复数的四则运算(一)学案

课题：复数的四则运算（一）

一、 新课引入

问题： 建立了复数的概念以后，很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算。由于实数是复数的一部分，所以建立复数运算时，应当遵循的一个原则是：作为复数的实数，在复数集里的运算和在实数集里的运算应当是一致的。

那么，如何定义复数的加法与减法运算呢？

二、 概念构建

问题1：我们知道，i 与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算，那么任何两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？

问题2：复数的加法可以有哪些运算律？

问题3：你能否用复数加法法则证明交换律和结合律吗？

问题4：我们知道实数减法是加法的逆运算，那么复数的减法是怎样由加法得到呢？

问题5：复数的加减法法则是什么？

问题6：复数的乘法如何进行四则运算？

问题7：复数的乘法可以有哪些运算律？你会证明吗？

问题8：当0>a 时，你会解方程02=+a x 吗？共轭复数的概念？实数的共轭复数有什么特点？

三、 例题选讲

例1 计算)i 43()i 2()i 65(+---+-

变式：计算)i 20202019()i 20192018()i 54()i 43()i 32()i 21(-++-+⋅⋅⋅++-+-++-+-

例2 计算：（1）)i 31)(i 23)(i 2(+---- （2）)i )(i (b a b a -+

问题9：根据例2（2），设R ∈y x ,，在复数集内，你能将22y x +分解因式吗？

变式 在复数集内分解因式：

（1）14-a （2）），（R x a x x ∈++322

例3 求i 684--及的平方根.

变式 设R ∈n m ,，求关于x 的方程0422=++x x 的两个根.

四、 当堂检测 1．已知R ,∈b a ，i 2i )i (-=-b a ，则i b a +的共轭复数为（ ）

A . i --2 B. i -2+ C. i -2 D. i 2+

2.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3.已知R ∈a ,i 是虚数单位，若4,i 3=+=z z a z ，则a 为（ ）

A ．1或-1

B . 7-7或

C .-3

D .3

4．若复数i 1+=a z (R ∈a )， i 12+=z （i 为虚数单位），则2z =__________；若z 1z 2为纯虚数，则a 的值为__________．

5.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是___________.

五、课堂总结

1.复数代数形式的加减运算

2.复数代数形式的乘法运算

六、课后作业

1．若a 为实数且i 4)i 2)(i 2(-=-+a a ，则a 为（ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

2．若复数i)23(i -=z (i 是虚数单位 )，则z =（ ）

A ．32i -

B ．32i +

C ．23i +

D ．23i -

3．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件 4.z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )

A ．1＋i

B ．－1－i

C ．－1＋i

D ．1－i

5. (多选题)设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ）

A ．若z 2≥0，则z 是实数

B ．若z 2<0，则z 是虚数

C ．若z 是虚数，则z 2≥0

D ．若z 是纯虚数，则z 2<0

6.在复数范围内分解因式：32++x x =___ ___．

7.若复数z 满足()3i 2i z +=-（i 为虚数单位），则z =_______

8.若复数)i 2)(i 1(+-=m z 是纯虚数，则实数m 的值为

9．设112i z z z -= (其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，求z 2的虚部．

10.已知i 是虚数单位，复数z =2﹣i+（4﹣2i ）i ．

（1）求复数z ；

（2）若（m ，n ∈R ，是z 的共轭复数），求m 和n 的值．