利用向量证明垂直与平行问题

练习：棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (I)A1E ⊥平面DBC1; (II)AB1 ∥ 平面DBC1 A1
z C1 B1 A E D C x B y
解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空 间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, 3,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, 3 ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 x 2 z 0 x 2 z 解之得 y 0 ， 3y 0 取z = 1得n=(-2,0,1) (I) A1E (2,0,1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 (II) AB1 (1, 3,2) ,而 AB1 n =-2+0+2=0 AB1 ∥平面DBC1
3.2 立体几何中的向量方法（2）
----利用向量解决平行与垂直问题
xxz
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间
向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的
（进行向量运算） 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
C
B A
A' ( 3 ,0, h), B' (0,1, h), C ' (0,1, h). AB ' ( 3,1, h), A ' C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h) 0 AB ' A ' C 3 1 h 2 , h 2 2. 2 AB ' BC ' 0 2 h 0. BC ' AB '
u

v

u v uv 0
四 如图, 直三棱柱ABC A B C 中, ACB 900 , 1 1 1 、 作 AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 业 两条对角线交点为D, B1C1的中点为 Z M.
（2）垂直关系
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二、新课
（一）用向量处理平行问题
（二）用向量处理垂直问题
例2.在正方形ABCD - A 中, 1B 1C1 D 1 求证 : 平面A 1 BD // 平面CB 1D 1
Z
A
D
C
B
D 1
C1
B1
X
A1
Y
（一）用向量处理平行问题
例1.在正方形ABCD - A 中, 1B 1C1 D 1 求证 : MN / / 平面A 1 BD M , N 分别是C1C、B1C 1的中点。
三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。
四 0 1 如图 , 直三棱柱 ABC A B C 中 , ACB 90 , 1 1 1 、 作 AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 业 两条对角线交点为D, B C 的中点为M .
Z
E
F
X
Y
例5正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点,求证:面AED⊥面A1FD
z
A1 B1 C1 D1
E D A F x B C y
证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标 系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则 E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), 于是 AE (2,0,1) AD (0,2,0) 设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 2 x z 0 1 x z 解之得 2 2y 0 y 0 取z=2得n1=(-1,0,2) 同理可得平面A1FD的法向量为n2=(2,0,1) ∵n1 · n2 = -2+0+2=0 ∴面AED⊥面A1FD
求证CD 平面BDM
解: 如图,以C为原点建立空间直角坐标系. B( 2 ,0,0), B1 ( 2,1,0), A1 (0,1,1),
D
C A
A1
C1
M Y
B1
2 1 1 2 B D( , , ), M ( ,1,0), 2 2 2 2 X 2 1 1 1 1 CD ( , , ), A1 B ( 2, 1, 1)， DM (0, , ), 2 2 2 2 2
C1
6 0, 0, 2 M
证明：分别以 CA, CB, CC1
B1 A1
所在直线为
y x 轴，
轴，z 轴，建

3,1, 6

立空间直角坐标系 C xyz 图中相应点的坐标为：
6
C 90
3
1
30
B 0,1,0
2
y
A1

3, 0, 0
A
A
3,1, 6
3, 0, 0
a
u
l

l // a u a u 0
u


v
// u // v u v
l
a b
m
l m a b ab 0
l
a

u
l a // u a u
作业：1. 如图, 直三棱柱ABC A1 B1C1中, ACB 90 ,
0
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD 平面BDM
A Z
A1
D
B X
A1B, DM 为平面BDM内的两条相交直线, CD 平面BDM .
Z
D
A
A1
X
D1
C
B
M
C1 B1 N Y
（二）用向量处理垂直问题 例3、如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ACB 90, BAC 30, BC 1, A1 A 6,
M 是棱 CC1 的中点， 求证：A1B AM
C1 A1
M
C 90
3
B1
1
30
B
A
z
1 1
求证CD 平面BDM
A
A1
D
C
C1
M
B
B1
四 、 作 业
2如图,在三棱锥P-ABC中,AB BC , AB BC k PA, 点O、D分别是AC、 PC的中点，OP 底面ABC。 求证：OD / / 平面PAB
P
D
A
O B
C
l
m
a b
l // m a // b a b
B1
则CD A1 B 0, CD DM 0. CD A1B, CD DM .
Hale Waihona Puke Baidu
C
C1
M Y
练习： 在三棱柱ABC A ' B ' C '中， 底面是正三角形，AA ' 底面ABC， A ' C AB ', 求证：BC ' AB ' 设底面边长为 2, 高为h, 坐标法 如图建立空间直角坐标 系.
A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (0,1,0).
C' A' B'
（1）平行关系
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设直线l，m的方向向量分别为 ， ， a b 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
线线垂直 l m a b a b 0 线面垂直 l a // u a u 面面垂直 u v u v 0

, B 0,1, 0
6 ,M 0, 0, 2

x
所以：
所以：
6 A1B 3,0, 6 , AM 3,0, 2


AB AM 0
即，
A1B AM
例4 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 （回到图形问题） 义。
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为 ，b ， a 平面 ， 的法向量分别为 u ， v
线线平行 l // m a // b a b 线面平行 l // a u a u 0 面面平行 // u // v u v
证明:如图 取 DA, DC , DD '分别为x轴,y轴,z轴 X 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2.
Z
E
F
Y
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)
例4 : 在正方体ABCD A ' B ' C ' D '中. E,F分别是CC ', BD的中点. 求证：A ' F 平面BDE.