VAOB2Sv AOB|ABAF1 cosBF2psin21 cosP；13. BC 垂直平分BF ； 14. AC '垂直平分A 'F ; 15. C 'F AB ； 16.AB 2P ;117. CC' -AB2“ P18. K AB =-；y 319. tan =-^;X 2-号220.A'B' 4AF| |BF21. C'F ^A'B'. 222.切线方程 y 0y m x 0 x性质深究）焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之处？结论1：交点在准线上先猜后证：当弦AB x 轴时，则点P 的坐标为 卫,0在准线上.2证明：从略结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立？结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点.结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径.3、AB 是抛物线y 2 2px （ p > 0）焦点弦，Q 是AB 的中点，I 是抛物线的准线，AA l , BB 1 l , 过A , B 的切线相交于P, PQ 与抛物线交于点M 则有结论 6PALPB. 结论7PF 丄AB. 结论8 M 平分 PQ结论9 PA 平分/ AAB PB 平分/ BBA 结论 10 F A |FB PF 2 结论 11S PAB min p '1(AA'BB')；)非焦点弦与切线思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时, 也有与上述结论类似结果：结论12①x p警,y p2p y1 y22结论13PA平分/ AAB同理PB平分/ BBA结论14PFA PFB结论15点M平分PQ结论16F A F B PF2相关考题1、已知抛物线x2 4y的焦点为F, A B是抛物线上的两动点，且AF FB ( > 0),过A, B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M(1)证明：F M A B的值；(2)设ABM的面积为S,写出S f 的表达式，并求S的最小值.2、已知抛物线C的方程为x2 4y，焦点为F,准线为I，直线m交抛物线于两点A, B；(1)过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D,求证：AF DF ;(2)若直线m过焦点F,分别过点A, B的两条切线相交于点M求证：AML BM且点M在直线I 上.3、对每个正整数n, A n X n,y n是抛物线x? 4y上的点，过焦点F的直线FA交抛物线于另一点B n S n,t n , ( 1 )试证：X. S. 4 ( n> 1 )(2)取X n 2n，并C为抛物线上分别以A与B为切点的两条切线的交点，求证：FC1 FC2 FC n 2n2 n 11 (n> 1)抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学美的认识，起着相当重要的作用。
因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳，并在教学中与学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余力的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。
本人从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质，并结合高考的热点题对这一性质作了一些研究。
题：抛物线y2=2px （p>0）的准线与x轴交于Q点，过点Q作斜率为k的直线L。
则“直线L与抛物线有且只有一个交点”是“ k=± 1”的__________ 件。
本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的了解，要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。
结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。
性质1:已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
图1 图2■I ■/证明：由图 2 可知，BF=BB, AF=AA，2PR=AA+BB。
所以2PR=AB其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图2即变成了图1。
这就引导我们思考在图2中的两条直线PA、P1B是否也是抛物线的两条切线，这样我们得出了抛物线的一个性质：性质2:已知AB是经过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦，则以A B为切点的两条切线的交点P落在其准线上。
