高中数学(人教,选修2-3)第一章《计数原理》测试题A卷

高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题A卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()．A．6 B．8 C10 D．122．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( )A．6种B．5种C．4种D．3种3．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4 C．6 D．84.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A．72种B．48种C．24种D．12种5．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )A ．18B ．24C ．30D ．367．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( )A ．C 27A 55B ．C 27A 22C ．C 27A 25D ．C 27A 358.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!9．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a 的值为 ( ) A ．0B ．1C ．11D ．1210．在二项式(x ＋3x)n的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18二、填空题（每小题6分,共24分）11．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．12．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．13.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为______．14．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是________． 三、解答题（共计76分）．15．（本题满分12分）高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人． (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？16．（本题满分12分）已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a ，b ，c ∈M ，则： (1)y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示多少个不同的二次函数； (2)y ＝ax 2＋bx ＋c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数．17．（本题满分12分）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？ (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？18．（本题满分12分）某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？19．（本题满分14分）已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992.求在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．20．（本题满分14分）已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题A 卷答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1.【答案】 A【解析】分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．2.【答案】 C【解析】若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A 车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法．故共2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．故应选C.3.【答案】 D【解析】以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个．把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．4.【答案】 A【解析】按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类．一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．5.【答案】 D【解析】满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．6.【答案】C【解析】排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C24＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C24A33－A33＝30种分法．7.【答案】 C【解析】从后排抽2人的方法种数是C 27；前排的排列方法种数是A 25.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C 27A 25. 8.【答案】 C【解析】把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家， 所以有(3！)4种． 9.【答案】 D【解析】化51为52－1，用二项式定理展开．512012＋a ＝(52－1)2012＋a＝C 02 012522012－C 12 012522011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2011＋C 2 0122 012×(－1)2012＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0122 012×(－1)2012＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，因为0≤a <13，所以a ＝12. 10.【答案】B【解析】A ＝(1＋3)n＝4n，B ＝2n.A ＋B ＝4n ＋2n ＝72，∴n ＝3.∴(x ＋3x )n ＝(x ＋3x)3.T r ＋1＝C r 3(x )3－r (3x )r ＝3r C r 3x 3－r 2·x －r ＝3r C r 3x 3－3r 2∴当r ＝1时T r ＋1为常数项． ∴常数项为3C 13＝9.二、填空题（每小题6分,共24分） 11.【答案】 7200【解析】其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原 12.【答案】40【解析】第一步将3,4,5,6按奇偶相间排成一列，共有2×A 22×A 22＝8(种)排法；第二步再将1,2捆绑插入4个数字产生的5个空位中，共有A 15＝5(种)插法，插入时需满足条件相邻数字的奇偶性不同，1,2的排法由已排4个数的奇偶性确定． ∴不同的排法有8×5＝40(种)，即这样的六位数有40个． 13.【答案】56【解析】利用二项展开式的通项公式求解． 由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8. ∴T r ＋1＝C r8·x8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴1x2的系数为C58＝C38＝56.14.【答案】1【解析】原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，因为前10项均能被88整除，故余数为1.三、解答题（共计76分）．15．【解析】(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．L L L6分(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．L L L12分16.【解析】(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y ＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．L L L6分(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．L L L12分17.【解析】(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种)．L L L4分(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．L L L8分(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24(C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22)＝84(种)．L L L 12分18.【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)；L L L 3分 (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8568(种)；L L L 6分 (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加， 共有C 12C 418＋C 318＝6936(种)；L L L 9分 (4)方法一 (直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类： 一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14656(种)．L L L 12分方法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数， 得C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)．L L L 12分19.【解析】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.L L L 2分 (1)由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即C 510＝252.∴二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8064.L L L 7分(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， ∴1010102110101(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C xx---+=-=-， ∴101101101010110110102222r r r r r r r r C C C C ---+-+--⎧≥⎪⎨≥⎪⎩， 得1101011010222r r r r C C C C -+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，即1122(1)10r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩， 解得83≤r ≤113，L L L 12分∵r Z ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15360x 4.L L L 14分20.【解析】令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.L L L 3分 (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094.L L L 7分(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.L L L 10分(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1093－(－1094)＝2187.方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|， 即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2187.L L L 14分。