证明：设A（X1，y1），B（X2，y2），P（x，y）点A在抛物线上：y/=2px1 （1）点B在抛物线上：y22=2px2 （2）过点A的切线方程：yy1=p（x+x”（3）过点B的切线方程：yy2=p（X+X2）（4）直线AB经过点F:」比（5）p pX1 X22 2将（1）式与（2）式分别代入（3）、（4）、（5）式，得到2yy 1=p (x+ =)2p (3')2 y2yy 2=p (x+ —)2p(4')2y 1y 2=-p(5')因为点P(x , y )的坐标满足(3')、(4')，所以y 1、、可视为是方程yt =p (x+2p ) 的两根，因此由韦达定理可得 y i y 2=-p 2=2px 。
即x=—。
2所以点P 的轨迹为抛物线的准线。
从上面的证明中我们可以看出，当 A 、B 两点的坐标满足某种条件时，则以 A 、B 为 切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。
因此，我们更进一步地得出了更好 的性质：性质3：已知AB 是经过抛物线y 2=2px (p>0)的对称轴(即x 轴)上一定点P( m 0) (m>0的弦，则以A 、B 为切点的两条切线的交点 Q 的轨迹是一条直线x=-m 。
证明：略。
对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如 果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：性质3'：动点P 在直线x=-m 上运动，过点P 作抛物线的两条切线PA PB,切点分 别为A 、B ,连结AB 得到弦AB 那么弦AB 过定点(m 0)。
证明：略。
由 OA OB = x 很2+如丫2=2，得 c=2。
(2) P 为线段AB 的中点，得点Q 的坐标为(七翌，-c )2由AQ 的斜率k 1=y1 c2x1沁 2x 1，过点A 的切线的斜率为k 2=2x 1。
所以直 X 1x1X 22线AQ 是抛物线的切线。
(3) 过点A 的切线方程为y-y 1=2 x 1 (x-x 1)与直线y=-c 相交于点Q将 y=-c 代入 y-y 1=2 x 1 (x-x 1)，可得-c-x 12=2 x 1 (x-x 1) 即卩 X 1X 2-X 12=2 x 1 (x-x 1)根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切线以 及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。
例1： (2007江苏高考第19题)如图，过C (0，c ) (c>0)作直线与抛物线 交于A 、B 两点，一条垂直于x 轴的直线，若OA OB =2，求c 的值；若P 为线段AB 的中点，求证：AQ 为抛物线的切线； 试问(2)的逆命题是否成立。
y 1 )，B (X 2, y 2)，(1) y 2 c x 2(1) (2) (3) 解：(1)设 A (x i ， 2点A 在抛物线上：y=x 直分别与线段AB 和直线y+c=0交于P 、 y 車2y 2=X 2 (2)(3) (3)式，得至U X 1X 2=-c ，y 1y 2=c 2y=x 2 相Q BC (0, c ) 点B 在抛物线上:所以点Q 的横坐标为 12，即点P 为线段AB 的中点。
(2)的逆命题成立。
2该题的命题思路就是借助于性质 3而编制的一道中等难度的题。
其中主要运用了切 线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。
下题也是用类似的方法命 制的题。
例2：(2006全国高考卷U 21题)抛物线x 2 3=4y 的焦点F , A B 是抛物线上两动点, 且AF FB ，过A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M2 AF FB ，即(O-X 1，1-y 1) = X( X 2， y 2-1 ) 所以 帜1=入X 2，再由 X 1X 2=-4，得入X 2X 2=4， 即 X 2=d±，贝u X 1= 7^，y 1=入，丫2=丄。
由 FM AB =0,4。
当入=1时，△ ABM 的面积S 取得最小值从上面两例可以看出，高考命题往往借助课本例题中一个典型图形，结合其他 知识点进行再创造，即使是在全国数学联赛中也有这样的命题方向：例(2007年全国数学联赛一试14题)过点(0,1)的直线L 与曲线C: y x -(x 0)X交于两个不同点M 和N,求曲线C 在点M N 处的切线的交点的轨迹。
因此在日常教学工作中，我们也应该对课本中的性质定理进行再挖掘，对几何图形的优 美性质进行一些研究性的工作，一方面对学生处理新颖题的能力提高有帮助，另一方面对教师的教学研究工作也有促进作用。
所以 S= f (入)=；AB FM1 2 22\ X1X 2 y 1 y 22X 1 X 242(1) 证明：FM‘ AB 为定值；(2) 设厶ABM 的面积为S ,写出S=f (入)的表达式，并求出 S 的最小值。
解：(1)设 A (X 1, y 1 )，B (X 2, y 2)，F (0，1)点A 在抛物线上：4y 1=x/ (1)点B 在抛物线上：4y 2=X 22 直线AB 经过点F ：生」以(3)X 1X 2得到过点A 的切线方程：2 (y-y 1) =X 1 ( X -X 1)过点B 的切线方程：2 (y-y 2) =X 2 (x-x 2) 由(1) (2) (3)得 X 1X 2=-4 , yy 2=1 由(4)、(5)得M 坐标为(生产, -1 )。